Grille de correction DS 7

1S,NOM: Grille de correction DS 7 _{Note : /}

E 1 Réponse Points Eus

1. S est dérivable sur ]0; + ∞ [. S = u + v avec u : x 7→ 2x ² et v : x 7→ x ⁴ . u et v sont dérivables sur ]0; + ∞ [ et u ^′ : x 7→ 4x, v ^′ : x 7→ − x ⁴

.

S ^′ = u ^′ +v ^′ donc pour x > 0, S ^′ (x) = 4x − 4

x ² = 4x ³ − 4

x ² = 4(x − 1)(x ² + x + 1)

x ² . 2

En effet, (x − 1)(x ² + x + 1) = x ³ − 1 et 4x ³ − 4 = 4(x ³ − 1).

2. L’expression x ² + x + 1 dispose d’un discriminant strictement positif donc, pour tout x > 0, x ² + x + 1 > 0. Comme il en est de même avec x ² , le signe de S ^′ (x) est le même que celui de x − 1. Ainsi

x Signe de S ^′ (x)

Variations de S

0 1 + ∞

− 0 +

Ts

6 6

Ts Ts

2 3. Par simple lecture du tableau de variations, S admet un minimum en 1 qui vaut

6. En effet, la dérivée s’annule en 1 en changeant de signe : il existe donc un extremum et il s’agit d’un minimum.

0.5

4. On effectue une disjonction de cas, en utlisant le tableau de variations :

• Si m < 6, l’équation S(x) = m n’admet aucune solution car le minimum de S vaut 6, aucune image ne peut être strictement inférieure à 6 ;

• si m = 6, S(x) = 6 a une solution unique qui vaut 1 ;

• si m > 6, admettant que S(x) admet des limites infines en 0 et en + ∞ , l’équation S(x) = m admet deux solutions. La courbe de S étant coupée deux fois par la droite d’équation y = m.

1.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

− 1 1 2 3

− 1

− 2

bc

y = m (m < 6) pas d’intersection y = 6 (m = 6) une seule intersection

y = m (m > 6) deux intersections C ^S

bc

bc

Total −→ 6 points

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E 2 Réponse Points Eus

1. f (x) existe si, et seulement si, 3x − 4 6 = 0 donc il existe une valeur interdite qui est ⁴ ₃ . Ainsi, D ^f = R − { ⁴ 3 } .

1

2. Graphiquement, f ^′ (2) est le coefficient directeur de la tangente tracée en A, on lit f ^′ (2) = − 9

4 .

1

3. f est une focntion rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition. f = u avec u : x 7→ x ² + 2x − 1 et v : x 7→ 3x − 4. u et v sont dérivables sur R − { ⁴ 3 } et v u ^′ : x 7→ 2x + 2, v ^′ : x 7→ 3.

1.5

f ^′ = u ^′ v − uv ^′

v ² donc pour x 6 = ⁴ 3 , f ^′ (x) = (2x + 2)(3x − 4) − 3(x ² + 2x − 1)

(3x − 4) ² . 2

f ^′ (x) = 3x ² − 8x − 5 (3x − 4) ²

Comme (3x − 4) ² > 0 sur D ^f , f ^′ (x) est du signe de 3x ² − 8x − 5. ∆ = 124 donc deux solutions réelles qui sont x 2 = 4 + √

31

3 et x 1 = 4 − √ 31

3 . D’où le tableau, en utilsant la règle du signe de a à l’extérieur des racines.

x Signe de f ^′ (x)

Variations de f

−∞ x ^{1 4} ₃ x ² + ∞

+ 0 − − 0 +

Ts Ts

f (x ¹ ) f (x ¹ )

Ts Ts

f (x ² ) f (x ² )

Ts Ts

1.5 4. f ^′ (2) = − 9

4 . 0.5

5. L"’équation cherchée est y = f ^′ (2)(x − 2) + f (2) c’est à dire y = − 9

4 (x − 2) + 7 2

⇔ y = − 9

4 x + 8 1.5

Total −→ 7 points

E 3 Réponse Points Eus

1. h est au moins dérivable sur ]0; + ∞ [ (car x : 7→ √

x n’est pas dérivable en 0).

h = uv avec u : x 7→ x − 1 et v : x 7→ √

x. u et v sont dérivables sur ]0; + ∞ [ et u ^′ : x 7→ 1, v ^′ : x 7→ 1

2 √ x .

h ^′ = u ^′ v + uv ^′ donc pour x > 0, h ^′ (x) = 1 × √

x + (x − 1) × 1 2 √

x = 3x − 1 2 √

x . 2

2. « h ^′ x) est du signe de 3x − 1 car √

x > 0 pour tout x > 0. » 1 2. Tableau de variations complété :

x Signe de h ^′ (x) Variations de h

0 ¹ 3 + ∞

− 0 +

0 0

− ^{√ 2} 27

− ^{√ 2} 27

ts ts

1.5

Total −→ 4.5 points