X 2006 1 Une unique solution définie par f(x)= ex.
2 Si f est une solution définie sur ℝ, on montre aisément par récurrence sur k que f est de classe Ck; f est donc C. On a f f"= 0, et f(0) = f '(0) = , d’où f(x) = (cosxsinx).
Ne pas oublier : réciproquement cette fonction est solution de (C,) sur ℝ.
3a Soit x un réel non nul ; notons un le terme général de la série ;
n n
u u 1
= n1
nx
≤
1 n
x tend vers 0, donc d’après la règle de d’Alembert, la série est ACV. La série entière est donc de rayon infini, donc dérivable terme à terme sur ℝ. On vérifie alors que f est solution de (C,) sur ℝ.
3b Si > 1, d’après la règle de d’Alembert, la série diverge, sauf pour x = 0.
4a TA(g) est continue, et même C1. TA s’écrit TA= u où u est un endomorphisme qui vérifie )
(g
u ≤ A g pour tout g ; A étant indépendant de g, u et TA sont continus.
4b Vérification facile. 4c Récurrence sur n.
4d Il suffit que
! n An
≤ 2
1 ; soit par exemple mA2 et n2m.
21
! 1 2 ...
. 1
! 1
!
2
m m m
A m
n
An m
. 4e Soit A > 0. Tout point fixe de TA est point fixe de
) (A n
TA ; or TAn(A) a au plus un point fixe ( car k < 1 ).
D’après 4b, deux solutions de (C,)coïncident donc sur
A,A
; A étant quelconque, il y a unicité sur ℝ.5a x étant fixé, il s’agit d’une série entière de la variable dont le RDCV est ≥ 1 car elle converge pour tout
dans
1,1
. La somme est donc continue sur
1,1
et sa limite en 0 est la valeur au point 0 : 1x. 5b Montrons que F est continue sur
1,1
ℝ :Les sommes partielles sont continues ; on fixe un réel M > 0 et on montre que la série CVN sur
1,1
M,M
. Majorant indépendant de
: !
, n
x M
n qui est bien le terme général d'une série numérique convergente.
Montrons que F est C1 sur
1,1
ℝ , ce qui signifie qu’elle admet des dérivées partielles D1F et D2F continues sur
1,1
ℝ :D’après l’équation fonctionnelle, D2F existe et D2F(,x) = f(x)= F(,x) ce qui prouve que D2F est C sur
1,1
ℝ.Pour justifier l’existence de D1F, il faut utiliser le théorème de dérivation de la somme d’une série de fonctions d’une variable C1. On montre ensuite que la série dont la somme est D1F CVN sur tout produit
1,1
M,M
, ce qui prouve la continuité de D1F.De manière analogue, on montre par récurrence sur k que F est de classe Ck pour tout entier k.
5c Si x ≥ 0, il est clair que f(x) ≥ 0. Soit x
1,0
; on suppose 0 < ≤ 1 ; d’après 3a : n ≥ 0,
n n
u u 1
= n1
nx
≤ 1 ; donc le TSA s’applique ; la somme de la série est du signe du premier terme : positif. Conclusion : x ≥ 1, f(x) ≥ 0. L’équation f '(x) = f(x) montre alors que f' ≥ 0, donc f croissante sur
1,
. Enfin : x ≥ 0, f(x) ≥ 1x, donc f
lim = .
6 Supposons qu’une telle suite (cn)existe et qu’on puisse dériver la série terme à terme. Si on identifie les coefficients, on obtient cnn = cn1, puis cn = 2
) 1 ( 0
nn
c . On définit donc (cn) par : n ℤ, cn = 2
) 1 ( 0
nn
c . Réciproquement, vérifions que cette suite convient : on suppose c0≠ 0 ; la convergence de la série est assurée par la règle de d’Alembert. On utilise ensuite le th de dérivation de la somme d’une série de fonctions C1.
7 Dans 6, avec c0= 1 , on obtient une solution telle que (0) > 0 ; on définit f par f(x) =
) 0 (
) (
x .
8 Une étude analogue permet de définir une solution , avec cn= 2
) 1 ( 0( 1)
n nn
c ,mais ici
Z n
cn 0 )
0
( ;
on n’obtient donc des solutions à (C,) que si = 0.
9 On peut montrer par récurrence sur n la propriété Pn suivante : f (n)(x) = 2 ( )
) 1 (
x f n
n
n
, puis
combiner Pnk et Pn.
10 Cette application étant linéaire, on étudie son noyau.
Soit f G nulle sur I(0) ; elle est alors nulle sur I(p) par récurrence sur p ; par ailleurs, f' est nulle, donc f constante sur I(1) ; par continuité, f est nulle sur I(1) ; à nouveau récurrence...
11 n ≥ 1, g(n)(1) = n1g(n1)().
12b Avec Taylor reste intégral : qp= 2
) 1 (
)!
1 (
1
p p
p .
12c Prendre x = p1, CHV u = t.p.
12d On déduit de 12c que pour tout polynôme Q,
![1) Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (f n ) définies sur I = [0, 1] par f n (x) = x n (1 − x)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)