L38 [V2-VàC] – Orthogonalité

9

Orthogonalité

38

Leçon

Niveau Lycée

Prérequis vocabulaire sur les droites, produit scalaire, barycentre. Références [125], [126], [127]

38.1

Droites orthogonales ou perpendiculaires

Définition 38.1 — Droites orthogonales. On dit que deux droites sont orthogonales (ou perpendicu-laires) si elles sont sécantes et forment un angle droit.

90˚

FIGURE38.1 – Deux droites perpendiculaires

Notation. Soient (d1) et (d2) deux droites. Si (d1) et (d2) sont perpendiculaires alors on note (d1) ⊥ (d2).

Propriétés 38.2 1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont

pa-rallèles.

2. Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

38.2

Orthogonalité dans l’espace

Soit d et d0 _{deux droites de l’espace et A1et A2deux points de l’espace.}

1. d1 et d01 sont les parallèles à d et d0 passant par A1 et P1 est le plan déterminé par ces deux droites.

2. d2 et d02 sont les parallèles à d et d0 passant par A2 et P2 est le plan déterminé par ces deux droites.

On admet que d1et d01 sont perpendiculaires dans P1si et seulement si d2et d02 sont perpendiculaires dans P2.

90˚

90˚

FIGURE38.2 – Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire

à l’autre.

90˚

FIGURE38.3 – Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

d d0 P1 P2 d1 _d01 d2 _d02 A1 A2 FIGURE38.4 – d1 ⊥ d01et d2 ⊥ d02

En résumé : si en un point, les parallèles à d et d0_{sont perpendiculaires, alors en tout autre point} de l’espace, les parallèles à d et d0 _{seront perpendiculaires.}

On peut donc définir :

Définition 38.3 Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires. On note d ⊥ d0_.

R 38.4 L’adjectif « perpendiculaire » ne s’utilise que pour les droites orthogonales et sécantes (donc coplanaires).

Dans la suite de la section, on parlera, pour simplifier, de droites orthogonales qu’elles soient sécantes ou non.

Propriétés 38.5 1. Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est

or-thogonale à l’autre.

2. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

R 38.6 Attention ! Certaines règles vraies dans le plan ne sont pas vraies dans l’espace. Par exemple, dans le

plan, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles ; ce qui n’est pas vrai dans l’espace.

38.2.2 Droites orthogonales à un plan

Définition 38.7 Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. On note d ⊥ P .

Propriété 38.8 Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Propriétés 38.9 1. Il existe une unique droite passant par un point donné et orthogonale à un

plan donné.

2. Il existe un unique plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée.

Propriétés 38.10 1. Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est

ortho-gonale à l’autre.

2. Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles.

Propriétés 38.11 1. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est

ortho-gonale à l’autre.

2. Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.

R 38.12 La relation d’orthogonalité ne lie pas seulement une droite et un plan mais une famille de plan tous

parallèles entre eux à une famille de droites toutes parallèles entre elles. 38.2.3 Plans médiateurs

Définition 38.13 On appelle plan médiateur d’un segment[AB], le plan orthogonal à (AB) passant par le milieu I de[AB].

Propriété 38.14 _{L’ensemble des points équidistants de deux points A et B (A 6= B) est le plan}

R 38.15 Dans l’espace, le plan médiateur joue un rôle analogue à celui de la médiatrice dans le plan.

38.2.4 Projections orthogonales

Définition 38.16 — Projection orthogonale. Soit P un plan. La projection orthogonale sur P est la projection sur P parallèlement à une droite d orthogonale à P .

L’image M0_{d’un point M par la projection orthogonale sur P est appelée projection orthogonal} de M.

R 38.17

1. Pour tout point M et N de projetés orthogonaux M0_{et N}0_{sur un plan P , on a M}0_N0 _{≤ MN.} 2. Si trois points M, N et P sont alignés alors leurs projetés orthogonaux M0_{, N}0 _{et P}0 _{sur un plan P}

sont alignés.

38.3

Produit scalaire (en lien avec l’orthogonalité)

On munit l’espace d’un repère orthonormé(O, #»ı, #»,#» k).

Définition 38.18 — Produit scalaire. Soient #»u = (x, y, z) etu#»0 = (x0, y0, z0) deux vecteurs de l’es-pace. Le produit scalaire de #»u etu#»0vaut :

#»

u _·u#»0= xx0+ yy0+ zz0.

Propriétés 38.19 Quels que soient les vecteurs #»u, #»v, #»wet quel que soit le réel k, on a : 1. #»u _·#» v = #»v _·#» u 2. #»u · (#» v + #»w) = #»u ·#» v + #»u ·#» w 3. #»u · (k#» v) = k(#»u ·#» v).

R 38.20 Le produit scalaire de tout vecteur #»u avec le vecteur nul est le réel nul. Il se peut que le produit scalaire de deux vecteurs soit nul sans qu’aucun le soit.

Définition 38.21 — Orthogonalité. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si (et seulement si) leur pro-duit scalaire est nul.

38.3.2 Droites orthogonales

Une droite peut être définie par un de ses points et par un de ses vecteurs directeurs (un vecteur directeur est toujours non nul).

Si #»u est un vecteur directeur de la droite D, siu#»0 est un vecteur directeur de la droite D0, et si les deux vecteurs #»u etu#»0_{sont orthogonaux, alors tout vecteur directeur de D est orthogonal à tout vecteur} directeur de D0_.

Cela se justifie par la dernière propriété dans le paragraphe précédent. Si #»v est un autre vecteur directeur de la droite D, il est colinéaire au vecteur #»u : il existe donc un réel k tel que #»v = k #»u. De même, siv#»0 _{est un autre vecteur directeur de la droite D}0_{, il est colinéaire au vecteuru}#»0_{: il existe donc} un réel k0_{tel quev}#»0 _{= k}0_u#»0_.

Donc :

#»

puisque les deux vecteurs #»u etu#»0sont orthogonaux. Donc les deux vecteurs #»v etv#»0 le sont aussi.

Définition 38.22 Deux droites sont orthogonales si (et seulement si) un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre. Auquel cas tout vecteur directeur de l’une est orthogo-nal à tout vecteur directe de l’autre.

Deux droites orthogonales n’ont aucune raison d’être coplanaires, mais si elle le sont, elles se coupent alors en formant des angles droites : elles sont perpendiculaires.

Le terme « orthogonales » est donc plus général que le terme « perpendiculaire ».

38.3.3 Droite orthogonale à un plan

Un plan P peut être défini par un point A et deux vecteurs indépendants (non colinéaires) #»u et #»

v. L’ensemble(A, #»u ,#»v) est alors un repère dans ce plan. Si le vecteur #»n est orthogonal aux deux vecteurs #»u et #»v, il est orthogonal à tout vecteur du plan P. En effet, un tel vecteur peut s’écrire :

#» w = x#»u + y #»v , donc : #» n·#» w = x(#»n·#» u) + y(#»n·#» v) = 0 puisque #»n ·#» u = 0 et #»n ·#» v = 0.

Définition 38.23 — Vecteur normal. Un vecteur est normal ou orthogonal au plan s’il est orthogonal à deux vecteurs indépendants de ce plan. Il est alors orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Exemple 38.24 — Détermination de l’équation d’un plan. Soit un point A de coordonnées(α, β, γ)

relativement à un repère orthonormé de l’espace et soit #»n un vecteur de coordonnées(a, b, c) relati-vement à ce même repère. On cherche une équation du plan P passant par A et dont le vecteur #»nsoit un vecteur normal. Le point M de coordonnées(x, y, z) est un point du plan P si et seulement si les deux vecteurs #»netAM# »sont orthogonaux. Ce qui équivaut à :

a(x − α) + b(y − β) + c(z − γ) = 0 qui est de la forme :

ax+ by + cz + k = 0.

Réciproquement, toute équation de cette forme est celle d’un plan orthogonal au vecteur de

coor-données(a, b, c). 

Définition 38.25 — Droite orthogonale. On dit qu’une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est normal à ce plan.

Tout vecteur directeur #»u de cette droite est alors orthogonal à tout vecteur#»t du plan.

Il suffit pour cela qu’un vecteur directeur de la droite soit orthogonal à deux vecteurs non coli-néaires du plan.

Théorème 38.26 Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes

P

t u

FIGURE38.5 – Tout vecteur directeur u de cette droite est alors orthogonal à tout vecteur t du plan.

P

u

v w

FIGURE38.6 – Il suffit pour cela qu’un vecteur directeur de la droite soit orthogonal à deux vecteurs

non colinéaires du plan.

P

D’ A

B C

38.4

Applications

38.4.1 Théorème des trois perpendiculaires

Théorème 38.27 Soit une droite(AB) orthogonale en B à un plan P (B ∈ P) et soit une droite D0

du plan P. La droite du plan P passant par B est perpendiculaire à la droite D0_{la coupe en C.}

Dv

• Démonstration du théorème38.27 en utilisant le théorème38.26— La droite(AB) est orthogonale au plan P, donc elle est orthogonale à la droite D0 _{contenue dans ce plan.} La droite D0 _{est donc orthogonale à la droite(AB), mais aussi à la droite (BC), elle est} orthogonale à deux droites du plan (ABC), donc elle est orthogonale à ce plan. Par suite, elle est orthogonale à toutes les droites du plan(ABC), notamment à la droite (AC). Elle est également sécante à(AC), donc les deux droites D0_{et(AC) sont bien perpendiculaires. •} •Démonstration du théorème38.27en utilisant les vecteurs —Soit #»v un vecteur directeur

de la droite D0_.AB# »_{est un vecteur directeur de la droite(AB) qui est orthogonale au plan P :} donc ce vecteur est orthogonal à tout vecteur du plan P, en particulier au vecteur #»_{# »} v. Donc

AB·#»

v = 0.

La droite(BC) est perpendiculaire à la droite D0_{, donc les vecteursBC}# »_{et #»v sont} orthogo-naux :BC# »_·#»v = 0. Il en résulte que :

# »

AC·#»

v =AB# »·#»

v +BC# »· #»

v = 0.

Donc la droite(AC) est perpendiculaire à la droite D0_{. •} •Démonstration du théorème38.27en utilisant le théorème de Pythagore —Soit M un point de la droite D0 _{différent de C. Les triangles ABC, BCM et ABM sont des triangles} rectangles.

— ABC est un triangle rectangle en B puisque la droite(AB) est orthogonale au plan P donc orthogonale à toutes les droites de ce plan. Donc selon le théorème de Pythagore :

AC2= AB2+ BC2.

— BCM est un triangle rectangle en C puisque(BC) est perpendiculaire à la droite D0_ou (CM). Donc, on a de même :

# »

BM2=CM# »2+BC# »2.

— ABM est un triangle rectangle en B puisque(AB) est perpendiculaire à (BM). Donc :

AM2= AB2+ BM2.

Il en résulte que :

AM2= AB2+ BM2

= AB2_{+ BC}2_{+ CM}2 = AC2_{+ CM}2

Cette égalité prouve que le triangle ACM est rectangle en C, et donc que la droite(AC) est perpendiculaire à la droite_{(CM) ou D}0_.

• 38.4.2 Distance d’un point à un plan

On généralise un résultat connu concernant la distance d’un point à une droite (dans le plan) en dimension3 (dans l’espace. On a vu précédemment que l’équation cartésienne d’un plan relativement à un repère orthonormé est de la forme

ax+ by + cz + k = 0 où a, b et c sont les coordonnées d’un vecteur normal à ce plan.

P

A

H n

FIGURE38.8 – Distance d’un point à un plan

Soit donc P un plan d’équation

P : ax + by + cz + k = 0

Ade coordonnées(α, β, γ) un point quelconque de l’espace (situé ou non dans le plan P ). La droite passant par A et orthogonale à P coupe P en H de coordonnées(xH, yH, zH), et #»n un vecteur normal

à P de coordonnées a, b et c.

Le vecteurAH# »lui aussi orthogonal à P a donc pour coordonnés(λa, λb, λc). La distance du point Aau plan P est donc :

AH = |λ|pa2+ b2+ c2. Il faut donc déterminer λ.

Puisque H appartient au plan P, on a :

axH + byH+ czH + k = 0.

Le vecteurAH# »a pour coordonnées(xH − α, yH − β, zH − γ) qui sont égales à (λa, λb, λc. Donc :

xH = λa + α, yH = λb + β, zH = λc + γ.

En remplaçant dans l’équation axH + byH + czH + k = 0, on obtient :

a(λa + α) + b(λb + β) + c(λc + γ) + k = 0. D’où :

et donc

λ= −aα+ bβ + cγ + k a2+ b2+ c2 , le dénominateur n’étant pas nul puisque #»n ne l’est pas. Donc :

AH= |aα+ bβ + cγ + k| a2+ b2+ c2

p

a2+ b2+ c2 = |aα√+ bβ + cγ + k| a2+ b2+ c2 .

38.4.3 Démontrer l’orthogonalité d’une droite et d’un plan

Soit ABCD un tétraèdre régulier. Soit G le centre de gravité de la face ABC.

B C A D A0 C0 G

Démontrer que la droite(DG) est orthogonale au plan (ABC).

Dv

•Solution —Soit A0_{le milieu de[BC]. On peut écrire :} # »

GD_·BC# »= (GA# »0+A# »0D) ·BC# »=GA# »0_·BC# »+A# »0D_·BC.# »

Or, dans les triangles équilatéraux ABC et DBC, les médianes(GA0_{) et (DA}0_{) sont aussi} des hauteurs à(BC), d’où :

# »

GA0_·BC# »=A# »0D_·BC# »= 0

donc :GD# »_·BC# »= 0.

On note C0_{le milieu de[AB].} # »

GD_·BA# »= (GC# »0+C# »0D) ·BA# »=GC# »0_·BA# »+C# »0D_·BA# »= 0.

Or les médianes(GC0_{) et (C}0_{D) sont aussi des hauteurs donc :GC}# »0_·BA# »_{= 0 etC}# »0_D·BA# »_{= 0} et il vientGD# »·BA# »= 0.

La droite(DG) est orthogonale à deux droites sécantes (BC) et (BA) du plan (ABC), ainsi

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[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/ lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e ₃e_{, Playermath. URL : http://www.}

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[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

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[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

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[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

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[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re_/4e _{- Guide méthodologique. De} Boeck, 2000.

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[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x. maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01. [124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf

[126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux. net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf