Corrigé - DS n 3. = 10 possibilités, puis la place d un des deux chiffres et de son double : ( 4

(1)

Corrigé - DS n°3

Exercice 1. 1. (a) Il y a 5 possibilités pour chacun des 4 chiffres, donc5⁴= 625 éléments deE.

(b) Construire un élément deEse terminant par 3, c’est choisir les trois premiers chiffres dans J1 ; 5K: il y a donc 5³= 125éléments deE se terminant par 3.

(c) Pour construire un tel chiffre :

— place du 3 : 4 possibilités

— choix de chacun des trois autres chiffres : 4 possibilités chacun (on ne peut pas reprendre le 3)

Il y a donc4ˆ4³= 256 éléments deEcomportant exactement une fois le chiffre 3.

(d) Le complémentaire est l’ensemble des éléments deEne comportant pas le chiffre 3 : il y a 4 possibilités pour chacun des 4 chiffres, donc4⁴ éléments deE ne comportant pas le chiffre 3. Au final, il y a5⁴´4⁴= 369éléments deE comportant au moins une fois le chiffre 3.

(e) Il y a 5 possibilités pour le premier chiffre, 4 pour le deuxième, 3 pour le troisième et 2 pour le dernier. Il y a donc 120 éléments deE comportant au plus une fois chaque chiffre.

(f) On choisit les deux chiffres qui forment l’élément deE:(₅

2

)= 10possibilités, puis la place d’un des deux chiffres et de son double :(₄

2

)= 6possibilités. Il y a donc60éléments deE comportant uniquement deux chiffres, chacun apparaissant deux fois.

2. (a) Distinguons suivant le nombre de chiffre des éléments deF : ils peuvent avoir au plus 5 chiffres. SoitpPJ1 ; 5K. Un nombre àpchiffres élément deF est représenté par unep-liste d’éléments distincts deJ1 ; 5K: il y en _(5´p)!^5! . Il y a donc

5

ř

p=0 5!

(5´p)! éléments deF, avec :

5

ÿ

p=1

5!

(5´p)! = 5 + 5ˆ4 + 5ˆ4ˆ3 + 5ˆ4ˆ3ˆ2 + 5! = 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 (b) Les nombres impairs éléments deF sont les éléments deF se terminant par1,3ou5. On

les construit ainsi :

— choix du dernier chiffre : 3 possibilités (1, 3 ou 5) ;

— on distingue suivant le nombre de chiffres pPJ1 ; 5Kde cet entier : lesp´1 premiers chiffres forment une p´1-listes d’éléments distincts d’un ensemble à 4 éléments (les entiers entre 1 et 5 privé du chiffre des unités) : il y en a _(4´(p´1))!^4! .

NotonsN le nombre d’entiers impairs éléments deF : N = 3

5

ÿ

p=1

4!

(5´p)! = 3ˆ(1+4+4ˆ3+4ˆ3ˆ2+4ˆ3ˆ2ˆ1) = 3(1+4+12+24+24) = 3ˆ65 = 195 Exercice 2. 1. Les solutions sont les racines cubiques dei:´iest une solution car(´i)³=i; les

deux autres solutions sontíêⁱ^2π³ =eⁱ^π⁶ etíêⁱ^4π³ =eⁱ^5π⁶ . eⁱ^π⁶ +eⁱ^5π⁶ =eⁱ^π² (

e^´i^π³ +eⁱ^π³)

= 2icos(π 3) =i eⁱ^π⁶ ˆeⁱ^5π⁶ =e^iπ =´1

2. SoitzPC.

z³í= 6(z+i)ðñ(z+i)(zéⁱ^π⁶)(zéⁱ^5π⁶ ) = 6(z+i)ðñ(z+i)(z²íz´1´6) = 0 ðñz+i= 0ouz²íz´7 = 0ðñz=íouz= ´3?

3 +i

2 ouz=3? 3 +i

2 L’ensemble des solutions est!

´i;´³

?3 2 +i¹₂;³

?3 2 +i¹₂

).

(2)

Exercice 3. 1. PourxPR:

3x²+ 6x+ 4 = 3(x²+ 2x+4

3) = 3((x+ 1)²+1 3) =

(?

3(x+ 1) )2

+ 1 Ainsi :

1

3x²+ 6x+ 4 = 1 (?3(x+ 1))2

+ 1 Une primitive dexÞÝÑ 1

3x²+ 6x+ 4est doncxÞÝÑ 1

?3Arctan(?

3(x+ 1)).

2. L’équation homogène associée est

y¹+2 xy= 0 d’ensemble de solutions :

#

]0; +8[ ÝÑ R

x ÞÝÑ λe^´2^ln(|x|) ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

λPR +

=

#

]0; +8[ ÝÑ R x ÞÝÑ _x^λ2

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

λPR +

Soitλune fonction dérivable sur]0; +8[, ety₀:xÞÝÑ λ(x) x² .

y0 est dérivable sur ]0; +8[, et y0 est solution de (E) ssi pour toutx ą 0, y¹₀(x) + ²_xy0(x) =

1 3x⁴+6x³+4x². Or pourxą0:

y¹₀(x) +2

xy₀(x) = λ¹(x)

x² ´2λ(x)

x³ +2λ(x)

x³ = λ¹(x) x² Ainsi,y₀est solution ssi pour toutxą0,λ¹(x) = 1

3x²+ 6x+ 4. D’après la question 1, la fonction λ:xÞÝÑ ^?¹₃Arctan(?

3(x+ 1))convient. La fonctiony0:xÞÝÑ 1

?3

Arctan(?

3(x+ 1))

x² est donc

une solution de(E).

L’ensemble des solutions de(E)est alors :

# ]0; +8[ ÝÑ R

x ÞÝÑ ^?¹₃^Arctan(

?3(x+1)) x² +_x^λ₂

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

λPR +

Exercice 4. 1. Soit(x, y, z)P t(2t+1,2´t,3´4t)|tPRu. Il existetPRtel quex= 2t+1,y= 2´t etz= 3´4t. Ainsix´2y+z= (2t+ 1)´2(2´t) + (3´4t) = 0etx+ 2y= (2t+ 1) + 2(2´t) = 5, donc(x, y, z)P t(x, y, z)PR³|x´2y+z= 0et x+ 2y= 5u.

On vient de montrer quet(2t+1,2´t,3´4t)|tPRu Ă t(x, y, z)PR³|x´2y+z= 0etx+2y= 5u.

Soit(x, y, z)P t(x, y, z)PR³|x´2y+z= 0et x+ 2y= 5u. Posonst=y´2. On ay=t+ 2.

De plus,x+ 2y= 4, d’oùx= 4´2y= 2t+ 1. Enfin,z= 2y´x= 2(t+ 2)´(2t+ 1) = 3´4t.

Ainsi(x, y, z)P t(2t+ 1,2´t,3´4t)|tPRu.

On vient de montrer quet(x, y, z)PR³|x´2y+z= 0etx+ 2y= 5u Ă t(2t+ 1,2´t,3´4t)| tPRu.

Finalement, on a montré que t(2t+ 1,2´t,3´4t) | t PRu= t(x, y, z) P R³ | x´2y+z = 0et x+ 2y= 5u.

Exercice 5. 1. Les fonctions sin et cos³sont de classeC¹surR, ainsi, une intégration par parties fournit :

I= żπ

0

cos(x)ˆcos³(x)dx=[

sin(x)cos³(x)]π 0´

żπ 0

sin(x)ˆ3cos²(x)(´sin(x))dx

= 3 żπ

0

sin²(x)cos²(x)dx

= 3 żπ

0

sin²(x)(1´sin²(x))dx

= 3 żπ

0

sin²(x)dx´3 żπ

0

sin⁴(x)dx

= 3 żπ

0

sin²(x)dx´3J

(3)

2. D’après ce qui précède :

I+J = 3 żπ

0

(sin²(x) +cos²(x))dx´3(I+J)

donc4(I+J) = 3π, d’où l’on tire :I+J =3π 4. On a également :

J´I= 3 żπ

0

(cos²(x)´sin²(x))dx+ 3(J´I) Donc :

2(J´I) =´3 2

żπ 0

cos(2x)dx=´3 2

[sin(2x) 2

]π 0

= 0 On en déduit :

I=J =3π 8 3. (a) SoitxPR. cos²(x) =^1+cos(2x)₂ . Ainsi :

K= żπ

0

cos²(x)dx= żπ

0

1 +cos(2x)

2 dx=

[x

2 +sin(2x) 4

]π 0

=π 2 On en déduit :

L= żπ

0

sin²(x)dx= żπ

0

(1´cos²(x))dx=π´K= π 2

(b) On pose y = sin(x). Alors dy = cos(x)dx, et cos³(x)dx = cos²(x)ˆcos(x)dx = (1´ sin²(x))cos(x)dx= (1´y²)dy.

De plus, six= 0,y= 0et six= ^π₂,y= 1.

La fonction sin étant de classeC¹surRetyÞÝÑ1´y²étant continue surR, par changement de variables :

M = ż ^π₂

0

cos³(x)dx= ż1

0

(1´y²)dy= [

y´1 3y³

]1 0

=2 3 (c) PourxPR:

cos⁴(x) =

(e^ix+e^´ix 2

)4

= 1 2⁴

(e^4ix+ 4e^2ix+ 6 + 4e^´^2ix+e^´^4ix)

= 1

8cos(4x)+1

2cos(2x)+3 8 De même :

sin⁴(x) =

(eîxé^íx 2i

)4

= 1 2⁴

(e^4ix´4e^2ix+ 6´4e^´2ix+e^´4ix)

=1

8cos(4x)´1

2cos(2x)+3 8 On en déduit :

I= żπ

0

cos⁴(x)dx= żπ

0

(1

8cos(4x) +1

2cos(2x) +3 8

) dx=

[sin(4x)

32 +sin(2x) 4 +3x

8 ]π

0

= 3π 8 De même :

J = żπ

0

sin⁴(x)dx= żπ

0

(1

8cos(4x)´1

4cos(2x) +3 8

) dx=

[sin(4x)

32 ´sin(2x) 4 +3x

8 ]π

0

=3π 8 Exercice 6. 1. (a) Les fonctionsf etg sont toutes deux définies surR, qui est une partie symé-

trique par rapport à0, et pour tout xPR, g(´x) = f(´x) +f(x)

2 =g(x) et h(´x) = f(´x)´f(x)

2 =´f(x)´f(´x)

2 =´h(x) doncg est une fonction paire ethune fonction impaire.

(4)

(b) i. La fonctionf étant deux fois dérivable,g l’est aussi et pour toutxPR, g¹(x) = f¹(x)´f¹(´x)

2 et g²(x) =f²(x) +f²(´x) 2

donc g²(x) +g(x) =f²(x) +f²(´x)

2 +f(x) +f(´x) 2

=1 2

[(

f²(x) +f(´x) )

+ (

f²(´x) +f(

´(´x)))]

=1 2 [

x+ch(x) + (´x) +ch(´x)]

=ch(x) par parité de la fonction ch.

Ainsi, la fonction gest solution surR de(F1).

ii. f est dérivable sur R et xÞÝÑ ´x est dérivable surR, donc, par composition, xÞÝÑ f(´x)est dérivable surR, et sa dérivée estxÞÝÑ ´f¹(´x).

iii. L’équation homogène associée à(F1), qui esty²+y= 0, a pour équation caractéristique r²+ 1 = 0. Les solutions de cette dernière étant i et ´i, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions φ_λ,µ : R Ñ R

x ÞÝÑ λcos(x) +µsin(x)

où λ, µ P R. La fonction ch est deux fois dérivable et sa dérivée seconde est ch donc une solution particulière évidente de F1 est la fonction xÞÝÑ ch(x)

2 . Finalement, Les solutions de (F1)sont lesψλ,µ: R Ñ R

x ÞÝÑ λcos(x) +µsin(x) +ch(x) 2

oùλ, µPR.

iv. Puisquegest solution de(F₁), il existe deux constantes réellesλet µtelles que :

@xPR, g(x) =λcos(x) +µsin(x) +ch(x) 2 ¨

Commeg est paire, on a :@xPR, g(x)´g(´x) = 0et donc pour toutxPR, λcos(x) +µsin(x) +ch(x)

2 ´λcos(´x)´µsin(´x)´ch(´x) 2 = 0 ce qui donne, par parité de cos et ch et imparité de sin :

@xPR, 2µsin(x) = 0.

En particulier, en prenant x= π

2, on obtient 2µ = 0et donc µ= 0. Finalement, en posant α= λ, on obtient qu’il existe un réel αtel que : @x PR, g(x) = αcos(x) +

1 2ch(x).

(c) i. La fonctionf étant deux fois dérivable,hl’est aussi et pour toutxPR, h¹(x) = f¹(x) +f¹(´x)

2 et h²(x) =f²(x)´f²(´x) 2

donc h²(x)´h(x) =f²(x)´f²(´x)

2 ´f(x)´f(´x) 2

=1 2

[(

f²(x) +f(´x) )

´ (

f²(´x) +f(

´(´x)))]

=1 2 [

x+ch(x)´(´x)´ch(´x)]

=x par parité de la fonction ch.

Ainsi, la fonction hest solution surRde(F2).

(5)

ii. L’équation homogène associée à(F₂), qui esty²´y= 0, a pour équation caractéristique r²´1 = 0. Les solutions de cette dernière étant 1 et ´1, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions φ_λ,µ : R Ñ R

x ÞÝÑ λe^x+µe^´x

où λ, µ P R. La fonction xÞÝÑ ´xest deux fois dérivable et sa dérivée seconde est nulle donc c’est une solution particulière évidente de F₂. Finalement, les solutions de(F₂)sont les fonctionsψ_λ,µ:

R Ñ R

x ÞÝÑ λe^x+µe^´x´x

oùλ, µPR.

iii. Puisquehest solution de(F₁), il existe deux constantes réelles λet µtelles que :

@xPR, h(x) =λe^x+µe^´x´x.

Commehest impaire, on ah(0) = 0 doncλ+µ= 0et doncµ=´λce qui donne :

@xPR, h(x) = 2λsh(x)´x.

Finalement, en posantβ = 2λ, on obtient qu’il existe un réelβtel que :@xPR, h(x) = βsh(x)´x.

(d) On constate que f = g+h, ainsi il existe deux réels α et β tels que @x P R, f(x) = αcos(x) +βsh(x) +ch(x)

2 ´x.

2. Soitf une fonction ayant la forme obtenue en1.(d). Puisque les fonctions cos, sh, ch etxÞÝÑ ´x sont deux fois dérivables,f l’est aussi et pour toutxPR,

f¹(x) =´αsin(x) +βch(x) +sh(x)

2 ´1 et f²(x) =´αcos(x) +βsh(x) +ch(x) 2 si bien que :

@xPR, f²(x) +f(´x) =´αcos(x) +βsh(x) +ch(x)

2 +αcos(´x) +βsh(´x) +ch(´x) 2 +x puis, par parité de cos et ch et imparité de sh :

@xPR, f²(x) +f(´x) =x+ch(x) ce qui prouve quef est bien solution de(E)surR.

3. On a raisonné par analyse dans la question 1 et on a fait la synthèse dans la question 2, ce qui finit par montrer que les solutions de(E)sont les fonctions

R ÝÑ R

x ÞÝÑ αcos(x) +βsh(x) +ch(x) 2 ´x oùα, βPR

Résultats détaillés

Question I.1.a Barème : 0.25 ₀

´ 0.25´‚¯x«0.24

Erreurs commises dans la question

Oubli de la conclusion.

Il faut explicitement répondre aux questions, en rédigeant une phrase en français. Une bonne conclusion doit permettre de comprendre la question posée sans avoir à la relire. Vous pouvez reprendre les termes de la question pour vous aider.

(6)

Par exemple, si la question était « démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R», votre conclusion pourra simplement ressembler à « la fonction est strictement croissante surR».

Les conclusions doivent être soigneusement encadrées, avec une règle. Encadrer votre résultat est aussi l’occasion de vérifier que vous avez répondu explicitement à la question posée.

Notez qu’encadrez la dernière assertion d’un raisonnement par équivalences ne répond pas à la question. En effet, des équivalences traduisent simplement que des assertions ont la même valeur logique, mais elles ne permettent pas de savoir si elles sont vraies ou fausses ! Par exemple, si on vous demande de justifier que pour toutxą0,?

x²+ 1´xą0, vous ne pouvez pas écrire :

1 +x²ąx²ðña

1 +x²ąxðñ a

1 +x²´x²ą0 (toutes les assertions pourraient être fausses, et vous n’avez pas écrit de conclusion).

Si vous voulez travailler par équivalences (ce qui est inutile ici : des implications suﬀisent) on peut rédiger comme suit :

On sait que1 +x²ąx². Par ailleurs, 1 +x²ąx²ðña

1 +x²ąxðñ a

1 +x²´x²ą0.

Finalement, pour toutxą0,?

1 +x²´x²ą0.

Conclusion non encadrée.

Les conclusions doivent être soigneusement encadrées, avec une règle. Encadrer votre résultat est aussi l’occasion de vérifier que vous avez répondu explicitement à la question posée.

Il ne faut pas vous contentez d’encadrer une fin de calcul ou la dernière assertion d’un raisonnement par équivalence. Ainsi l’encadrement suivant est incorrect (icixPR) :

x+ 1 = 5ðñx= 5´1ðñ x=4. Il faut plutôt écrire

x+ 1 = 5ðñx= 4 donc l’unique solution de l’équationx+ 1 = 5est 4. De même, l’encadrement suivant est incorrect :

?12 =?

4ˆ3 = 2? 3 .

Il faut plutôt écrire : ?

12 =? 4ˆ3 donc ?

12 = 2? 3 . Oubli d’une marge.

Question I.1.b Barème : 0.25 ₀

´ 0.25´‚¯x«0.18

Question I.1.c Barème : 0.5 ₀

´ 0.5´‚¯x«0.23

Question I.1.d Barème : 0.5 ₀ _´ x¯«0.36‚ _´_0.5

Question I.1.e Barème : 0.5 ₀ _´ x¯«0.33‚ _´_0.5

(7)

Question I.1.f Barème : 0.5 ₀

´ 0.5´‚ ¯x«0.09

Question I.2.a Barème : 0.75 ₀

´ 0.75´‚¯x«0.38

Détail du barème Modélisation(0.25 pt)

Résultat(0.5 pt)

Erreurs commises dans la question Justification uniquement avec un schéma.

Oubli d’introduction d’une variable.

Si vous utilisez une variablex qui n’est pas introduite dans l’énoncé, il faut l’introduire avec « soit xP...» si vous avez besoin d’une variable fixée, ou avec « il existextel que ... » si un théorème vous donne l’existence de la variable que vous utilisez.

Notez qu’écrire « pour toutxP...» ne fixe pas de variable pour tout le reste de l’exercice : la variable est quantifiée uniquement pour l’assertion qui suit immédiatement. Par exemple,

«@xPR, x²ě0»

est correct, mais vous ne pouvez pas utiliserxplus loin dans l’énoncé sans l’introduire à nouveau.

Utilisation illégitime du symbole d’implication.

Le symboleùñ est à bannir de vos devoirs ! Premièrement, il est formellement interdit de l’utiliser comme une abréviation de « donc ».

Deuxièmement, l’utilisation de ce symbole risque de vous faire commettre une erreur de logique. En effet, pour deux assertionsAet B, démontrer que(AùñB) est vraie ne permet pas d’aﬀirmer que B est vraie (c’est vrai uniquement siAest vraie également, cf. la table de vérité deùñ).

Si vous souhaitez mener un raisonnement par implications, rédigez vos assertions en français.

Question I.2.b Barème : 0.25 ₀ _´ ‚ ¯x«0.06 _´_0.25

Question II.1 Barème : 0.75 ₀ _´ ¯x«‚0.39 _´_0.75

Détail du barème Résolution de l’équation(0.5 pt)

Somme et produit des solutions(0.25 pt)

Résolution d’une équation par implication : oubli du sens réciproque.

Soitf PF(R,R)et aPR. Résoudre une équation du type f(x) = arevient à déterminer toutes les valeurs dexPRqui satisfont l’égalité.

Raisonner par implications sans mener de réciproque n’est pas correct. En effet, si vous vous donnez

(8)

xPRtel quef(x) =a, puis que vous en déduisez ensuite des valeurs possibles pour x, vous ne pou- vez pas en déduire immédiatement l’ensemble des solutions de l’équation. En effet, vous n’avez pas montré que les candidats-solutions obtenus vérifient effectivement l’équation (pensez au raisonnement par analyse-synthèse).

Pour vous convaincre de l’importance du sens réciproque, considérez l’exemple suivant : soit xPR.

On suppose que x vérifie x+ 1 = 0. En particulier, x(x+ 1) = xˆ0, d’où x= 0 ou x =´1. On a travaillé par implications, il faut faire une réciproque : 0 + 1‰0 et ´1 + 1 = 0, donc seule 1 est solution de l’équation. Ainsi l’ensemble des solutions de l’équationx+ 1 = 0estt1u.

Pour cet exemple (et pour toutes les équations « simples ») il est bien plus simple de travailler par équivalences :x+ 1 = 0ðñ x=´1, donc l’ensemble des solutions est t1u.Vous pouvez remarquer qu’en travaillant par équivalences, il est interdit de multiplier les équations par x (car x peut être nul...).

Oubli d’une simplification évidente.

Il faut simplifer les expressions facilement calculables, comme 1 +?

4ˆln(e) +ln(1) = 3.

Il faut aussi réduire les fractions, et ne pas laisser de « fraction de fractions ». Par exemple, sixPR^‹: 4

2 x

= 2x.

De même,

ln(²₅)

ln(¹₆) = ln(2)´ln(5)

´ln(6) .

Oubli de parenthèses.

Il faut être très attentif à la présence des parenthèses dans une expression. On rappelle qu’il est interdit que deux symboles opératoires se suivent directement. On n’écrit donc pas 2ˆ ´1 mais plutôt 2ˆ(´1).

De plus, l’absence de parenthèse peut rendre vos raisonnements faux. Par exemple,´2³‰(´2)³. Une telle erreur peut provoquer la perte de tous les points de la question !

De même, si xPR,(1 + 1)ˆ(2x+ 3)‰1 + 1ˆ2x+ 3...

Mélange de symboles.

Vous ne pouvez pas mélanger les symboles=, ď,P, etc. dans une même assertion. Il est par exemple

interdit d’écrire ?

4´1 = 2´1 = 1PR+

pour justifier que?

4´1 est positif. Il faudra écrire plutôt :

« On a?

4´1 = 2´1 = 1et 1PR+, donc?

4´1PR+. ».

Oubli du i dans l’écriture d’un complexe sous forme trigonométrique.

Variable non ou mal quantifiée dans une assertion.

Attention à bien quantifier les variables dans vos assertions au milieu d’un raisonnement par équiva- lence.

Par exemple, notonsE=t2n : nPZul’ensemble des nombres pairs. SoitxPR. On n’écrit pas xPEðñx= 2navecnPZ,

mais plutôt

xPEðñ DnPZ, x= 2n.

(9)

Question II.2 Barème : 0.75 ₀

´ 0.75´‚ ¯x«0.11

Détail du barème Factorisation(0.5 pt)

Solution(0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Oubli d’introduction d’une variable.

Identification dans une égalité polynomiale mal quantifiée.

Sixest fixé, on ne peut pas identifer les coeﬀicients dans une égalité faisant intervenir des polynômes : il faut que l’égalité soit vraie pour toutxPI oùIest un intervalle non vide et non réduit à un point par exemple. Ainsi, si on demande de démontrer qu’il existe(a, b, c)PR³ tel que, pour tout xPR, x³+ 4x²+ 4x+ 1 = (x+ 1)(ax²+bx+c), il est incorrect d’écrire :

SoitxPR. On suppose qu’il existe(a, b, c)PR³tel quex³+ 4x²+ 4x+ 1 = (x+ 1)(ax²+ bx+c). On a en particulier x³+ 4x²+ 4x+ 1 = ax³+ (b+a)x²+ (c+b)x+c, donc

$

’’

&

’’

%

a = 1 b+a = 4 c+b = 4 c = 1

, etc.

Il faudrait plutôt écrire :

On suppose qu’il existe (a, b, c) P R³ tel que, pour tout x P R, x³+ 4x² + 4x+ 1 = (x+ 1)(ax²+bx+c). On a en particulier, pour tout xPR, x³+ 4x²+ 4x+ 1 =ax³+

(b+a)x²+ (c+b)x+c, donc

$

’’

&

’’

%

a = 1 b+a = 4 c+b = 4 c = 1

, puis

$

&

%

a = 1 b = 3 c = 1

. On vérifie ensuite que, pour toutxPR,(x+ 1)(x²+ 3x+ 1) =x³+ 4x²+ 4x+ 1.

En pratique, il est inutile pour ce type de problème d’expliquer comment on trouve le candidat-solution (a, b, c): seule la vérification est intéressante. La meilleure rédaction est donc la suivante :

Soit x P R. On a (x+ 1)(x²+ 3x+ 1) = x³+ 4x²+ 4x = 1. On peut donc choisir (a, b, c) = (1,3,1).

Mauvaise conjugaison du verbe résoudre.

Le verbre résoudre se conjugue ainsi au présent (tout bon matheux doit le savoir !) :

‚ je résous;

‚ tu résous;

‚ il/elle résout;

‚ nous résolvons ;

‚ vous résolvez ;

‚ ils/elles résolvent.

(10)

Question III.1 Barème : 0.75 ₀ _´ x¯«0.55‚ _´_0.75

Détail du barème Méthode connue(0.25 pt)

Calcul correct (0.5 pt)

Confusion entre fonction et image d’une fonction.

Si f P F(R,R) et xPR, il ne faut pas confondre la notation f (qui désigne la fonction) avecf(x) (qui est un réel : c’est l’image dexparf).

En particulier, certaines phrases n’ont pas de sens. On ne peut par exemple pas écrire «f(x) est croissante », ou «f(x)est dérivable », etc. De même, il est incorrect d’écriref =x+ 1.

Mauvaise conjugaison du verbe résoudre.

Confusion entre nombre et équation.

Variable muette dans une intégrale.

Soit(a, b)PR² avecaďb, soitf PF([a, b;,]K)une fonction continue. Dans l’écriture żb

a

f(x)dx,

la variable x est muette : il est donc inutile de l’introduire (et on peut librement la remplacer par n’importe quelle autre lettre disponible).

Question III.2 Barème : 2 ₀ _´ ¯x«1.53 ‚ _´₂

Détail du barème Solutions de l’équation homogène(0.5 pt)

Rédaction de la recherche d’une solution particulière(0.5 pt) Détermination d’une solution particulière(0.5 pt)

Solutions de l’équation générale : rédaction(0.25 pt) Solutions de l’équation générale : résultat (0.25 pt)

Confusion entre la dérivée de l’image et l’image de la dérivée.

Si f PF(R,R)est une fonction dérivable surR et xPR, il ne faut pas confondre la notationf¹(x) (image dexparf¹) avecf(x)¹ (dérivée de la constantef(x); on a doncf(x)¹= 0).

(11)

Considéronsf :xÞÝÑx². f¹ est une fonction (c’est la dérivée de f), doncf¹(2) = 4 est l’image de2 par la fonctionf¹. Par contre, puisquef(2)est un nombre,f(2)¹= 0(dérivée de la fonction constante xÞÝÑ4). De la même façon, sixPRest fixé, (2x)¹= 0, etc.

Il faut être très prudent avec le symbole « prime ». Je conseille de ne l’utiliser que sous la forme

«f¹(x)». Une erreur classique est la suivante : on pose f : x ÞÝÑe^2x et g : xÞÝÑ e^x. Pour x PR, les expressionsf¹(x)et g¹(2x)sont différentes ! (je lis souvent le contraire...) En effet, f¹(x) = 2e^2x, tandis queg¹(x) =e^x, doncg¹(2x) =e^2x(image de2xparg¹).

Oubli de répétition de la quantification dans un raisonnement par équivalences.

Oubli de justifier qu’une fonction est dérivable avant de la dériver.

Avant de dériver une fonction, il faut explicitement donner son domaine de dérivabilité. Cela peut nécessiter des calculs, qu’il faudra soigneusement mener.

Par exemple, s’il est demandé de dériverf :xÞÝÑ?

2x+ 1, il faudra commencer sa réponse par :

« SoitxPR.

2x+ 1ą0ðñxą ´1 2.

Comme la fonction racine carrée est dérivable sur R^‹₊, on en déduit que f est dérivable sur]

´¹₂; +8[

»

Division par zéro.

Confusion entre la flèche d’associativité et une flèche simple.

Enchaînement de calculs sans connecteurs logiques.

Il est interdit d’enchaîner des calculs sans connecteurs logiques pour les relier.

Si vous travaillez par implications, il faut utiliser des expressions comme « donc », « ainsi », « puis »,

« on en déduit », « il s’ensuit », etc. (n’hésitez pas à varier !).

Si vous travaillez par équivalences, vous pouvez rédiger en français en utilisant des expressions comme

« si et seulement si », « équivaut à », « il faut et il suﬀit que », « ssi », «i.e.», etc. Si vous écrivez des assertions avec le langage mathématique, vous pouvez les relier avec le symboleðñ.

S’il manque un connecteur logique entre deux calculs ou explications, je choisirai le mauvais pas dé- faut : vous perdrez ainsi tous les points de la question (il s’agit donc d’une erreur très importante de rédaction) !

Question IV Barème : 1.75 ₀ _´ ¯x«1.16‚ _´_1.75

(12)

Détail du barème

Inclusion directe : l’élément de l’ensemble de gauche est proprement introduit(0.25 pt) Inclusion directe : la variable ’t’ est correctement introduite(0.25 pt)

Inclusion directe : conclusion(0.25 pt)

Inclusion réciproque : l’élément de l’ensemble de droite est proprement introduit(0.25 pt) Inclusion réciproque : la variable ’t’ est correctement introduite(0.25 pt)

Inclusion réciproque : calculs(0.25 pt) Inclusion réciproque : conclusion(0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Variable non ou mal quantifiée dans une assertion.

Calculs dans une chaîne d’équivalences.

Il est interdit de faire un calcul au milieu d’une chaine d’équivalences. Ainsi, on n’écrira pas (ici xPR) :

x+ 1 = 3ðñx= 3´1 = 2, mais plutôt

x+ 1 = 3ðñx= 3´1ðñx= 2.

Mauvaise utilisation du français.

Il ne faut écrire que des phrases qui ont un sens (relisez-vous !). Il est très important de savoir utiliser un langage scientifique clair et correct.

Soyez également vigilant quand vous commencez une question que vous ne savez pas traiter : il ne faut pas écrire un début de phrase et vous arrêtez au milieu pour passer à la question suivante ! Tout ce qui est écrit dans votre copie est lu, et vous n’avez pas à présenter de réponses sans contenu.

Confusion entre ensemble et assertion.

Confusion entre le signe = et une flèche.

Il ne faut pas confondre le symbole= avecðñ ou ùñ. En effet, on rappelle queðñ ou ùñsont des connecteurs logiques, qui doivent donc apparaître entre deux assertions.

Le symbole = doit être placé entre deux objets identiques (des nombres identiques, des fonctions identiques, etc.).

Confusion entre les symboles ’inclus dans’ et ’appartient à’.

Les symbolesPetĂont un sens différent.

P signifie « appartient à ». Il doit être placé entre un élément et un ensemble (dans cet ordre). Par exemple,xPAsignifie que l’élémentxappartient à l’ensembleA.

Ă signifie « inclus dans ». Il doit être placé entre deux ensembles. Par exemple, A ĂB signifie que l’ensembleAest inclus dans l’ensembleB (ce qui veut dire que tous les éléments deAappartiennent aussi àB).

(13)

Confusion entre nombre et assertion.

Il faut bien distinguer les deux notions. L’erreur est souvent commise dans un raisonnement par ré- currence, où une suite u intervient et les hypothèses sont notées H_n (n P N). Il ne faut pas écrire

« doncun+1 est vraie » pour conclure la phase d’hérédité, puisque cela signifie qu’un nombre est vrai (cela n’a pas de sens...). Il faut bien écrire «Hn+1 est vraie ».

Il faut aussi bien veiller à ne pas utiliser le symboleðñ avec un nombre. L’écriture «2ðñ3» n’a par exemple aucun sens...

Mauvaise introduit d’un élément d’un produit cartésien.

Question V.1 Barème : 1 ₀ _´ x¯«0.68‚ _´₁

Détail du barème Hypothèses du théorème d’IPP(0.25 pt)

Formule d’IPP(0.25 pt) Calculs(0.5 pt)

Erreurs commises dans la question Variable muette dans une intégrale.

Oubli de citer le nom d’un théorème ou d’un résultat.

Quand vous citez un théorème ou une formule, il faut le nommer.

Recopiage de l’énoncé.

Il est complètement inutile de recopier l’énoncé. Vous perdez du temps, et vous risquez de mal redéfinir une variable.

Lettre muette - fonction.

Dans les écritures suivantes,

f :xÞÝÑx+ 1; f : R ÝÑ R x ÞÝÑ x+ 1 la lettrexest muette : il est donc inutile de la fixer avec « soitxPR».

Oubli de ’dx’ dans l’écriture d’une primitive.

(14)

Question V.2 Barème : 1.75 ₀

´ 1.75´‚ ¯x«0.45

Détail du barème Calcul de I+J (0.5 pt)

Calcul de J´I(1 pt)

Détermination de Iet de J (0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Écrire une équivalence au lieu d’une assertion.

Confusion entre le signe = et une flèche.

Oubli d’une partie de l’assertion dans une équivalence.

Attention, si, pour toutxPRA(x),A¹(x)etB(x)sont trois assertions, avec@xPR, A(x)ðñA¹(x), il est faux d’écrire :

@xPR, A(x) ou B(x) ðñ @xPR, A¹(x)

puisqu’il manque B(x)dans la deuxième assertion (sauf si B(x)est vraie pour toutxPR...) ! Il faut donc recopier toutes les assertions complètement :

@xPR, A(x) ou B(x) ðñ @xPR, A¹(x) ou B(x) De même, si xPR, on n’écrit pas

"

A(x)

B(x) ðñA¹(x) mais plutôt,

"

A(x) B(x) ðñ

"

A¹(x) B(x) (sauf siB(x)est faux pourxPR...)

Question V.3.a Barème : 0.75 ₀

´ 0.75´‚¯x«0.56

Détail du barème Linéarisation(0.25 pt)

Calcul de K(0.25 pt) Calcul de L(0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Variable muette dans une intégrale.

(15)

Oubli de parenthèses.

Question V.3.b Barème : 1.5 ₀ _´ ¯x«0.97‚ _´_1.5

Détail du barème

Hypothèse du théorème de changement de variable : changement de variable de classe C1(0.25 pt) Hypothèse du théorème de changement de variable : fonction continue(0.25 pt)

Bornes correctes dans la nouvelle intégrale(0.25 pt) Calcul de dy (0.25 pt)

Expression dans la nouvelle variable(0.25 pt) Calcul(0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Oubli de ’dx’ dans l’écriture d’une primitive.

Utilisation d’un argument inutile.

Utiliser un argument inutile est une erreur très importante, puisque cela démontre que vous n’avez pas compris en quoi les autres arguments que vous citez sont suﬀisants. En particulier, énoncer toutes les propriétés que vous connaissez ou qui ont été démontrées dans les questions précédentes pour conclure ne vous rapportera aucun point.

Si vous avez besoin de plusieurs arguments dans plusieurs étapes d’un calcul, il est par ailleurs indis- pensable d’être le plus précis possible, et de citer les arguments uniquement à l’étape du calcul où ils sont nécessaires.

Question V.3.c Barème : 2 ₀

´ 2´‚¯x«1.19

Détail du barème Formule d’Euler(0.5 pt)

Linéarisation de cos(x)⁴(0.5 pt) Linéraisation de sin(x)⁴ (0.5 pt) Calcul deI (0.25 pt)

Calcul deJ (0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Oubli de la conclusion.

(16)

Question VI.1.a Barème : 0.5 ₀

´ 0.5´‚¯x«0.41

Détail du barème Parité deg (0.25 pt)

Imparité deh(0.25 pt)

Confusion entre ’pour tout x appartenant à...’ et ’soit x appartenant à...’.

On rappelle qu’écrire : « pour tout xP R» ne quantifiexque pour l’assertion qui suit immédiate- ment. Si vous utilisez xplus loin dans votre démonstration, il faut le quantifier à nouveau. Le plus simple, si vous utilisez plusieurs fois la variablex, est de fixerxen début de question avec « soitxPR».

Question VI.1.b Barème : 0.5 ₀ _´ ‚x¯«0.17 _´_0.5

Détail du barème Dérivabilité(0.25 pt)

Expression de la dérivée(0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Confusion entre fonction et image d’une fonction.

Confusion entre f’(g(x)) et (f o g)’(x).

Question VI.1.c.i Barème : 1 ₀

´ 1´‚ ¯x«0.21

Détail du barème Calcul correct de g¹ et g² (0.25 pt)

Reconnaître f²(x) +f(´x)(0.25 pt) Utiliser la partie de ch(0.25 pt) Conclusion (0.25 pt)

(17)

Abréviations interdites.

Les abréviations sont toutes interdites, avec tout de même quelques exceptions :i.e.pour « id est », qui est une location latine signifiant « c’est-à-dire » ; ssi pour « si et seulement si » ; quelques noms de théorèmes, que je préciserai systématiquement (par exemple, on autorise TVI pour théorème des valeurs intermédiaires).

Lettre muette - fonction.

Question VI.1.c.ii Barème : 0.75 ₀ _´ ‚¯x«0.22 _´_0.75

Détail du barème Solution particulière(0.25 pt)

Solutions homogènes(0.25 pt) Solutions(0.25 pt)

Méthode : démontrer l’existence d’un objet.

Quand on veut démontrer l’existence d’un objetxqui vérifie une certaine propriété, la diﬀiculté ne consiste généralement pas à vérifier quexsatisfait la propriété, mais plutôt à avoir l’idée d’un exemple d’un tel objetx.

Une fois que l’on a une idée d’un candidatx, la rédaction est simple : On posex=.... Vérifions quexsatisfait la propriété. [...]

Il n’est pas nécessaire d’expliquer comment vous avez eu l’idée dex.

Exemple: on veut montrer que :

@xPN, @yPN, DzPN, ?

ząx+y.

Solution : Soit(x, y)PN². Posons : z = (x+y+ 1)² (on l’obtient après une phase de recherche au brouillon !).

Alors d’une partzPN. D’autre par,

?z=|x+y+ 1|=x+y+ 1

(18)

d’où ?

ząx+y, et l’exercice est résolu.

Question VI.1.c.iii Barème : 1 ₀ ‚_´ ¯x«0.04 _´₁

Détail du barème Introduire les constantes proprement(0.25 pt)

Se ramener au produit de sinus par une constante nul(0.5 pt) Justifier que la constante est nulle (0.25 pt)

Mélange de français et de mathématiques.

Vous pouvez écrire une phrase en français ou en langage mathématique, mais il est interdit de mélanger les deux.

Vous pouvez par exemple écrire :

DM PR,@xPR,sin(x)ďM ou,

« il existe un réelM tel que, pour toutxréel, sin(x)est inférieur àM », mais pas :

« il existeM un réel tel que, @xPR, sin(x)est inférieur àM ».

On autorise toutefois certains symboles à l’intérieur d’une rédaction en français : P,Ă, les symboles de comparaison (=,ď, etc.) et les symboles d’opérations (+, ´, etc.). Ainsi, il est possible d’écrire :

« il existeM PRtel que, pour toutxPR, sin(x)ďM ».

Question VI.1.d.i Barème : 0.5 ₀ _´ ‚ x¯«0.09 _´_0.5

Détail du barème Solutions homogènes (0.25 pt)

Solutions(0.25 pt)

Erreurs commises dans la question Mélange de symboles.

(19)

Utilisation d’un argument inutile.

Question VI.1.d.ii Barème : 0.75 ₀ _´ ‚ ¯x«0.14 _´_0.75

Détail du barème Solution particulière(0.25 pt)

Solutions homogènes(0.25 pt) Solutions(0.25 pt)

Question VI.1.d.iii Barème : 1 ₀

´ 1´

‚ x¯«0.03

Détail du barème Introduire les constantes proprement(0.25 pt)

Déterminer la contrainte sur les constantes(0.5 pt) Conclure(0.25 pt)

Question VI.1.e Barème : 0.25 ₀ _´ ‚ ¯x«0.04 _´_0.25

Erreurs commises dans la question Confusion entre ’pour tout x appartenant à...’ et ’soit x appartenant à...’.

(20)

Question VI.2 Barème : 0.5 ₀ _´ ‚ x¯«0.06 _´_0.5

Détail du barème Bon début(0.25 pt)

Tout est juste(0.25 pt)

Question VI.3 Barème : 0.25 ₀ _´ ‚ x¯«0.03 _´_0.25

Erreurs commises dans la question Oubli de citer le nom d’un théorème ou d’un résultat.