Série n° 6

(1)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Série n° 6 d’exercices Corrigés sur « les intégrales et 2éme Bac S.M les sommes de Reimann »

Exercice 1

4. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.

(i)

1

1 sin

n n

k

a k

n n







; (ii)

0

1

n n

k

b  n k







^

^{ }⁰

^

; (iii)

1

n n

n k

c k

 n

 





   Correction Exercice 1

4. (i) Si l’on pose ^{f x}

 

^^sin

 

^^x ^pour^x^

 

^0;1 , on a encore

1

1 ⁿ

n k

a f k

n _ n





   . Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur

 

^0;1 ^{, donc}

1

lim lim 1

n

n n n

k

a f k

n n

  





   

 

1 0

sin 1 cos 2

x dx x



 





  





(ii) On écrit

0 n 1

n k

b ^



_ nk

1

1 1

=

1 1 1

=

n

k

n

k

n k n

n

 



 

 

 

 

  

 



On a :

1 1

1 1 1

lim lim

n n

k k

f k

n k n n

 n

   

 

   

    

  

 

 

^{; où} ^{f x}^: _¹__x^{; donc :}

1 0 0

1 1 1

lim lim lim

n

n n n n

k

b dx

n k n  x

   

  

 

 

; par suite : ^lim n ^{ln 1}

 

^ln

 

^ln ¹

n b   





  

     

 

(iii)

1

n n

n k

c k

 n

 





   On écrit

1

ln ln 1

n n

n

k

c k

 n

 

 

 



   

1

ln 1

n n

k

 n

 

 





   

(2)

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1

1ln 1

1 ln 1

1

n

k n

k

n n

k

n n

f k

n n



 

   

 

   

    



; où ^f ^:^x ^{ln 1}



^^x



^{; donc :} ¹

 

lnc_n 



0ln 1x dx

Procédons par une intégration par partie pour calculer ¹

 

0ln 1x



On pose : ^{ln 1}

 

¹

1 1

u x u

x

v v x

   

 

   



Donc : ₀¹^{ln 1}

 

^{ln 1}

 

¹₀ ₀¹

1

x dx x x x dx

     x

 

 

1 0 1 0

1 0

ln 2 1 1 1 ln 2 1 1

1 ln 2 ln 1 ln 2 1 ln 2 2 ln 2 1

x dx

x x dx

x x

   



 

     

    

  

 



D’où : lim ln _n 2ln 2 1

n c

   ; et comme la fonction exponentielle est continue sur IR ; alors :

2 ln 2 1 4 lim _n

n c e

e



  

Exercice 2

A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.

(i)

1

1 cos

n n

k

a k

n n





 





  (ii)

 

²

0

n n

k

b n

n k







^

^ ^⁰

^

Correction Exercice 2

(i) Si l’on pose ^{f x}

 

^^cos

 

^^x ^pour^x^

 

^0;1 ^{, on a :}

1

n n

k

a f k

n _ n

   



  . Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur

 

^0;1 ^{, donc}^lim n ₀¹^cos

 

⁼¹ ^sin

 

¹₀⁼⁰

n a x dx x



 



  ^.

(ii) On écrit

 

²

0 n n

k

b n

n k







   

² ²

1

2 2

1 2

1

n

k n

k

n n

n k n

n n

 



 



 

  

 

 



(3)

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₂ ₂

1

1 ⁿ 1 1

n k k n

n

 



 

  

 

 



2

1 1

1 ⁿ 1 1 ⁿ

k k

f k

n k n n

 n

 

    

  

 

 

 

^où ^{f x}^:

_

¹

_

²

x ;

Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur

 

^0;1 ^{, donc :}

 

1

2 0 2

1

1 1 1

lim

n

n k

n k x dx

n

 

 

 

  

 

 

 

^.

 

1

0

1

1 1

1

 x

 

  

   

  



 

Et 1₂

lim 0

n^n ^ ^{;donc ;}ⁿ^lim^^bⁿ ^^{ }



¹^¹