��� FORMES QUADRATIQUES SUR UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE. ORTHOGONALITÉ, ISOTROPIE.
APPLICATIONS.
Eest unK-espace vectoriel de dimension finien, oùKest un corps de caractéristique di�érente de2.
I. Généralités sur les formes quadratiques
[Rom��, Ch��, p���] [De��, ChI–IV, p�]
I. A. Formes bilinéaires et formes quadratiques
Forme bilinéaire (symétrique), matrice d’une forme bilinéaire dans une base, expression en pro- duit matriciel
Forme quadratique, forme polaire associée. Matrice d’une forme quadratique, expression en produit matriciel
Exemples : polynômes homogènes de degré2, exemple deM ‘≠æTr(M2)surMn(R).
En fait si on fixe une base,qest un polynôme homogène de degré2explicité par la matrice de qdans la base
Exemples
P�����������. Soitqune forme quadratique. L’ensemble des matrices représentantqdans des bases deEest exactement l’une des orbites de l’action par congruence surSn(K):
GLn(K)◊Sn(K) ≠æ Sn(K) (P, S) ‘≠æ P SP€
D����������. [������������]
On définit le discriminant deSœSn(K)pardet(S)œKú/(Kú)2siSest inversible,0sinon.
P�����������. Deux matrices congruentes ont même discriminant. Ainsi on peut donc dé- finir le discriminant d’une forme quadratique.
I. B. Objets associés aux formes quadratiques
Vecteurs orthogonaux, propriétés, noyau d’une forme quadratique, lien avec le noyau de la ma- trice de la forme quadratique, rang, forme dégénérée
Vecteurs isotropes, cône isotrope, orthogonal Exemples
Théorème d’existence d’une base formée de vecteurs isotropes sous conditions
II. Réduction des formes quadratiques
[Rom��, Ch��, p���] [De��, ChV.�, p��] [CG��, ChV.D, p��]
T��������. [��������� ��G����]
Pour toute forme quadratique réelleqsurE, il existe un entierr,⁄1, . . . ,⁄rœRúet¸1, . . . ,¸r
des formes linéaires indépendantes tels queq(x) =qr i=1⁄i¸i. C����������. La forme polaire associée àqest alorsÏ(x, y) =qr
i=1⁄i¸i(x)¸i(y).
E�������. q(x, y, z) =≠x2≠y2≠z2+2(xy+xz+yz) =≠(x≠y≠z)2+(y+z)2+(y≠z)2
C����������. Il existe une base orthogonale pourq. La matrice deqdans cette base est alorsdiag(⁄1, . . . ,⁄n)où⁄i = 0pouri > r. En particulierr= rg(q)etker(q) =flri=1ker¸i. Regardons maintenant plus en détail le casK=R.
C����������. Notonss= card({i|⁄i>0})ett= card({i|⁄i<0}). Alors la matrice de qdans une certaine base estdiag(Is,≠It,0n≠(s+t))).
Forme (définie) positive, inégalité deC�����-S������pour une forme quadratique positive P�����������. [��� �’������� ��S��������]
• settsont uniques (ne dépendent par de la décomposition deG����choisie) et détermi- nés par :
s= max{dim(F)|F œP} t= max{dim(F)|F œN }
oùP(resp.N) désigne l’ensemble des sous-espaces deRnsur lesquels la restriction de qest définie positive (resp. définie négative). De plusr=s+t.
• Soit(ei)1ÆiÆn une base deRn orthogonale pourq. Alorssest le nombre de vecteurs (ei)1ÆiÆntels queq(ei)>0ettest le nombre de vecteurs(ei)1ÆiÆntels queq(ei)<0.
D�����������. (s, t)s’appelle la signature deq.
E��������. La signature deM ‘≠æTr(M2)est(n(n+ 1)/2, n(n≠1)/2).
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Agrégation – Leçons ���– Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
A������������. [����� ��H�����]
SoitP œ R[X]de degrénetx1, . . . , xtses racines distinctes, de multiplicitém1, . . . , mt. On définitsk=qt
¸=1m¸xk¸pourkœNpuis on pose
’(X0, . . . , Xn≠1)œCn, s(X1, . . . , Xn) = ÿ
0Æi,jÆn≠1
si+jXiXj
AlorssR(la restriction desàRn) est une forme quadratique surRn, de signature(p, q)où p+q=tetp≠qest le nombre de racines réelles deP.
III. Classification des formes quadratiques
[Rom��, Ch��, p���] [CG��, ChV.B, p���] [De��, ChV/VI, p��/���]
R���������. Classifier les formes quadratiques revient à chercher les orbites l’action par congruence l’action.
Soitqune forme quadratique surEde rangr.
III. A. Sur C
T���������. [�������������� ���K=C(��K�������������� ����)]
La matrice deqdans une certaine base estJr = diag(Ir,0n≠r). Dans cette base on a donc q(x1, . . . , xn) =x21+· · ·+x2r.
C�����������. Deux formes quadratiques sur unC-espace vectoriel sont congruentes si et seulement si elles ont même rang.
A������������. Il y an+ 1classes de congruences de formes quadratiques surE.
III. B. Sur R
Notons(s, t)la signature deq.
T���������. [�������������� ���K=R]
La matrice deqdans une certaine base est A Is
≠It
0n≠r
B
. Dans cette base on a donc q(x1, . . . , xn) =x21+· · ·+x2s≠x2s+1≠· · ·≠x2r.
C�����������. Deux formes quadratiques sur unR-espace vectoriel sont congruentes si et seulement si elles ont même signature.
A������������. Il y ar+ 1classes de congruences de formes quadratiques de rangrsurE.
III. C. Sur F
qOn supposeK=Fqoùq=p¸pour unppremier impair et¸œ Nú. On noteF2q =)
x2|xœFq*
etFúq2=F2qflFúq.
P������������. Fúq2est un sous-groupe d’indice2deFúq.
T���������. [�������������� ���K=Fq] Soit–œFúq \Fúq2.
La matrice deqdans une certaine base est Q a Ir≠1
” 0n≠r
R
boù”œ{1,–}.
A������������. Il y a2n+ 1classes de congruences de formes quadratiques surE.
T���������. [��� �� ����������� �����������]
Soientp”=qdes nombres premiers impairs. Alors : 3p
q 4 3q
p
4= (≠1)(p≠1)(q4 ≠1) où 3x
p 4=
Y] [
1 sixest un carré dansFúp
0 six= 0
≠1 sinon
E��������. !26
307"
=! 2
307" !13
307"
=≠(≠1)13≠12 307≠12 !307
13"
=≠!8
13"
=≠!2
13" !4
13"
=≠1
Ainsi26n’est pas un carré modulo307.
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������������
Autres références : [Gou��,Per��].
Attention à la caractéristique2qui est un cas particulier, pour lequel les résultats sont rapide- ment faux
���������
Q À quoi servent les formes deH�����?
R Cela permet de calculer la forme deG����sans connaître les racines.
Q SoitAœMn(K)etq(x) =X€AX. Trouver la forme polaire associée.
R SoitÏ(X, Y) =X€AY. On aA= A+A2 €+A≠2A€. On vérifie que„(X, Y) =X€(A+A2 €)Y fonctionne.
Q La matrice d’une forme quadratique correspond-elle à la matrice d’une autre application?
R On introduit les fonctionsÏg:E≠æEú, x‘≠æÏ(x, .)etÏd :E≠æEú, x‘≠æÏ(., x).A est alors la matrice de ces applications dans la base duale de la base associée à la matrice A.
Q det :M2(K)≠æKest-elle une forme quadratique? Quel est son rang? Son discriminant?
Quelle est la signature siK=R? Sur un corps fini, à quelle matrice est-elle congruente?
R C’est un polynôme homogène de degré2en les coordonnées des matrices, donc c’est une forme quadratique.
Pour trouver son rang, soit on utilise la forme bilinéaire associée, soit on calcule sa réduction deG����. On a :
det =E1E4≠E2E3= 1
4((E1+E4)2≠(E1≠E4)2≠(E2+E3)2+ (E2≠E3)2) Doncrg(det) = 4.
Par ailleurs, la matrice associée dans une bonne base est : Q
cc a
0 0 0 1/2
0 0 ≠1/2 0
0 ≠1/2 0 0
1/2 0 0 0
R dd b
On obtient le (un) discriminant1/16, donc1. Une autre manière de l’obtenir est d’utiliser la base de la réduction deG����.
SiK=R, on aurait pour signature(2,2). SurFq, elle est congruente à l’identité.
Q Questions sur le plan hyperbolique.
Q Exemple concret de hessienne.
�������������
[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.
Calvage et Mounet,����.
[De��] C.D�S������P�����:Invitation aux formes quadratiques. Calvage et Mounet,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.
[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
����.
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