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(1)

Exo7

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Table des matières

1 100.01 Logique 13

2 100.02 Ensemble 16

3 100.03 Absurde et contraposée 21

4 100.04 Récurrence 22

5 100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre 30

6 100.99 Autre 39

7 101.01 Application 40

8 101.02 Injection, surjection 43

9 101.03 Bijection 45

10 101.99 Autre 46

11 102.01 Binôme de Newton et combinaison 46

12 102.02 Cardinal 52

13 102.99 Autre 56

14 103.01 Divisibilité, division euclidienne 59

15 103.02 Sous-groupes de Z 66

16 103.03 Pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide 67

17 103.04 Nombres premiers, nombres premiers entre eux 76

18 103.99 Autre 80

19 104.01 Forme cartésienne, forme polaire 81

20 104.02 Racine carrée, équation du second degré 86

21 104.03 Racine n-ieme 89

(2)

22 104.04 Géométrie 94

23 104.05 Trigonométrie 104

24 104.99 Autre 111

25 105.01 Division euclidienne 113

26 105.02 Pgcd 118

27 105.03 Racine, décomposition en facteurs irréductibles 122

28 105.04 Fraction rationnelle 131

29 105.05 Définition, degré, produit 142

30 105.99 Autre 142

31 106.01 Définition, sous-espace 153

32 106.02 Système de vecteurs 160

33 106.03 Somme directe 166

34 106.04 Base 170

35 106.05 Dimension 177

36 106.99 Autre 181

37 107.01 Définition 181

38 107.02 Image et noyau, théorème du rang 185

39 107.03 Morphismes particuliers 197

40 107.99 Autre 205

41 108.01 Propriétés élémentaires, généralités 206

42 108.02 Noyau, image 217

43 108.03 Matrice et application linéaire 219

44 108.04 Exemples géométriques 226

45 108.05 Inverse, méthode de Gauss 226

46 108.06 Changement de base, matrice de passage 231

47 108.99 Autre 233

48 120.01 Les rationnels 240

49 120.02 Maximum, minimum, borne supérieure 245

50 120.03 Propriétés des nombres réels 248

51 120.04 Intervalle, densité 248

(3)

52 120.99 Autre 248

53 121.01 Convergence 256

54 121.02 Suite définie par une relation de récurrence 268

55 121.03 Suites équivalentes, suites négligeables 276

56 121.04 Suite récurrente linéaire 282

57 121.05 Suite de Cauchy 285

58 121.06 Suite dans Rn 286

59 121.99 Autre 287

60 122.01 Série à termes positifs 288

61 122.02 Convergence absolue 293

62 122.03 Séries semi-convergentes 295

63 122.04 Séries alternées 295

64 122.05 Familles sommables 296

65 122.06 Fonction exponentielle complexe 298

66 122.99 Autre 300

67 123.01 Continuité : théorie 314

68 123.02 Continuité : pratique 322

69 123.03 Limite de fonctions 325

70 123.04 Etude de fonctions 332

71 123.05 Fonction continue par morceaux 340

72 123.06 Fonctions équivalentes, fonctions négligeables 341

73 123.99 Autre 342

74 124.01 Calculs 343

75 124.02 Théorème de Rolle et accroissements finis 347

76 124.03 Applications 350

77 124.04 Fonctions convexes 352

78 124.99 Autre 355

79 125.01 Formule de Taylor 365

80 125.02 Calculs 369

(4)

82 125.04 Développements limités implicites 383

83 125.05 Equivalents 384

84 125.99 Autre 385

85 126.01 Fonctions circulaires inverses 386

86 126.02 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 393

87 126.99 Autre 397

88 127.01 Théorie 397

89 127.02 Somme de Riemann 408

90 127.03 Longueur, aire, volume 410

91 127.04 Intégration à l’aide d’une fonction auxiliaire 412

92 127.05 Changement de variables 412

93 127.06 Intégration par parties 415

94 127.07 Polynôme en sin, cos ou en sh, ch 416

95 127.08 Fraction rationnelle 418

96 127.09 Fraction rationnelle en sin, cos ou en sh, ch 420

97 127.10 Intégrale abélienne 421

98 127.11 Primitives diverses 422

99 127.12 Intégrale impropre 428

100 127.99 Autre 443

101 140.01 Distance, norme, produit scalaire 449

102 140.02 Droites 449

103 141.01 Produit scalaire, produit vectoriel, déterminant 449

104 141.02 Aire, volume 449

105 141.03 Plans 449

106 141.04 Droites de l’espace 449

107 141.05 Distance 449

108 200.01 Forme multilinéaire 449

109 200.02 Calcul de déterminants 452

110 200.03 Système linéaire, rang 470

(5)

112 200.99 Autre 491

113 201.01 Valeur propre, vecteur propre 495

114 201.02 Diagonalisation 507

115 201.03 Polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton 534

116 201.04 Sous-espace stable 538

117 201.05 Trigonalisation 541

118 201.06 Réduction de Jordan 544

120 201.08 Polynôme annulateur 558

121 201.99 Autre 565

122 202.01 Endomorphisme du plan 569

123 202.02 Endomorphisme auto-adjoint 570

124 202.03 Autres endomorphismes normaux 574

125 202.04 Endomorphisme orthogonal 574

126 202.99 Autre 580

127 203.01 Groupe, sous-groupe 587

128 203.02 Ordre d’un élément 604

129 203.03 Morphisme, isomorphisme 606

130 203.04 Anneau 607

131 203.05 Idéal 621

132 203.06 Algèbre, corps 622

133 203.07 Groupe de permutation 627

134 203.99 Autre 635

135 204.01 Produit scalaire, norme 647

136 204.02 Forme quadratique 659

137 204.03 Espace orthogonal 665

138 204.04 Projection, symétrie 665

139 204.05 Orthonormalisation 672

140 204.06 Espace vectoriel euclidien de dimension 3 678

141 204.07 Endomorphismes auto-adjoints 682

(6)

142 204.08 Espaces vectoriels hermitiens 688

143 204.09 Problèmes matriciels 691

144 204.99 Autre 696

145 205.01 Arithmétique de Z 696

146 205.02 Anneau Z/nZ, théorème chinois 700

147 205.03 Groupe fini commutatif 703

148 205.04 Arithmétique de K[X] 703

149 205.05 Corps fini 703

151 205.99 Autre 703

152 220.01 Convergence normale 703

153 220.02 Critères de Cauchy et d’Alembert 703

154 220.03 Rayon de convergence 703

155 220.04 Propriétés de la sommme d’une série entière 706

156 220.05 Calcul de la somme d’une série entière 706

157 220.06 Développement en série entière 708

158 220.07 Etude au bord 711

159 220.08 Equations différentielles 712

160 220.09 Intégrales 714

161 220.10 Analycité 715

162 220.99 Autre 716

163 221.01 Calcul de coefficients 718

164 221.02 Convergence, théorème de Dirichlet 722

165 221.03 Formule de Parseval 723

166 221.99 Autre 725

167 222.01 Convergence simple, uniforme, normale 727

168 222.02 Continuité, dérivabilité 732

169 222.03 Suites et séries d’intégrales 734

170 222.04 Suite et série de matrices 735

171 222.99 Autre 736

(7)

172 223.01 Limite 742

173 223.02 Continuité 745

174 223.03 Différentiabilité 747

175 223.04 Dérivée partielle 754

176 223.05 Différentielle de fonctions composées 764

177 223.06 Différentielle seconde 764

178 223.07 Extremums locaux 766

179 223.08 Fonctions implicites 771

180 223.99 Autre 771

181 224.01 Intégrale multiple 774

182 224.02 Calcul approché d’intégrale 781

183 224.03 Intégrale de Riemann dépendant d’un paramètre 781

184 224.04 Tranformée de Laplace et transformée de Fourier 792

185 224.99 Autre 792

186 225.01 Résolution d’équation différentielle du premier ordre 792 187 225.02 Résolution d’équation différentielle du deuxième ordre 796

188 225.03 Raccordement de solutions 801

189 225.04 Equations différentielles linéaires 801

190 225.05 Equations différentielles non linéaires 813

191 225.06 Equations aux dérivées partielles 817

192 225.99 Autre 820

193 229.01 Ouvert, fermé, intérieur, adhérence 820

194 229.02 Compacité 827

195 229.03 Borne supérieure 829

196 229.04 Topologie de la droite réelle 830

197 229.05 Topologie des espaces métriques 831

198 229.06 Topologie des espaces vectoriels normés 832

199 229.07 Connexité 846

200 229.08 Espaces complets 847

201 229.09 Fonctions vectorielles 848

(8)

202 229.10 Application linéaire continue, norme matricielle 849

203 229.99 Autre 851

204 240.00 Géométrie affine dans le plan et dans l’espace 853

205 240.01 Sous-espaces affines 878

206 240.02 Applications affines 880

207 240.03 Barycentre 884

208 240.04 Propriétés des triangles 885

209 240.99 Autres 890

210 241.00 Isométrie vectorielle 890

211 242.00 Géométrie affine euclidienne 892

212 242.01 Géométrie affine euclidienne du plan 892

213 242.02 Géométrie affine euclidienne de l’espace 931

214 243.00 Conique 940

215 243.01 Ellipse 943

216 243.02 Parabole 944

217 243.03 Hyperbole 947

218 243.04 Quadrique 948

219 243.99 Autre 953

220 244.01 Courbes paramétrées 954

221 244.02 Coordonnées polaires 963

222 244.03 Courbes définies par une condition 967

223 244.04 Branches infinies 969

224 244.05 Points de rebroussement 970

225 244.06 Enveloppes 970

226 244.07 Propriétés métriques : longueur, courbure,... 972

227 244.08 Courbes dans l’espace 977

228 244.99 Autre 977

229 245.00 Analyse vectorielle : forme différentielle, champ de vecteurs, circulation 979 230 245.01 Forme différentielle, champ de vecteurs, circulation 979

231 245.02 Torseurs 987

(9)

232 246.00 Autre 988

233 246.01 Plan tangent, vecteur normal 988

234 246.02 Surfaces paramétrées 988

235 260.01 Probabilité et dénombrement 990

236 260.02 Probabilité conditionnelle 993

237 260.03 Variable aléatoire discrète 996

238 260.04 Lois de distributions 1001

239 260.05 Espérance, variance 1003

240 260.06 Droite de régression 1004

241 260.07 Fonctions génératrices 1004

242 260.99 Autre 1004

243 261.01 Densité de probabilité 1004

244 261.02 Loi faible des grands nombres 1005

245 261.03 Convergence en loi 1005

246 261.04 Loi normale 1005

247 261.99 Autre 1006

248 262.01 Estimation 1006

249 262.02 Tests d’hypothèses, intervalle de confiance 1007

250 262.99 Autre 1010

251 300.00 Groupe quotient, théorème de Lagrange 1010

252 301.00 Ordre d’un élément 1013

253 302.00 Groupe symétrique, décomposition en cycles disjoints, signature 1018

254 303.00 Sous-groupe distingué 1019

255 304.00 Action de groupe 1031

256 305.00 Groupe cyclique 1039

257 306.00 Théorème de Sylow 1041

258 307.00 Autre 1049

259 310.00 Isométrie euclidienne 1049

260 311.00 Géométrie différentielle élémentaire de Rn 1051

261 312.00 Géométrie et trigonométrie sphérique 1052

(10)

262 313.00 Groupe orthogonal et quaternions 1053

263 314.00 Géométrie projective 1058

264 315.00 Géométrie et trigonométrie hyperbolique 1065

265 316.00 Autre 1067

266 320.00 Groupe 1067

267 321.00 Sous-groupe, morphisme 1073

268 322.00 Groupe fini 1076

269 323.00 Anneau, corps 1081

270 324.00 Polynôme 1092

271 325.00 Extension de corps 1102

272 326.00 Extension d’anneau 1103

273 327.00 Autre 1105

274 328.00 Forme bilinéaire 1105

275 350.00 Variété 1119

276 351.00 Immersion, submersion, plongement 1119

277 352.00 Sous-variété 1119

278 353.00 Espace tangent, application linéaire tangente 1136

279 354.00 Champ de vecteurs 1137

280 355.00 Forme différentielle 1140

281 356.00 Orientation 1142

282 357.00 Intégration sur les variétés 1142

283 358.00 Autre 1142

284 370.00 Différentiabilité, calcul de différentielles 1142

285 371.00 Différentielle d’ordre supérieur, formule de Taylor 1151 286 372.00 Difféomorphisme, théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 1153

287 373.00 Extremum, extremum lié 1161

288 374.00 Autre 1167

289 380.00 Solution maximale 1168

290 381.00 Théorème de Cauchy-Lipschitz 1175

291 382.00 Système linéaire à coefficients constants 1178

(11)

292 383.00 Etude qualititative : équilibre, stabilité 1181

293 384.00 Equation aux dérivées partielles 1181

294 385.00 Autre 1183

295 400.00 Tribu, fonction mesurable 1188

296 401.00 Mesure 1189

297 402.00 Lemme de Fatou, convergence monotone 1190

298 403.00 Théorème de convergence dominée 1191

299 404.00 Intégrales multiples, théorème de Fubini 1193

300 405.00 Intégrale dépendant d’un paramètre 1194

301 406.00 Espace Lp 1194

302 407.00 Transformée de Fourier 1198

303 408.00 Autre 1199

304 420.00 Espace topologique, espace métrique 1205

305 421.00 Compacité 1221

306 422.00 Continuité, uniforme continuité 1230

307 423.00 Application linéaire bornée 1239

308 424.00 Espace vectoriel normé 1242

309 425.00 Espace métrique complet, espace de Banach 1252

310 426.00 Théorème du point fixe 1258

311 427.00 Espace de Hilbert, théorème de projection 1262

312 428.00 Théorème de Baire 1262

313 429.00 Dualité, topologie faible 1264

314 430.00 Connexité 1265

315 431.00 Autre 1270

316 432.00 Théorème de Stone-Weirstrass, théorème d’Ascoli 1272

317 440.00 Fonction holomorphe 1274

318 441.00 Fonction logarithme et fonction puissance 1292

319 442.00 Formule de Cauchy 1298

320 443.00 Singularité 1318

321 444.00 Théorème des résidus 1321

(12)

322 445.00 Tranformée de Laplace et de Fourier 1345

323 446.00 Autre 1349

324 450.00 Interpolation polynomiale 1379

325 451.00 Courbe de Bézier, spline 1379

326 452.00 Intégration numérique 1379

327 453.00 Méthode de Newton 1379

328 454.00 Résolution d’équation différentielle 1379

329 455.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode directe 1379 330 456.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode itérative 1379 331 457.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode de gradient 1379

332 458.00 Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres 1379

333 459.00 Autre 1379

334 470.00 Fonction convexe 1391

335 471.00 Multiplicateurs de Lagrange 1393

336 472.00 Algorithme d’Uzawa 1393

337 473.00 Algorithme du simplexe 1393

338 474.00 Autre 1393

339 480.00 Loi, indépendance, loi conditionnelle 1393

340 481.00 Variance, covariance, fonction génératrice 1395

341 482.00 Convergence de variables aléatoires 1395

342 483.00 Lois des grands nombres, théorème central limite 1396

343 484.00 Estimateur 1396

344 485.00 Tests sur la moyenne, test du chi2 1396

345 486.00 Chaînes de Markov 1396

346 487.00 Autre 1396

(13)

1 100.01 Logique

Exercice 1

SoientRetSdes relations. Donner la négation deR⇒S. [000104]

Exercice 2

Démontrer que(1=2)⇒(2=3).

CorrectionH ^[000105]

Exercice 3

Soient les quatre assertions suivantes :

(a)∃x∈R ∀y∈R x+y>0 ; (b)∀x∈R ∃y∈R x+y>0 ; (c)∀x∈R ∀y∈R x+y>0 ; (d)∃x∈R ∀y∈R y²>x.

1. Les assertionsa,b,c,dsont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur négation.

IndicationH CorrectionH Vidéo ^[000106]

Exercice 4

Soit f une application deRdansR. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent : 1. Pour toutx∈R f(x)61.

2. L’application f est croissante.

3. L’application f est croissante et positive.

4. Il existex∈R⁺tel que f(x)60.

5. Il existex∈Rtel que quel que soity∈R, six<yalors f(x)>f(y).

On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d’écrire le contraire d’un énoncé.

CorrectionH Vidéo ^[000107]

Exercice 5

Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose :⇔,⇐, ⇒. 1. x∈R x²=4 . . . x=2 ;

2. z∈C z=z . . . z∈R; 3. x∈R x=π . . . e^2ix=1.

Exercice 6

DansR², on définit les ensembles F₁={(x,y)∈R², y60} etF₂={(x,y)∈R², xy>1, x>0}. On note M₁M₂la distance usuelle entre deux pointsM₁etM₂deR². Évaluer les propositions suivantes :

1. ∀ε∈]0,+∞[ ∃M₁∈F₁ ∃M₂∈F₂ M₁M₂<ε 2. ∃M₁∈F₁ ∃M₂∈F₂ ∀ε∈]0,+∞[ M₁M₂<ε 3. ∃ε∈]0,+∞[ ∀M₁∈F₁ ∀M₂∈F₂ M₁M₂<ε 4. ∀M₁∈F₁ ∀M₂∈F₂ ∃ε∈]0,+∞[ M₁M₂<ε Quand elles sont fausses, donner leur négation.

Exercice 7

(14)

Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.

Exercice 8

Écrire la négation des assertions suivantes oùP,Q,R,Ssont des propositions.

1. P⇒Q, 2. Pet nonQ, 3. Pet (QetR), 4. Pou (QetR), 5. (PetQ)⇒ (R⇒S).

Exercice 9

Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle rectangle possède un angle droit ; 2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;

3. pour tout entierx, il existe un entierytel que, pour tout entier z, la relationz<ximplique le relation z<x+1 ;

4. ∀ε>0 ∃α >0 (|x−7/5|<α ⇒ |5x−7|<ε).

Exercice 10 Le missionnaire et les cannibales

Les cannibales d’une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d’après Cervantès) [000113]

Exercice 11

La proposition P∧Q⇒(¬P)∨Q

est-elle vraie ? [000114]

Exercice 12

On suppose que la propositionPest vraie ainsi que les propositions suivantes : 1. (¬Q)∧P⇒ ¬S.

2. S⇒(¬P)∨Q.

3. P⇒R∨S.

4. S∧Q⇒ ¬P.

5. R∧ ¬(S∨Q)⇒T. 6. R⇒(¬P)∨(¬Q).

La propositionT est-elle vraie ? [000115]

Exercice 13

Ecrire la négation des phrases suivantes : 1. (∀x)(∃n)/(x6n).

2. (∃M)/(∀n)(|un|6M).

(15)

3. (∀x)(∀y)(xy=yx).

4. (∀x)(∃y)/(yxy⁻¹=x).

5. (∀ε>0)(∃N∈N)/(∀n>N)(|un|<ε).

6. (∀x∈R)(∀ε>0)(∃α>0)/(∀f ∈F)(∀y∈R)(|x−y|<α⇒ |f(x)−f(y)|<ε).

[000116]

Exercice 14

Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...)

1. (∀x)(∃y)/(x6y).

2. (∀x)(∀y)(x6y).

3. (∃x)(∃y)/(x6y).

4. (∃x)/(∀y)(x6y).

5. (∃x)/(∀y)(y<x).

6. (∃x)(∃y)/(y<x).

7. (∀x)(∃y)/(x=y).

[000117]

Exercice 15

SiP(x)est une proposition dépendant dex∈X, on noteP={x∈X/P(x)est vraie}. Exprimer en fonction de

PetQles ensembles¬P,P∧Q,P∨Q,P⇒Q,P⇔Q. [000118]

Exercice 16 Montrer que

∀ε>0 ∃N∈Ntel que(n>N⇒2−ε<2n+1

n+2 <2+ε).

Exercice 17

Soient f,gdeux fonctions deRdansR. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes : 1. f est majorée ;

2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne s’annule jamais ; 6. f est périodique ; 7. f est croissante ;

8. f est strictement décroissante ; 9. f n’est pas la fonction nulle ;

10. f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; 11. f atteint toutes les valeurs deN;

12. f est inférieure àg; 13. f n’est pas inférieure àg.

(16)

Exercice 18 **IT

Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation.

1. (f étant une application du plan dans lui-même) (a) f est l’identité du plan.

(b) f a au moins un point invariant (on dit aussi point fixe).

2. (f étant une application deRdansR) (a) f est l’application nulle.

(b) L’équation f(x) =0 a une solution.

(c) L’équation f(x) =0 a exactement une solution.

3. ((un)n∈Nétant une suite réelle) (a) La suite(un)n∈Nest bornée.

(b) La suite(un)n∈Nest croissante.

(c) La suite(un)n∈Nest monotone.

Exercice 19 *IT

Donner la négation des phrases suivantes 1. x>3

2. 0<x62.

Exercice 20 **IT

Les phrases suivantes sont-elles équivalentes ?

1. « ∀x∈R,(f(x) =0 etg(x) =0)» et « (∀x∈R, f(x) =0)et(∀x∈R,g(x) =0)».

2. « ∀x∈R,(f(x) =0 oug(x) =0)» et « (∀x∈R, f(x) =0)ou(∀x∈R,g(x) =0)».

Donner un exemple de fonctions f etgdeRdansR, toutes deux non nulles et dont le produit est nul.

2 100.02 Ensemble

Exercice 21

Montrer que /0⊂X, pour tout ensembleX. [000121]

Exercice 22

Montrer par contraposition les assertions suivantes,Eétant un ensemble : 1. ∀A,B∈P(E) (A∩B=A∪B)⇒A=B,

2. ∀A,B,C∈P(E) (A∩B=A∩CetA∪B=A∪C)⇒B=C.

Exercice 23

SoitA,Bdeux ensembles, montrer{(A∪B) ={A∩{Bet{(A∩B) ={A∪{B.

(17)

Exercice 24

SoientEetF deux ensembles, f :E→F. Démontrer que :

∀A,B∈P(E) (A⊂B)⇒(f(A)⊂ f(B)),

∀A,B∈P(E) f(A∩B)⊂ f(A)∩f(B),

∀A,B∈P(E) f(A∪B) = f(A)∪f(B),

∀A,B∈P(F) f⁻¹(A∪B) = f⁻¹(A)∪f⁻¹(B),

∀A∈P(F) f⁻¹(F\A) =E\f⁻¹(A).

Exercice 25

AetBétant des parties d’un ensembleE, démontrer les lois de Morgan : {A∪{B={(A∩B) et {A∩{B={(A∪B).

[000125]

Exercice 26

Démontrer les relations suivantes :

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) et A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

[000126]

Exercice 27

Montrer que siF etGsont des sous-ensembles deE :

(F⊂G ⇐⇒ F∪G=G) et (F⊂G ⇐⇒ {F∪G=E).

En déduire que :

(F⊂G ⇐⇒ F∩G=F) et (F⊂G ⇐⇒ F∩{G= /0).

[000127]

Exercice 28

SoitEetFdes ensembles. SiA⊂EetB⊂F montrer queA×B⊂E×F. [000128]

Exercice 29

Soit A={a₁,a₂,a₃,a₄} etB={b₁,b₂,b₃,b₄,b₅}. Écrire le produit cartésien A×B. Quel est le nombre de

parties deA×B? ^[000129]

Exercice 30

SoitEun ensemble ànéléments. Quel est le nombre d’éléments deE^p? Quel est le nombre de parties deE^p?

[000130]

Exercice 31

x,y,zétant des nombres réels, résoudre le système :

(x−1)(y−2)z = 0 (x−2)(y−3) = 0

Représenter graphiquement l’ensemble des solutions. [000131]

(18)

Exercice 32

SoitA une partie deE, on appelle fonction caractéristique de Al’application f de E dans l’ensemble à deux éléments{0,1}, telle que :

f(x) =

(0 six∈/A 1 six∈A

SoitAetBdeux parties deE, f etgleurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera :

1. 1−f. 2. f g.

3. f+g−f g.

[000132]

Exercice 33

Soit un ensembleE et deux partiesAetBdeE. On désigne parA4Bl’ensemble(A∪B)\(A∩B).Dans les questions ci-après il pourra être commode d’utiliser la notion de fonction caractéristique.

1. Démontrer queA4B= (A\B)∪(B\A).

2. Démontrer que pour toutes les partiesA,B,CdeEon a(A4B)4C=A4(B4C).

3. Démontrer qu’il existe une unique partieXdeEtelle que pour toute partieAdeE,A4X=X4A=A.

4. Démontrer que pour toute partieA de E, il existe une partieA⁰ de E et une seule telle queA4A⁰= A⁰4A=X.

[000133]

Exercice 34

1. Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : x7→√

x, x7→ x−¹1, x7→√

x+_x₋¹₁.

2. Simplifier[1,3]∩[2,4]et[1,3]∪[2,4].

3. Pour toutn∈N, on notenZl’ensemble des entiers relatifs multiples den:nZ={np|p∈Z}. Simplifier 2Z∩3Z.

[000134]

Exercice 35

On définit les cinq ensembles suivants :

A₁ =

(x,y)∈R²,x+y<1 A₂ =

(x,y)∈R²,|x+y|<1 A₃ =

(x,y)∈R²,|x|+|y|<1 A₄ =

(x,y)∈R²,x+y>−1 A₅ =

(x,y)∈R²,|x−y|<1

1. Représenter ces cinq ensembles.

2. En déduire une démonstration géométrique de

(|x+y|<1 et |x−y|<1)⇔ |x|+|y|<1.

(19)

[000135]

Exercice 36

Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point I₁=

+∞\

n=1

3,3+ 1 n²

et I₂=

+∞\

n=1

−2−1 n,4+n²

.

Exercice 37

Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez.

I=

+∞\

n=1

−1 n,2+1

n

et J=

+∞[

n=2

1+1

n,n

Exercice 38

SoientEun ensemble etA,B,Ctrois parties deEtelles queA∪B=A∪CetA∩B=A∩C. Montrer queB=C.

[000138]

Exercice 39

SoientEun ensemble etA,B,Ctrois parties deE.

Montrer que(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A). [000139]

Exercice 40

Donner les positions relatives deA,B,C⊂E siA∪B=B∩C. ^[000140]

Exercice 41

Est-il vrai queP(A∩B) =P(A)∩P(B)? EtP(A∪B) =P(A)∪P(B)? ^[000141]

Exercice 42

Montrer queA∩B=A∩C⇔A∩{B=A∩{C. [000142]

Exercice 43

Donner la liste des éléments deP(P({1,2})). [000143]

Exercice 44

SoientA,B⊂E. Résoudre les équations à l’inconnueX⊂E 1. A∪X=B.

2. A∩X=B.

Exercice 45

SoientE,F,Gtrois ensembles. Montrer que(E×G)∪(F×G) = (E∪F)×G. [000145]

Exercice 46

SoientE,F,G,Hquatre ensembles. Comparer les ensembles(E×F)∩(G×H)et(E∩G)×(F∩H). [000146]

(20)

Exercice 47

SoitE l’ensemble des fonctions deNdans{1,2,3}. Pouri=1,2,3 on poseA_i={f ∈E/f(0) =i}. Montrer

que lesA_iforment une partition deE. [000147]

Exercice 48 **T

AetBsont des parties d’un ensembleE. Montrer que : 1. (A∆B=A∩B)⇔(A=B=∅).

2. (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A).

3. A∆B=B∆A.

4. (A∆B)∆C=A∆(B∆C).

5. A∆B=∅⇔A=B.

6. A∆C=B∆C⇔A=B.

Exercice 49 ***IT

Soient(Ai)i∈Iune famille de parties d’un ensembleEindéxée par un ensembleIet(Bi)i∈Iune famille de parties d’un ensembleF indéxée par un ensembleI. Soit f une application deEversF. Comparer du point de vue de l’inclusion les parties suivantes :

1. f(^S_i_∈_IAi)et^S_i_∈_If(Ai)(recommencer par f(A∪B)si on n’a pas les idées claires).

2. f(^T_i_∈_IA_i)et^T_i_∈_If(Ai).

3. f(E\A_i)etF\f(Ai).

4. f⁻¹(^T_i_∈_IBi)et^T_i_∈_If⁻¹(Bi).

5. f⁻¹(^S_i_∈_IBi)et^S_i_∈_If⁻¹(Bi).

6. f⁻¹(F\Bi)etE\f⁻¹(Bi).

Exercice 50 ***I Théorème de CANTOR

1. Montrer qu’il existe une injection deE dansP(E).

2. En considérant la partieA={x∈E/x∈/ f(x)}, montrer qu’il n’existe pas de bijection fdeEsurP(E).

Exercice 51

SoitEun ensemble etOune partie deP(E). On dit queOest unetopologie sur Esi les conditions suivantes sont vérifiées

— Oest stable par intersection finie, autrement dit : pour toutn∈N^∗et toute familleU₁,···Und’éléments deO, on a^Tⁿ_i=1U_i∈O.

— O est stable par union quelconque, autrement dit : pour tout ensembleI et toute famille(Ui)i∈I d’élé- ments deO,^Si∈IUi∈O.

— Les parties /0 etEsont des éléments deO.

1. Montrer queO1={/0,E}etO2=P(E)sont des topologies surE.

2. Montrer que

O3={U∈P(E)|U=/0 ou^cUest fini} est une topologie surE.

(21)

3. Combien de topologies différentes y a-t-il siEest l’ensemble vide ? S’il n’a qu’un seul élément ? Deux éléments ? Trois éléments ?

[007186]

Exercice 52

Dans l’ensembleR, il existe une notion departie bornée: c’est une partie qui est incluse dans un segment du type[−M,M], pour un certainM. Cet exercice montre comment généraliser cette notion departie bornéeà un ensemble quelconque.

SoitEun ensemble etBune partie deP(E). On dit queBest unebornologie sur Esi les conditions suivantes sont vérifiées

— SiA∈BetB⊆A, alorsB∈B.

— SiA∈BetB∈B, alorsA∪B∈B.

— Pour toutx∈E, on a{x} ∈B.

Les éléments de B sont dits B-bornés, ou simplement bornés s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la bornologie utilisée.

Dans la suite, on fixe un ensembleE.

1. Montrer queB1={/0,E}est une bornologie deE. On l’appelle labornologie triviale (ou : grossière).

2. Montrer que l’ensembleB2des parties finies deEest une bornologie deE. On l’appelle labornologie discrète.

3. Combien de bornologies différentes y a-t-il siEest vide ? S’il contient (exactement) un élément ? Deux ? Trois ?

4. On suppose maintenant queE =R. Soit B3l’ensemble des partiesA⊆Rbornées au sens classique, autrement dit

A∈B3 ⇐⇒ ∃M∈R,∀a∈A,|a|6M

Montrer que B3 est une bornologie. On l’appelle la bornologie usuelle sur R, et lorsqu’on parle de bornés deR, il est implicite qu’on se réfère à cette bornologie (et non aux deux premières par exemple).

[007187]

Exercice 53

Soit E un ensemble etA une partie deP(E). On dit queA est une algèbre de parties E si les conditions suivantes sont vérifiées :

— A n’est pas vide.

— SiX∈A, alorsE\X aussi.

— A est stable par union finie, autrement dit : pour toutn∈N^∗ et toute familleU₁,···U_n d’éléments de A, on a^Sⁿ_i=1Ui∈A.

1. Montrer queP(E)est une algèbre de parties deE.

2. Montrer qu’une algèbre de parties deE est stable par intersection finie.

3. Combien d’algèbres de parties y a-t-il siEa (exactement) un, deux, ou trois éléments ?

[007188]

3 100.03 Absurde et contraposée

Exercice 54 Montrer que√

2∈/Q. ^[000148]

Exercice 55

(22)

SoitX un ensemble et f une application deX dans l’ensembleP(X)des parties deX. On noteAl’ensemble desx∈X vérifiantx∈/ f(x). Démontrer qu’il n’existe aucunx∈X tel queA= f(x). [000149]

Exercice 56

Soit(f_n)n∈Nune suite d’applications de l’ensembleNdans lui-même. On définit une application f deNdans Nen posant f(n) = fn(n) +1. Démontrer qu’il n’existe aucunp∈Ntel que f =fp.

Exercice 57

1. Soitp₁,p₂, . . . ,p_r,rnombres premiers. Montrer que l’entierN=p₁p₂. . .p_r+1 n’est divisible par aucun des entierspi.

2. Utiliser la question précédente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers.

4 100.04 Récurrence

Exercice 58

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 10⁶ⁿ⁺²+10³ⁿ⁺¹+1 est divisible par 111 quel que soitn∈N.

(Indication : 1000=9×111+1 ). [000152]

Exercice 59 Montrer :

1.

n

∑

k=1

k=n(n+1)

2 ∀n∈N^∗. 2.

n

∑

k=1

k²=n(n+1)(2n+1)

6 ∀n∈N^∗.

Exercice 60

En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?

SoitP(n):ncrayons de couleurs sont tous de la même couleur.

— P(1)est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.

— SupposonsP(n). Soitn+1 crayons. On en retire 1. Lesncrayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.

Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; lesnnouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur.

Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que lesnautres. La proposition est donc vraie au rangn+1.

— On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.

[000154]

Exercice 61

Soit la suite(xn)n∈Ndéfinie parx₀=4 etx_n+1=2x²_n−3 xn+2 . 1. Montrer que :∀n∈N x_n>3.

2. Montrer que :∀n∈N x_n+1−3>³₂(xn−3).

3. Montrer que :∀n∈N xn> ³₂n

+3.

4. La suite(xn)n∈Nest-elle convergente ?

(23)

Exercice 62

1. Dans le plan, on considère trois droites∆₁,∆₂,∆₃formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parallèles. Donner le nombreR₃ de régions (zones blanches) découpées par ces trois droites.

2. On considère quatre droites∆₁, . . . ,∆₄, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles.

Donner le nombreR₄de régions découpées par ces quatre droites.

3. On considèrendroites∆1, . . . ,∆n, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Soit R_nle nombre de régions délimitées par∆₁. . .∆n, etR_n₋₁le nombre de régions délimitées par∆₁. . .∆n−1. Montrer queRn=Rn−1+n.

4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées parndroites en position générale, c’est-à-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.

Exercice 63

SoitXun ensemble. Pour f ∈F(X,X), on définit f⁰=idet par récurrence pourn∈N fⁿ⁺¹= fⁿ◦f. 1. Montrer que∀n∈N fⁿ⁺¹= f◦fⁿ.

2. Montrer que si f est bijective alors∀n∈N(f⁻¹)ⁿ= (fⁿ)⁻¹.

Exercice 64 Montrer que

∀n>2,n!6 n+1

2 n

.

[000158]

Exercice 65

Pour tout entier natureln, on pose

Sn=1·2+2·3+···+ (n−1)·n Démontrer que l’on a

S_n=1

3n(n−1)(n+1)

[000159]

Exercice 66

Pourn∈Non considère la propriété suivante :

Pn: 2ⁿ>n²

1. Pour quelles valeurs denl’implicationP_n=⇒P_n+1est-elle vraie ? 2. Pour quelles valeurs denla propriétéPnest-elle vraie ?

[000160]

Exercice 67

Que pensez-vous de la démonstration suivante ?

(24)

1. Pour toutn>2, on considère la propriété :

P(n): npoints distincts du plan sont toujours alignés 2. Initialisation :P(2)est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.

3. Hérédité : On suppose queP(n)est vraie et on va démontrerP(n+1).

Soit doncA₁,A₂, . . . ,An,A_n+1des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence,A₁,A₂, . . . ,Ansont alignés sur une droited, etA₂, . . . ,An,A_n+1sont alignés sur une droited⁰. Les deux droitesdetd⁰ayant n−1 points communsA₂, . . . ,A_nsont confondues. DoncA₁,A₂, . . . ,A_n,An+1sont alignés, ce qui montre l’hérédité de la propriété.

4. Conclusion : la propriétéP(n)est vraie pour toutn>2.

[000161]

Exercice 68

1. Démontrer que pour tout entier natureln, 9 divise 10ⁿ−1.

2. Soitk un entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier natureln,k divise (k+1)ⁿ+2.

[000162]

Exercice 69

Démontrer que pourn>1, le produit denentiers impairs est un entier impair. [000163]

Exercice 70

On considère une suite(un)n∈Ntelle que :

u₀=0 et u₁=1 et ∀n>1,u_n+1=un+2un−1

Démontrer que : 1. ∀n∈N,un∈N,

2. ∀n∈N,un=¹₃(2ⁿ−(−1)ⁿ).

[000164]

Exercice 71

Soitb>2 un entier fixé. Démontrer que pour toutN∈N^∗, il existe un entiern∈Net des entiersa₀,a₁, . . . ,an

appartenant à{0,1, . . . ,b−1}tels que ;

N=a₀+a₁b+···+anbⁿ et an6=0

Démontrer que pour chaqueN, le système(n,a₀,a₁, . . . ,an)est déterminé par la propriété ci-dessus.

On dit quea₀,a1, . . . ,ansont les chiffres de l’écriture du nombreNsuivant la baseb. [000165]

Exercice 72

Démontrer par récurrence que pour toutk∈N,k! divise le produit dekentiers consécutifs :

∀n∈N,k!|n(n+1)···(n+k−1)

[000166]

Exercice 73

(25)

Les propriétés

Pn : 3|4ⁿ−1,∀n∈N, et

Qn : 3|4ⁿ+1,∀n∈N,

sont-elles vraies ou fausses ? ^[000167]

Exercice 74

1. Calculer les restes de la division euclidienne de 1,4,4²,4³par 3.

2. Formuler, pour toutn∈N, une hypothèseP(n)concernant le reste de la division euclidienne de 4ⁿpar 3. Démontrer queP(n)est vérifiée pour toutn∈N.

3. Pour toutn∈N, le nombre 16ⁿ+4ⁿ+3 est-il divisible par 3.

[000168]

Exercice 75

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 3²ⁿ⁺²−2ⁿ⁺¹est divisible par 7 quel que soitn∈N. [000169]

Exercice 76

1. Démontrer par récurrence :

n

∑

k=0

k=n(n+1) 2 2. Calculer de deux manières différentes :

n+1

∑

k=1

k³−

n

∑

k=0

(k+1)³. 3. En déduire :

n

∑

k=0

k²=1

6(2n³+3n²+3n).

[000170]

Exercice 77

Montrer que pour tout entiern>1 : 1 1.2+ 1

2.3+. . .+ 1

n.(n+1) = n n+1.

[000171]

Exercice 78

Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entiern₀tel que

∀n>n₀, 2ⁿ>(n+2)².

[000172]

Exercice 79

Démontrer par récurrence surnque pour toutn>2 l’implication

[x>−1,x6=0]⇒[(1+x)ⁿ>1+nx]

est vraie. ^[000173]

Exercice 80

(26)

1. Soitn∈N; montrer que pour tout entierk>1 on a

n^k+kn^k⁻¹6(n+1)^k.

2. Soitbun réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour toutn>1 on a (1+b)ⁿ61+nb

1!+(nb)²

2! +...+(nb)ⁿ n! .

[000174]

Exercice 81

Montrer par récurrence que pour tout entiern∈N, (a+b)ⁿ=

n

∑

k=0

C_n^ka^kbⁿ⁻^k,

pour tout réelaetb. [000175]

Exercice 82

On définit une suite(Fn)de la façon suivante :

F_n+1=F_n+F_n₋₁; F₀=1,F₁=1. 1. CalculerFnpour 1<n<10.

2. Montrer que l’équationx²=x+1 admet une unique solution positiveaque l’on calculera.

3. Montrer que, pour toutn>2, on a

aⁿ⁻²<Fn<aⁿ⁻¹.

[000176]

Exercice 83 Montrer que :

2 cos π 2ⁿ =

r 2+

q

2+. . .√ 2.

[000177]

Exercice 84

Pourn∈N,n>2,trouver une loi simplifiant le produit : (1−1

4)...(1−1 n).

[000178]

Exercice 85

Pourn∈N,soienta₀, . . . ,andes nombres réels de même signe tel queai>−1,montrer que : (1+a₀)...(1+a_n)>1+a₀+. . .+a_n.

[000179]

Exercice 86

Montrer∀n∈N,∑ⁿ_k=0k³=ⁿ²⁽ⁿ⁺¹⁾₄ ². ^[007011]

(27)

Exercice 87

Montrer que pour tout entiernpositif, l’entier 10ⁿ−(−1)ⁿest divisible par 11. [007012]

Exercice 88

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie paru₀=0 et pour toutnpositif,u_n+1=√

3un+4. Montrer que

la suite est majorée par 4. [007013]

Exercice 89

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie paru₀=0 et pour toutnpositif,u_n+1=2un+1. Calculeru_nen fonction den.

IndicationH ^[007014]

Exercice 90

Soit (un)n∈N la suite de nombres réels définie paru₀=1, u₁=2 et pour tout npositif, u_n+2=5u_n+1−6un. Calculerunen fonction den.

Exercice 91

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie paru₀=1,u₁=1 et pour toutnpositif,u_n+2=u_n+1+_n+2² un. Montrer :∀n∈N^∗,16un6n².

Exercice 92

Montrer que pour toutn∈N, la somme desnpremiers entiers positifs impairs est toujours le carré d’un entier.

[007017]

Exercice 93

Montrer :∀u∈R,∀n∈N,|sin(nu)|6n|sin(u)|. [007018]

Exercice 94

1. Soita∈R+. Montrer∀n∈N^∗,(1+a)ⁿ>1+na+ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾a².

2. Soit(un)n∈Nla suite définie parun=³ⁿ₃n. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a 06un6 _2n³ⁿ2+1.

[007019]

Exercice 95

Soita∈]0,π/2[, et définissons une suite réelle paru₀=2 cos(a)et pour toutn∈N,u_n+1=√

2+un. Montrer que pour toutn∈N, on aun=2 cos ₂^an

. [007020]

Exercice 96

Définissons une suite paru₀=1 et pour toutn∈N,u_n+1=¹₂u_n+n−1.

1. Démontrer que pour tout n>3, un est positif. En déduire que pour tout n>4, on a un>n−2. En déduire la limite de la suite.

2. Définissons maintenant la suitevn=4un−8n+24. Montrer que la suite(vn)est une suite géométrique, donner son premier terme et sa raison. Montrer que pour toutn∈N,u_n=7 ¹₂n

+2n−6. Remarquer queunest la somme d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique dont on précisera les raisons et les premiers termes. En déduire une formule pour la quantitéu₀+u₁+...+unen fonction de l’entiern.

(28)

[007021]

Exercice 97

On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie paru₀=2 et pour toutn∈N,u_n+1=√un. 1. Montrer que pour toutn∈N,u_n>1.

2. Montrer que pour tout réela∈]1;+∞[, on a√a+1¹ 6¹₂. 3. En déduire que pour toutn∈N, on au_n+1−16¹₂(un−1).

4. Montrer que pour toutn∈N,un−16 ¹₂n

. En déduire la limite de la suite(un).

[007022]

Exercice 98 Récurrence de Cauchy et application SoitAune partie deN^∗contenant 1 et telle que

1. ∀n∈N^∗,n∈A⇒2n∈A; 2. ∀n∈N^∗,n+1∈A⇒n∈A.

Montrer queA=N^∗.

En déduire l’inégalité arithmético-géométrique : sia₁, ...,ansont des réels positifs, alors on a a₁+...+an

n 6√ⁿ

a₁a₂...an.

[007023]

Exercice 99

Démontrer que tout entiern>1 peut s’écrire comme somme de puissances de deux distinctes.

Exercice 100

Démontrer que tout entiern>1 peut s’écrire de façon unique sous la forme 2^p(2q+1), avecpetqentiers.

Exercice 101

Montrer que pour toutn>0 on a l’inégalité

√1 1+ 1

√2+···+ 1

√n >√ n.

[007035]

Exercice 102 Une récurrence descendante Montrer que pour tout entierN>2,

vu uu t2

vu ut 3

s 4

r ...

q

(N−1)√ N<3.

Exercice 103 Inégalité du binôme

Montrer que pour tousa,b>0 distincts et toutn>1, on a l’inégalité 2ⁿ⁻¹(aⁿ+bⁿ)>(a+b)ⁿ.

(29)

[007037]

Exercice 104 Variantes du raisonnement par récurrence

Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d’en déduire queP_nest vraie pour toutn∈N? 1. P₀et∀n∈N,Pn⇒(P2n∧P_2n+1);

2. P₀,P₁et∀n>1,Pn⇒(P_2n∧P_2n+1); 3. P₀,P₁,P₂et∀n>2,Pn⇒(P_2n∧P_2n+1); 4. P₀,P₁et∀n>1,Pn⇒(Pn−1∧P_n+1).

[007038]

Exercice 105 Conducteur d’un sous-monoïde SoitP_nune assertion dépendant den∈Ntelle que :

1. P₀est vraie ;

2. ∀n∈N,Pn⇒(P_n+3etP_n+4).

La propriété est-elle vraie pour toutn∈N? Pournassez grand ? (Et si oui à partir de quel rang ?) Pour quels entiers est-elle vraie ?

Répondre aux deux premières questions en remplaçant dans l’énoncé les nombres 3 et 4 par des paramètres entiers positifsaetbquelconques.

Exercice 106 Nombres de Catalan

On définit une suite(Cn)n∈NparC₀=1 et pour tout natureln,C_n+1=∑ⁿ_k=0C_kC_n₋_k. 1. Calculer les cinq premiers termes de la suite ;

2. Montrer par récurrence que pour toutn>0,Cn>2ⁿ⁻¹; 3. Montrer par récurrence forte que pour toutn>0,Cn>3ⁿ⁻²;

4. Tenter de montrer par une récurrence similaire à la précédente que pour toutn>0,C_n>4ⁿ⁻². À quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cela échoue ?

[007040]

Exercice 107

Soitxun réel tel quex+¹_x soit entier. Montrer que pour toutn∈N,xⁿ+_x¹n est entier. [007041]

Exercice 108

Soit(un)n∈Nla suite réelle définie paru₀=2,u₁=3, et pour toutn∈N,u_n+2=3un+1−2un. Détermineru_nen fonction den.

Exercice 109

Soit(un)n∈Nla suite réelle définie paru₀=1 et pour toutn∈N,u_n+1=∑ⁿ_k=0u_k. Détermineru_nen fonction de

n. [007043]

Exercice 110

Soitn∈N^∗. On tracencercles dans le plan. Montrer que l’on peut colorier chaque région du plan ainsi délimitée avec exactement deux couleurs, de manière à ce que deux régions séparées par un arc de cercle soient toujours

de couleur différente. [007044]

Exercice 111

(30)

Soitnun entier supérieur ou égal à 2. On place 2npoints dans l’espace, et on tracen²+1 segments entre ces

points. Montrer que l’on a tracé au moins un triangle. ^[007045]

Exercice 112

Déterminer les valeurs denpour lesquelles le nombre un:=1+1

2+1

3+...+1 n est entier.

5 100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre

Exercice 113

1. SoitE=N×N, on définitR par :(a,b)R(a⁰,b⁰)⇔a+b⁰=b+a⁰. Montrer queR est une relation d’équivalence. IdentifierE/R.

2. Mêmes questions avecE=Z×N^∗et(p,q)R(p⁰,q⁰)⇔pq⁰=p⁰q.

[000207]

Exercice 114

DansR²on définit la relationRpar :

(x,y)R(x⁰,y⁰)⇔y=y⁰. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Déterminer la classe d’équivalence de(x,y)∈R².

[000208]

Exercice 115

DansCon définit la relationRpar :

zRz⁰⇔ |z|=|z⁰|. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Déterminer la classe d’équivalence de chaquez∈C.

Exercice 116

SoitRune relation binaire sur un ensembleE, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ?

“xRy⇒yRxcarRest symétrique, or(xRyetyRx)⇒xRxcarRest transitive,

doncRest réflexive.”

IndicationH CorrectionH ^[000210]

Exercice 117

Étudier la relationRdéfinie surR^R(l’ensemble des applications deRdansR) par : fRg⇐⇒ ∃A>0,∀x∈R,|x|>A⇒ f(x) =g(x).

[000211]

(31)

Exercice 118

Montrer que la relationRdéfinie surRpar :

xRy⇐⇒xe^y=ye^x

est une relation d’équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d’éléments de la classe dexmoduloR.

Exercice 119

La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur N? sur Z? Si oui, est-ce une relation d’ordre total ?

[000213]

Exercice 120

Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’équivalence, préciser les classes ; dans le cas d’une relation d’ordre, préciser si elle est totale, si l’ensemble admet un plus petit ou plus grand élément.

1. DansP(E):AR1B⇔A⊂B ; AR2B⇔A∩B=/0.

2. DansZ:aR3b⇔aetbont la même parité ; aR4b⇔ ∃n∈N a−b=3n ; aR5b⇔a−best divisible par 3.

[000214]

Exercice 121

Soient(X,6)et(Y,6)deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux ordres de la même façon). On définit surX×Y la relation(x,y)6(x⁰,y⁰)ssi(x<x⁰)ou(x=x⁰ety6y⁰). Montrer que c’est un ordre et qu’il

est total ssiXetY sont totalement ordonnés. [000215]

Exercice 122

Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit élément.

1. Donner un exemple d’ensemble bien ordonné et un exemple d’ensemble qui ne l’est pas.

2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné.

3. La réciproque est-elle vraie ?

[000216]

Exercice 123

Soit(E,6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)\ {/0}la relation≺par X≺Y ssi (X=Y ou ∀x∈X ∀y∈Y x6y).

Vérifier que c’est une relation d’ordre.

Exercice 124

Montrer quea∗b= a+b

1+ab est une l.c.i sur]−1,1[et déterminer ses propriétés. [000218]

Exercice 125 Congruence des carrés modulo 5

On définit la relation∼surZparx∼y ⇐⇒ x²≡y²mod 5.

1. Déterminer l’ensemble quotient.

(32)

2. Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ?

[003030]

Exercice 126 Produit cartésien

Soient deux relations d’équivalence :RsurE, etS surF. On définit surE×F: (x,y)∼(x⁰,y⁰) ⇐⇒ xRx⁰etySy⁰.

1. Vérifier que∼est une relation d’équivalence.

2. Soitφ:E×F→(E/R)×(F/S),(x,y)7→(x,˙ y)˙

Démontrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.

[003031]

Exercice 127 X∪A=Y∪A

SoitEun ensemble etA⊂E. On définit la relation surP(E): X∼Y ⇐⇒ X∪A=Y∪A.

1. Montrer que c’est une relation d’équivalence.

2. Soitφ:P(E)→P(E\A),X7→X\A.

Montrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.

[003032]

Exercice 128 Équivalences surE^E

SoitEun ensemble non vide. On considère les relations surF=E^E : f ∼g ⇐⇒ ∃n∈N^∗tq fⁿ=gⁿ, f ≈g ⇐⇒ ∃m,n∈N^∗tq fⁿ=g^m, f ≡g ⇐⇒ f(E) =g(E).

1. Montrer que∼,≈,≡sont des relations d’équivalence.

2. Pour f∈F, on note f^∼, f^≈, f^≡les classes d’équivalence de f modulo∼,≈,≡. (a) Comparer f^∼, f^≈.

(b) Montrer que toute classe d’équivalence pour≈est réunion de classes d’équivalence pour∼. (c) Que pouvez-vous dire de f s’il existeg∈ f^≈ injective ? surjective ?

(d) Même question avec f^≡.

[003033]

Exercice 129 Relation d’équivalence quotient

SoientRetS deux relations d’équivalence sur un ensembleE, telles que :

∀x,y∈E,xRy⇒xSy.

On définitS˙surE/Rpar : ˙xS˙y˙ ⇐⇒ xSy.

Vérifier queS˙est une relation d’équivalence, puis définir une bijection entre(E/R)/S˙etE/S. [003034]

Exercice 130 Complétion d’une relation réflexive et transitive

SoitRune relation binaire sur un ensembleE réflexive et transitive. On définit les deux relations : xSy ⇐⇒ (xRyetyRx),

xTy ⇐⇒ (xRyouyRx).

(33)

Est-ce queS etT sont des relations d’équivalence ? [003035]

Exercice 131 Parties saturées pour une relation d’équivalence

Soit∼une relation d’équivalence sur un ensembleE. PourA⊂E, on définits(A) =^S_x_∈_Ax.˙ 1. ComparerAets(A).

2. Simplifiers(s(A)).

3. Montrer que :∀x∈E, on a(x∈s(A)) ⇐⇒ (x˙∩s(A)6=∅). En déduires(E\s(A)).

4. Démontrer ques(^S_i_∈_IAi) =^S_i_∈_Is(Ai)ets(^T_i_∈_IAi)⊂^Ti∈Is(Ai).

5. Donner un exemple d’inclusion stricte.

[003036]

Exercice 132 Ordre sur les fonctions

SoitXun ensemble etE=R^X. On ordonneEpar : f6g ⇐⇒ ∀x∈X, f(x)6g(x).

1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.

2. L’ordre est-il total ?

3. Comparer les énoncés :“ f est majorée”, et“{f}est majoré”.

4. Soit(f_i)i∈Iune famille majorée de fonctions deE. Montrer qu’elle admet une borne supérieure.

[003037]

Exercice 133 sup◦inf et inf◦sup

Soit f :R²→Rune fonction bornée. On définit les fonctions :

g:R→R,t7→sup{f(t,y)tqy∈R}

h:R→R,t7→inf{f(x,t)tqx∈R}

Montrer quegethsont bornées, puis comparer suphet infg. [003038]

Exercice 134 Ordre lexicographique

On noteE= [−1,1]², et on définit surE la relation : (x,y)(x⁰,y⁰) ⇐⇒

(x<x⁰)ou(x=x⁰ety6y⁰)

(ordre lexicographique).

1. Pour(a,b)∈E, représenter graphiquement l’ensemble des majorants de(a,b).

2. SoitAune partie non vide deE. Montrer queAadmet une borne supérieure.

[003039]

Exercice 135 Distance entre un point et une partie PourA⊂Rnon vide et bornée, etx∈R, on note :

d(x,A) =inf{|x−a|tqa∈A} (distance de x à A).

Montrer qued(x,A)−d(y,A)6|x−y|. ^[003040]

Exercice 136 Parties adjacentes SoientA,B⊂Rvérifiant : (

∀a∈A,∀b∈B,a6b

∀ε>0, ∃a∈A, ∃b∈Btqb−a6ε

(on dit queAetBsontadjacentes). Montrer que sup(A) =inf(B). [003041]