Terminale S 2016 – 2017 ESP 1
Thème 5 – Droites de l’espace
1. Repérage cartésien dans l’espace
Définition 1 : Repère de l’espace
Un point O et trois vecteurs non coplanaires de l’espace →ı, → et →k définissent un repère de l’espace (O;~i,~j, ~k).
Définition 2 : Coordonnées d’un vecteur Pour tout vecteur ~u de l’espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tel que
→u =x→ı +y→ +z→k. Ce triplet constitue lescoordonnées du vecteur ~udans le repère (O;~i,~j, ~k).
Définition 3 : Coordonnées d’un point Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tel que
−−−−−→
OM =x→ı+y→+z→k. Ce triplet constitue les coordonnées du point M dans le repère(O;~i,~j, ~k).
Toutes les formules usuelles concernant les coordonnées cartésiennes dans le plan sont aussi valables dans l’espace, en ajoutant la composante z.
Proposition 1 : Milieu, vecteur, distance
Si A et B sont des points de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et(xB, yB, zB), alors
• les coordonnées du milieu du segment [AB] sontxA+x2 B,yA+y2 B,zA+z2 B;
• les coordonnées du vecteur −AB−−−→ sont(xB−xA, yB−yA, zB−zA);
• si le repère (O;~i,~j, ~k) est orthonormé, alors
AB=q(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2
Définition 4 : Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs →u et→v non nuls de l’espace sont colinéaires si ils ont la même direction.
Proposition 2 : Colinéarité et coordonnées Deux vecteurs →u(x, y, z) et →v(x′, y′, z′) sont colinéaires si et seulement il existe un réel k tel que →u =k→v.
Autrement dit, leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire, en suppo- sant que toutes ces coordonnées sont non nulles, il existe un réel ktel que
k= x x′ = y
y′ = z z′.
Illustration : Vecteurs colinéaires
O →ı
→
k
→
→u
→v
2. Représentations paramétriques de droites de l’espace
Définition 5 : Droite de l’espace
SoientA etB deux points distincts de l’espace. La droite (AB) est l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs −AM−−−−→ et−AB−−−→ soient colinéaires.
Autrement dit, un point M est sur la droite (AB) si et seulement si il existe un réel k, éventuellement nul, tel que −AM−−−−→=k−AB.−−−→
En traduisant cette égalité sur les coordonnées, on obtient le système :
xM = xA+k×a yM = yA+k×b zM = zA+k×c
(k∈R)
Définition 6 : Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
Le système d’équations précédent est appelé représentation paramétriquede la droite ∆.
(La variable kest souvent remplacé par la variable t).
Remarques :
• En choisissant un autre point et/ou un autre vecteur directeur, on obtient une autre représentation paramétrique de la même droite.
• Dans le cas où la droite est définie par deux points A etB, on obtient sa représentation paramétrique en choisissant le vecteur −AB−−→comme vecteur directeur.
Exercice résolu 1 :
Donner une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par A(2;−1; 0) et de vecteur directeur→u
5 4 7
.
Solution : Méthode 1 (Basée sur l’introduction du paragraphe) : SoitM(x;y;z) un point de l’espace.
M ∈∆ ⇔ il existe ttel que−AM−−−−→=t×→u
⇔
x−2 y+ 1
z
=t
5 4 7
⇔
x= 2 + 5t y=−1 + 4t z= 7t Méthode 2 (En appliquant la définition) : La représentation paramétrique de la droite est :
x = xA+x→
ut = 2 + 5t y = yA+y→
ut =−1 + 4t z = zA+z→
ut = 7t
(t∈R)
3. Positions relatives de droites de l’espace
Définition 7 : Coplanarité de deux droites Deux droites de l’espace sont
• coplanaires si elles sont dans le même plan ;
• non coplanaires si il n’existe aucun plan les contenant toutes les deux.
Proposition 3 : Positions relatives de deux droites Deux droites de l’espace sont
• confondues si elles sont coplanaires et ont 2 points communs ;
• sécantes si elles sont coplanaires et ont un unique point commun ;
• parallèles si elles sont coplanaires et n’ont aucun point commun ;
• non-coplanaires sinon.
Remarques :
• Attention ! ! Deux droites qui n’ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles.
Elles peuvent être simplement non coplanaires, comme les droites (AD) et (HG) sur le cube ci-dessous. Une définition équivalente pour "droites parallèles" est "droites qui ont la même direction.
• On peut ainsi déterminer en partie la position relative de deux droites en étudiant leur nombre de points communs.
Deux ou plus : les droites sont confondues.
Un seul :les droites sont sécantes.
Aucun : coplanaires et parallèles ounon coplanaires.
Illustration : Dans un cubeABCDEF GH.
Les droites (EH) et (BC) sont parallèles et donc
coplanaires.
A B
D C
E F
H G
Les droites (EF) et (F B) sont sécantes et donc
coplanaires.
A B
D C
E F
H G
Les droites (AD) et (GC) sont non coplanaires.
A B
D C
E F
H G
Proposition 4 :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Proposition 5 : Droites parallèles et vecteurs directeurs
Deux droites de l’espace sont parallèles, éventuellement confondues, si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
4. Orthogonalité de droites de l’espace
Définition 8 : Droites orthogonales
Deux droites de l’espace ∆ et ∆′ sont dites orthogonales si il existe une pa- rallèle à∆et une parallèle à ∆′ sécantes perpendiculairement.
Ci-contre, la droite (AD) est orthogonale à (CG) car (AD) est parallèle à (F G) et cette dernière est perpendiculaire à (CG).
Illustration :
A B
D C
E F
H G
Remarque : Dans l’espace, si deux droites ∆ sont orthogonales à une même troisième, cela n’implique pas qu’elles sont parallèles. Par exemple, sur le cube (GC) et (AD) sont orthogonales à (EF) mais ne sont pas parallèles.
Définition 9 : Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace
Soient→u et→v deux vecteurs de l’espace,A, B, C trois points tels que −AB−−−→=→u et −AC−−→=→v. Le produit scalaire de →u et →v est le nombre réel
→u ·→v =||→u|| × ||→v|| ×cos(−AB,−−−→ −AC).−−→
Théorème 1 : Produit scalaire nul de vecteurs non nuls
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls →u et →v est nul si, et seulement si, ces deux vecteurs forment un angle droit, c’est-à-dire si, et seulement si,
(→u ,→v) =π
2 +kπ où k∈Z.
Proposition 6 : Produit scalaire et projeté orthogonal
Soient→u et→v deux vecteurs de l’espace,A,B etC trois points tels que→u =−AB−−−→et→v =−AC.−−→ Alors, si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), on a
→u ·→v =−AB−−−→·−AH.−−−→
Théorème 2 : Produit scalaire et coordonnées
Dans un repère orthonormé de l’espace, le produit scalaire de deux vecteurs →u(x, y, z) et
→v(x′, y′, z′) est donné par la formule →u·→v =xx′+yy′+zz′.
Proposition 7 : Droites orthogonales et vecteurs directeurs
Deux droites de l’espace sont orthogonales, éventuellement perpendiculaires, si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
5. Positions relatives et équations paramétriques
ajouter cas droite orthogonales et tout regrouper en un seul exo
Connaissant une équation paramétrique de chacun des droites, pour déterminer leur intersection il faut chercher une valeur det et une valeur t′ vérifiant les trois équations. On conclut suivant le nombre de solutions du système.
Exercice résolu 2 :
On considère les droites ∆1, ∆2 et ∆3 d’équations paramétriques respectives :
∆1 :
x = 6 +t y = −1−t z = −5−t
∆2:
x = 4 + 2t y = 6−2t z = −1−2t
∆3 :
x = 1 + 2t y = 3 + 4t z = −6 + 6t
Déterminer la position relative des droites et les coordonnées de l’éventuel point d’intersection.
Solution :
Les droites ∆1 et ∆2 sont parallèles (les coordonnées des vecteurs directeurs 1
−1
!
−1 et 2
−2
!
−2 sont proportionnelles.
Les droites ∆1 et ∆3 ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires). On cherche s’il existe tett′ tels que
6 +t= 1 + 2t′
−1−t= 3 + 4t′
−5−t=−6 + 6t′
On exprimeten fonction det′ en utilisant la première ligne et on reporte dans les deuxièmes et troisièmes lignes.
t= 2t′−5
−1−(2t′−5) = 3 + 4t′
−5−(2t′−5) =−6 + 6t′ On résout chacun des deux équations
t= 2t′−5 t′ =−16 t′ = 78
Les valeurs étant différentes, le système n’a pas de solution. Les droites ne sont donc pas sécantes et pas coplanaires.
En opérant de même, on trouve que ∆2 et ∆3 sont sécantes, pour le paramètre t′ = 1. Les coordonnées du points d’intersection sont obtenus en faisantt′ = 1 dans l’équation de ∆3. On a A(3; 7; 0).
On peut vérifier le résultat. En faisantt=−12 dans l’équation de ∆2, on obtient bien la même solution.
Positions relatives et équations paramétriques
Proposition 8 : Droites orthogonales et vecteurs directeurs
Deux droites de l’espace sont orthogonales, éventuellement perpendiculaires, si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Exercice résolu 3 :
On considère les droites ∆4 et ∆5 d’équations paramétriques respectives :
∆1:
x = 2 +t y = −5−2t z = −4 + 3t
∆2 :
x = 4 + 5t y = 6 +t z = −1−t
Prouver que les droites sont orthogonales.faire exemple avec droite perpendicualaires et demander prouver orthogo puis perpend ?
Solution :
Les vecteurs directeurs respectifs de ∆1 et ∆2 sont−u→1
1
−2
!
3 et−u→2
5 1
!
−1. Le produit scalaire des ces deux vecteurs vaut 1×1−2×1−3×1 = 0. Le produit scalaire étant nul, les vecteurs directeurs sont orthogonaux donc les droites sont orthogonales.
