Chapitre 6 terminale spé math
Orthogonalité et distance dans l’espace
1 – Base orthonormée – repère orthonormé :
1) Définitions :
a) Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs u etv
sont orthogonaux si et seulement si l’un des deux est nul ou il existe deux droites coplanaires de vecteurs directeurs respectifs u
etv
qui sont perpendiculaires. On écrituv .
b) Base orthogonale - Base orthonormée : Soit
i , j, k
une base de l’espace.La base
i , j, k
est orthogonale si et seulement si les vecteurs i , j et k sont orthogonaux deux à deux.
La base
i , j, k
est orthonormée si et seulement si la base est orthogonale et les vecteurs i , j et k ont une norme valant 1 unité de longueur.
c) Repère orthogonal – Repère orthonormé : Soit
O; i, j, k
un repère de l’espace.Le repère
O; i, j, k
est orthogonal si et seulement si la base
i , j, k
associée est orthogonale.Le repère
O; i, j, k
est orthonormé si et seulement si la base
i , j, k
associée est orthonormée.Remarque : On dit repère (ou base) orthonormé(e) mais aussi repère (ou base) orthonormal(e).
2) Norme – Distance entre deux points : Soit un repère orthonormé
O; i, j, k
.a) Norme d’un vecteur : Si x u y z
, on peut calculer la norme du vecteur u
avec la formule u x2y2z2 .
b) Distance entre deux points : Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB) deux points de l’espace.
La distance entre A et B correspond à la norme du vecteur AB
. Alors AB = AB (xBx )A 2(yBy )A 2(zBz )A 2 .
Remarque : Le calcul d’une norme ou d’une distance à l’aide de coordonnées n’a de sens que dans un repère orthonormé. Il est donc important de vérifier que ce soit bien le cas dans un exercice qui utilise coordonnées.
2 2 – Projeté orthogonal :
1) Sur une droite :
a) Définition : Soit A un point et d une droite de l’espace ne passant par A.
Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur d si et seulement si H est un point de d et la droite (AH) est perpendiculaire à d.
b) Propriété : Soit A un point et soit d une droite passant par le point B, de vecteur directeuru
et ne passant pas par A.
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur d si et seulement si u et u
BH et AH
sont colinéair sont orth
e
o u
s gona x
.
2) Sur un plan :
a) Définition : Soit A un point et p un plan de l’espace ne passant par A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur p si et seulement si H est un point de p et la droite (AH) est perpendiculaire à p.
b) Propriété : Soit A un point et soit p un plan passant par le point B, de vecteurs directeurs u etv
et ne passant pas A. Le
point H est le projeté orthogonal du point A sur p si et seulement si
u et AH sont orthogonaux v et AH sont orthogonaux u, v et BH sont coplanaires
.
Remarque : Si le point A appartient à la droite d ou au plan p alors il est son propre projeté orthogonal sur d ou p.
d
p
c) Théorème : Le projeté orthogonal de A sur le plan p est le point H situé dans le plan p tel que la distance AH soit minimale.
Démonstration au programme :
3 – Produit scalaire dans l’espace :
1) Définition : Etant donné que deux vecteursu etv
de l’espace sont toujours coplanaires dans un plan p, le produit scalaire dans l’espace de u
etv
sera le produit scalaire des représentants de ces deux vecteurs dans le plan p.
2) Conséquence : On étend les définitions et les propriétés du produit scalaire du plan dans l’espace.
3) Les 4 Définitions du produit scalaire : Si u etv
sont deux vecteurs non nuls, leur produit scalaire est le nombre réel, noté u v
défini :
a) Avec des normes (formules de polarisation) : 1 2 2 2
u v u v u v
2
ou 1 2 2 2
u v u v u v
2
.
Remarque : Ces formules ne peuvent s’utiliser que si nous connaissons la norme du vecteur somme ou celle du vecteur différence, en plus de la norme des deux vecteurs.
b) Avec un cosinus :u v u v cos u, v
.
Remarque : S’utilise dès qu’un angle est évoqué dans l’énoncé ou les questions d’un exercice. Le produit scalaire ne dépend pas de l’orientation de l’angle entre les deux vecteurs.
c) Avec une projection : Si uAB
et vAC
et H le projeté orthogonal de C sur (AB).
AB AH si AB et AH sont de meme sens
u v AB AC
AB AH si AB et AH sont de sens opposé
.
Remarque : Attention la projection se fait d’un vecteur sur l’autre dans un même plan et jamais sur un vecteur intermédiaire.
Cette formule s’utilise lorsque des points peuvent s’interpréter comme des projeté orthogonaux de points sur des droites. Il faut être attentif aux angles droits.
d) Dans un repère orthonormal : Si les vecteurs u et v
ont pour coordonnées respectives x y z
et
x y z
alors
u v xxyyzz
.
Remarque : Cette formule s’utilise lorsque qu’un repère orthonormal est donné ou lorsqu’on peut en créer un.
4 4) Important :
a) Si u ouv
est nul, on pose u v 0 . b) Si les deux vecteurs u
etv
sont colinéaires alors u v u v
s’il ont le même sens et u v u v
s’ils sont de sens contraires. (méthode 5)
5) Propriétés du produit scalaire : a) Symétrie et bilinéarité : i) u v v u
ii) u v
w
u v u w iii) u kv
k
u v
ku v Remarque : Il en ressort une sixième méthode pour calculer un produit scalaire : en utilisant le calcul vectoriel (relation de Chasles, égalités vectorielle)
b) Carré scalaire : Le carré scalaire deu
est le nombre u u u2 u 2 . Propriétés : AB2AB AB AB2
et u2x2y2z2
dans un repère orthonormal.
c) Identités remarquables : pour tous vecteursu etv
de l’espace, on a :
uv
2u22u v v2
uv
2u22u v v2
uv u
v
u2v26) Produit scalaire et orthogonalité :
a) Propriété fondamentale : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u v 0 . Remarque : le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.
b) Vecteur normal à un plan : Un vecteur normal à un plan p est un vecteur non nul n
dont la droite direction est orthogonale au plan p. Donc n
est orthogonal à tous les vecteurs du plan p. On écrit n p.
Remarque : Un vecteur normal à un plan existe toujours et d’ailleurs, il y en a une infinité. (Ils sont tous colinéaires entre eux) c) Caractérisation : Un vecteur n
non nul est normal à un plan ssi n
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Démonstration :
d) Plan défini par un vecteur normal : Soient A un point de l’espace et n
un vecteur non nul.
Un point M appartient au plan passant par A et de vecteur normal n si et seulement siAM n 0
.
(Un plan est l’ensemble des vecteurs de l’espace orthogonaux à un vecteur normal donné, à partir d’un point donné.) e) Propriété : Soit A un point et soit p un plan passant par le point B, de vecteur normal n
et ne passant pas A. Le point H est le projeté orthogonal du point A sur p si et seulement si n et AH sont colinéaires
n et BH sont orthogonaux
.
Remarque générale : Un produit scalaire sert donc à calculer des longueurs, des angles ou à montrer que des vecteurs sont orthogonaux. Très souvent, plusieurs de ses définitions et ses propriétés sont utilisées dans la même question.
Méthode : Comment calculer un produit scalaire ?
Après analyse de la figure et des données de l’énoncé, il faut déterminer la bonne méthode entre les six proposées. (Plusieurs méthodes sont possibles)
Application : On considère le cube ABCDEFGH de côté a. Le point I est le milieu du segment [BF] ; le point J est le milieu du segment [DH] ; le point K est le milieu de [EF].
Déterminer les produits scalaires suivants : 1) AD AJ
2) AH GB
3) AH FB
4) AH AF
5) AI AJ
6) AI AJ
(autre méthode) Démonstration :
6 Méthode : Comment calculer une distance ou un angle avec un produit scalaire ?
Il faut exprimer le même produit scalaire avec deux méthodes différentes, dont l’une calcule la valeur du produit scalaire et l’autre fait apparaitre la distance ou l’angle voulu. On pose l’égalité et on résout.
Application : Avec le même énoncé que l’exercice précédent, déterminer la mesure de l’angle KAI au degré près.
Démonstration :
Méthode : Comment montrer qu’un vecteur n
est normal à un plan ?
On choisit deux vecteurs non colinéaires du plan que l’on montre orthogonaux au vecteur n
: soit de manière géométrique avec les propriétés de la figure, soit de manière vectorielle en calculant un produit scalaire nul. Si la figure est placée dans un repère orthonormé, on peut calculer le produit scalaire avec les coordonnées.
Application : ABCDEFGH est un cube.
1) Montrer que le vecteur DH
est normal au plan (HEG).
2) Démontrer que le vecteurBG
est un vecteur normal au plan (FDC).
Démonstration :
4 – Géométrie de l’espace :
1) Orthogonalité entre deux droites :
Définition : Soit d une droite de vecteur directeuru
et d’ une droite de vecteurs directeuru
. d et d’ sont orthogonales si et seulement si u
et u
sont orthogonaux ssi u u 0
.
d et d’ sont perpendiculaires si et seulement si elles sont coplanaires et orthogonales.
Remarque : Attention, dans l’espace, deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas forcement parallèles entre elles.
2) Orthogonalité entre deux plans : Soit p un plan de vecteur normal n
et p’ un plan de vecteur normal n
. p et p’ sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si n
et n
sont orthogonaux ssi n n 0
. On écrit p p’.
3) Orthogonalité entre un plan et une droite : a) Soit p un plan de vecteurs directeurs u1
et u2
et d une droite de vecteur directeuru . p et d sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si 1
2
u est orthogonal à u u est orthogonal à u
ssi 1
2
u u 0 u u 0
.
b) Soit p un plan de vecteur normal n
et d une droite de vecteur directeur u . p et d sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si n
et u
sont colinéaires.
8 c) Un exemple : Le plan médiateur à un segment.
i) Définition : Soit A et B deux points distincts de l’espace. On appelle plan médiateur du segment [AB], le plan perpendiculaire au segment [AB] en son milieu.
ii) Caractéristiques : Le plan médiateur au segment [AB] est le plan passant par I le milieu de [AB] et de vecteur normal AB
. iii) Propriété caractéristique : Soient A et B deux points distincts de l’espace.
M appartient au plan médiateur de [AB] si et seulement si MA = MB.
(Le plan médiateur à un segment est l’ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment) Démonstration :
4) Géométrie :
a) Il existe une et une seule droite passant par un point donné et orthogonale à un plan donné.
b) Il existe un et un seul plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée.
c) Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
d) Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
vecteur normal n . e) Soit p un plan de vecteurs normal n
et p’ un plan de
p et p’ sont parallèles si et seulement si n et n
sont colinéaires.
Méthode : Comment étudier l’intersection entre deux plans ?
On teste le parallélisme de p et p’ . Pour cela on utilise la méthode du chapitre précédent ou bien : Si des vecteurs normaux n
et n
sont colinéaires ou bien si un vecteur normal à l’un est orthogonal à deux vecteurs directeurs de l’autre alors les plans sont parallèles.
On prend un point A dans p et un point B dans p’ . Si n
et AB
sont orthogonaux alors les plans sont confondus.
Si n et AB
ne sont pas orthogonaux alors les plans sont strictement parallèles.
Si des vecteurs normaux n et n
ne sont pas colinéaires ou bien si un vecteur normal à l’un n’est pas orthogonal à un des deux vecteurs directeurs de l’autre alors les plans sont sécants. Il faut ensuite déterminer la droite d’intersection des deux plans en trouvant deux points communs aux deux plans.
Application : Soit p le plan passant par A(1 ; 1 ; 1) et dirigé par les vecteursu 1;1; 2
etv 2;3; 5
, soit p’ le plan passant par B(1 ; 2 ; 3) de vecteur normaln 1;1;1
et p’’ le plan passant par B 1; 2;3 de vecteur normal
n 1; 2;3
.1) Déterminer le positionnement relatif entre p et p’.
2) Déterminer le positionnement relatif entre p’ et p’’. (On sera amené à vérifier le placement du pointC
2;8; 0
).Démonstration :
Méthode : Comment étudier l’intersection entre une droite et un plan :
On teste le parallélisme de p et d. Pour cela, utilise la méthode du chapitre précédent ou bien on calcule le produit scalaire entre un vecteur directeur u
de la droite et un vecteur normal n
du plan, n u
. Si n u 0
alors le plan et la droite sont parallèles et il faut départager la situation entre droite et plan strictement parallèles et droite incluse dans le plan, à l’aide d’un point.
Si n u 0
alors le plan et la droite sont sécants. Il s’agit alors de trouver le point commun au plan et à la droite.
10 Application : Soit p le plan passant par B(1 ; 2 ; 3) de vecteur normaln 1;1;1
et soit d la droite passant par A(0 ; 1 ; 0) et de vecteur directeuru 1; 3;1
. Montrer que p et d sont sécants enC 1; 4;1 .
Démonstration :
Méthode : Comment utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à un plan ou à une droite?
Tout d’abord, il faut identifier le projeté orthogonal du point concerné, sur le plan ou la droite.
Puis il faut s’assurer du caractère orthogonal avec le plan : à l’aide du point concerné,
le projeté forme un vecteur orthogonal avec des vecteurs directeurs du plan ou bien
il forme un vecteur colinéaire avec un vecteur normal au plan.
avec la droite : à l’aide du point concerné,
le projeté forme un vecteur orthogonal avec un vecteur directeur de la droite.
Il faut ensuite montrer que le projeté appartienne bien au plan : avec un point du plan,
le projeté forme un vecteur coplanaire avec deux vecteurs directeurs du plan ou bien
il forme un vecteur orthogonal avec un vecteur normal au plan à la droite : avec un point de la droite,
le projeté forme un vecteur colinéaire à un vecteur directeur de la droite.
Pour finir, on calcule la distance entre le point de départ et le projeté.
Application : L’espace étant muni d’un repère orthonormé, on considère les points A 1; 2; 1
et B
4; 0; 2
ainsi que levecteur 2 n 0
2
. Posons p le plan passant par A et de vecteur normal n .
1) Démontrer que le point H 0; 0; 2
appartient à p.2) a) Démontrer que H est le projeté orthogonal de B sur p.
b) En déduire la distance du point B au plan p.
3) SoitC 0; 0; 1
.a) Montrer que C est le projeté orthogonal de H sur (AC).
b) En déduire la distance du point H à la droite (AC).
Démonstration :
