Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Math4 SPIEEA MT2214L2 Partiel

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

Math4 SPIEEA MT2214L2

Partiel

2 avril 2007- Dur´ee : 1H30

L’utilisation de documents de toute nature et de calculettes n’est pas autoris´ee. En ce qui concerne la notation, il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction, de sa clart´e quant

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a la citation des r´esultats du cours utilis´es, ainsi que des r´esultats calculatoires obtenus.

Texte: 2 pages, contenu: 3 exercices

Dans les exercices qui suivent, on note Hla fonction d’Heaviside

Exercice I

1. Montrer que, s’il est d´efini, le produit de convolution de deux fonctions causales f etg est une fonction causale. Donner son expressionf∗g

2. Calculer la transform´ee de LaplaceL(tH) de la fonctiont7→tH(t) 3. R´esoudre l’´equation

f(t) =t+ Z t

0

(u−t)f(u)du o`u f est une fonction nulle sur les r´eels n´egatifs .

1

Exercice II

1. Sachant que

1

(z+ 1)²(z−1) = a

(z+ 1)² + b

z+ 1+ c z−1 o`u a,b,c sont des nombres r´eels, d´eterminer a,b etc.

2. Donner l’expression de la transform´ee de Laplace L(f⁰) de la d´eriv´ee d’une application f en fonction deL(f)

3. Calculer la transform´ee de Laplace de la fonction t7→ H(t)e^−t 4. Soit l’´equation diff´erentielle du second ordre (E) :

y”(t)−y(t) =H(t)e^−t

En utilisant la transform´ee de Laplace d´eterminer la solution causale de (E) satisfaisant les deux conditionsy(0⁺) = 0 et y⁰(0⁺) = 0

Exercice III

Dans cet exercice, la transform´ee de Fourier F(f) d’une application f est d´efinie par la formule

F(f)(ν) = Z

R

f(t)e^−i2πνtdt

1. Enoncer une condition suffisante pour quef admette une transform´ee de Fourier.

2. Soit f est une fonction r´eelle et paire admettant une transform´ee de Fourier.

(a) Donner une autre expression deF(f) sous forme d’int´egrale calcul´ee surR+

(b) En d´eduire un r´esultat sur la transform´ee de Fourier inverse F⁻¹(f) d’une application f r´eelle et paire

3. On consid`ere la fonction gd´efinie par

g(t) =H(t)e^−t+H(−t)e^t Dessiner rapidement le graphe deg

4. Montrer queg admet une transform´ee de Fourier et la calculer en justifiant vos calculs.

5. On consid`ere l’int´egrale

I = Z +∞

0

cosx 1 +x²dx (a) Montrer que cette int´egrale est convergente .

(b) En utilisant ce qui pr´ec`ede et la transform´ee de Fourier inverse, calculerI

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