Devoir surveillé n°7 - Classe de TES
Durée : 1h30
Exercice n°1 : La courbeCf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonctionf définie et deux fois dérivable sur l’ensemble des nombres réels.
Elle passe par les pointsA(1; 4e0,5),B(0; 5) etC(5; 0).
Le pointD(−3; 0) appartient à la tangente àCf au pointA.
On notef0la fonction dérivée def sur IR.
Partie A - Par lecture graphique 1) Quel est le signe def0(1) ? Justifier.
2) Que semble représenter le pointApour la courbeCf ? 3) a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale àI=
Z 3 0
f(x)dxunités d’aire.
b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
06I69 106I612 206I624
Partie B - Par le calcul
On admet que pour tout réelx,f(x)=(−x+5)e0,5x.
On notef0la fonction dérivée def sur IR etf00la fonction dérivée seconde def sur IR.
1) a) Vérifier que pour tout réelx,f0(x)=(1,5−0,5x)e0,5xetf00(x)=0,25(−x+1)e0,5x.
b) Résoudre l’équationf00(x)=0. Montrer que le pointAest un point d’inflexion de la courbeCf. c) Sur quel intervalle la fonctionf est-elle convexe ? Justifier.
2) SoitFla fonction définie, pour tout réelx, parF(x)=(−2x+14)e0,5x. a) Monter queFest une primitive def sur IR.
b) CalculerI= Z 3
0
f(x)dx. On donnera une valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
1
Exercice n°2 : Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ils craignaient l’extinction de cette espèce. L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes.
Partie A :
Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 4] par :
f(t)=25e−0,5t
oùtest le temps exprimé en années etf(t) le nombrede milliers d’insectes.
1) Calculer le pourcentage de diminution du nombre d’insectes la première année. Arrondir à 1 %.
2) a) Montrer que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0; 4] par : F(t)= −50e−0,5t est une primitive de la fonctionf sur [0; 4]
b) Calculer la valeur exacte de Z 4
2
25e−0,5tdt Partie B :
Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce.
Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année.
L’évolution de la population est alors modélisée par la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [4; 10] par : g(t)=20e−0,1t2+t−4,65
1) On désigne parg0la fonction dérivée de la fonctiong.
Montrer que pour tout réeltde l’intervalle [4; 10],g0(t)= −4t e−0,1t2+1.
2) On admet que la fonctiong0est continue et strictement croissante sur l’intervalle [4; 10].
Montrer que l’équationg0(t)=0 a une solution et une seuleαdans l’intervalle [4; 10].
Donner la valeur arrondie au dixième deα.
3) a) En déduire le signe deg0(t) sur l’intervalle [4; 10].
b) Donner le sens de variation de la fonctiongsur l’intervalle [4; 10].
c) Que peut-on supposer quant à l’effet du traitement sur la population d’insectes ?
Exercice n°3 : Exercice bonus !
Soitf la fonction définie sur IR parf(x)=x2+4x+6.
1) Montrer que pour toutx∈IR,f(x)>0.
2) Déterminer une primitiveFde la fonctionf.
3) Calculer l’aireA comprise entre la courbe def, l’axe des abscisses et les droites d’équationx= −3 et x=0.
2
Correction
Exercice n°1 : Partie A - Par lecture graphique
1) f0(1)>0 car le coefficient directeur de la tangent en A est positif.
2) Le pointAsemble être un point d’inflexion pour la courbeCf. 3) a) I=
Z 3 0
f(x)dxreprésente l’aire comprise entre la courbe, les droites d’équationsx=0,x=3 et l’axe des abscisses.
b) L’encadrement qui convient est : 206I624 Partie B - Par le calcul
1) a) Pour tout réelx :
f0(x)= −e0,5x+(−x+5)×0,5e0,5x=(−1−0,5x+2,5)e0,5x=(1,5−0,5x)e0,5x
f00(x)= −0,5e0,5x+(1,5−0,5x)×0,5e0,5x=(−0,5+0,75−0,25x)e0,5x=0,25(−x+1)e0,5x b) f00(x)=0⇔0,25(−x+1)e0,5x=0⇔ −x+1=0⇔x=1.
f00s’annule et change de signe pourx=1. Le pointAd’abscisse 1 de la courbe est donc un point d’inflexion pour celle-ci.
c) f est convexe sur [−5; 1] carf00(x)>0 sur cet intervalle.
2) SoitFla fonction définie, pour tout réelx, parF(x)=(−2x+14)e0,5x.
a) F0(x)= −2e0,5x+(−2x+14)×0,5e0,5x=(−2−x+7)e0,5x=(−x+5)e0,5x=f(x) b) I=
Z 3 0
f(x)dx=F(3)−F(0)=(−6+14)e0,5×3−5≈21,85.
Exercice n°2 : 1) f(0)=25 etf(1)=25e−0,5≈15,16. Cela représente donc une baisse d’environ 39 %. de la population d’insectes.
2) a) F0(t)= −50×(−0,5)×e−0,5t=25e−0,5t=f(t) b)
Z 4 2
25e−0,5tdt=F(4)−F(2)= −50e−2+50e−1≈11,6 Partie B :
1) g0(t)=20×(−0,1×2t)e−0,1t2+1= −4t e−0,1t2+1.
2) g0(4)≈ −2,29 etg0(10)≈0,99 donc d’après le TVI,g0admet un unique solution sur [4; 10] avec 5,5<α<5,6 3) a) g0(t)<0 sur l’intervalle [4;α] etg0(t)>0 sur l’intervalle [α; 10]
b) On en déduit quegest strictement décroissante sur [4;α] et strictement croissante sur [α; 10].
c) Le traitement commencera donc à faire effet environ 1 an et demi après sa mise en place.
Exercice n°3 : 1) Calculons le discriminant du trinômex2+4x+6 :
∆=16−4×6= −8
Celui-ci étant strictement négatif, le trinôme n’a pas de racines etf est strictement positive sur IR.
2) Un primitive def sur IR estF(x)=x3
3 +2x2+6x 3) Pour déterminer l’aireA, il suffit de calculer :
Z 0
−3
F(x)dx=F(0)−F(−3)=0−(−3)3
3 −2×(−3)2+18=9−12+18=15
3
