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Résoudre l’équation ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) = 4.
Aide : poser y x .... puis Y = y²
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CORRECTION
Résoudre l’équation ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) = 4. Aide : poser y x ....
On pose y x 5
2 (au "milieu" de 1 ; 2 ; 3 et 4).
On a donc x y 5 2 .
Soit (E) l équation (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) = 4 (E )
y
32
y
12
y
12
y
32
4 (E )
y²
94
y ²
14
4 (E ) y4 5
2 y 2 9 16 4 On pose Y y².
(E ) Y² 5
2 Y 9
16 4 Y ² 5
2 Y 55 16 0 On résout avec la méthode du cours
(E) Y =
ou Y = = –
< 0.
Ainsi (E) y ² =
ou y² = –
(impossible) x = –
ou x = – –
S =
–
; – –
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Soit un triangle rectangle de périmètre 30cm. La somme des carrés des longueurs des côtés vaut 338cm²
Quelles sont les longueurs des trois côtés ?
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CORRECTION
Soit un triangle rectangle de périmètre 30cm. La somme des carrés des longueurs des côtés vaut 338cm²
Quelles sont les longueurs des trois côtés ?
Notons x et y les longueurs en cm des côtés de l’angle droit.
La longueur de l’hypoténuse est alors x² y².
On a donc le système suivant :
x y x² y²
x² y² x² y²
x y x² y²
x² y²
x y
x² y²
y – x
x² – x²
y – x
x² – x . On résout l’équation 2x² – 34x + 120 = 0 :
= 196 > 0 donc l’équation a deux solutions : x
1= 12 et x
2= 5.
Ainsi le système équivaut à :
y – x x ou x c’est à dire à (x = 12 et y = 5) ou (x = 5 et y = 12).
Les côtés de l’angle droit ont donc pour longueur 5 et 12 cm.
La longueur de l’hypoténuse est alors de 30 (5 + 12) = 13 cm.
Les côtés du triangle ont pour longueurs 5 cm, 12 cm et 13 cm.
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Déterminer les longueurs des côtés d’un triangle isocèle d’aire 60 cm²
dont les côtés de même longueur mesurent 13 cm.
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CORRECTION
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 13 cm et d’aire 60 cm². Soient h la longueur de la hauteur issue de A, H le pied de cette hauteur et x la longueur BC.
On a donc hx
2 = 60. Le théorème de Pythagore dans le triangle ABH donne :
h²
x 22
= 13² soit h² = 169- x²
4 . h étant positif, on a : h = 169- x² 4 .
On a alors :
x 169- x² 4
2 = 60 c’est à dire x 169- x²
4 = 120.
Donc x²(169 x²
4 ) = 120² (on élève chaque membre de l’égalité au carré).
Ainsi x
44 + 169x² = 14 400.
x
4676 x² 57600 = 0
Posons X = x
4. L’équation équivaut à – X ² 676X 57600 = 0
= 226 576. X
1= 576 X
2= 100.
L’équation équivaut donc à x² = 576 ou x² = 100 Donc x = 24 ou x = -24 ou x = 10 ou x = -10.
x étant une longueur, on retient les valeurs x = 24 et x = 10.
Vérification :
Si x = 24, AH = 12 et h = 13²-12² = 5 donc l’aire du triangle est 524
2 = 60
Si x = 10, AH = 5 et h = 13²-5² = 12 donc l’aire du triangle est 1210
2 = 60
Ainsi les deux valeurs de x trouvées conviennent.
Les dimensions du triangle sont 13cm, 13 cm et 24 cm ou 13 cm, 13
cm et 10 cm.
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Déterminer tous les couples (p q ) de réels non nuls tels que p et q soient solutions de l’équation
x² p x q = 0.
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CORRECTION
p est solution de x² p x q = 0 signifie que p ² p² q = 0 c’est à dire que q = 2 p².
q est solution de x² p x q = 0 signifie que q ² pq q = 0 c’est à dire que q (q p 1) = 0.
Or q = 2 p ² donc –2 p²( 2p² p 1) = 0 Or p est non nul donc –2 p² p 1 = 0.
= 9 p
1= 1 et p
2= 1 2 Si p = 1 : q = 21² = 2.
Si p = 1
2 : q = 2
1 22
= 1 2 . Vérification :
Si p = 1 et q = 2 :
L’équation est x² x 2 = 0.
1² 1 2 = 0 donc 1 est solution.
( 2)² 2 2 = 0 donc –2 est solution.
Si p = q = 1
2 . L’équation est x² 1 2 x 1
2 = 0.
1 22
1
2
1 21
2 = 0 donc 1
2 est sol ution.
Les couples (p ; q) qui conviennent sont (1 2) et
1 21 2
.
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Une cuve a une contenance de 300 litres. Le robinet d’eau chaude qui l’alimente a un débit de 15 litres par minute. Si on ouvre simultanément ce robinet d’eau chaude et celui d’eau froide, on met 18 minutes de moins pour remplir la cuve que si le robinet d’eau froide est ouvert seul.
Quel est le débit du robinet d’eau froide ?
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CORRECTION
Une cuve a une contenance de 300 litres. Le robinet d’eau chaude qui l’alimente a un débit de 15 litres par minute. Si on ouvre simultanément ce robinet d’eau chaude et celui d’eau froide, on met 18 minutes de moins pour remplir la cuve que si le robinet d’eau froide est ouvert seul.
Quel est le débit du robinet d’eau froide ?
Notons x le débit du robinet d’eau froide. Alors le débit des deux robinets est 15 + x litres par minutes.
Le temps mis pour remplir la cuve avec le robinet d’eau froide est
x . Le temps mis pour remplir la cuve avec les deux robinets est
x . On a donc l’équation suivante :
x – 18 =
x (E).
(E) –18x² – 270x + 4500 = 0 avec x 0 et x –15.
= 396900 donc l’équation a deux solutions qui sont – 25 et 10.
Un débit ne pouvant être négatif, le débit du robinet d’eau froide est
10 litres par minute.
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Déterminer k pour que le produit des racines du trinôme 3x ² 4x k
soit maximum.
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CORRECTION
Soient a et b les racines du trinôme 3x ² 4x k .
a et b existent donc le discriminant du trinôme est positif : 16 12 k 0, c'est-à-dire k 4
3 . On a a 4
6 et b 4
6 (ou le contraire).
ab= 4 6
4
6 = 16
36 = 16 (16 12k ) 36
k 3 .
Le produit des racines du trinôme 3x ² 4x k est maximum lorsque k 3 est maximum, c'est-à-dire lorsque k est maximum.
Or k 4 3 .
Ainsi, le produit des racines du trinômes est maximum lorsque k = 4
3 .
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La somme des deux chiffres d un nombre est 13. Si, à leur produit, on
ajoute 34, on trouve pour total le nombre renversé [par exemple 24 au
lieu de 42]. Quel est ce nombre ?
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CORRECTION
Soit x le nombre cherché, formé des chiffres a et b : x ab = 10a b . On a a +b 13 et a b 34 ba = 10 b a .
On a donc le système :
a b 13
ab 34 10 b a ( S) (S )
