Classe
T-STMGDevoir Surveillé N°3
Mathématiques 10 Février 2016
Exercice 1 :
(5 points)La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004).Source INSEE.Monsieur BUIL y a porté le montant des loyers mensuels de l’appartement qu’il loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l’indice de référence.
Partie A : Questionnaire à Choix Multiples (QCM)
Pour chaque question, une seule proposition est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre indiquant la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse est comptée 0 point.
1) L’indice 105,5 en 2006 signifie :
A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50d entre 2004 et 2006.
B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5% entre 2002 et 2006.
C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10% entre 2002 et 2006.
D : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5% entre 2004 et 2006.
2) Le taux d’évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à 10−2 près) est égal à :
A :2,20% B : 2,30% C :7,70% D : 2,25%
3) On souhaite compléter la ligne 4 ; quelle formule faut-il entrer dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, le taux d’évolution annuel des loyers ?
A : = C3−B3 * 100/B3 B : = (C3− B3)* 100/C3 C : = (C3 −B3) * 100/ B3 D : = (C3− B3) * B3 / 100
Partie B :
1) Calculer l’indice pour l’année 2005.
2) Calculer le taux moyen annuel d’évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006, arrondi à 10−2 près.
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Exercice 2 :
(5 points) Le tableau ci-dessous donne le nombre de tués sur les routes françaises entre 1998 et 2006.Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rand de l’année :xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de tués :yi 8440 8030 7640 7720 7240 5800 5590 5320 4700 Source : Insee mars 2007
On donne en ANNEXE 1, à rendre avec la copie, le nuage de pointsMi(xi ; yi)dans un repère orthogonal.
1) Le nuage de points permet-il d’envisager un ajustement affine ?
2) Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer G sur le graphique de l’ANNEXE 1.
3) Déterminer à l’aide de la calculatrice une équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés sous la formey =ax+b,Les valeurs de a et b seront arrondies à 0,01 près. 4) On considère que la droite d’ajustement (d) a pour équation y=−485x+ 8660.
a) Tracer la droite (d) sur le graphique de l’ANNEXE 1.
b) Déterminer graphiquement une estimation du nombre de tués en 2009.
On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.
5) Calculer une estimation du nombre de tués sur la route en 2015.
6) Estimer, par un calcul, l’année à partir de laquelle le nombre de tués serait inférieur à 2500.
Exercice 3 :
(5 points)Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.Le coût de productionC, en euros, dexde ces pièces est donné, pour xappartenant à l’intervalle [0 ; 25], par : C(x) =x3−13,5x2+ 60x+ 1000
On donne en ANNEXE 2, à rendre avec la copie, la représentation graphique de la fonction C .
Partie A : Etude graphique(On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires)
1) Déterminer graphiquement le coût de production de 10 pièces.
2) Déterminer graphiquement le nombre de pièces fabriquées si le coût de production est de 4750 d. 3) Chaque pièce est vendue 270 d . On noteR(x)la recette de la vente de x pièces.
a) Donner l’expression deR(x) en fonction dex.
b) Tracer la droite représentant la fonction R sur le graphique de l’ANNEXE 2.
c) Pour quelles quantités de pièces produites et vendues l’entreprise réalise-t-elle un gain ?(On donnera la réponse sous la forme d’un intervalle).
Partie B : Etude du bénéfice
Pourx∈[0 ; 25] , on noteB(x) le bénéfice réalisé pour la production et la vente dex pièces.
1) Montrer que pour tout x∈[0 ; 25], l’expression deB(x) est donnée par : B(x) = −x3+ 13,5x2+ 210x−1000 2) Calculer B0(x).
3) Etudier le signe de B0(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionB sur l’intervalle [0 ; 25] . 4) Pour quelle quantité de pièces produites et vendues le bénéfice est-il maximal ?
Quelle est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?
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Exercice 4 :
(5 points) On s’intéresse à la population d’une ville et on étudie plusieurs modèles d’évo- lution de cette population.En 2013, la population de la ville était de 15 000 habitants.
Partie A : Premier modèle
En analysant l’évolution récente, on fait d’abord l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 1 000 habitants par an.
Pour tout entier natureln, on note unle nombre d’habitants pour l’année 2013 +n. On a ainsiu0 = 15 000. 1) Calculer u1 etu2 . Que représentent ces deux valeurs ?
2) Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier.
3) Exprimer un en fonction den .
4) Selon ce modèle, quelle devrait être la population en 2018 ?
5) Selon ce modèle, en quelle année la population devrait-elle atteindre 30 000 habitants ? Partie B : Deuxième modèle
On fait à présent l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 4,7% par an.
Pour tout entier natureln, on note vn le nombre d’habitants pour l’année 2013 +n . On a ainsiv0 = 15 000. 1) Calculer, selon ce modèle, la population de cette ville en 2014 et en 2015.
2) Quelle est la nature de la suite (vn) ? Justifier.
3) Exprimer vn en fonction den .
4) Calculer, selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2028.
5) En examinant l’évolution de villes comparables à celle que l’on étudie ici, des experts ont estimé que sa population allait augmenter de 50% en 15 ans. Le résultat trouvé à la question précédente est-il en accord avec les prévisions des experts ? Justifier.
ANNEXE 1 - Exercice 2 A rendre avec la copie
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