Grille de correction DS 6

1S,NOM: Grille de correction DS 6 _{Note : /}

1S,NOM: Grille de correction DS 6 _{Note : /}

E 1 Réponse Points Eus

1. f(−2) = 3 ; f(−1) = 2 etf(1) = 3 1

2. Les nombres dérivés sont les coefficients directeurs des tangentes : f^′(−2) = 0 ;f^′(−1) =−³2 etf^′(1) = ⁹₂

2

3. La tangente a une équation de la formey = ⁹₂x+b, on trouveb en utilisant les coordonnées deC(1; 3). Finalement une équation est y= ⁹₂x−³2

0.5

Total −→ 3.5 points

E 2 Réponse Points Eus

1. f(0) =−4 donc (0;−4) =C ∩(Oy) .f(x) = 0 conduit à résoudre x² + 2x − 4 = 0 ; ∆ = 20 et x1 = −1 + √

5 puis x2 = −1 − √ 5.

C ∩(Ox) =

(−1 +√

5; 0),(−1−√ 5,0)

1.5

2. f(0 +h)−f(0)

h =h²+ 2h−4 + 4

h =h+ 2 et lim

h→0h+ 2 = 2 donc f est dérivable en 0 etf^′(0) = 2.

1

3. f(−1 +h)−f(−1)

h = (−1 +h)²+ 2(−1 +h)−4 + 5

h = het lim

h→0h = 0 donc f est dérivable en−1 etf^′(−1) = 0.

1

4.a

bc bc

bc

1

1 T0

T₋3

T₋1

3 tangentes sont à tracer :

• f^′(−1) = 0

⇒T₋1:y = 0(x+ 1) +f(−1)

⇔T₋1:y =−5

• f^′(0) = 2

⇒T0:y= 2(x−0) +f(0)

⇔T0:y= 2x−4

• f^′(−3) =−4

⇒T₋3:y =−4(x+3)+f(−3)

⇔T₋3:y =−4x−13

1

4.b La fonctionf est un fonction polynôme de degré 2 dont le coefficientaest positif.

L’abscisse du sommet est −2a^b et vaut −1. La fonction f est décroissante sur ]− ∞;−1] et croissante sur [−1; +∞[.

x Variations

def

−∞ −1 +∞

Ts Ts

−5

−5

Ts Ts

1

Total −→ 5.5 points

E 3 Réponse Points Eus

1. La fonction f est une fonction polynomiale de degré 3, elle est dérivable sur R: on peut calculer son nombre dérivé en toutxdeR.

∀x∈R, f^′(x) =−2×3x²+ 10×2x−3×1−0 = −6x²+ 20x−3 1 2. T :y=f^′(1)(x−1) +f(1)⇔T :y= 11(x−1) + 4⇔ T :y= 11x−7 1 3.a M(x;y) ∈ T ∩ C^f ⇔

y=f(x)

y= 11x−7 ⇔ −2x³ + 10x²−3x−1 = 11x−7 ⇔

−2x³+ 10x²−14x+ 6 = 0.

0.5

3.b La méthode par identification des coefficients conduit à écrire que

−2x³+ 10x²−14x+ 6 = (x−1)(−2x²+ 8x−6), pour toutxréel. 1 3.c M(x;y)∈T∩ C^f ⇔ −2x³+ 10x²−14x+ 6 = 0⇔(x−1)(−2x²+ 8x−6) = 0 0.5

x−1 = 0 ou −2x²+ 8x−6 = 0⇔x= 1 oux= 3. S={(1; 4),(3; 26)}

Total −→ 4 points

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E 4 Réponse Points Eus

1. FAUX car f(x) existe si, et seulement si,

x−1>0 x−36= 0 ⇔

x>1

x6= 3 . Son en- semble de définition est [1; 3[∪]3; +∞[.

1

2. FAUX car pour tout réelxdifférent de 0 et de 2, on a : 1

x−2x+ 3

x−2 =x−2−x(2x+ 3)

x(x−2) =−2x²−2x−2 x(x−2)

1

Total−→ 2 points

E 5 Réponse Points Eus

1.a u1 = 0,125u²0+ 1 = 0.125×5²+ 1 = 25

8 + 1 = 33

8 . Avec la calculatrice, on obtient les valeurs approchées à 10⁻³ près :u2≈3.127,u3≈2.222,u4≈1.617 et u5≈1.327.

0.5

1.b La fonction de passage de un à un+1 est la fonction définie sur [0; +∞[ par p(x) = 0,125x²+ 1 .

0.5

1.c

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

y=x C^p

bcbc

bcbc

bcbc

bcbc bc

bc

bcbcbc

bcbc bc

u5u4 u3 u2 u1

u0

1

1.d D’après la construction précédente, il semblerait que (un)n∈N soit décroissante et qu’elle converge vers la plus petite des solutions dep(x) =x.

1 2.a.i Signe deX²−8X+8. ∆ = 32, deux solutions réellesX1= 4−2√2 etX2= 4+2√2.

L’expression est du signe dea= 1 à l’extérieur des racines.

X X² −8X + 8

−∞ ⁴−2√

2 4 + 2√

2 +∞

+ 0 − 0 +

1

2.a.ii ∀n∈N, un+1−un= 0,125u²_n+ 1−un= 0.125(u²_n−8un+ 8). 0.5 2.a.iii X²−8X+ 860 pour X ∈[4−2√2; 5] (5<4 + 2√2). Commeun ∈[4−2√2; 5]

pour toutn,u²_n−8un+ 860 et doncun+1−un60⇔un+16unet (un)n∈Nest décroissante.

0.5

2.b l=p(l)⇔l²−8l+ 8 = 0⇔l= 4−2√

2 oul= 4 + 2√ 2.

On a donc lim

n→+∞un = 4−2√

2. À la calculatrice, on trouve u9 ≈ 1.1728 et u10≈1.1719 etu10<1,172 donc l’entier cherché est l’entier 10.

+1

Total−→ 5 points