Exercice 358
Calculer le pgcd des nombres suivants : 1. 126, 230.
2. 390, 720, 450.
3. 180, 606, 750.
CorrectionH Vidéo [000290]
Exercice 359
1. Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.
2. Montrer que sia>1 etb>1 sont des entiers de pgcddet, si on posea=da0;b=db0, le ppcm deaet bestda0b0.
3. Montrer que sia,b,csont des entiers supérieurs à 1, on a :
ppcm(a,b,c) =ppcm(ppcm(a,b),c).
[000291]
Exercice 360
Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
CorrectionH Vidéo [000292]
Exercice 361
Sia,b,c,d sont des entiers supérieurs à 1, montrer que l’on a : (a,b,c,d) = ((a,b),(c,d))
où ( , ) désigne le pgcd . [000293]
Exercice 362
1. Soienta,b,cdes entiers relatifs tels que(a,b)6= (0,0), montrer que pour que l’équation ax+by=c
ait une solution(x,y)en entiers relatifsxety, il faut et il suffit que le pgcd deaetbdivisec.
2. Résoudre en entiers relatifs les équations suivantes : 7x−9y=1, 7x−9y=6, 11x+17y=5.
[000294]
Exercice 363
Soientaetbdeux entiers tels quea>b>1 et pgcd(a,b) =1.
1. Montrer que pgcd(a+b,a−b) =1 ou 2,
2. Si pgcd(a,b) =1, montrer que pgcd(a+b,ab) =1,
3. Si pgcd(a,b) =1, montrer que pgcd(a+b,a2+b2) =1 ou 2.
[000295]
Exercice 364
Calculer par l’algorithme d’Euclide : pgcd(18480,9828). En déduire une écriture de 84 comme combinaison linéaire de 18480 et 9828.
CorrectionH Vidéo [000296]
Exercice 365
Déterminer le pgcd de 99 099 et 43 928. Déterminer le pgcd de 153 527 et 245 479. [000297]
Exercice 366
Déterminer l’ensemble de tous les couples(m,n)tels que 955m+183n=1.
CorrectionH [000298]
Exercice 367
Calculer, en précisant la méthode suivie,
a=pgcd(720,252) b=ppcm(720,252)
ainsi que deux entiersuetvtels que 720u+252v=a. [000299]
Exercice 368
Démontrer :
a∧(b1b2) =1⇔(a∧b1=1 eta∧b2=1), puis par récurence :
a∧(b1. . .bn) =1⇔ ∀i=1, . . . ,n a∧bi=1.
[000300]
Exercice 369
Démontrer pourm,n∈N∗:
am∧bn=1⇒a∧b=1.
[000301]
Exercice 370
Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, 1008, et leur pgcd, 24. [000302]
Exercice 371
Notonsa=1 111 111 111 etb=123 456 789.
1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne deaparb.
2. Calculerp=pgcd(a,b).
3. Déterminer deux entiers relatifsuetvtels queau+bv=p.
CorrectionH Vidéo [000303]
Exercice 372
Soientmetn deux entiers(m>n>0) eta>2 un entier. Montrer que le reste de la division euclidienne de am−1 paran−1 estar−1 oùrest le reste de la division euclidienne demparn, et que le pgcd deam−1 et
an−1 estad−1, oùdest le pgcd demetn. [000304]
Exercice 373
Résoudre dansZ: 1665x+1035y=45.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000305]
Exercice 374
Montrer qu’il n’existe pas d’entiersmetntels que
m+n=101 et pgcd(m,n) =3
[000306]
Exercice 375
Soitmetndeux entiers positifs.
1. Si pgcd(m,4) =2 et pgcd(n,4) =2, montrer que pgcd(m+n,4) =4.
2. Montrer que pour chaque entiern, 6 divisen3−n.
3. Montrer que pour chaque entiern, 30 divisen5−n.
4. Montrer que simetnsont des entiers impairs,m2+n2est pair mais non divisible par 4.
5. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par 24.
6. Montrer que si pgcd(a,b) =1, alors
— pgcd(a+b,a−b)∈ {1,2},
— pgcd(2a+b,a+2b)∈ {1,3},
— pgcd(a2+b2,a+b)∈ {1,2},
— pgcd(a+b,a2−3ab+b2)∈ {1,5}.
[000307]
Exercice 376
Trouver une CNS pour queax+b≡0 mod n ait une solution. [000308]
Exercice 377
1. Calculer pgcd(18,385) par l’algorithme d’Euclide, en déduire un couple (u0,v0) ∈Z2 solution de l’équation 18u+385v=1, avec(u,v)∈Z2.
2. Fournir enfin l’ensemble des solutions entières de
18u+385v=1; 18u+385v=3; 54u+1155v=3; 54u+1155v=5.
[000309]
Exercice 378
Trouveraetbentiers naturels tels que 1. a+b=2070 et ppcm(a,b) =9180 ;
2. a2+b2=5409 et ppcm(a,b) =360 (on pourra commencer par montrer que pgcd(a,b)divise pgcd(5409,360) et considérer ensuite différents cas).
[000310]
Exercice 379
Résoudre dansZles équations : 35x≡7 mod 4; 22x≡33 mod 5 [000311]
Exercice 380
Résoudre dansZle système suivant :
S:
x ≡ 4 mod 6
x ≡ 7 mod 9
On recherchera d’abord une solution particulière. [000312]
Exercice 381
1. Résoudre dansZles équations : x2≡2 mod 6; x3≡3 mod 9.
2. Résoudre dansZ2les équations suivantes : 5x2+2xy−3=0 ; y2+4xy−2=0.
[000313]
Exercice 382
Résoudre dansZ2les équations suivantes :
a) 17x+6y=1 b) 27x+25y=1 c) 118x+35y=1 d) 39x+26y=1
[000314]
Exercice 383
Montrer que sia divise 42n+37 et 7n+4, pour une valeur den donnée, alorsa divise 13. Quelles sont les
valeurs possibles pourn? [000315]
Exercice 384
Trouver pgcd(−357,629)et trouver des entiersxetytels que
pgcd(−357,629) =−357x+629y
[000316]
Exercice 385
Trouver pgcd(2183,6313) =det trouver des entiersxetytels que d=2183x+6313y
[000317]
Exercice 386
Supposons pgcd(a,b) =det soitx0ety0des entiers tels qued=ax0+by0. Montrer que : 1. pgcd(x0,y0) =1,
2. x0ety0ne sont pas uniques.
[000318]
Exercice 387
Soita,b,cdes entiers.
1. Montrer que pgcd(ca,cb) =|c|pgcd(a,b).
2. Montrer que pgcd(a2,b2) = (pgcd(a,b))2.
3. Montrer que si pgcd(a,b) =1 et sicdivisea, alors pgcd(c,b) =1.
4. Montrer que pgcd(a,bc) =1 ⇐⇒ pgcd(a,b) =pgcd(a,c) =1.
5. Montrer que si pgcd(b,c) =1 alors pgcd(a,bc) =pgcd(a,b)pgcd(a,c).
6. Montrer que pgcd(a,b) =pgcd(a+b,ppcm(a,b)).
[000319]
Exercice 388
En divisant un nombre par 8, un élève a obtenu 4 pour reste ; en divisant ce même nombre par 12, il a obtenu 3 pour reste. Qu’en pensez-vous ?
Le fort en calcul de la classe, qui ne fait jamais d’erreur, a divisé le millésime de l’année par 29, il a trouvé 25 pour reste ; il a divisé le même millésime par 69, il a trouvé 7 pour reste. En quelle année cela se passait-il ?
[000320]
Exercice 389
Trouver deux nombres sachant que leur somme est 581 et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est 240.
[000321]
Exercice 390
Trouver les solutions entières de l’équation :
102x−18018y=18.
Combien y a-t-il de solutions telles quexetysoient compris entre entre 0 et 4000 ? [000322]
Exercice 391
Le pgcd de deux nombres est 12 ; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l’algorithme
d’Euclide sont 8, 2 et 7. Trouver ces deux nombres. [000323]
Exercice 392
Trouver les couples de nombresaetb, divisibles par 3, vérifiant les propriétés suivantes : leur ppcm est 7560, et si on augmente chacun de ces nombres d’un tiers de sa valeur, le pgcd des deux nombres obtenus est 84.
[000324]
Exercice 393
Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètresaetbsont des nombres entiers, a pour aire 3024 m2. Calculer son périmètre sachant que le pgcd deaetbest 6. Combien y a-t-il de solutions possibles ? [000325]
Exercice 394
1. DansZ/nZ, écrire l’ensemble des multiples de ¯x, classe dex, pourxvariant de 0 àn−1 dans chacun des cas suivants :Z/5Z,Z/6Z,Z/8Z.
2. DansZ/nZ, montrer l’équivalence des trois propositions : i) ¯xest inversible ;
ii) xetnsont premiers entre eux ;
iii) ¯xengendreZ/nZ, c’est à dire que l’ensemble des multiples de ¯xestZ/nZ.
3. La classe de 18 est-elle inversible dansZ/49Z? Si oui, quel est son inverse ? (On pourra utiliser le théorème de Bézout).
[000326]
Exercice 395
Résoudre dansZles équations suivantes : 1. 91x−65y=156.
2. 135x−54y=63.
3. 72x+35y=13.
[000327]
Exercice 396
Résoudre dansNles équations suivantes : 1. 31x−13y=1.
2. 31x−13y=−1.
Application :Au bord d’une piscine pleine d’eau, on dispose d’une cuve fixe de 31 litres munie à sa base d’un robinet de vidange, et d’un seau de 13 litres. Expliquer comment opérer pour obtenir exactement 1 litre dans le
seau. [000328]
Exercice 397
Résoudre dansNl’équation 77x+105y=2401. [000329]
Exercice 398
Dans un pays nommé ASU, dont l’unité monétaire est le rallod, la banque nationale émet seulement des billets de 95 rallods et des pièces de 14 rallods.
1. Montrer qu’il est possible de payer n’importe quelle somme entière (à condition bien sûr que les deux parties disposent chacune d’assez de pièces et de billets).
2. On suppose que vous devez payer une sommeS, que vous avez une quantité illimitée de pièces et de billets, mais que votre créancier ne puisse pas rendre la monnaie. Ainsi, il est possible de payer siS=14, mais pas siS=13 ou siS=15. . . Montrer qu’il est toujours possible de payer siSest assez grande.
Quelle est la plus grande valeur deStelle qu’il soit impossible de payerS?
[000330]
Exercice 399
Trouver tous les points à coordonnées entières du plan d’équation 6x+10y+15z=1997. Combien y a-t-il de
solutions dansN3? [000331]
Exercice 400
1. Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l’espace d’équations
4x−2y−z−5 = 0 x+3y−4z−7 = 0 . 2. Même question avec la droite
x+3y−5z−5 = 0 4x−2y+z+13 = 0 .
[000332]
Exercice 401
Résoudre dansNet dansZl’équation
1 x+1
y = 1 15
[000333]
Exercice 402
Un coq coûte 5 pièces d’argent, une poule 3 pièces, et un lot de quatre poussins 1 pièce. Quelqu’un a acheté 100 volailles pour 100 pièces ; combien en a-t-il acheté de chaque sorte ? [000334]
Exercice 403
Soientaetbdeux nombres entiers relatifs. On notedleur pgcd. Construisons les suitesanetbnn∈N,à valeurs dansZde la manière suivante :
a0 = a b0 = b
et pour toutn∈N,on posean+1=bnetbn+1=roùrest le reste de la division euclidienne deanparbn. 1. Montrer que sidnest le pgcd deanetbnalorsdnest également le pgcd dean+1etbn+1.
2. Déduire de la questionh précédente quedest le pgcd des nombresanetbnpour toutn∈N. 3. Montrer que la suitebnest strictement décroissante. Que peut-on en déduire ?
4. Déduire de ce qui précède que pour tout couple d’entiers relatifs(a,b)il existe un couple d’entier relatifs (u,v)tel que :
d=au+bv.
[000335]
Exercice 404
Soienta,b,c∈Ztels quea∧b=1. Montrer quea∧(bc) =a∧c. [003110]
Exercice 405 pgcd(a+b,ppcm(a,b))
Soienta,bentiers,d=a∧b,m=a∨b. Chercher(a+b)∧m.
CorrectionH [003111]
Exercice 406 pgcd((a−b)3,a3−b3)
Soienta,b∈Z. Chercher(a−b)3∧(a3−b3).
CorrectionH [003112]
Exercice 407 pgcd(n3+n,2n+1) Soitn∈N. Chercher(n3+n)∧(2n+1).
CorrectionH [003113]
Exercice 408 pgcd(15n2+8n+6,30n2+21n+13) Soitn∈N. Chercher(15n2+8n+6)∧(30n2+21n+13).
CorrectionH [003114]
Exercice 409 pgcd et ppcm imposés
Soientd,m∈N∗. Donner une condition nécéssaire et suffisante surd etmpour qu’il existea,b∈Ztels que a∧b=deta∨b=m.
Résoudre ce problème pourd=50 etm=600.
CorrectionH [003115]
Exercice 410 ppcm(x,y) +11pgcd(x,y) =203
Trouver les couples d’entiers(x,y)∈Z2tels que :x∨y+11(x∧y) =203.
CorrectionH [003116]
Exercice 411 x2+y2=85113, ppcm(x,y) =1764
Résoudre : (
x2+y2=85113 x∨y=1764.
CorrectionH [003117]
Exercice 412 ppcm(x,y) =210 pgcd(x,y),y−x=pgcd(x,y) Résoudre :
(x∨y=210(x∧y) y−x=x∧y.
CorrectionH [003118]
Exercice 413 pgcd(x,y) =x+y−1 Résoudre dansZ:x∧y=x+y−1.
CorrectionH [003119]
Exercice 414 ppcm(x,y) =x+y−1 Résoudre dansZ∗:x∨y=x+y−1.
CorrectionH [003120]
Exercice 415 pgcd(x,y) =x−y, ppcm(x,y) =300
Résoudre dansN∗:
(x∧y=x−y x∨y=300.
CorrectionH [003121]
Exercice 416 pgcd(an−1,am−1)
Soienta,m,n ∈N∗,a>2, etd= (an−1)∧(am−1).
1. Soitn=qm+rla division euclidienne denparm. Démontrer quean≡ar(modam−1).
2. En déduire qued= (ar−1)∧(am−1), puisd=a(n∧m)−1.
3. A quelle conditionam−1 divise-t-ilan−1 ?
CorrectionH [003122]
Exercice 417 pgcd multiple
Soienta1, . . . ,an∈N∗etbi=∏j6=iaj. Montrer quea1, . . . ,ansontdeux à deuxpremiers entre eux si et seulement
sib1, . . . ,bnsont premiers entre euxdans leur ensemble. [003123]
Exercice 418 Équations à coefficients entiers
Soienta,b,ctrois entiers relatifs. On considère l’équation :ax+by=c, dont on recherche les solutions dans Z2.
1. Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que cette équation admette une solution.
2. Soit(x0,y0)une solution du problème de Bézout : ax0+by0=d. Déterminer toutes les solutions de ax+by=cen fonction dea,b,c,d,x0ety0.
3. Résoudre dansZ2: 2520x−3960y=6480.
CorrectionH [003124]
Exercice 419 Équations à coefficients entiers Résoudre dansZ:
1. 95x+71y=46.
2. 20x−53y=3.
3. 12x+15y+20z=7.
CorrectionH [003125]
Exercice 420 Congruences simultanées
1. Soienta,b,a0,b0∈Zavecb∧b0=1. Montrer que le système :
(x≡a(modb)
x≡a0(modb0) possède des solutions et qu’elles sont congrues entre elles modulobb0.
2. Généraliser.
[003126]
Exercice 421 Congruences simultanées Résoudre :
1.
(x≡2 (mod 140) x≡ −3(mod 99).
2.
x≡3 (mod 4) x≡ −2(mod 3) x≡7 (mod 5).
CorrectionH [003127]
Exercice 422 Congruences simultanées
Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de N pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces.
Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors 4 pièces.
Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces.
Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?
CorrectionH [003128]
Exercice 423 Décomposition à coefficients positifs
Soienta,b∈N∗premiers entre eux. Montrer que :∀x>ab,∃u,v∈Ntels queau+bv=x. [003129]