Page 1 VII – ORTHOGONALITÉ et DISTANCES DANS L’ESPACE.
1. Produit scalaire dans l'espace
a. Extension du produit scalaire à l'espace
On étend aux vecteurs de l'espace la définition du produit scalaire dans le plan vu en classe de Première.
Définition :
𝑢⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs de l'espace. A, B et C sont trois points de l'espace tels que : 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Il existe au moins un plan contenant les points A, B et C.
Le produit scalaire des vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 , noté 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ , est le produit scalaire 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ calculé dans le plan .
Propriétés :
𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont deux vecteurs non nuls de l’espace.
𝒖
⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩 × 𝑨𝑪 × 𝒄𝒐𝒔(𝑩𝑨𝑪̂ )
Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (𝐴𝐵), alors :
𝒖
⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Définition :
Le carré scalaire d'un vecteur 𝑢⃗ , noté 𝑢⃗ 2 = ‖𝑢⃗ ‖2, est le produit scalaire 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒖⃗⃗ .
Ainsi, pour tout vecteur 𝑢⃗ , 𝒖⃗⃗ 𝟐= ‖𝒖⃗⃗ ‖𝟐 et pour tous points A et B, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟐 = ‖𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝟐= 𝑨𝑩𝟐
b. Extension des propriétés algébriques 𝑢⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs de l'espace et k est un nombre réel.
Propriété :
𝒖
⃗⃗ 𝐞𝐬𝐭 𝐨𝐫𝐭𝐡𝐨𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 à 𝒗⃗⃗ équivaut à ∶ 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ = 𝟎 .
Remarque : le vecteur nul 0 est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
Page 2 Propriétés : Symétrie et bilinéarité
(𝟏) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢⃗ ; (𝟐) 𝑢⃗ ∙ (𝑘𝑣 ) = 𝑘(𝑢⃗ ∙ 𝑣 ) ; (𝟑) 𝑢⃗ ∙ (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ ∙ 𝑣 + 𝑢⃗ ∙ 𝑤⃗⃗ .
Remarque : la bilinéarité n'est pas une extension banale du plan à l'espace ; en effet, les vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ , ne sont pas nécessairement coplanaires.
Propriété :
(𝟏) ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖2 = ‖𝑢⃗ ‖2+ 2 𝑢⃗ ∙ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2; (𝟐) ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2 = ‖𝑢⃗ ‖2− 2 𝑢⃗ ∙ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2.
En effet, ces formules se déduisent immédiatement des développements de (𝑢⃗ + 𝑣 )2 et (𝑢⃗ − 𝑣 )2 . Propriétés : Formules de polarisation
(𝟏) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 =1
2(‖𝑢⃗ ‖2+ ‖𝑣 ‖2− ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2) ; (𝟐) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 =1
2 (‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖2− ‖𝑢⃗ ‖2− ‖𝑣 ‖2).
Ces formules se déduisent immédiatement de la propriété précédente.
En particulier, pour trois points A, B, C de l'espace, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ =𝟏
𝟐(𝑨𝑩𝟐+ 𝑨𝑪𝟐− 𝑩𝑪𝟐).
2. Base orthonormée. Repère orthonormé
1. Bases et repères orthonormés
Définitions :
‒ Dire qu'une base (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l'espace est orthonormée signifie que ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de même norme choisie pour unité (‖𝑖 ‖ = ‖𝑗 ‖ = ‖𝑘⃗ ‖ = 1) .
‒ O étant un point de l'espace, le repère (𝑂; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormé lorsque la base (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormée.
𝑢⃗ ∙ 𝑣 =1
2(‖𝑢⃗ ‖2+ ‖𝑣 ‖2− ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2) ; (𝟐) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 =1
2 (‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖2− ‖𝑢⃗ ‖2− ‖𝑣 ‖2).
Page 3 2. Expression analytique du produit scalaire
Propriété :
Propriétés :
Propriété :
Remarques :
• le vecteur nul 0⃗ est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
• la bilinéarité n'est pas une extension banale du plan à l'espace ; en effet, les vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ , ne sont pas nécessairement coplanaires.
• (3) ces formules se déduisent immédiatement des développements de (𝑢⃗ + 𝑣 )2 et (𝑢⃗ − 𝑣 )2 .
• (5) En particulier, pour trois points A, B, C de l'espace, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ =𝟏
𝟐(𝑨𝑩𝟐+ 𝑨𝑪𝟐− 𝑩𝑪𝟐).
Exemples : ex résolus 1 et 2 page 117
Dans une base orthonormée (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), si 𝑢⃗ (𝑥 𝑦 𝑧
) et 𝑣 ( 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′
) , alors ∶ 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 𝑥𝑥′+ 𝑦𝑦′+ 𝑧𝑧′.
Dans une base orthonormée (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), si 𝑢⃗ (𝑥 𝑦 𝑧
) et 𝑣 ( 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′
) sont deux vecteurs.
(𝟏) 𝑢⃗ et 𝑣 sont 𝐨𝐫𝐭𝐡𝐨𝐠𝐨𝐧𝐚𝐮𝐱 équivaut à ∶ 𝒙𝒙′+ 𝒚𝒚′+ 𝒛𝒛′= 𝟎 ; (𝟐) ‖𝒖⃗⃗ ‖ = √𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐.
Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), si 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴; 𝑧𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵; 𝑧𝐵) sont deux points.
𝑨𝑩 = √(𝒙𝑩− 𝒙𝑨)𝟐+ (𝒚𝑩− 𝒚𝑨)𝟐+ (𝒛𝑩− 𝒛𝑨)𝟐.
Page 4 3. Base orthonormée. Repère orthonormé
Définitions : Bases et repères orthonormés
‒ Dire qu'une base (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l'espace est orthonormée signifie que ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de même norme choisie pour unité (‖𝑖 ‖ = ‖𝑗 ‖ = ‖𝑘⃗ ‖ = 1) .
‒ O étant un point de l'espace, le repère (𝑂; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormé lorsque la base (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormée.
Exemples : ex résolus 5 et 6 page 119
4. Orthogonalité dans l’espace 1) Orthogonalité entre 2 droites
Définition :
Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales s’il existe une parallèle à (d) qui est perpendiculaire à (d’).
Propriété :
Deux droites (d) et (d’) de vecteurs directeurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonales si et seulement si 𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ = 𝟎.
Propriété : Expression analytique du produit scalaire Dans une base orthonormée (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), si 𝑢⃗ (𝑥
𝑦 𝑧
) et 𝑣 ( 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′
) , alors ∶ 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 𝑥𝑥′+ 𝑦𝑦′+ 𝑧𝑧′.
Propriétés :
• Dans une base orthonormée (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), si 𝑢⃗ (𝑥 𝑦 𝑧
) et 𝑣 ( 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′
) sont deux vecteurs.
(𝟏) 𝑢⃗ et 𝑣 sont 𝐨𝐫𝐭𝐡𝐨𝐠𝐨𝐧𝐚𝐮𝐱 équivaut à ∶ 𝒙𝒙′+ 𝒚𝒚′+ 𝒛𝒛′= 𝟎 ; (𝟐) ‖𝒖⃗⃗ ‖ = √𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), si 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴; 𝑧𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵; 𝑧𝐵) sont deux points.
• 𝑨𝑩 = √(𝒙𝑩− 𝒙𝑨)𝟐+ (𝒚𝑩− 𝒚𝑨)𝟐+ (𝒛𝑩− 𝒛𝑨)𝟐
Page 5 Remarque :
▪ 2 droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires ( ex : (AB) et (FG))
▪ 2 droites sont perpendiculaires dans l’espace si et seulement si elles sont sécantes selon un angle droit (c’est un cas particulier d’orthogonalité).
▪ Si 2 droites sont perpendiculaires alors elles sont orthogonales. ( La réciproque est fausse).
2) Orthogonalité entre une droite et un plan
Définition :
Une droite est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
Propriété :
Une droite (d) de vecteur directeur 𝑛⃗ est orthogonale à un plan (P), si et seulement si, elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan.
Ainsi, il existe 2 vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 , non colinéaires, du plan tels que : 𝒏
⃗⃗ . 𝒖⃗⃗ = 𝟎 et 𝒏.⃗⃗⃗ 𝒗⃗⃗ = 𝟎
5. Projection orthogonale dans l’espace
1) Projection orthogonale d’un point sur une droite
Définition :
Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite (d) est le point d’intersection H de (d) avec ce plan passant par M et orthogonal à (d).
Propriété :
Le projeté orthogonal H d’un point M sur une droite (d) est le point de la droite d le plus proche de M. On dit que MH est la distance de M à la droite d.
Page 6 2) Projection orthogonale d’un point sur un plan
Définition :
Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan P est le point d’intersection H du plan P et de la droite passant par M et orthogonale à P.
Propriété :
Le projeté orthogonal H d’un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M.
On dit que MH est la distance de M au plan P.
6. Représentation paramétrique d'une droite
L'espace est muni d'un repère orthonormé
(
O i j k; , ,)
.(d) est la droite passant un point A (𝑥𝐴; 𝑦𝐴; 𝑧𝐴) et de vecteur directeur 𝑢⃗ (𝑎; 𝑏; 𝑐)
Dire qu’un point 𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) de l'espace appartient à (d) équivaut à dire que les vecteurs 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑢⃗ sont colinéaires ou encore tels que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢⃗ avec 𝑡 ∈ ℝ
On a donc : 𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) ∈ (𝑑) ⟺
x= xA+at y= yA+bt z=zA+ct
𝑡 ∈ ℝ
Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite (d).
Page 7 Remarques :
• On peut avoir plusieurs représentations paramétriques d’une même droite, cela dépend du point A et du vecteur directeur 𝑢⃗ choisis
• t est le paramètre ( à chaque valeur de t correspond un point de la droite)
Exemple d’application : L'espace est muni d'un repère
(
O i j k; , ,)
. Soit les points A(2 ;3 ;-1) et B(1 ;-3 ;2) 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)2. Le point H(3 ;2 ;1) appartient-il à la droite (AB) ? Si non, donner un autre point de (AB) Voir : Exercices résolus 1 et 2 page 147
VI. Equations cartésiennes d’un plan
Définition : Un vecteur non nul 𝑛⃗ de l'espace est normal à un plan P lorsqu’une droite de vecteur directeur 𝑛⃗ est orthogonale à ce plan
Propriété : Soit A un point et un vecteur non nul 𝑛⃗ de l'espace
L’ensemble des points M de l’espace tels que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑛⃗ = 0 est le plan p passant par et de vecteur normal 𝑛⃗
Page 8 Propriétés-Définition : L'espace est muni d'un repère orthonormé
(
O i j k; , ,)
.(1) Un plan P de vecteur normal 𝑛⃗ (𝒂; 𝒃; 𝒄) non nul admet une équation cartésienne de la forme 𝒂𝒙 +𝒃𝒚 +𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 , avec d ∈ ℝ.
(2) Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) tels que 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 , avec d ∈ ℝ , est un plan.
Exemple : Le plan d'équation cartésienne x−y+5z+1=0 a pour vecteur normal 1
1 5 n
−
.
Exemple d’application : Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A (-1 ;2 ;1) et de vecteur normal. 𝑛⃗ (𝟑; −𝟑; 𝟏)
Voir : Exercices résolus 5 et 6 page 149
