Problème d’algèbre classique

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir sur table n°6 – concours blanc du lundi 4 janvier

Durée : 4 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales :

Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien 11 pages ;

• de traiter le sujet, classique ou corsé, qui leur incombe :

— sujet classique : problème d’algèbre classique (pages 2-3), problème d’analyse classique 1 (page 4), problème d’analyse classique 2 (pages 5-6) ;

— sujet corsé: problème d’algèbre corsé (pages 7-9) et problème d’analyse corsé (pages 10-11) ;

• de traiter les problèmes dans l’ordre qui leur convient le mieux, à condition de respecter scrupuleusement la numé- rotation des problèmes et questions ;

• si possible traiter les problèmes sur des copies différentes.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

Problème d’algèbre classique

On note, pournentier tel quen≥2,Mn(R)l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordrenà coefficients réels.

On s’intéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à la réduction de matrices par blocs du type

aA bA cA dA

∈ M_2n(R), oùA∈ M_n(R)et a,b,c,dsont quatre réels non tous nuls.

On rappelle qu’un produit de matrices par blocs se fait de manière similaire à un produit classique : A B

C D

A⁰ B⁰ C⁰ D⁰

=

AA⁰+BC⁰ AB⁰+BD⁰ CA⁰+DC⁰ CB⁰+DD⁰

,

chaque matrice bloc étant une matrice de Mn(R).

On pourra utiliser ici sans démonstration que siP ∈GLn(R), (A, B) ∈ Mn(R)² et T ∈R[X] est un polynôme, alorsA=P⁻¹BP entraîneT(A) =P⁻¹T(B)P.

On rappelle que siA,B,Csont des matrices deMn(R), alorsdet A B

0 C

= det(A) det(C).

Questions préliminaires

L’objectif est de démontrer le résultat suivant : « une matriceM ∈ Mn(R)est diagonalisable surRsi et seulement s’il existe un polynômeP scindé surR, à racines simples, vérifiantP(M) = 0».

Pour cela, on considère une matriceM ∈ Mn(R)et on note ul’endomorphisme de Rⁿ canoniquement associé à M.

Q.1 On suppose queuest diagonalisable et on noteλ1, . . . ,λp(p≥1) les valeurs propres distinctes deu. Démontrer que le polynômeP = (X−λ1)· · ·(X−λp)est annulateur deu.

Q.2 Réciproquement, on suppose queµ1, . . . ,µrsontrnombres réels distincts (r≥1) tels queQ= (X−µ1)· · ·(X− µ_r)est un polynôme annulateur deu.

En utilisant le lemme des noyaux, démontrer queuest diagonalisable surRet que le spectre deuest inclus dans l’ensemble{µ1, . . . , µr}.

Un exemple où la matrice

a b c d

est diagonalisable sur R

Q.3 On suppose queV =

4 2

−3 −1

. Démontrer queV est diagonalisable surRet donner une matrice inversibleP que l’on notera P =

α β γ δ

et une matrice diagonaleD vérifiantV =P DP⁻¹ (on préciseraP⁻¹).

Q.4 SoitA∈ Mn(R). On pose alors la matrice par blocsQ=

αI_n βI_n γIn δIn

.

Justifier que la matrice Q est inversible, donner la matrice Q⁻¹ et démontrer que la matrice

4A 2A

−3A −A

∈ M2n(R)est semblable à la matriceB=

A 0 0 2A

∈ M2n(R).

Q.5 On suppose que la matriceAest diagonalisable surR, ce qui signifie qu’il existe une matriceRinversible et une matrice∆ diagonale telles queA=R∆R⁻¹. Calculer le produit de matrices par blocs

R⁻¹ 0 0 R⁻¹

B

R 0 0 R

.

Que peut-on en déduire pour la matrice

4A 2A

−3A −A

?

Q.6 On se propose de démontrer la réciproque du résultat précédent.

On suppose que la matrice

4A 2A

−3A −A

est diagonalisable. Soit T un polynôme scindé à racines simples an- nulateur de cette matrice, calculer T(A). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice 4A 2A

−3A −A

soit diagonalisable.

Un exemple où la matrice

a b c d

est trigonalisable sur R

Q.7 Démontrer que la matrice E =

3 −2 2 −1

est trigonalisable surRet donner une matrice inversible P telle que E=P

1 −2

0 1

P⁻¹.

Q.8 SoitA∈ Mn(R), démontrer que la matrice

3A −2A

2A −A

est semblable à la matriceF =

A −2A

0 A

.

Q.9 On suppose que la matriceF est diagonalisable surR. SoitU ∈R[X]un polynôme annulateur deF, scindé sur Ret à racines simples. On noteU⁰ le polynôme dérivé deU.

Démontrer que

U(A) −2AU⁰(A)

0 U(A)

∈ M2n(R)est la matrice nulle.

Q.10 Vérifier que le polynôme minimal de la matriceA estX. En déduire la valeur de la matrice A.

Q.11 Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matriceApour que la matrice

3A −2A

2A −A

soit diagonali- sable.

Q.12 On suppose que la matriceF est trigonalisable surR. Exprimer le polynôme caractéristique deF en fonction de celui deA. En déduire queF est trigonalisable surRsi et seulement siAest trigonalisable surR.

Q.13 Donner un exemple de matriceA∈ Mn(R)telle que la matrice

3A −2A

2A −A

∈ M4(R)ne soit pas trigonalisable surR.

Applications

Q.14 Soituun endomorphisme deR⁴ dont la matrice dans la base canonique(e1, e2, e3, e4)deR⁴est

M =









1 3 2 6 2 2 4 4 2 6 1 3 4 4 2 2







 .

Déterminer deux sous-espaces vectoriels de dimension 2stables paru.

On pourra s’inspirer de la questionQ.4.

Q.15 En adaptant la démarche présentée dans le premier exemple de ce problème, démontrer que la matrice

M =









4 0 2 0 0 4 0 2 2 0 4 0 0 2 0 4









Problème d’analyse classique 1

Partie I — Suites et séries de fonctions

On rappelle les formules de trigonométrie que l’on pourra utiliser sans les redémontrer :

2 cos(p) cos(q) = cos(p+q) + cos(p−q) et 2 sin(p) sin(q) = sin(p+q) + sin(p−q).

Soitαun réel non nul fixé. Pour tout entier naturel n, on définit la fonctionun deRversRpar :

∀x∈R, u_n(x) = αⁿcos(nx) n! . 1. Déterminer l’ensemble de définitionDde la fonction C:x7→

+∞

X

n=0

un(x).

2. Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions X

n≥0

un surD.

3. Donner pour toutx∈ Dune expression deC(x)à l’aide des fonctions usuelles.

4. Pour tout entier naturel n, on note : J_n = Z π

−π

sin(nx)C(x)dx et I_n = Z π

−π

cos(nx)C(x)dx.

4.1. CalculerJn puisIn. 4.2. Déterminer lim

n→+∞J_n et lim

n→+∞I_n. 5. On pose enfin, lorsque cela existe, S(x) =

+∞

X

n=0

αⁿcos²(nx) n! .

Déterminer l’ensemble de définition deS et donner une expression de S(x)à l’aide des fonctions usuelles.

Partie II — Séries entières

On se propose de déterminer toutes les fonctions f solutions du problème(P)suivant : (f est continue surR) et

∀x∈R, f(x) = 1− Z x

0

(t+x)f(x−t)dt : (E1)

. Pour toute fonctionf continue surR, on pose F(x) =

Z x 0

f(t)dt.

6. Soitf une fonction continue surR. 6.1. Justifier queF est de classeC¹ surR.

6.2. Montrer que sif vérifie(E1), alorsf est dérivable surR. 7. Démontrer quef est solution de(P)si et seulement si : (P1)











f est dérivable surR

∀x∈R, f⁰(x) +xf(x) + 2 Z x

0

f(u)du = 0 f(0) = 1

8. En déduire quef est solution de(P)si et seulement si : (P2)







F est deux fois dérivable surR

∀x∈R, F⁰⁰(x) +xF⁰(x) + 2F(x) = 0 F⁰(0) = 1

9. On suppose qu’il existe une fonctionH développable en série entière surR: H(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ, vérifiant : ∀x∈R, H⁰⁰(x) +xH⁰(x) + 2H(x) = 0

H⁰(0) = 1 et H(0) = 0 9.1 Prouver que l’on a : a0= 0, a1= 1 et : ∀n∈N, an+2=− an

n+ 1.

9.2 En déduire une expression deH(x)pour toutxréel à l’aide de fonctions usuelles.

10. Déterminer alors l’ensemble des solutions du problème(P).

Problème d’analyse classique 2

Notations.

Pourz∈C, on note|z|son module. Pour tout entier natureln, on note :

• n!la factorielle denavec la convention0! = 1,

• [[0, n]]l’ensemble des entiers naturelskvérifiant0≤k≤n,

• ⁿ_k

le nombre de parties ayantkéléments d’un ensemble denéléments, pourk∈[[0, n]].

On rappelle :

• la valeur de n

k

= n!

k!(n−k)! pourk∈[[0, n]],

• la formule du binôme : siz₁et z₂sont des nombres complexes etnun entier naturel, alors (z1+z2)ⁿ =

n

X

k=0

n k

z₁^kz₂^n−k.

Enfin, sinest un entier naturel non nul, on noteσn la somme

n

X

k=1

1

k = 1 + 1

2+· · ·+ 1

n et on poseσ0= 0.

Les notations utilisées sont les suivantes.

Toute application deNdansCétant une suite complexe, siaest une telle suite, on utilise la notation usuellea(n) =an. À toute suite complexea, on associe la suitea^∗ définie par :

∀n∈N, a^∗_n = 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

a_k.

L’objet des parties Iet IIest de comparer les propriétés de la série X

n≥0

a^∗_n aux propriétés de la sérieX

n≥0

a_n, d’abord sur des exemples puis dans le cas général.

Partie I : deux exemples.

I.1. Cas d’une suite constante.

Soitα∈C^∗; on suppose que la suiteaest définie par∀n∈N, a_n=α.

I.1.1. Donner la valeur de

n

X

k=0

n k

pour n∈N. I.1.2. Calculera^∗_n pourn∈N.

I.1.3. La série X

n≥0

an (resp.X

n≥0

a^∗_n) est-elle convergente ? I.2. Cas d’une suite géométrique.

Soitz∈C; on suppose que la suiteaest définie par :∀n∈N, an=zⁿ. I.2.1. Exprimera^∗_n en fonction dez etn.

I.2.2. On suppose que|z|<1.

(a) Justifier la convergence de la série X

n≥0

a_n et expliciter sa sommeA(z) =

+∞

X

n=0

a_n.

(b) Justifier la convergence de la série X

n≥0

a^∗_n et expliciter sa somme

+∞

X

n=0

a^∗_n en fonction deA(z).

I.2.3. On suppose que|z| ≥1.

(a) Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la sérieX

n≥0

an? (b) Quelle est la nature de X

a^∗_n siz=−2?

Partie II : étude de la convergence de (a

)

et de P a

.

Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que aest à valeurs réelles.

II.1. Comparaison des convergences des deux suites.

II.1.1. Soitn∈N^∗, on considère une entierkfixé,k∈[[0, n]].

(a) Préciser un équivalent de n

k

lorsquentend vers+∞.

(b) En déduire la limite de 1 2ⁿ

n k

lorsque ntend vers+∞.

II.1.2. Soitaune suite réelle etqun entier naturel fixé.

On considère pourn > qla sommeS_q(n, a) =

q

X

k=0

n k

a_k

2ⁿ. Quelle est la limite deS_q(n, a)lorsque l’entiern tend vers+∞?

II.1.3. On suppose queantend vers0lorsquentend vers+∞. Montrer quea^∗_ntend vers0 lorsquentend vers +∞.

II.1.4. On suppose quea_n tend vers`(limite finie) lorsquentend vers+∞. Quelle est la limite dea^∗_n lorsque ntend vers+∞?

II.1.5. La convergence de la suite(an)n est-elle équivalente à la convergence de la suite (a^∗_n)n? II.2. Comparaison des convergences des sériesP

an et P a^∗_n. Pourn∈N^∗, on noteSn =

n

X

k=0

ak,Tn=

n

X

k=0

a^∗_k,Un= 2ⁿTn.

II.2.1. Pour n ∈ [[0,3]], exprimer Un comme combinaison linéaire des sommes Sk, c’est à dire sous la forme Un=

n

X

k=0

λn,kSk.

II.2.2. On se propose de démontrer que : ∀n∈N, ∀k∈[[0, n]], λ_n,k = n+ 1

k+ 1

. (a) Prouver que : ∀n∈N, Un+1 = 2Un+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

ak (1).

(b) On utilise la convention S₋₁ = 0. On a toujours, pour n ∈ N, S_n =

n

X

k=0

a_k, donc pour toutk ∈N : ak=Sk−Sk−1 (2).

En utilisant (1) et (2), démontrer par récurrence que : ∀n∈N, Un=

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

Sk. II.2.3. On suppose que la sérieP

an est convergente. Montrer que la sérieP

a^∗_nest convergente et exprimer la somme

+∞

X

n=0

a^∗_n en fonction de la somme

+∞

X

n=0

an.

II.2.4. La convergence de la sériePa_n est-elle équivalente à la convergence de la sériePa^∗_n?

Problème d’algèbre corsé

Autour des matrices de Toeplitz

Dans tout le problème, Kdésigne le corpsR ouC, n un entier naturel supérieur ou égal à2,Un l’ensemble des racinesn-ièmes de l’unité.

Siaetb sont deux entiers relatifs tels quea≤b,[[a, b]]désigne l’ensemble {a, a+ 1, . . . , b−1, b}.

K[X] désigne l’ensemble des polynômes à coefficients dansK.

L’ensemble des matrices carrées de taillenà coefficients dansKest notéMn(K).

Si(t_−n+1, . . . , t₀, . . . , t_n−1)∈K²ⁿ⁻¹, on noteT(t_−n+1, . . . , t₀, . . . , t_n−2, t_n−1)la matrice

T(t_−n+1, . . . , t0, . . . , t_n−2, t_n−1) =



























t₀ t₁ t₂ . . . t_n−1 t₋₁ t0 t1 . .. ... t₋₂ t₋₁ . .. . .. . .. ... ... . .. . .. . .. t1 t2

... . .. t₋₁ t₀ t₁ t_−n+1 . . . t₋₂ t₋₁ t0

























 .

Une telle matrice est appeléematrice de Toeplitzd’ordren. On nommeToep_n(K)l’ensemble des matrices de Toeplitz d’ordrenà coefficients dansK:

Toep_n(K) =

M ∈ M_n(K)| ∃(t_−n+1, . . . , t₀, . . . , t_n−1)∈K²ⁿ⁻¹, M =T(t_−n+1, . . . , t₀, . . . , t_n−2, t_n−1) . Une matriceN deMn(K)est dite nilpotente s’il existep∈N^∗ tel queN^p= 0. On admettra qu’une telle matrice vérifieNⁿ= 0.

Pour toute matriceM deMn(K), on noteχM son polynôme caractéristique défini parχM(X) = det(XIn−M).

SiP =a₀+a₁X+· · ·+a_pX^p (p∈N) est un polynôme deK[X],P(M)désigne la matrice P(M) =a0In+a1M +· · ·+apM^p.

On admettra et on pourra utiliser le résultat suivant :

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie (K=RouC) et uun endomorphisme deE.

uest diagonalisable si, et seulement si,uadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Version matricielle :

SoitA∈ Mn(K).Aest diagonalisable si, et seulement si,Aadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Le but de ce problème est l’étude de certaines propriétés des matrices de Toeplitz. La partie I traite de généralités sur les matrices de Toeplitz et de quelques exemples. La partie II, indépendante de la partie I, étudie un type particulier de matrices de Toeplitz — les matrices circulantes — en s’intéressant à leur structure et à leur diagonalisabilité.

I Généralités et quelques exemples

I.A – Généralités

Q1. Montrer queToep_n(C)est un sous-espace vectoriel deMn(C). En donner une base et en préciser la dimension.

Q2. Montrer que si deux matrices AetB commutent (AB=BA) et si P et Qsont deux polynômes deC[X], alors P(A)etQ(B)commutent.

I.B – Cas de la dimension 2

SoitA=_{a b}

c a

une matrice de Toeplitz de taille2×2, où(a, b, c)sont des complexes.

Q3. Donner le polynôme caractéristique deA.

Q4. Discuter, en fonction des valeurs de(a, b, c), de la diagonalisabilité deA.

Réduction d’une matrice sous forme de Toeplitz Q5. Soit M =

a b c d

une matrice de M2(C). Montrer que M est semblable à une matrice de type

α 0 0 β

ou de type_{α γ}

0 α

, oùα,β etγ sont des complexes avecα6=β.

Q6. En déduire que toute matrice de M₂(C)est semblable à une matrice de Toeplitz.

I.C – Un autre cas particulier : les matrices tridiagonales

Une matrice tridiagonale est une matrice de Toeplitz de la formeT(0, . . . ,0, t₋₁, t0, t1,0, . . . ,0), i.e.une matrice de la forme

An(a, b, c) =













a b (0)

c a . .. . .. . .. b

(0) c a













où(a, b, c)sont des complexes.

On fixe (a, b, c) trois nombres complexes tels que bc 6= 0. On se propose de chercher les éléments propres de An(a, b, c).

Soitλ∈Cune valeur propre deA_n(a, b, c)etX =



 x₁

.. . xn



∈Cⁿ un vecteur propre associé.

Q7. Montrer que si l’on pose x₀ = 0et x_n+1 = 0, alors (x₁, . . . , x_n)sont les termes de rang variant de 1à n d’une suite(xk)_k∈N vérifiantx0= 0,xn+1= 0et

∀k∈N, bxk+2+ (a−λ)xk+1+cxk = 0.

Q8. Rappeler l’expression du terme général de la suite(xk)_k∈N en fonction des solutions de l’équation

bx²+ (a−λ)x+c = 0. (1)

Q9. À l’aide des conditions imposées àx0et xn+1, montrer que (1) admet deux solutions distinctesr1 etr2. Q10. Montrer quer1 etr2 sont non nuls et que r1

r₂ appartient àUn+1.

Q11. En utilisant l’équation (1) satisfaite par r1 et r2, déterminerr1r2 et r1+r2. En déduire qu’il existe un entier

`∈[[1, n]]et un nombre complexeρvérifiantρ²=bctels que λ=a+ 2ρcos

`π n+ 1

.

Q12. En déduire qu’il existe α∈Ctel que, pour tout kdans[[0, n+ 1]],x_k= 2iαρ^k b^k sin

`kπ n+ 1

. Q13. Conclure queAn(a, b, c)est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

II Matrices circulantes

Une matricecirculanteest une matrice de ToeplitzT(t_−n+1, . . . , t0, . . . , t_n−2, t_n−1), pour laquelle

∀k∈[[1, n−1]], tk=t−n+k. Elle est donc de la forme

T(t₁, t₂, . . . , t₀, t₁, . . . , t_n−2, t_n−1) =





















t0 t1 . . . t_n−2 t_n−1 t_n−1 t₀ . .. t_n−2 t_n−2 . .. . .. . .. ...

... . .. . .. . .. t₁ t1 · · · t_n−2 t_n−1 t0



















 .

On poseM_n=





















0 1 0 . . . 0 0 0 . .. . .. ... ... . .. . .. 0

0 . .. 1

1 0 . . . 0





















etω_n=e^2iπ/n.

Q14. CalculerM_n², . . . , M_nⁿ. Montrer queMn est inversible et donner un polynôme annulateur de Mn.

Q15. Justifier que Mn est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées à l’aide de ωn) et donner une base de vecteurs propres de M_n.

Q16. On poseΦ_n= (ωn^{(p−1)(q−1)})_1≤p,q≤n∈ Mn(C).

Justifier que Φ_n est inversible et donner sans calcul la valeur de la matriceΦ⁻¹_n M_nΦ_n. Q17. SoitAune matrice circulante. Donner un polynômeP ∈C[X]tel que A=P(M_n).

Q18. Réciproquement, si P ∈ C[X], montrer, à l’aide d’une division euclidienne de P par un polynôme bien choisi, queP(Mn)est une matrice circulante.

Q19. Montrer que l’ensemble des matrices circulantes est un sous-espace vectoriel deToep_n(C), stable par produit et par transposition.

Q20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.

Problème d’analyse corsé

Objectifs

L’objet de ce problème est l’étude de différentes propriétés des fonctions de Lambert.

Notations

Pour des entiersket navec0≤k≤n, le coefficient binomial «k parmin» est noté n

k

.

Lorsquek≤n,[[k, n]]représente l’ensemble des nombres entiers compris, au sens large, entreket n.

I — Fonctions de Lambert

Dans cette partie, on définit les fonctions de Lambert et on étudie certaines de leurs propriétés. On considère dans toute cette partie, l’application

f :

R −→ R x 7−→ xe^x

Q 1. Justifier que l’applicationf réalise une bijection de l’intervalle[−1,+∞[sur l’intervalle[−e⁻¹,+∞[.

Dans la suite du sujet, la réciproque de cette bijection est notéeW. On rappelle que ceci signifie que, pour tout réel x≥ −e⁻¹,W(x)est l’unique solution de l’équationf(t) =x(équation d’inconnuet∈[−1,+∞[).

Q 2. Justifier que W est continue sur[−e⁻¹,+∞[et est de classe C^∞ sur]−e⁻¹,+∞[.

Q 3. ExpliciterW(0)et W⁰(0).

Q 4. Déterminer un équivalent de W(x)lorsquex→0.

Q 5. Tracer, sur le même dessin, les courbesCf etCW représentatives des fonctions f etW.

Préciser les tangentes aux deux courbes au point d’abscisse 0 ainsi que la tangente à C_W au point d’abscisse

−e⁻¹.

Q 6. Démontrer que l’application f réalise une bijection de l’intervalle]− ∞,−1]sur l’intervalle[−e⁻¹,0[.

Dans la suite du sujet, la réciproque de cette bijection est notéeV. Q 7. Pour un paramètre réelm, on considère l’équation d’inconnuex∈R:

xe^x = m (I.1)

Déterminer, en fonction de m, le nombre de solutions de (I.1). Expliciter les solutions éventuelles à l’aide des fonctionsV etW.

II — Développement en série entière

Le but de cette partie est d’établir que la fonction W définie dans la partie Iest développable en série entière et de préciser son développement ainsi que son rayon de convergence. Pour cela, on commence par établir un résultat de nature algébrique.

II.A — Le théorème binomial d’Abel

On considère dans cette partie un entier naturel n ainsi qu’un nombre complexe a. On définit une famille de polynômes(A0, A1, . . . , An)en posant

A0 = 1 et ∀k∈[[1, n]], Ak = 1

k!X(X−ka)^k−1.

On noteCn[X]leC-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes et de degré inférieur ou égal àn.

Q 8. Démontrer que la famille(A₀, A₁, . . . , A_n)est une base deCn[X].

Q 9. Démontrer que pour toutk∈[[1, n]], A⁰_k(X) =A_k−1(X−a).

Q 10. En déduire, pour j et k éléments de[[0, n]], la valeur de A^(j)_k (ja). On distinguera suivant que j < k, j =k ou j > k.

SoitP un élément deCn[X]et soient α0, . . . ,αn des nombres complexes tels que P =

n

X

k=0

αkAk.

Q 11. Démontrer que, pour toutj∈[[0, n]], αj=P^(j)(ja).

Q 12. En déduire l’identité binomiale d’Abel :

∀(a, x, y)∈C³, (x+y)ⁿ = yⁿ+

n

X

k=1

n k

x(x−ka)^k−1(y+ka)^n−k.

Q 13. Établir la relation :

∀(a, y)∈C², nyⁿ⁻¹ =

n

X

k=1

n k

(−ka)^k−1(y+ka)^n−k.

II.B — Développement en série entière de la fonction W

On définit une suite(an)n≥1 en posant

∀n∈N^∗, an = (−n)ⁿ⁻¹ n! . On définit, lorsque c’est possible, S(x) =

+∞

X

n=1

anxⁿ.

Q 14. Déterminer le rayon de convergence Rde la série entière X

n≥1

anxⁿ.

Q 15. Justifier que la fonction Sest de classeC^∞sur]−R, R[et, pour tout entiern∈N, exprimerS⁽ⁿ⁾(0)en fonction den.

Q 16. Démontrer que la fonction S est définie et continue sur[−R, R].

Q 17. Démontrer que,

∀x∈]−R, R[, x(1 +S(x))S⁰(x) = S(x).

On pourra utiliser le résultat de la question Q 13.

On considère la fonction h:

]−R, R[ −→ R

x 7−→ S(x)e^S(x)

Q 18. Démontrer quehest solution sur]−R, R[de l’équation différentiellexy⁰−y= 0.

Q 19. Résoudre l’équation différentielle xy⁰−y = 0 sur chacun des intervalles ]0, R[, ]−R,0[, puis sur l’intervalle ]−R, R[.

Q 20. En déduire que :

∀x∈]−R, R[, S(x) = W(x).

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir sur table n°6 — concours blanc — éléments de correction

Problème d’algèbre classique — d’après CCINP 2018 MP maths 2

Questions préliminaires

Q.1 Par hypothèse, il existe une base de Rⁿ dans laquelleuest représenté par D= diag (d1, . . . , dn) où lesdi sont tous des valeurs propres deu(il suffit de choisir une base de diagonalisation). L’endomorphismeP(u)est alors représenté parP(D) = diag (P(d₁), . . . , P(d_n)). Chaqued_i étant racine deP, on conclut queP(D) = 0et donc queP(u) = 0. Il s’ensuit que

P(X) = (X−λ1)· · ·(X−λp)est annulateur deu.

Q.2 Lesµ_iétant deux à deux distincts, les polynômesX−µisont premiers entre eux deux à deux. D’après le lemme des noyaux :

ker(Q(u)) =

r

M

i=1

ker(u−µ_iId).

Le polynômeQannulantu, cet espace est égal àRⁿtout entier. En ne conservant que lesµitels queker(u−µiId)6=

{0}et en concaténant des bases de ces espaces, on obtient une base deRⁿdans laquelleuest représenté par une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux font tous partie des µi. Ainsi :

uestR-diagonalisable et Sp(u)⊂ {µ₁, . . . , µ_r} .

Un exemple où la matrice

a b c d

est diagonalisable sur R

Q.3 Après calculχV =X²−3X+ 2 = (X−1)(X−2)et les valeurs propres deV sont donc1et2. Il y a deux valeurs propres distinctes et la matrice est d’ordre 2, doncV est diagonalisable à sous-espaces propres de dimension 1.

Les vecteurs(2,−3)et(1,−1)sont propres pour1et2respectivement, donc ils engendrent chacun un sous-espace propre. Finalement :

V = P DP⁻¹ avec D = 1 0

0 2

, P =

2 1

−3 −1

, P⁻¹ =

−1 −1

3 2

. Q.4 En faisant un produit par blocs, on vérifie queQest inversible d’inverse

Q⁻¹ =

−In −In

3In 2In

(il suffit de vérifier que QQ⁻¹=I_2n). Un produit par blocs montre alors que Q⁻¹

4A 2A

−3A −A

Q =

A 0 0 2A

ce qui donne la similitude voulue.

Q.5 On obtient

R⁻¹ 0 0 R⁻¹

B

R 0 0 R

=

R⁻¹AR 0 0 2R⁻¹AR

=

∆ 0 0 2∆

.

La matrice

4A 2A

−3A −A

est semblable à B (d’après Q.4), elle même semblable à une matrice diagonale. Par transitivité de la relation de similitude :

4A 2A

−3A −A

est diagonalisable.

Q.6 On a vu à la questionQ.4 que :

4A 2A

−3A −A

= QBQ⁻¹.

Appliquons le polynômeT qui annule la matrice du membre de gauche. D’après la propriété donnée par l’énoncé : 0 = QT(B)Q⁻¹.

En multipliant par Q⁻¹ à gauche etQà droite, on conclut queT(B) = 0.

On montre par une récurrence immédiate que B^k = diag (A^k,(2A)^k). Par combinaisons linéaires : T(B) = diag (T(A), T(2A)). On en déduit alors que :

T(A) = 0.

Par conséquentAest diagonalisable puisqu’elle est annulée par un polynôme scindé simple.

En effectuant la synthèse de cette question et de la précédente : 4A 2A

−3A −A

est diagonalisable si et seulement siAl’est.

Un exemple où la matrice

a b c d

est trigonalisable sur R

Q.7 Notons f l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice E. Alors, après calculs (à faire le jour J !) : f(1,1) = (1,1) et f(−1,0) = (−3,−2) = −2(1,1) + (−1,0).

On peut alors obtenir la matrice de f dans la base((1,1),(−1,0))et on le traduit matriciellement par P⁻¹EP =

1 −2 0 1

avec P =

1 −1 1 0

, P⁻¹ =

0 1

−1 1

.

Q.8 De manière similaire : Z=

I_n −I_n In 0

est inversible d’inverseZ⁻¹=

0 I_n

−In In

et un calcul par blocs donne

Z⁻¹

3A −2A

2A −A

Z =

A −2A

0 A

. Q.9 Montrons par récurrence que

F^k =

A^k −2kA^k

0 A^k

.

• C’est vrai au rang k= 0carF⁰=I_2n.

• Supposons le résultat vrai au rang k. Par calcul par blocs : F^k+1 =

A −2A

0 A

A^k −2kA^k

0 A^k

=

A^k+1 −2kA^k+1−2A^k+1

0 A^k+1

=

A^k+1 −2(k+ 1)A^k+1

0 A^k+1

.

La formule est donc établie. Maintenant, en notantU =

d

X

k=0

ukX^k, il vient par combinaison linéaire :

U(A) −2AU⁰(A)

0 U(A)

= 0.

Q.10 Ce qui précède montre que U et XU⁰ annulent A, et sont donc multiples du polynôme minimal µA de A (µA

engendre l’idéal des polynômes annulateurs deA). Il s’ensuit queµA divise le PGCDU ∧XU⁰ deU et XU⁰. OrU est scindé à racines simples, doncU etU⁰sont premiers entre eux (aucun des diviseurs irréductible deU ne diviseU⁰) puisU∧XU⁰ =U∧X. Par conséquentµAest un diviseur deX. Ordeg(µA)≥1(un polynôme constant non nul n’annule aucune matrice !) et ainsi µ_A=X (µ_Aest unitaire). Or µ_AannuleA, d’où Aest nulle . Q.11 • Si

3A −2A

2A −A

est diagonalisable alors F (qui lui est semblable d’après Q.14) l’est aussi. Et d’après la question Q.15, on vient alors de voir queA= 0.

• Réciproquement, si A= 0alors

3A −2A

2A −A

est nulle donc est diagonalisable.

Finalement :

3A −2A

2A −A

est diagonalisable si et seulement siA= 0.

Q.12 χ_F(λ) = det(λI_2n−F)est un déterminant bloc triangulaire. Avec la formule rappelée par l’énoncé : χ_F =χ²_A .

• Si F est trigonalisable alorsχF est scindé et tout diviseur deχF l’est donc aussi. AinsiχAest scindé etAest trigonalisable.

• Réciproquement, si Aest trigonalisable alorsχ_Aest scindé et donc χ_F aussi.F est alors trigonalisable.

En définitive :

F est trigonalisable surRsi et seulement siAl’est . Q.13 Soit A=

0 −1

1 0

. On a alorsχA=X²+ 1qui n’est pas scindé surR, ainsiAn’est pas trigonalisable.

Avec la question précédente,F ne l’est pas. Avec la questionQ.14,

3A −2A

2A −A

ne l’est pas .

Applications

Q.14 Si on poseV = 1 3

2 2

, on a M =

A 2A 2A A

. La matrice

1 2 2 1

est diagonalisable (symétrique réelle). On vérifie aisément que(1,1)et(1,−1)sont vecteurs propres. Comme en Q.4, on vérifie queQ=

I₂ I₂ I2 −I2

est inversible d’inverse Q⁻¹=1 2

I₂ I₂ I2 −I2

et que Q⁻¹M Q =

3V 0 0 −V

.

Cette forme diagonale par bloc montre que les sous-espaces engendré par les2premiers (resp.2derniers) vecteurs de la nouvelle base (celle formée par les colonnes deQ) engendrent un espace stable par l’endomorphismeu:

Vect

(1,0,1,0),(0,1,0,1)

etVect

(1,0,−1,0),(0,1,0,−1)

sont stables paru. Q.15 On a cette foisM =

4I2 2I2

2I2 4I2

. La matrice 4 2

2 4

est diagonalisable (symétrique réelle) et on vérifie aisément que (1,1) et (1,−1) sont vecteurs propres (associés à6 et2). Comme enQ.4, on vérifie que P=

I2 I2

I2 −I2

est inversible d’inverse P⁻¹=1 2

I₂ I₂ I2 −I2

et que P⁻¹M P =

6I₂ 0 0 2I2

.

Problème d’analyse classique 1 — d’après E3A 2019 MP maths 1

Partie I — Suites et séries de fonctions

1. On au_n(x) = αⁿcos(nx)

n! donc|un(x)| ≤ |α|ⁿ

n! , terme général de la série exponentielle qui converge pour toute valeur de α. Par conséquentX

n

|un(x)|converge, c’est-à-dire que la série X

n

un(x)converge absolument.

Or la convergence absolue implique la convergence (pour les séries de nombres réels).

On en déduit que l’ensemble de définition de Cest D=R. 2. D’après ce qui précède,kunk_∞≤ |α|ⁿ

n! . OrX

n

|α|ⁿ

n! converge, donc par comparaison de séries à termes positifs (SATP) la série P

nu_n converge normalement donc uniformément sur R. 3. Posonsv_n(x) =αⁿe^inx

n! = (αe^ix)ⁿ n! . On a

+∞

X

n=0

v_n(x) = exp αe^ix

etRe(v_n(x)) =u_n(x)pour toutn. Ainsi :

+∞

X

n=0

u_n(x) = Re

+∞

X

n=0

v_n(x)

!

= Re exp αe^ix

= Re (exp (αcos(x) +iαsin(x)))

et finalement C(x) =e^αcos(x)cos (αsin(x)).

4. 4.1 Déjàx7→sin(nx)C(x)est impaire carC est paire donc Jn = Z π

−π

sin(nx)C(x)dx= 0. D’un autre côté :

In = Z π

−π

cos(nx)

+∞

X

k=0

uk(x)dx = Z π

−π +∞

X

k=0

cos(nx)uk(x)dx.

On pose wk(x) = cos(nx)uk(x). On a kwkk_∞≤ kukk_∞ donc d’après la question 3. et par comparaison de SATP : P

wk converge normalement donc uniformément surR.

Comme de plus chaquewk est continue, on en déduit que l’on peut permuter Z

etX :

In =

+∞

X

k=0

Z π

−π

wk(x)dx.

Or

w_k(x) = αⁿcos(nx) cos(kx)

k! = αⁿ

2k!(cos((k+n)x) + cos((k−n)x)). Par conséquent

Z π

−π

w_k(x)dx= 0si k6=n et Z π

−π

w_n(x)dx= αⁿ 2n!

Z π

−π

1dx= αⁿπ n! . Il s’ensuit que I_n =αⁿπ

n! .

4.2 D’une partJ_n = 0pour tout ndonc lim

n→+∞J_n= 0. D’autre part lim

n→+∞I_n = 0 carX

n

αⁿπ

n! converge (et donc son terme général est de limite nulle).

5. Il vientcos²(nx) = 1 + cos(2x)

2 donc αⁿcos²(nx) n! = αⁿ

2·n! +αⁿcos(2×nx) 2·n! . Or

+∞

X

n=0

αⁿ

2·n! = e^α 2 et

+∞

X

n=0

αⁿcos(2×nx)

2·n! = C(2x) 2 , αⁿcos²(nx)

Partie II — Séries entières

6. 6.1 La fonctionf est continue sur R. D’après le théorème fondamental du calcul intégral (TFCI), la fonction F est de classeC¹surR.

6.2 Soitf vérifiant(E1). Par le changement de variableu=x−t : h(x) =

Z x 0

(t+x)f(x−t)dt = Z x

0

(2x−u)f(u)du = 2x Z x

0

f(u)du− Z x

0

uf(u)du.

Les fonctionsu7→f(u)et u7→uf(u)sont continues, donc à nouveau d’après le TFCI : hest une fonction de classeC¹. Or par hypothèse f = 1−h, d’où f est de classeC¹ surR.

7. D’après la première question, sif est solution de(P)alorsf est dérivable. De plus :

f = 1−h ⇔

f⁰=−h⁰

f(0) = 1−h(0) ⇔







∀x∈R, f⁰(x) =−

2 Z x

0

f(u)du+ 2xf(x)−xf(x)

f(0) = 1

Par conséquent : f est solution de(P) ⇔











f dérivable surR

∀x∈R, f⁰(x) + 2 Z x

0

f(u)du+xf(x) = 0 f(0) = 1

8. CommeF⁰=f, on a : (P) ⇔







F deux fois dérivable surR

∀x∈R, F⁰⁰(x) +xF⁰(x) + 2F(x) = 0 : (E) F⁰(0) = 1

.

9.1 Comme H est supposée développable en série entière sur R, elle est de classe C^∞ et on peut dériver terme à terme :

H⁰⁰(x) +xH⁰(x) + 2H(x) =

+∞

X

n=2

n(n−1)anxⁿ⁻²+

+∞

X

n=1(→0)

nanxⁿ+ 2

+∞

X

n=0

anxⁿ

=

+∞

X

n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2+ (n+ 2)an

xⁿ.

On en déduit (unicité du DSE) que :

H⁰⁰(x) +xH⁰(x) + 2H(x) = 0 ⇔ ∀n∈N, (n+ 2)(n+ 1)an+2+ (n+ 2)an= 0

⇔ ∀n∈N, an+2=− an

n+ 1 . Les conditions H⁰(0) = 1etH(0) = 0 équivalent à (a0, a1) = (0,1) .

9.2 Pour toutn,an+2=− an

n+ 1 et a0= 0 entraînent que : ∀p∈N,a2p= 0. Par récurrence immédiate : a2p+1 = −1

2pa2p−1 = −1 2p

−1

2p−2a2p−3 = (−1)^p

2p(2p−2)× · · · ×2a1 = (−1)^p 2^pp! .

On en déduit que H(x) =

+∞

P

p=0

(−1)^p

2^pp! x^2p+1 = x

+∞

P

n=0

(−x²/2)^p

p! d’où H(x) =xe^−x2/2 . On peut noter que les équivalences dans la question 9.1 permettent de dire, puisque le rayon de convergence de la série entière est+∞, queH est bien solution de(E)ou vérifier queH est bien solution de(E)par le calcul.

10. On a de plus F(0) = 0. Par conséquent f est solution de (P) si et seulement si F est solution de (E) et (F(0), F⁰(0)) = (0,1)et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l’unicité d’une solution à ce problème de Cauchy.

Il s’ensuit que f est solution de(P)si et seulement siF =H,i.e. ∀x∈R, f(x) =H⁰(x) =e^−x2/2(1−x²).

Problème d’analyse classique 2 — d’après CCINP 2006 PSI maths A

Partie I.

I.1.1. D’après la formule du binôme :

n

X

k=0

n k

= (1 + 1)ⁿ= 2ⁿ . I.1.2. On a donc ∀n∈N,a^∗_n = 1.

I.1.3. Les sériesP

an etP

a^∗_n sont grossièrement divergentes.

I.2.1. La formule du binôme indique que

∀n∈N, a^∗_n= 1

2ⁿ(z+ 1)ⁿ. I.2.2

(a) On sait calculer les sommes géométriques. La raisonz étant différente de1, il vient

n

X

k=0

z^k = 1−zⁿ⁺¹ 1−z . Pour |z|<1ce terme admet une limite. La sériePan converge et

A(z) =

+∞

X

n=0

z^k= 1 1−z. (b) On a

z+ 1 2

≤1 +|z|

2 <1et Pa^∗_n est donc aussi une série géométrique convergente de somme

+∞

X

n=0

a^∗_n = 1

1−^z+1₂ = 2

1−z = 2A(z).

I.2.3

(a) La sériePa_n est grossièrement divergente (terme général qui n’est pas de limite nulle).

(b) Siz=−2alorsa^∗_n= (−1/2)ⁿ est le terme général d’une série géométrique convergente.

(c) La suite(a^∗_n)_n est géométrique de raisonr= e^iθ+ 1 2 = cos

θ 2

e^iθ2. Orθ∈]0, π[donc|r| ∈]0,1[d’oùPa^∗_n converge avec :

+∞

X

n=0

a^∗_n = 1

1−r = 2

1−e^iθ = e^iθ/2

e^iθ/2 × 2e^−iθ/2

−2isin ^θ₂ = ie^−iθ2

sin^θ₂ = 1 +icos(^θ₂) sin(^θ₂).

Partie II.

II.1.1

(a) Calcul classique, le nombrek de facteurs étant fini et fixé : n

k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k! ∼

n→+∞

n^k k!.

(b) Par croissance comparées, il vient

lim 1 2ⁿ

n k

= 0.

II.1.3. Démonstration analogue à celle du théorème de Cesaro !

Soitε >0. Commeaest de limite nulle, il existe un rangqtel que pour toutk≥q, |a_k| ≤ ε

2. En outre la suite (S_q(n, a))_n étant de limite nulle, il existen₀ tel que pour toutn≥n₀, |Sq(n, a)| ≤ ε

2. Il s’ensuit que :

∀n≥n0, |a^∗_n| =

Sq(n, a) + 1 2ⁿ

n

X

k=q+1

n k

ak

≤ ε 2 + 1

2ⁿ

n

X

k=q+1

n k

ε 2.

Comme

n

X

k=q+1

n k

≤

n

X

k=0

n k

≤2ⁿ, on a finalement

∀n≥n0, |a^∗_n| ≤ ε.

En résumé :

si(an)n est de limite nulle alors(a^∗_n)n est de limite nulle . II.1.4. Par différence

a^∗_n−` = 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

(ak−`) et on se ramène au cas précédent cara<sub>n</sub>−`^n→+∞→ 0. Ainsi :

si(an)n est de limite`alors(a<sup>∗</sup><sub>n</sub>)n est de limite` .

II.1.5. Sia_n = (−2)ⁿ, alors d’après I.2.3 la suite(a_n^∗)_n est convergente de limite nulle mais(a_n)_n est divergente.

Il n’y a donc pas équivalence entre les convergences de(an)n et de (a^∗_n)n . II.2.1. Un calcul au brouillon (non reporté) donne :

U0=S0, U1=S1+ 2S0, U2=S2+ 3S1+ 3S0, U3=S3+ 4S2+ 6S1+ 4S0. II.2.2

(a) Par définition :

U_n+1 = 2ⁿ⁺¹T_n+1 = 2ⁿ⁺¹ T_n+a^∗_n+1

= 2 (2ⁿT_n) + 2ⁿ⁺¹a^∗_n+1 d’où

Un+1 = 2Un+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

ak. (1)

(b) Pourn∈N, notons(Hn)l’hypothèse suivante : (Hn) Un =

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

Sk.

D’après la question II.2.1, cette formule est vérifiée pour n égal à 0, 1, 2 et 3. La récurrence est donc initialisée.

Soit maintenantn∈Ntel que(Hn)soit vraie. Démontrons que(Hn+1)est vraie. La relation (1) démontrée au (a) s’écrit :

Un+1 = 2Un+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

ak.

On utilise alors la relation (2) suggérée par l’énoncé : U_n+1 = 2

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

S_k+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

(S_k−S_k−1)

=

n

X

k=0

2 n+ 1

k+ 1

Sk+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

Sk−

n+1

X

k=0

n+ 1 k

S_k−1.

On effectue alors un changement d’indice dans la dernière somme (k−1devientk) et on exploite la nullité (par convention) deS₋₁:

Un+1 =

n

X

k=0

2 n+ 1

k+ 1

Sk+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

Sk−

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

Sk.

Ensuite on regroupe et on utilise la formule d’additivité des coefficients binomiaux : U_n+1 =

n+ 1 n+ 1

S_n+1+

n

X

k=0

2

n+ 1 k+ 1

+ n+ 1

k

− n+ 1

k+ 1

S_k

= S_n+1+

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

+ n+ 1

k

S_k

=

n+ 2 n+ 2

Sn+1+

n

X

k=0

n+ 2 k+ 1

Sk

=

n+1

X

k=0

n+ 2 k+ 1

Sk

ce qui démontre(H_n+1)et achève la récurrence .

II.2.3. On suppose quePan converge et on noteS sa somme. On a doncSn

→n S. Avec la question précédente, il vient

U_n−1 =

n

X

k=1

n k

S_k−1 =

n

X

k=0

n k

S_k−1.

OrS⁰_n=S_n−1→S, donc la question II.1 indique que

n→+∞lim 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

S_k−1 = S,

ce qui donne U_n−1 2ⁿ

→n S ou encoreT_n−1=U_n−1

2ⁿ⁻¹ →2S. La série Pa^∗_n est finalement convergente avec

+∞

X

n=0

a^∗_n = 2

+∞

X

n=0

an.

II.2.4. Si a_n = (−2)ⁿ alors Pa_n diverge d’après I.2.3(b), alors que Pa^∗_n converge. Il s’ensuit que les séries Pan et P

a^∗_n n’ont pas toujours même nature .

Problème d’algèbre corsé — d’après CCS 2018 PSI maths 1 I Généralités et quelques exemples

I.A – Généralités

Q1. Notons, pourk∈[[−(n−1), n−1]], D^(k)la matrice deMn(R)de terme généralD_i,j^(k)=

1 si j =i+k 0 sinon Les matrices de Toeplitz sont alors les matrices de la forme

t_−(n−1)D^(−(n−1))+· · ·+t₀D⁽⁰⁾+· · ·+t_n−1D⁽ⁿ⁻¹⁾

avec lesti décrivantC. Bref : Toep_n(C)est l’espace engendré par lesD^(k). Comme cette famille est clairement libre (prendre une combinaison linéaire nulle ; regarder le coefficient(1,1 +k)sik≥0 et(1−k,1)sinon. . . ) elle en constitue une base, et il ne reste plus qu’à compter sur ses petits doigts :

Toep_n(C)est un sous-espace deM_n(C)de dimension2n−1.

Q2. Supposons queAet Bcommutent. Prouvons queA^kB=BA^k par récurrence sur k. Il est clair queA⁰B=B= BA⁰puis que A¹B=BA¹ (hypothèse). Supposons queA^kB=BA^k. Alors :

A^k+1B = A·A^kB HR

= A·BA^k = AB·A^k hyp

= BA·A^k = BA^k+1,

d’où le résultat d’après le théorème de la récurrence. Puis par distributivité,B commute avec tout polynôme en A : P(A)B=BP(A).

On peut ensuite retourner l’argument : puisqueP(A)etBcommutent, alors tout polynôme enB commute avec P(A). Finalement :

SiA etB commutent et (P, Q)∈C[X]², alorsP(A)etQ(B)commutent .

I.B – Cas de la dimension 2

SoitA=

a b c a

une matrice de Toeplitz de taille2×2, où(a, b, c)sont des complexes.

Q3. Le calcul est sans finesse : χA= (X−a)²−bc.

Q4. Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique, c’est-à-dire lesλtels que(λ−a)²=bc.

Ainsi :

• Si bc6= 0alors il existe deux complexes dont le carré vautbc, doncApossède deux valeurs propres, d’où (par raison de dimension)Aest diagonalisable.

• Si bc= 0, alorsA possèdeacomme unique valeur propre. Elle est donc diagonalisable si et seulement si elle est semblable à aI₂, doncégaleà aI₂, ce qui est vrai si et seulement sib=c= 0.

Finalement Aest diagonalisable si et seulement sib etc sont tous les deux non nuls ou tous les deux nuls . Réduction d’une matrice sous forme de Toeplitz

Q5. SoitM =_{a b}

c d

une matrice de M2(C).

Discutons selon le nombre de valeurs propres distinctes de A. Puisque le corps de base estCil y en a au moins une, et puisque qu’on est dansM2(C), il y en a au plus2.

• Si Apossède deux valeurs propresα6=β, alorsAest semblable à _{α 0}

0 β

.

• SiApossède une seule valeur propreα, on se contente de trigonaliserA(c’est possible car on est dansM2(C)), et Aest bien semblable à une matrice triangulaire supérieure avec sur la diagonale l’unique valeur propre.

Bilan : Toute matrice deM2(C)est semblable à une matrice de la forme_{α 0}

0 β

(avecα6=β) ou_{α γ}

0 α

. Q6. La question précédente nous invite à ne traiter que les deux matrices de la conclusion précédente (siAetBsont

semblables ainsi que B etC, alorsAetC sont semblables).