PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ

Année 2016/2017

Chapitre 9 :

PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ

1 Formes bilinéaires 2

1.1 Définition . . . 2 1.2 Représentation matricielle . . . 2 1.3 Formes bilinéaires symétriques, positives, définies-positives . . . 3

2 Produits scalaires 4

2.1 Définition . . . 4 2.2 Exemples usuels de produits scalaires . . . 4 2.3 Norme euclidienne associée à un produit scalaire . . . 5

3 Orthogonalité 6

3.1 Vecteurs orthogonaux . . . 6 3.2 Orthogonal d’un sous-espace . . . 7 3.3 Sous-espaces orthogonaux . . . 8

Dans tout ce chapitre, E désigne un espace vectoriel réel (qu’on ne suppose pas nécessairement de dimen- sion finie, sauf mention expresse du contraire).

1. Formes bilinéaires

1.1 Définition

Définition 1.1 On appelleforme bilinéairesurEtoute applicationϕ:E×E−→Rtelle que : (i) pour tout y ∈E, l’application x ∈E7−→ϕ(x,y)est linéaire :

∀(x,x⁰)∈E², ∀λ∈R, ϕ(x+λx⁰,y) =ϕ(x,y) +λϕ(x⁰,y) ; (ii) pour tout x ∈E, l’application y ∈E7−→ϕ(x,y)est linéaire :

∀(y,y⁰)∈E², ∀λ∈R, ϕ(x,y+λy⁰) = ϕ(x,y) +λϕ(x,y⁰).

Remarque 1.2 On prendra soin de ne pas confondre labilinéarité avec lalinéarité. On pourra par exemple comparer les développements de ϕ(λx, λy) ouϕ(x +x⁰,y +y⁰) pour λ ∈ R, x,x⁰,y,y⁰ ∈ E lorsque ϕ:E×E−→Rest linéaire puis bilinéaire.

Exemples 1.3 Les applications suivantes sont des formes bilinéaires : (i) l’application(x,y)7−→xysurR;

(ii) l’application (x¹,y¹),(x²,y²)

7−→x¹y²−x²y¹surR²; (iii) l’application

(x¹, . . . ,xn),(y¹, . . . ,yn) 7−→

n

P

i=1

xiyi

surRⁿ;

(iv) l’application(X,Y)7−→cov(X,Y)sur l’espace vectorielL²_d(Ω)des variables aléatoires réelles discrètes (sur un espace propabilisé(Ω,A,P)donné) admettant une variance ;

(v) l’application

(P,Q)7−→

ˆ ¹

0

P(t)Q(t)dt surRn[X];

(vi) pour A∈M_n(R)donnée, l’application(X,Y)7−→^tXAY sur l’espace vectorielM_n,¹(R). Lemme 1.4 Soitϕune forme bilinéaire surE. On a :

(i) pour tout x∈E,ϕ(x,0) =ϕ(0,x) = 0;

(ii) pour tous x¹, . . . ,xr,y¹, . . . ,ys ∈Eetλ1, . . . , λ_r, µ1, . . . , µ_s ∈R, ϕ ^r

P

i=1

λ_ixi,

s

P

j=1

µ_jyj

= P

16i6r 16j6s

λ_iµ_jϕ(xi,yj).

1.2 Représentation matricielle

On suppose dans cette section que l’espace vectoriel E est de dimension finien > 1. On se donne une forme bilinéaireϕsur E ainsi qu’une basee= (e¹, . . . ,en)de E.

Définition 1.5 On appellematrice représentativedeϕdans la base e, et l’on note Mat(ϕ,e), la matrice A= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R)de coefficient générique :

ai,j =ϕ(ei,ej), 16i,j 6n.

Exemples 1.6 Déterminer les matrices représentant les formes bilinéaires suivantes dans la base indiquée : (i) la forme bilinéaire(x,y)7−→xysurRen base canonique ;

(ii) la forme bilinéaire (x¹,y¹),(x²,y²)

7−→x¹y²−x²y¹surR²en base canonique ;

(iii) la forme bilinéaire(P,Q)7−→´1 0

P(t)Q(t)dtsurRn[X]en base canonique ; (iv) la forme bilinéaire(x,y)7−→P

ixiyisurRⁿen base canonique(ε1, . . . , ε_n)puis dans la base(e¹, . . . ,en) oùei =ε¹+· · ·+εi pour touti∈J1,nK.

Théorème 1.7 La matriceAreprésentative deϕen base e est caractériséepar la condition suivante : pour tous vecteurs x,y ∈Ereprésentés en base e par les matrices colonnesXetY, on a :

ϕ(x,y) = ^tXAY.

Remarque 1.8 On déduit du théorème précédent que les formes bilinéaires sur E forment un espace vec- toriel isomorphe àM_n(R)par l’applicationϕ7−→Mat(ϕ,e), qui est donc de dimensionn².

Remarque 1.9 Étant donnée une matrice A ∈ Mn(R), l’applicationϕA : (X,Y) 7−→ ^tXAY est une forme bilinéaire sur Mn,1(R)représentée en base canonique par la matrice A. On l’appelle la forme bilinéaire canoniquement associéeà A.

Proposition 1.10 (Rappels sur la transposition) L’applicationMn,p(R) −→ Mn,p(R),M 7−→ ^tMest linéaire et vérifie les propriétés suivantes :

(i) pour tousM∈Mn,p(R)etN∈Mp,q(R),^t(MN) =^tN^tM;

(ii) pour toute matriceP∈Mn(R)inversible,^tPest inversible et(^tP)⁻¹=^t(P⁻¹).

Théorème 1.11 (Formule de changement de base) Si e et e⁰sont deux bases deE,Pla matrice de passage de e à e⁰, alors les matricesAetA⁰ représentant respectivementϕen bases e et e⁰ sont liées par la formule :

A⁰ =^tPAP.

1.3 Formes bilinéaires symétriques, positives, définies-positives Définition 1.12 On dit qu’une forme bilinéaireϕsurEest :

• symétriquesi : pour tous x,y ∈E,ϕ(y,x) = ϕ(x,y);

• positivesi : pour tout x ∈E,ϕ(x,x)>0;

• définie-positivesi : pour tout x ∈E\ {0},ϕ(x,x)>0.

Remarque 1.13 On notera qu’une forme bilinéaire définie-positive est automatiquement positive. D’ailleurs on justifie souvent qu’une forme bilinéaireϕest définie-positive en montrant d’abord queϕest positive, i.e. queϕ(x,x)>0 pour toutx ∈E, puis en vérifiant queϕ(x,x) =0=⇒x =0.

Exemples 1.14 (i) La forme bilinéaire(x,y)7−→xysurRest symétrique définie-positive.

(ii) La forme bilinéaire (x¹,y¹),(x²,y²)

7−→ x¹y²−x²y¹surR²n’est pas symétrique, est positive mais pas définie-positive.

(iii) La forme bilinéaire(x,y)7−→P

ixiyi surRⁿ est symétrique définie-positive.

(iv) La forme bilinéaire(P,Q)7−→´¹

0

P(t)Q(t)dtsurRⁿ[X]est symétrique définie-positive.

(v) La forme bilinéaire cov surL²_d(Ω)est symétrique positive mais pas définie-positive.

Proposition 1.15 On suppose l’espace vectorielEde dimension finie. Soitϕune forme bilinéaire surE. Les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) la forme bilinéaireϕest symétrique ;

(ii) la forme bilinéaireϕest représentée par une matrice symétrique dans une base deE; (iii) la forme bilinéaireϕest représentée par une matrice symétrique dans toute base deE.

Remarque 1.16 Une matrice A ∈ Mn(R)symétrique est dite positive (resp. définie-positive) si la forme bilinéaire surMn,1(R)qui lui est canoniquement associée est positive (resp. définie-positive).

Proposition 1.17 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soitϕune forme bilinéaire symétrique positive surE. On a :

∀x,y ∈E, |ϕ(x,y)|6p

ϕ(x,x)p

ϕ(y,y).

Si de plusϕest définie-positive, alors on a égalité dans l’inégalité précédente si, et seulement si, la famille (x,y)est liée.

Exemple 1.18 Pour deux variables aléatoires réelles discrètes X et Y admettant une variance, on a :

|cov(X,Y)|6σ(X)σ(Y).

2. Produits scalaires

2.1 Définition

Définition 2.1 On appelleproduit scalairesurEtoute forme bilinéaire symétrique définie-positive surE, i.e. toute applicationϕ:E×E−→Rvérifiant les propriétés :

(i) pour tous x,x⁰,y ∈Eetλ∈R,ϕ(x+λx⁰,y) =ϕ(x,y) +λϕ(x⁰,y); (ii) pour toux x,y,y⁰ ∈Eetλ∈R,ϕ(x,y+λy⁰) = ϕ(x,y) +λϕ(x,y⁰); (iii) pour tous x,y ∈E,ϕ(y,x) =ϕ(x,y);

(iv) pour tout x ∈E,ϕ(x,x)>0;

(v) pour tout x ∈E,ϕ(x,x) =0 =⇒x =0.

Remarque 2.2 Les conditions de la définition précédente sont redondantes : la propriété (ii) découle en effet des propriétés (i) et (iii). En pratique, on pourra donc se contenter de vérifier la linéarité à gauche, la symétrie puis de signaler que ces propriétés entraînent la linéarité à droite.

Remarque 2.3 Le produit scalaireϕ(x,y)de deux vecteursx,y ∈E est souvent notéx·y,(x|y),hx,yiou hx|yi.

Remarque 2.4 En tant que forme bilinéaire symétrique, un produit scalaire est représenté dans chaque base de E par une matrice symétrique.

2.2 Exemples usuels de produits scalaires

Proposition 2.5 L’application qui, à un couple(x,y)d’éléments x = (x¹, . . . ,xn)et y = (y¹, . . . ,yn)de Rⁿ, associe

hx,yi=

n

P

i=1

xiyi =x¹y¹+· · ·+xnyn

est un produit scalaire surRⁿ, appelé leproduit scalaire canoniquesurRⁿ.

Exemple 2.6 • Plus généralement, si E est unR-espace vectoriel de dimension finienrapporté à une base e, alors l’application qui à un couple(x,y)de vecteurs de E de coordonnées respectives(x¹, . . . ,xn)et (y¹, . . . ,yn)dans la basee, associe

hx,yi=

n

P

i=1

xiyi

est un produit scalaire sur E.

Si l’espace E admet une base canonique, le produit scalaire qui lui est ainsi associé est lui aussi qualifié de canonique.

• Ainsi, l’application qui, à un couple(X,Y)de matrices colonnes X=^t x¹ · · · xn

et Y=^t y¹ · · · yn

deMn,1(R), associe

hX,Yi=^tXY=

n

P

i=1

xiyi

est un produit scalaire surMn,1(R): le produit scalaire canonique surMn,1(R).

Exemple 2.7 Montrer que l’application

(A,B)7−→ hA,Bi=tr(^tAB) est un produit scalaire surMn(R).

Proposition 2.8 Soient a<b deux réels.

L’application

(f,g)7−→ hf,gi= ˆ b

a

f(t)g(t)dt

est un produit scalaire sur l’espace vectorielC([a,b],R)des fonctions réelles continues sur le segment[a,b].

On parle du produit scalaire usuel surC([a,b],R).

2.3 Norme euclidienne associée à un produit scalaire

Dans toute la section, on suppose l’espace vectoriel E muni d’un produit scalaireh·,·i.

Définition 2.9 On appellenorme euclidienneassocié au produit scalaireh·,·il’applicationk·k:E−→R⁺ définie par :

∀x∈E, kxk=p hx,xi.

Remarque 2.10 La norme d’un vecteur de E représente salongueur.

Il existe un autre point de vue sur les éléments de E, que l’on peut considérer comme des points. La distance d(x,y)entre deux pointsxety de E sera alors la norme du vecteurxy# — = y−x:d(x,y) = ky−xk. On définit ainsi une fonctiondistance euclidienned :E×E−→R+par :

∀(x,y)∈E×E, d(x,y) = ky−xk.

Exemples 2.11 ^• Les normes euclidiennes associées aux produits scalaires canoniques sur les espacesRⁿ, Mn,1(R)etMn(R)sont données par :

x = (x¹, . . . ,xn)7−→

s n

P

i=1

x_i² X=





 x¹

... xn





7−→√

tXX=

s n

P

i=1

x_i²

et A = (ai,j)¹_6i,j6n 7−→

q

tr(^tAA) =r P

16i,j6n

a²_i,j.

• La norme euclidienne associée au produit scalaire usuel sur l’espaceC([a,b],R)(a<bréels) est donnée par :

f 7−→

sˆ _b

a

f(t)²dt.

Proposition 2.12 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tous x,y ∈E, on a :

|hx,yi|6kxk kyk avec égalité si, et seulement si, la famille(x,y)est liée.

Exemples 2.13 Écrire l’inégalité de Cauchy-Schwarz dansRⁿetC([a,b],R)munis de leur produit scalaire canonique ou usuel.

Proposition 2.14 La norme vérifie les propriétés suivantes :

â séparation : pour tout x ∈E,kxk=0⇐⇒x=0;

â homogénéité : pour tousλ∈Ret x ∈E,kλxk=|λ| kxk;

â inégalité triangulaire : pour tous x,y ∈E,kx+yk6kxk+kyk.

Remarque 2.15 La relation

∀(x,y)∈E², kx+yk²=hx+y,x+yi=hx,xi+2hx,yi+hy,yi=kxk²+2hx,yi+kyk² est souvent utile en pratique ; elle permet par exemple de démontrer les identités de polarisation et du parallélogramme qui font l’objet de la proposition suivante.

Plus généralement, pour une famille(x¹, . . . ,xr)de vecteurs de E, on a :

r

P

i=1

xi

2

= P

16i,j6r

hx_i,xji=

r

P

i=1

kx_ik²+ P

16i6=j6r

hx_i,xji=

r

P

i=1

kx_ik²+2 P

16i<j6r

hx_i,xji. L’identité suivante peut également être utile :

∀(x,y)∈E², kyk²− kxk²=hy−x,y+xi. Proposition 2.16 Pour tous x,y ∈E, on a les formules :

hx,yi= 1 2

kx+yk²− kxk²− kyk²

(2.1) hx,yi= 1

2 kxk²+kyk²− kx−yk²

(2.2) hx,yi= 1

4

kx+yk²− kx−yk²

(2.3) kx+yk²+kx−yk²=2 kxk²+kyk²

. (2.4)

Remarque 2.17 ^• Les formules (2.1), (2.2) et (2.3) sont appeléesidentités de polarisation; elles expriment le produit scalaire de deux vecteursxetyà partir de la norme de vecteurs construits surxety.

• Si A,B,C sont trois points de E, alors la formule (2.1) appliquée aux vecteursx= # —

AC ety= # —

CB permet de retrouver la formule d’Al-Kashi :

AB² =AC²+CB²+2 # — AC

# — CB

=AC²+CB²−2AC·CB·cos# — CA,# —

CB .

• La formule (2.4) est connue sous le nom d’identité du parallélogramme : étant donnés quatre points coplanaires A,B,C,D de E formant un parallélogramme, la somme des carrés des quatre côtés du pa- rallélogramme ABCD est égale à la somme des carrés des deux diagonales :

AB²+BC²+CD²+DA² =AC²+BD².

On la connaît également sous le nom deformule de la médiane: étant donnés trois points A,B,C de E et I milieu du segment BC,

AB²+AC² =2AI²+BC² 2 .

Remarque 2.18 Il existe des normes, i.e. des applications N : E −→ R+ vérifiant les conditions de sépa- ration, homogénéité et inégalité triangulaire mises en évidence dans la proposition 2.14, qui ne sont pas définies par un produit scalaire. Elles ne vérifient pas l’identité du parallélogramme.

3. Orthogonalité

Dans tout ce paragraphe, on suppose l’espace vectoriel E muni d’un produit scalaireh·,·iet on notek·kla norme euclidienne associée.

3.1 Vecteurs orthogonaux

Définition 3.1 _• On dit que deux vecteurs x et y deEsontorthogonaux, et l’on note x ⊥y, sihx,yi=0.

• Une famille(x¹, . . . ,xr)de vecteurs deEest diteorthogonalesi les vecteurs de cette famille sont deux-à-

deux orthogonaux :

∀(i,j)∈J1,rK

2, i6=j =⇒ hx_i,xji=0. Exemples 3.2 (i) Tout vecteur de E est orthogonal au vecteur nul.

(ii) DansR⁴muni de son produit scalaire canonique, les vecteurs(1,2,3,4)et(−4,−3,2,1)sont ortho- gonaux.

(iii) DansR²[X], les vecteurs X et X²−1 sont orthogonaux pour le produit scalaire canonique mais pas pour le produit scalairehP,Qi=´¹

0

P(t)Q(t)dt.

Remarque 3.3 En s’appuyant sur le produit scalaire, on peut plus généralement introduire une notion d’angle non orienté entre deux vecteursx etynon nuls de E ; en effet, puisque

hx,yi kxk kyk

61

d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on peut définir l’écart angulaireentre les vecteurs xety comme l’unique réelθ∈ [0, π]tel que

cosθ = hx,yi kxk kyk. La condition d’orthogonalité entrexetysignifie alors queθ =π/2.

Proposition 3.4 Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls deEest libre.

Proposition 3.5 (Théorème de Pythagore) (i) Deux vecteurs x et y deE sont orthogonaux si, et seule- ment si,

kx+yk² =kxk²+kyk².

(ii) Plus généralement, si une famille(x¹, . . . ,xr)de vecteurs deEest orthogonale, alors on a :

r

P

i=1

xi

2

=

r

P

i=1

kxik².

La réciproque est fausse dès que r >3.

Définition 3.6 _• Un vecteur x deEest ditnorméouunitairesikxk=1.

• Une famille(x¹, . . . ,xr)de vecteurs deEest diteorthonormaleouorthonorméesi elle est orthogonale et formée de vecteurs unitaires deE:

∀(i,j)∈J1,rK

2, hx_i,xji=δ_i,j =

1 si i=j 0 si i6=j . Remarque 3.7 D’après la proposition 3.4, toute famille orthonormale de E est libre.

En particulier, dans un espace vectoriel de dimensionn, toute famille orthonormale formée denvecteurs de E est une base de E, appeléebase orthonormalede E.

Exemples 3.8 La base canonique deRⁿen est une base orthonormale pour le produit scalaire canonique.

En particulier, la famille (1,0),(0,1)

est une base orthonormale deR². Pourθ ∈ R, les vecteurs~uθ = (cosθ,sinθ)et~vθ =~uθ+π/2 = (−sinθ,cosθ)forment également une base orthonormale de R². Repré- senter ces vecteurs sur une figure.

3.2 Orthogonal d’un sous-espace

Définition 3.9 SoitFun sous-espace vectoriel deE.

• On dit qu’un vecteur x deEest orthogonal àF, et on note x ⊥F, s’il est orthogonal à tout vecteur deF, i.e.

si pour tout y∈F,hx,yi=0.

• On appelleorthogonaldeF, et on noteF^⊥, l’ensemble des vecteurs deEqui sont orthogonaux àF: F^⊥ ={x ∈E:x ⊥F}={x ∈E:∀y ∈F,hx,yi=0}.

Exemple 3.10 DansR³muni de son produit scalaire canonique, le vecteur(1,1,1)est orthogonal au plan d’équationx+y+z=0.

Lemme 3.11 Soit x un vecteur deE.

Si y¹, . . . ,yr sont des vecteurs deEorthogonaux à x, alors toute combinaison linéaire de y¹, . . . ,yr est encore orthogonale à x.

Remarque 3.12 Pourx ∈ E donné, l’applicationφ_x : y ∈ E 7−→ hx,yiest une forme linéaire sur E. Son noyau Kerφx est le sous-espace formé des vecteurs de E qui sont orthogonaux àx.

Proposition 3.13 (i) L’orthogonalF^⊥d’un sous-espace vectorielFdeEest lui-même un sous-espace vectoriel deE.

(ii) Tous les vecteurs deEsont orthogonaux au vecteur nul :{0}^⊥=E. (iii) Seul le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs deE:E^⊥ ={0}.

Proposition 3.14 Soit Fun sous-espace vectoriel deE et(e¹, . . . ,er)une famille génératrice (par exemple une base) deF.

Un vecteur deEest orthogonal àFsi, et seulement si, il est orthogonal aux vecteurs e¹, . . . ,er.

Exemple 3.15 Dans R⁵muni de son produit scalaire canonique, déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs(1,0,−1,0,1)et(0,1,0,−2,0).

Proposition 3.16 SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. (i) SiF⊂G, alorsG^⊥⊂F^⊥.

(ii) Les sous-espacesFetF^⊥sont en somme directe :F∩F^⊥ ={0}.

(iii) On a :F⊂F^⊥⊥.

Remarque 3.17 Étant donné un sous-espace vectoriel F de E, la somme F+F^⊥ est directe d’après la pro- position précédente. On verra plus loin que lorsque E est de dimension finie, cette somme est égale à E, ce qui signifie que F^⊥est un supplémentaire de F. Il n’en est rien en dimension infinie (cf. TD).

3.3 Sous-espaces orthogonaux

Définition 3.18 On dit que deux sous-espaces vectorielsFetGdeEsontorthogonaux, et l’on noteF⊥G, si, pour tout(x,y)∈F×G,hx,yi=0.

Exemple 3.19 Dans l’espace vectorielC([−1,1],R)muni de son produit scalaire usuel, les sous-espaces F des fonctions paires et G des fonctions impaires sont orthogonaux.

Remarque 3.20 L’assertion F ⊥ G signifie que tout vecteur de F est orthogonal à G, ce qui équivaut à l’inclusion F⊂G^⊥. Bien sûr par symétrie cette propriété peut aussi s’exprimer sous la forme G⊂F^⊥. Proposition 3.21 SoientFetGdeux sous-espaces de Eet(u¹, . . . ,ur),(v¹, . . . ,vs)des familles respective- ment génératrices (par exemple des bases) deFetG.

Les sous-espacesFetGsont orthogonaux si, et seulement si :

∀(i,j)∈J1,rK×J1,sK, hui,vji=0.

Exemple 3.22 Dans l’espace vectorielC([0,2π],R)muni de son produit scalaire usuel, les sous-espaces F engendré par les fonctionsx 7−→ cos(kx), 0 6 k 6 n, et G engendré par les fonctionsx 7−→ sin(kx), 06k6n, sont orthogonaux.

Proposition-Définition 3.23 La somme Fd’une famille finie(F₁, . . . ,F_r)de sous-espaces vectoriels deE deux-à-deux orthogonaux est directe. On l’appelle lasomme directe orthogonaledes sous-espacesF₁, . . . ,F_r,

et on la note

F=

⊥

M

16i6r

F_i.

Remarque 3.24 Sous les hypothèses de la proposition précédente : F=

⊥

M

16i6r

F_i, (3.1)

alors en réunissant des bases orthonormales de chacun des sous-espaces F₁, . . . ,F_r, on obtient une base orthonormale de F, dite adaptée à la décomposition (3.1).