SOMMES ET SOMMES DIRECTES DE SOUS ESPACES VECTORIELS D'UN ESPACE VECTORIEL - EXEMPLES

SOMMES ET SOMMES DIRECTES DE SOUS ESPACES VECTORIELS D'UN ESPACE VECTORIEL - EXEMPLES

1) Sommes et sommes directes de sous espaces vectoriels - cas général On considère un K espace vectoriel E.

définition (somme de sous espaces vectoriels)

Soit (F_i)_i∈I une famille de sous espaces vectoriels de E. On note

∑

∈I i

Fi l'ensemble :

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ∀ ∈ ∈

=

∑

∑

∈ ∈ i i I

i i I

i

i x i I x F

F ; , .

proposition

∑

i∈I

Fi est le sous espace vectoriel de E engendré par

∪

I i

Fi

∈

. démonstration

On veut montrer que ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∈

∑

∈

∪

I i

i I

i

i vect F

F .

•

∑

∈I i

Fi est un sous espace vectoriel de E.

•

∑

∈

⊂

∈

∀

I i

i

i F

F I

i , donc

∑

∈ ∈

⊂

I i

i I

i

i F

∪

F ^.

∑

i∈I

Fi est un sous espace vectoriel de E contenant

∪

I i

Fi

∈

donc

∑

∈ ∈

⎟⎟⊂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

I i

i I

i

i F

F vect

∪

• Soit

∑

∈

∈

I i

Fi

x .

∑

∏

∈ ∈

∈ ∈ =

∃

I i

i I

i i I

i

i F x x

x) ,

(

i

i F

x I i∈ ∈

∀ , donc

∪

I i

i

i F

x I i

∈

∈

∈

∀ , .

donc ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

∈ ⎛

∈

∀

∪

∈ I i

i

i vect F

x I i ,

donc ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

∈ ⎛

∪

∈ I i

Fi

vect x

et donc ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⊂ ⎛

∈

∑

∈

∪

I i

i I

i

i vect F

F

Donc ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∈

∑

∈

∪

I i

i I

i

i vect F

F .

définition (somme directe de sous espaces vectoriels)

Soit (F_i)_i∈I une famille finie de sous espaces vectoriels de E. On considère l'application suivante :

n n

n

i i

x x

x x

E F

+ +

→ φ

∏

=

...

) ,..., (

:

1 1

1 . φ est une application linéaire et

∑

=

= φ ⁿ

i

Fi 1

)

Im( .

On dit que la somme

∑

= n

i

Fi 1

est directe si φ est injective . On note alors : F₁⊕...⊕F_n.

conséquence : E est somme directe des F_i si et seulement si φ est bijective (alors

∑

=

= φ

= ⁿ

i

Fi

E

1

)

Im( )

théorème

Soit n un entier, n≥2. Soit (F_i)_1≤i≤n une famille de sous espaces vectoriels de E. Alors la somme

∑

= n

i

Fi 1

est directe si et seulement si : ,2 ,

{ }

0

1

1

=

≤

≤

∀

∑

⁻

∩

ⁱ= j

j

i F

F n i

i .

démonstration

• On suppose que la somme

∑

= n

i

Fi 1

est directe.

Soit i un entier compris entre 2 et n. Soit

∩∑

⁻

=

∈ ¹

1 i

j j

i F

F

x . Alors

∑

⁻

=

∈ ¹

1 i

k

Fk

x .

1 1

1

1 1

1,..., ) , ...

(

! ₋

−

=

− ∈ = + +

∃

∏

^{i i}

k k

i F x x x

x

x (l'existence des x_i est évidente car

∑

⁻

=

∈ ¹

1 i

k

Fk

x et ils sont uniques car φ est bijective).

Posons x_i =−x et ∀k,i+1≤k≤n,x_k =0. on a 0

1

∑

=

= n

k

xk , c'est-à-dire φ(x₁,...,x_n)=0. φ étant injective, tous les x_k sont nuls et par conséquent, x=0. Donc

{ }

0

1

1

∑

⁻ =

∩

ⁱ= j

j

i F

F .

• On suppose maintenant que : ,2 ,

{ }

0

1

1

=

≤

≤

∀

∑

⁻

∩

ⁱ= j

j

i F

F n i

i .

Soit

∏

=

∈ ⁿ

k k

n F

x x

1 1,..., )

( tel que φ(x₁,...,x_n)=0, c'est-à-dire x₁+...+x_n =0. Supposons que les x_i ne soient pas tous nuls.

Soit i le plus grand indice k tel que x_k ≠0. On a donc x_i ≠0. On a aussi x_i =−x₁−...−x_i−1 donc

∑

⁻

=

∈ ¹

1 i

k k

i F

x donc

∩∑

⁻

=

∈ ¹

1 i

k k i

i F F

x donc x_i =0 : contradiction. Les x_i sont donc tous nuls et donc φ est injective. La somme

∑

= n

i

Fi 1

est donc directe.

définition (sous espaces supplémentaires)

Soient E un K espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E. On dit que F et G sont supplémentaires si E=F⊕G.

théorème

Soient E un K espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) E=F⊕G

(ii) E=F+G et F∩G=

{ }

⁰

(iii) ∀x∈E,∃!(x₁,x₂)∈F×G, x=x₁+x₂ démonstration

• (i) ⇒ (ii)

On suppose que E=F⊕G. Comme F⊕G=F+G, on a E=F+G. Le théorème précédent donne F∩G=

{ }

0

• (ii) ⇒ (iii)

On suppose que E=F+G et que F∩G=

{ }

0 .

Soit x∈E. ∃(x₁,x₂)∈F×G, x=x₁+x₂ (car E=F+G). Soit (y₁,y₂)∈F×G tels que

2

1 y

y

x= + . Alors (x₁−y₁)+(x₂ −y₂)=0 Donc x₁−y₁ = y₂ −x₂.

Par conséquent, x₁−y₁∈F∩G donc x₁ =y₁ (car F∩G=

{ }

0 ). De même, x₂ = y₂. D'où l'unicité.

• (iii) ⇒ (i)

On suppose que : ∀x∈E,∃!(x₁,x₂)∈F×G, x=x₁+x₂. Soit

2 1 2 1, ) ( :

y y y y

E G F

+

→

×

φ . On sait que φ est linéaire.

Soit (x₁,x₂)∈Ker(φ). Alors x₁+x₂ =0, x₁∈F, x₂∈G. Or 0+0=0,0∈F,0∈G. L'unicité de la décomposition impose x₁ =x₂ =0. Donc Ker(φ)=

{

(0;0)

}

. φ est donc injective donc

G F G

F+ = ⊕ . Par hypothèse, E=F+G donc E=F⊕G.

théorème

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soient A et b deux sous espaces supplémentaires dans E.

Une application linéaire de E dans F est caractérisée par ses restrictions à A et B.

démonstration

1) soit f une application linéaire de E dans F. Alors f_A (resp. f_B) est une application linéaire de A dans F (resp. de B dans F).

2) Soient u une application linéaire de A dans F, v une application linéaire de B dans F. Montrons qu'il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que f_A =u et f_B =v.

• Soit

) ( ) ( :

2 1

2

1 x u x v x

x x

F B A E f

+ +

=

→

⊕

=

f est linéaire car u et v le sont.

) 0 (

0

,x x x Aet B

A

x∈ = + ∈ ∈

∀ , cette décomposition est unique. f(x)=u(x)+v(0)=u(x) (car

= = =

• Soit g une application linéaire de E dans F telle que g_A =u et g_B =v. Soit x∈E. ∃!(x₁,x₂)∈A×B, x=x₁+x₂.

) ( ) ( ) (

)

(x g x₁ x₂ g x₁ g x₂

g = + = + .

Or g(x₁)=u(x₁) car g_A =u et g(x₂)=v(x₂) car g_B =v. Donc g(x)=u(x₁)+v(x₂)= f(x). D'où l'unicité.

théorème "noyau-image"

Soient E et f deux K-espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans F. Alors Im(u) est isomorphe à tout supplémentaire de Ker(u).

démonstration

Soit H un supplémentaire de Ker(u) et v=u_H.

• v est injective :

Soit )x∈Ker(v . Alors x∈H et v(x)=0, c'est-à-dire x∈(Ker(u))∩H. Donc x=0 car H est un supplémentaire de Ker(u). Donc Ker(v)=

{ }

0 donc v est injective.

• Im(v)=Im(u)

Soit y∈Im(v).∃x∈H,y=v(x)=u(x) donc y∈Im(u) et donc Im(v)⊂Im(u).

Soit )y∈Im(u . )∃x∈E,y=u(x . ∃!(x₁,x₂)∈H×Ker(u),x=x₁+x₂. Donc )

( ) ( ) ( )

(x₁ u x₂ u x₁ v x₁ u

y= + = = donc y∈Im(v) et donc Im(u)⊂Im(v)

•

) (

) Im(

:

x v x

u H

v →

est donc un isomorphisme de H dans Im(u).

2) Quelques résultats en dimension finie

théorème

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie. Soit F un sous espace vectoriel de E. Alors F admet un sous espace supplémentaire, et pour tout supplémentaire G de F, on a

) ( )

( )

(F dim G dim E

dim + = .

démonstration

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n (n∈N^*). Soit F un sous espace vectoriel de E. F admet une base (e₁,...,e_p), avec p≤n. D'après le théorème de la base incomplète, il existe

n

p e

e ₊₁,..., éléments de e tels que (e₁,...,e_p) soit une base de E.

Soit G=vect(e_p+1,...,e_n).

Soit x∈E.

∑

≤ =

≤ ∈ = α

α

∃ ⁿ

i i i n

n i

i K x e

1

1 ,

) (

! . Donc x∈F+G. Par conséquent, E⊂F+G. Comme E

G

F+ ⊂ , on a donc E=F+G.

• Soit x∈F∩G. Supposons x≠0. x∈F donc il existe (α_i)_1≤i≤p∈K^p tel que

∑

=

α

= ^p

i i ie x

1

.

≠0

x donc les α_i ne sont pas tous nuls.

G

x∈ donc il existe (α_i)_p+1≤i≤n∈K^n−p tel que

∑

+

=

α

= ⁿ

p i

i ie x

1

.

Donc 0

1 1

= α

−

α

∑

∑

= = + n

p i

i i p

i i

ie e et les α_i ne sont pas tous nuls, ce qui contredit le fait que (e₁,...,e_n) soit une base de E. Donc x=0 et donc F∩G=

{ }

0 . Donc E=F⊕G.

• Soit G un supplémentaire de F. E=F+G et ^F∩G=

{ }

⁰ . Rappelons que )

( ) ( )

( )

(F G dim F G dim F dim G

dim + + ∩ = + . Or F+G=E et dim(F∩G)=0 donc

) ( ) ( )

(E dim F dim G

dim = +

théorème

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n (n∈N^*). Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. Alors F et g sont des sous espaces supplémentaires si et seulement si la réunion d'une base quelconque de f et d'une base quelconque de G est une base de E.

démonstration

• Supposons que la réunion d'une base quelconque de F et d'une base quelconque de G est une base de E.

Soit )(f₁,...,f_p une base de F et (g₁,...,g_q) une base de G. Alors dim(F)= p et dim(G)=q. De plus, p+q=n car la réunion de ces deux bases est une base de E et dim(E)=n.

Donc )dim(F)+dim(G)=dim(E donc dim(F+G)=dim(E) donc F+G=E. Par conséquent, 0

) (F∩G =

dim donc F∩G=

{ }

0 . il en résulte que E=F⊕G

• Supposons que E=F⊕G

Soit )(f₁,...,f_p une base de F, (g₁,...,g_q) une base de G.

) ,..., , ,...,

(f₁ f_p g₁ g_q est une famille génératrice de E : Soit x∈E. ∃!(x₁,x₂)∈F×G,x=x₁+x₂

F

x₁∈ donc

∑

=

≤

≤ ∈ = α

α

∃ ^p

i i i p

p i

i K x f

1 1

1 ,

)

( .

G

x₂∈ donc

∑

=

≤

≤ ∈ = β

β

∃ ^q

i i i q

q i

i K x g

1 2

1 ,

)

( .

Donc

∑ ∑

=

=

β + α

= ^q

i i i p

i i

if g

x

1 1

) ,..., , ,...,

(f₁ f_p g₁ g_q est une famille libre de E :

Soient 0( ) ,( ) ,

1 1

1

1 ∈ β ∈ α + β =

α

∑ ∑

=

=

≤

≤

≤

≤

q

i i i p

i i i q q i i p p i

i K K f g .

F f

p i

i ∈

∑

α

=1

et g G

q i

i ∈

∑

β

=1

et la décomposition 0 + 0 =0 est unique (0∈F,0∈G).

Donc 0

1

=

∑

α

= p

i i

if et donc tous les α_i sont nuls car (f₁,...,f_p) est une famille libre de F

et 0

1

=

∑

β

= q

i i

ig et donc tous les β_i sont nuls car (g₁,...,g_q) est une famille libre de G.

3) Applications a) Projecteurs

On suppose E de dimension finie et F₁ et F₂ deux sous espaces supplémentaires de E.

définition (projecteur)

L’application p:E=F₁⊕F₂ →E définie par p(x)=x₁, avec x=x₁+x₂, décomposition de x de manière unique comme somme d’un élément de F₁ et d’un élément de F₂, est appelée projection sur F₁, parallèlement à F₂.

proposition

On considère la projection p sur F₁ parallèlement à F₂. (i) p est linéaire ;

(ii) Ker(p)=F₂ ; (iii) Im(p)=F₁ ; (iv) p p= p. démonstration

(i) Soient x,y∈E,α∈K.

2 1 2

1 2

1, ) ,

(

! x x ∈F ×F x=x +x

∃ .

2 1 2

1 2

1, ) ,

(

! y y ∈F ×F y=y +y

∃ .

) (

)

(x₁ y₁ x₂ y₂ y

x+α = +α + +α , avec x₁+αy₁∈F₁ et x₂+αy₂∈F₂.

La décomposition en somme d’un élément de F₁t d’un élément de F₂ étant unique, on a donc :

1

) 1

(x y x y

p +α = +α

= p(x)+αp(y) p est donc linéaire.

(ii) Soit x∈E. ∃!(x₁,x₂)∈F₁×F₂, x=x₁+x₂.

• Si )x∈Ker(p , alors p(x)=0donc x₁=0 donc x∈F₂. Donc Ker(p)⊂F₂.

• Si x∈F₂, x=0+x, avec 0∈F₁et x∈F₂. Par unicité de la décomposition, on a donc 0

) (x =

p donc x∈Ker(p)et donc F₂ ⊂Ker(p). (iii)

• Soit )y∈Im(p . )∃x∈E, y= p(x . p(x)∈F₁donc Im(p)⊂F₁.

• Soit y∈F₁. y=y+0 avec y∈F₁ et 0∈F₂. L’unicité de la décomposition donne alors y

y

p( )= donc y∈Im(p)et donc F₁⊂Im(p). (iv) Soit x∈E.

) Im(

)

(x p

p ∈ donc p(x)∈F₁. 0

) ( )

(x = p x +

p avec p(x)∈F₁et 0∈F₂. L’unicité de la décomposition donne alors )

( ) (x p x p

p = .

proposition

Soit )p∈L(E . Alors p est une projection si et seulement si p p= p. p est alors la projection sur Im(p), parallèlement à Ker(p) et on a E=Im(p)⊕Ker(p).

démonstration

• Supposons que p soit une projection.

Alors p p= p (voir (iv) ci-dessus). Il existe des sous espaces vectoriels F₁ et F₂de E, supplémentaires tels que p soit la projection sur F₁ parallèlement à F₂. On a vu précédemment que

) 1

Im(p =F et que Ker(p)=F₂. Donc p est la projection sur Im(p), parallèlement à Ker(p) et on a )

( )

Im(p Ker p

E= ⊕ .

• Supposons que p p= p. Soient F₁=Im(p) et F₂ =Ker(p). Montrons d'abord que E=F₁⊕F₂.

Pour tout x∈E on a x= p(x)+(x−p(x)) avec p(x)∈Im(p) et x−p(x)∈Ker(p)car p p= p. Soit x∈F₁∩F₂. )∃y∈E,x= p(y car x∈F₁.

) ( )

(x p p y

p =

= p(y) =x

Or x∈F₂ donc p(x)=0 donc x=0donc F₁∩F₂ =

{ }

0 .

Tout élément x de E de décompose de manière unique comme somme d'un élément de F₁ et d'un élément de F₂. On a x= p(x)+(x−p(x)) avec p(x)∈F₁et x− p(x)∈F₂ donc p est la projection sur F₁ parallèlement à F₂.

b) Symétries

On se place dans les mêmes conditions qu'au a).

définition (symétrie)

L’application s:E=F₁⊕F₂ →E définie par s(x)=x₁−x₂, avec x=x₁+x₂, décomposition de x de manière unique comme somme d’un élément de F₁ et d’un élément de F₂, est appelée symétrie par rapport àF₁, parallèlement à F₂.

proposition

On considère la symétrie s sur F₁ parallèlement à F₂. (i) s est linéaire ;

(ii) Si p est la projection sur F₁ parallèlement à F₂, alors s=2p−id_E ;

(iii) Soit Inv(s)l'ensembles des éléments de e invariants par s ; on a Inv(s)=F₁ ;

(iv) Soit Opp(s)l'ensembles des éléments de E transformés en leurs opposés par s ; on a ) 2

(s F Opp = . démonstration

(i) ) Soient x,y∈E,α∈K.

2 1 2

1 2

1, ) ,

(

! x x ∈F ×F x=x +x

∃ .

2 1 2

1 2

1, ) ,

(

! y y ∈F ×F y=y +y

∃ .

) (

)

(x₁ y₁ x₂ y₂ y

x+α = +α + +α , avec x₁+αy₁∈F₁ et x₂+αy₂∈F₂.

La décomposition en somme d’un élément de F₁t d’un élément de F₂ étant unique, on a donc : )

( ) (

)

(x y x₁ y₁ x₂ y₂

s +α = +α − +α =(x₁−x₂)+α(y₁−y₂) =s(x)+αs(y). s est donc linéaire.

(ii) Soit x∈E. ∃!(x₁,x₂)∈F₁×F₂, x=x₁+x₂.

2

) 1

(x x x

s = −

=2x₁−(x₁+x₂) =2p(x)−x.

(iii) Soit x∈E. ∃!(x₁,x₂)∈F₁×F₂, x=x₁+x₂.

• Si x∈F₁. x=x+0 avec x∈F₁ et 0∈F₂. On a donc s(x)=x−0=xdonc )x∈Inv(s et donc F₁⊂Inv(s).

• Si x∈Inv(s), alors s(x)=x, c'est-à-dire x₁−x₂ =x₁+x₂. On en déduit donc que x₂ =0et donc x∈F₁. Donc Inv(s)⊂F₁.

(iv) Soit x∈E. ∃!(x₁,x₂)∈F₁×F₂, x=x₁+x₂.

• Si x∈F₂, x=0+x avec 0∈F₁ et x∈F₂ donc s(x)=0−x=−x. Donc x∈Opp(s) et donc )

2 Opp(s

F ⊂ .

• Si )x∈Opp(s , alors s(x)=−x, c'est-à-dire x₁−x₂ =−x₁−x₂. On en déduit que x₁ =0 et donc x∈F₂. Donc Opp(s)⊂F₂.

proposition

Soit ).s∈L(E Alors s est une symétrie si et seulement si s² =id_E. Dans ce cas, s est la symétrie par rapport à Inv(s)parallèlement à Opp(s)et on a E=Inv(s)⊕Opp(s).

démonstration

• supposons que s soit une symétrie. Il existe deux sous espaces supplémentaires de E, F₁ et F2 tels que s soit la symétrie par rapport à F₁ parallèlement à F₂. On a vu précédemment

que F₁=Inv(s) et F₂ =Opp(s) donc E=Inv(s)⊕Opp(s). Soit x∈E. x s'écrit de manière unique sous la forme x=x₁+x₂avec x₁∈F₁ et x₂∈F₂.

2

) 1

(x x x

s = − et donc s²(x)=x₁+x₂ =x.

• Supposons que s² =id_E.

Notons F₁=Inv(s) et F₂ =Opp(s). Montrons d'abord que E=Inv(s)⊕Opp(s) :

Pour tout x∈E, ( ( ))

2 )) 1 ( 2(

1 x s x x s x

x= + + − avec ( ( )) ( )

2

1 x+s x ∈Inv s et ( ( )) ( ) 2

1 x−s x ∈Opp s . Soit )x∈Inv(s)∩Opp(s . Alors s(x)=xet s(x)=−xdonc x=0 donc Inv(s)∩Opp(s)=

{ }

0 . par conséquent, )E=Inv(s)⊕Opp(s .

Tout élément x de E de décompose de manière unique comme somme d'un élément de F₁ et d'un élément de F₂, avec ( ( )) ₁

2

1 x+s x ∈F et ( ( )) ₂ 2

1 x−s x ∈F et on a ( ( ))

2 )) 1 ( 2( ) 1

(x x s x x s x

s = + − −

donc s est la symétrie par rapport à F₁ parallèlement à F₂.

c) Diagonalisation

théorème

Soit u un endomorphisme de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) u est diagonalisable ;

(ii) E est somme directe des sous espaces propres de u ;

(iii) χ_u est scindé dans K[X] et pour toute valeur propre λ, on a dim(E_u(λ))=m, m étant l'ordre de multiplicité de λ.

démonstration

• (i)⇒(ii) :

Supposons u diagonalisable. Il existe une base e=(e₁,...,e_n) de E formée de vecteurs propres de u.

Notons Sp(u)=

{

λ₁,...,λp

}

, et ∀i∈N_p,q_i =dim(E_u(λ_i)).

Soit )(

1 i u p

i

E

F =

⊕

₌ λ ^{. On a}

∑

=

= ^p

i

qi

F dim

1

)

( (voir chapitre "sommes et sommes directes de sous espaces vectoriels").

F e N k∈ _{n k}∈

∀ , et e est une famille libre de f donc n≤dim(F).

Or F⊂E donc dim(F)≤n. Par conséquent dim(F)=dim(E) donc F=E.

• (ii)⇒(i) :

Soient λ₁,...,λ_p les valeurs propres deux à deux distinctes de u. On suppose ( )

1 i u p

i

E E=

⊕

₌ λ ^.

p, N k∈

∀ notons q_k =dim(E_u(λ_k)).

Une base de E est obtenue en réunissant une base de E_u(λ₁), une base de E_u(λ₂),…,une base de )

( _p

Eu λ . e est donc une base de E formée de vecteurs propres de u et on a : )

,..., ,..., ,..., , ,..., ( )

;

(u e diag _{1 1 2 2 p p}

mat = λ λ λ λ λ λ , où pour tout i∈N_p, λ_i apparaît q_i fois.

• (ii)⇒(iii)

Soient λ₁,...,λ_p les valeurs propres deux à deux distinctes de u. On suppose ( )

1 i u p

i

E E=

⊕

₌ λ ^.

p, N k∈

∀ notons q_k =dim(E_u(λ_k)).

Pour k∈N_p, notons u_k l'endomorphisme de E_u(λ_k) induit par u (c'est-à-dire, )

( ) ( ),

( u x u x

E

x∈ _u λ_{k k} =

∀ ).

k k

q k

u (X)=(λ −X)

χ , )mat(u_k;e)=diag(λ_k,...,λ_k où λ_k apparaît q_k fois, et

uk

χ divise χ_u. Les χuk sont premiers entre eux deux à deux donc

∏

= p χ

k u_k 1

divise χ_u.

Or, ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= χ

=

= χ

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∏

χ

∑ ∑

=

=

=

n

n q

u

p

k k p

k

u p

k

u_{k k}

) deg(

) deg(

deg

1 1

1

donc

∏

=

χ α

= χ

∈ α

∃ ^p

k u

u _k

K

1

, .

Or, χ_u a pour coefficient dominant (−1)ⁿ et

∏

=

χ

p

k u_k 1

a pour coefficient dominant ⁿ

q

p

k k

) 1 ( )

1

( ∑¹ = −

− ⁼ donc α=1 et donc

∏

=

χ

= χ ^p

k u

u _k

1

.

• (iii)⇒(ii)

On suppose que

∏

=

− λ

=

χ ^p

i

q i u

X i

X

1

) (

)

( , avec q_i =dim(E_u(λ_i)). On sait que n=deg(χ_u) (voir chapitre "éléments propres d'un endomorphisme").

∑

=

=

χ ^p

i i

u q

1

)

deg( donc

∑

=

= ^p

i

qi

n

1

.

Comme

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⊂ λ

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ λ

⊕

⊕ ∑

=

= =

E E

n q E

dim

i u p

i

p

i i i

u p

i

) (

) (

1

1

1 , on a ( )

1 i u p

i

E E=

⊕

₌ λ ^.