Exercice 1032
Soientv1= (0,1,−2,1),v2= (1,0,2,−1),v3= (3,2,2,−1),v4= (0,0,1,0)etv5= (0,0,0,1)des vecteurs de R4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
1. Vect{v1,v2,v3}=Vect{(1,1,0,0),(−1,1,−4,2)}. 2. (1,1,0,0)∈Vect{v1,v2} ∩Vect{v2,v3,v4}.
3. dim(Vect{v1,v2} ∩Vect{v2,v3,v4}) =1 (c’est-à-dire c’est une droite vectorielle).
4. Vect{v1,v2}+Vect{v2,v3,v4}=R4.
5. Vect{v4,v5}est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{v1,v2,v3}dansR4.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000919]
Exercice 1033
IndicationH CorrectionH Vidéo [000920]
Exercice 1034
SiL,M,Nsont trois sous-espaces vectoriels deE, a-t-on :
L∩(M+N) =L∩M+L∩N?
[000921]
Exercice 1035
SoitE=R[X]l’espace vectoriel des polynômes. On définit
Ea={P∈E;(X−a)/P}
poura∈R. Montrer que sia6=balorsE=Ea+Eb. La somme est-elle directe ? [000922]
Exercice 1036
SoitE=∆1(R,R)l’espace des fonctions dérivables etF ={f∈E|f(0) = f0(0) =0}. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deEet déterminer un supplémentaire deF dansE.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000923]
Exercice 1037
SoientEun espace vectoriel,F etGdeux sous-espaces vectoriels deE. On dit queFetGsontsupplémentaires dansElorsqueF∩G={0}etE=F+G. On noteE=F⊕G.
(b) Montrer que tout élémentxdeE se décompose d’une manièreuniqueen une sommex=y+zavec y∈F etz∈G.
(c) SoientF={f1,···,fk}une famille libre deFetG ={g1,···,gl}une famille libre deG. Montrer que la familleF∪G est libre.
(d) Soitϕ une application linéaire deEdansRq,q∈N. Construire deux applications linéairesψ etψ0 deEdansRqtelles que :∀y∈F:ψ0(y) =0,∀z∈G:ψ(z) =0 et∀x∈E:ϕ(x) =ψ(x) +ψ0(x).
[000924]
Exercice 1038 Caractérisation de la somme directe de trois s.e.v.
SoientU,V,W des s.e.v. d’un e.v.E, vérifiant(I):U∩V={0}= (U+V)∩W.
1. Démontrer queV∩W={0}=U∩(V+W).
2. Montrer que(I)équivaut à
(II):(∀x∈U+V+W)(∃!(u,v,w)∈U×V×W)(x=u+v+w).
[000925]
Exercice 1039 Soit
E=
(un)n∈N∈RN|(un)nconverge .
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires dansE.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000926]
Exercice 1040
Soit f l’endomorphisme deR3dont la matrice par rapport à la base canonique(e1,e2,e3)est A=
15 −11 5 20 −15 8
8 −7 6
.
Montrer que les vecteurs
e01=2e1+3e2+e3, e02=3e1+4e2+e3, e03=e1+2e2+2e3 forment une base deR3et calculer la matrice de f par rapport à cette base.
CorrectionH Vidéo [002433]
Exercice 1041 Supplémentaire commun, X MP∗2005
1. SoitA={P∈R[X]tqP= (1−X)Q(X2)avecQ∈R[X]}.
(a) Montrer queAest unR-ev et que l’on aR[X] =A⊕ {polynômes pairs}. A-t-onR[X] =A⊕ {polynômes impairs}?
(b) Que peut-on dire si l’on remplaceQ(X2)par une fonction f paire ?
2. SoientE1,E2deux sev d’un evE tels queE1etE2sont isomorphes etE=E1⊕E2. Montrer queE1et E2ont un supplémentaire commun.
CorrectionH [003305]
Exercice 1042
Soit E =K3[X], F ={P∈E tq P(0) =P(1) =P(2) =0}, G={P∈E tq P(1) =P(2) =P(3) =0}, et H={P∈E tqP(X) =P(−X)}.
1. Montrer queF⊕G={P∈E tqP(1) =P(2) =0}. 2. Montrer queF⊕G⊕H=E.
[003652]
Exercice 1043 Caractérisation des sommes directes
Soient F1, F2, F3 trois sev de E. Montrer que F1+F2+F3 est directe si et seulement si : F1∩F2={~0} et (F1+F2)∩F3={~0}.
Généraliser.
[003653]
Exercice 1044 Somme directe dansE⇒somme directe dansL(E) SoitEunK-ev de dimension finienetB= (~e1, . . . ,~en)une base deE.
On noteFi={u∈L(E)tq Imu⊂vect(~ei)}.
1. Caractériser matriciellement les éléments deFi. 2. Montrer queF1⊕F2⊕ ··· ⊕Fn=L(E).
[003654]
Exercice 1045 Toute somme peut être rendue directe en réduisant les sev
SoitEunK-ev de dimension finie,F1,F2, . . .,Fndes sev deE tels queF1+···+Fn=E. Montrer qu’il existe des sevG1⊂F1, . . .,Gn⊂Fntels queG1⊕G2⊕ ··· ⊕Gn=E. [003655]
Exercice 1046 Somme et intersection
SoitEunK-ev,E1, . . . ,Endes sev tels queE1⊕ ··· ⊕En=E,F un autre sev deE, etFi=Ei∩F. 1. Montrer que la sommeG=F1+···+Fnest directe.
2. ComparerFetG.
[003656]
Exercice 1047 Somme directe d’endomorphismes
SoitEunK-ev,E1, . . . ,Endes sev tels queE1⊕ ··· ⊕En=E. Soientu1∈L(E1), . . . ,un∈L(En).
1. Montrer qu’il existe un unique endomorphismeu∈L(E)tel que pour touti:u|Fi =ui. 2. Montrer que Ker(u) =Ker(u1)⊕ ··· ⊕Ker(un)et Im(u) =Im(u1)⊕ ··· ⊕Im(un).
[003657]
Exercice 1048 Somme de projecteurs
SoitEunK-ev de dimension finie et p1, . . . ,pndes projecteurs tels quep1+···+pn=idE. 1. Montrer que tr(pi) =rg(pi).
2. Montrer queE=Im(p1)⊕ ··· ⊕Im(pn).
[003658]
Exercice 1049 Projecteurs
SoitE un espace vectoriel de dimensionn, et f1, . . . ,fnnapplications linéaires toutes non nulles. On suppose que :∀(i,j)∈[[1,n]]2, fi◦fj=δi,jfi. Montrer les fi sont toutes de rang un.
CorrectionH [003659]
Exercice 1050 **IT
Soientu= (1,1, ...,1) etF =Vect(u) puisG={(x1, ...,xn)∈Rn/x1+...+xn=0}. Montrer que G est un sous-espace vectoriel deRnet queRn=F⊕G.
CorrectionH [005178]
Exercice 1051 **
SoitKun sous-corps deCetE unK-espace vectoriel de dimension finie. Soient f etgdeux endomorphismes deEvérifiantE=Kerf+Kerg=Imf+Img. Montrer que ces sommes sont directes.
CorrectionH [005185]
Exercice 1052 ** I
E=KnoùKest un sous-corps deC.
Soient F ={(x1, ...,xn)∈E/x1+...+xn =0} et G=Vect((1, ...,1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel deE. Montrer queFetGsont supplémentaires dansE. Préciser le projeté d’un vecteurxdeEsurF parallèlement àGet surGparallèlement àF.
CorrectionH [005565]
Exercice 1053
Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes : 1. Deux droites vectorielles deR3sont-elles supplémentaires ? 2. Deux plans vectoriels deR3sont-ils supplémentaires ?
3. A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle deR3sont-ils supplémentaires ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [006871]
Exercice 1054
SoitEl’espace vectoriel des fonctions de classeC1deRdansR. SoitF l’ensemble de toutes les fonctions de RdansRqui s’écriventx7→ax+b, pour certains réelsaetb. Soit enfinG={f ∈E|f(0) =0,f0(0) =0}.
1. Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels deE.
2. Montrer que
}forment une base deR3. Calculer les coordonnées
respec-tives des vecteurs
3. DansR3, donner un exemple de famille libre qui n’est pas génératrice.
4. DansR3, donner un exemple de famille génératrice qui n’est pas libre.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000981]
Exercice 1058
On considère dansR4, F=lin{a,b,c} etG=lin{d,e}, avec a= (1,2,3,4), b= (2,2,2,6),c= (0,2,4,4), d= (1,0,−1,2)ete= (2,3,0,1). Déterminer des bases des sous-espacesF∩G,F,G,F+G. [000982]
Exercice 1059
Dans l’espaceP5des polynômes de degré65, on définit les sous-ensembles : E1={P∈P5|P(0) =0}
E2={P∈P5|P0(1) =0} E3={P∈P5|x2+1 diviseP}
E4={P∈P5|x7→P(x)est une fonction paire} E5={P∈P5| ∀x,P(x) =xP0(x)}.
1. Déterminer des bases des sous-espaces vectorielsE1, E2, E3,E4, E5, E1∩E2, E1∩E3, E1∩E2∩E3, E1∩E2∩E3∩E4.
2. Déterminer dansP5des sous-espaces supplémentaires deE4et deE1∩E3.
[000983]
Exercice 1060
DansR4on considère l’ensembleEdes vecteurs(x1,x2,x3,x4)vérifiant l’équationx1+x2+x3+x4=0. L’en-sembleE est-il un sous-espace vectoriel deR4? Si oui, en donner une base. [000984]
Exercice 1061
Vrai ou faux ? On désigne parEunR-espace vectoriel de dimension finie.
1. Si les vecteursx,y,zsont deux à deux non colinéaires, alors la famillex,y,zest libre.
2. Soitx1,x2, . . . ,xpune famille de vecteurs. Si aucun n’est une combinaison linéaire des autres, la famille est libre.
IndicationH CorrectionH [000985]
Exercice 1062
Étudier l’indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.
1. (1,0,1),(0,2,2),(3,7,1)dansR3. 2. (1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)dansR3.
3. (1,2,1,2,1),(2,1,2,1,2),(1,0,1,1,0),(0,1,0,0,1)dansR5. 4. (2,4,3,−1,−2,1),(1,1,2,1,3,1),(0,−1,0,3,6,2)dansR6. 5. (2,1,3,−1,4,−1),(−1,1,−2,2,−3,3),(1,5,0,4,−1,7)dansR6.
[000986]
Exercice 1063
DansR3, les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent.
1. v1= (1,1,1),v2= (3,0,−1),v3= (−1,1,−1).
2. v1= (1,2,3),v2= (3,0,−1),v3= (1,8,13).
3. v1= (1,2,−3),v2= (1,0,−1),v3= (1,10,−11).
CorrectionH [000987]
Exercice 1064
DansR3, comparer les sous-espacesF etGsuivants :
F=lin{(2,3,−1),(1,−1,−2)}etG=lin{(3,7,0),(5,0,−7)}. [000988]
Exercice 1065
DansR4, on considère les familles de vecteurs suivantes
v1= (1,1,1,1),v2= (0,1,2,−1),v3= (1,0,−2,3),v4= (2,1,0,−1),v5= (4,3,2,1).
v1= (1,2,3,4),v2= (0,1,2,−1),v3= (3,4,5,16).
v1= (1,2,3,4),v2= (0,1,2,−1),v3= (2,1,0,11),v4= (3,4,5,14).
Ces vecteurs forment-ils :
1. Une famille libre ? Si oui, la compléter pour obtenir une base deR4. Si non donner des relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre.
2. Une famille génératrice ? Si oui, en extraire au moins une base de l’espace. Si non, donner la dimension du sous-espace qu’ils engendrent.
[000989]
Exercice 1066
SiE est un espace vectoriel de dimension finie, F et Gdeux sous-espaces de E, montrer que F∪G est un
sous-espace vectoriel si et seulement siF⊂GouG⊂F. [000990]
Exercice 1067
On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension finie. Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. SoientD1,D2,D3des droites vectorielles deR3distinctes deux à deux. AlorsR3est somme deD1,D2,D3. 2. SoientF etGdes hyperplans vectoriels deE. AlorsE6=F∪G.
3. SoientP1etP2des plans vectoriels deEtels queP1∩P2={0}. Alors dimE>4.
4. SoientF etGdes sous-espaces de dimension 3 deR5. AlorsF∩G6={0}.
5. Soit(e1,e2,e3,e4)la base canonique deR4etF=lin{e1,e3}. Tout sous-espace vectoriel supplémentaire deFcontiente2.
[000991]
Exercice 1068
1. SoitE =Rn[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que toute famille de polynômes{P0,P1, . . . ,Pn}avec degPi=i(pouri=0,1, . . . ,n) forme une base deE.
2. Écrire le polynôme F =3X−X2+8X3 sous la forme F =a+b(1−X) +c(X−X2) +d(X2−X3) (a,b,c,d∈R) puis sous la formeF=α+β(1+X) +γ(1+X+X2) +δ(1+X+X2+X3)(α,β,γ,δ∈ R).
IndicationH CorrectionH Vidéo [000992]
Exercice 1069
Dans l’espace vectorielP2 des polynômes de degré62, on considère les polynômesP1=X2+X(1−X) + (1−X)2,P2=X2+ (1−X)2,P3=X2+1+ (1−X)2,P4=X(1−X). Peut-on extraire de{P1,P2,P3,P4}des
bases deP2? Si oui, les trouver toutes. [000993]
Exercice 1070
SoitEl’ensemble des fractions rationnellesF qui peuvent s’écrire
F= P
(X−1)3(X2+1)2, Ppolynôme de degré 66.
Les fractions (X1−1), (X1
−1)2, (X1
−1)3, X21+1, X2X+1, (X2+1)1 2, (X2X+1)2 forment-elles une base deE?
Que se passe-t-il si on suppose quePdécrit l’ensemble des polynômes de degré69 ? [000994]
Exercice 1071
Problème de l’interpolation : soit les cinq points(x1,y1) = (−2,3),(x2,y2) = (0,−2),(x3,y3) = (1,5),(x4,y4) = (5,1),(x5,y5) = (6,7)deR2, etP4 l’espace vectoriel des polynômes de degré64. On veut trouver un poly-nômeF dansP4tel que pouri=1, . . . ,5 on aitF(xi) =yi.
1. Sans effectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculera,b,c,d,e exprimantF =a+bX+ cX2+dX3+eX4selon la base{1,X,X2,X3,X4}deP4.
2. Montrer que{1,X+2,(X+2)X,(X+2)X(X−1),(X+2)X(X−1)(X−5)}est une base deP4. Cal-culer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées deFdans cette base.
3. Montrer que l’ensemble des polynômesX(X−1)(X−5)(X−6),(X+2)(X−1)(X−5)(X−6),(X+ 2)X(X−5)(X−6),(X+2)X(X−1)(X−6),(X+2)X(X−1)(X−5)forment une base deP4. Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les coordonnées deFdans cette base.
4. Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul deFvous paraît-il le plus simple ?
[000995]
Exercice 1072
Déterminer pour quelles valeurs det∈Rles vecteurs
(1,0,t),(1,1,t),(t,0,1) forment une base deR3.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000996]
Exercice 1073
Soit(Σ)le système d’équations linéaires :
x+3y+2z=0 x+y+z+t=0 x−t=0
Montrer que l’ensemble des solutions de(Σ)forme un sous-espace vectorielFdeR4. Déterminer la dimension
et une base deF. [000997] élément de Rn[X] qui satisfont à cette égalité est un sous-espace vectoriel deRn[X] et contient une base.)
2. Les systèmes suivants sont-ils libres ou liés : ((1,0),(1,1)) ? ((2,1),(8,3)) ? ((2,1),(6,3)) ?
3. Vérifier que le systèmeb= ((2,0),(2,1))est une base deE et déterminer les composantes du vecteur v= (x,y)∈Epar rapport à la baseb.
[000999]
Exercice 1076
Pourk=2,3,4 montrer queVkest un s.e.v. deCk, et en donner une base :
V2={(a,b)∈C2/a+ib=0},V3={(a,b,c)∈C3/a+2b+3c=0}, V4={(a,b,c,d)∈C4/a+ib=b+ic=c+id}.
[001000]
Exercice 1077
Soitn∈NetE=Rn[X], l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré6n.
1. Soitβ = (P0,P1, ...,Pn)un système de(n+1)polynômes tels que,∀k, 06k6n, degPk=k. Montrer queβ est une base deE.
2. SoitPun polynôme de degrén. Montrer que :γ= (P,P0, . . . ,P(n))est une base deE et déterminer les composantes du polynômeQdéfini par :Q(X) =P(X+a), (aréel fixé), dans la baseγ.
3. Démontrer que le systèmeS= (Xk(1−X)n−k)06k6n est une base de E, et déterminer, pour tout p∈ {0,1, . . . ,n}, les composantes du polynômeXpdans la baseS.
[001001]
Exercice 1078
Soientv1= (1,0,0,−1),v2= (2,1,0,1),v3= (1,−1,1,−1),v4= (7,2,0,−1). Donner une base du sous-espace vectorielF=<v1,v2,v3,v4>. Déterminer un supplémentaireGdeFdansR4. [001002]
Exercice 1079
Soient le tripletv1= (1,2,3,0),v2= (−1,1,2,1),v3= (1,5,8,1)et le tripletw1= (0,3,5,1),w2= (1,−1,1,0),w3= (0,0,3,1). On considère les sous-espaces vectorielsF=<v1,v2,v3>etG=<w1,w2,w3>. Donner une base
des sous-espaces suivantsF,G,F∩GetF+G. [001003]
Exercice 1080 Soit
E=
fα,A∈F(R,R);(α,A)∈R2, fα,A(x) =Acos(x+α) .
Montrer queE est un sous-espace vectoriel deF(R,R)et en donner une base. [001004]
Exercice 1081
SoitE=R3. On définit le système
S={e1= (1,1,1),e2= (1,1,2),e3= (1,2,3)} 1. Montrer queSest une base deE.
2. Calculer les coordonnées dev= (5,7,12)dans cette base.
[001005]
Exercice 1082
1. Montrer que les vecteursv1= (1,−1,i),v2= (−1,i,1),v3= (i,1,−1)forment une base deC3. 2. Calculer les coordonnées dev= (1+i,1−i,i)dans cette base.
IndicationH CorrectionH Vidéo [001006]
Exercice 1083
1. Montrer que les systèmes s1= (1,√
2) et s2 = (1,√ 2,√
3) sont libres dans R considéré comme un espace vectoriel surQ.
2. Soient dans R2, les vecteurs u1= (3+√
5,2+3√
5) etu2= (4,7√
5−9). Montrer que le système (u1,u2)estQ–libre etR–lié.
3. Soient dansC2, les vecteursr1= (1+i,1−2i)etr2= (3i−1,5). Montrer que le système(r1,r2)est R–libre etC–lié.
[001007]
Exercice 1084
Déterminer pour quelles valeurs det∈Rles polynômesX2+t/2, X−t , (X+t+1)2forment une base de
R2[X]. [001008]
Exercice 1085
Etudier la liberté des familles 1. (1,1),(1,2).
2. (2,3),(−6,9).
3. (1,3,1),(1,3,0),(0,3,1).
4. (1,3),(−1,−2),(0,1).
[001009]
Exercice 1086
Les familles suivantes sont-elles génératrices ? 1. (1,1),(3,1)dansR2.
2. (1,0,2),(1,2,1)dansR3.
[001010]
Exercice 1087
On considère dans R3, Π=vect{(1,1,1),(1,1,−1)} et D =vect{(0,1,−1)}. Montrer que R3 =Π⊕D.
[001011]
Exercice 1088
Déterminer une base de
(x,y,z)∈R3/x+y+z=0 . [001012]
Exercice 1089
Déterminer une base deD=
(x,y,z)∈R3/x+y=0,x−y+z=0 . [001013]
Exercice 1090 Essai de bases
Montrer que dansR3, les trois vecteurs~a= (1,0,1),~b= (−1,−1,2)et~c= (−2,1,−2)forment une base, et calculer les coordonnées dans cette base d’un vecteur~x= (x,y,z).
CorrectionH [003317]
Exercice 1091 Rang de vecteurs
DansR4, trouver le rang de la famille de vecteurs :
~a= (3,2,1,0), ~b= (2,3,4,5), ~c= (0,1,2,3), d~= (1,2,1,2), ~e= (0,−1,2,1).
CorrectionH [003318]
Exercice 1092 Fonctions affines par morceaux
Soit 0=x0<x1<···<xn=1 une subdivision de[0,1]etF l’ensemble des fonctions f:[0,1]→Rcontinues dont la restriction à chaque intervalle[xi,xi+1]est affine.
Montrer queF est de dimension finie et trouver une base deF.
[003319]
Exercice 1093 Projection et symétrie dansK3 DansK3, on donne les sous espaces :
(H={−→X = (x,y,z)tqx+y+z=0} K=vect(→−
U = (1,1,2)).
1. Déterminer dimHet en donner une base.
2. Démontrer queH⊕K=K3.
3. Donner les expressions analytiques des projection et symétrie associées :πHetsH.
CorrectionH [003320]
Exercice 1094 Supplémentaires
SoitE=H⊕Ket(~e1, . . . ,~ek)une base deK.
1. Montrer que pour tout~a∈H,K~a=vect(~e1+~a, . . . ,~ek+~a)est un supplémentaire deH.
2. Montrer que si~a6=~b, alorsK~a6=K~b.
[003321]
Exercice 1095 ****
1. Soitnun entier naturel. Montrer que sinn’est pas un carré parfait alors√ n∈/Q.
2. Soit E ={a+b√ 2+c√
3+d√
6, (a,b,c,d)∈Q4}. Vérifier que E est un Q-espace vectoriel puis déterminer une base deE.
CorrectionH [005179]
Exercice 1096 **I
E=Rn[X]. Pour 06k6n, on posePk=Xk(1−X)n−k. Montrer que la famille(Pk)06k6nest une base deE.
CorrectionH [005572]
Exercice 1097 **I Polynômes d’interpolation de LAGRANGE
Soienta0,...,ann+1 nombres complexes deux à deux distincts etb0,...,bnn+1 nombres complexes.
Montrer qu’il existe une unique famille den+1 polynômes à coefficients complexes de degrén exactement vérifiant∀(i,j)∈[[0,n]],Li(aj) =1 sii= jet 0 sinon.
Montrer que la famille(Li)06i6nest une base deCn[X].
Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀i∈[[0,n]], P(ai) =bi. ExpliciterPpuis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes.
CorrectionH [005573]
35 106.05 Dimension
Exercice 1098
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel deR4engendré par les vecteursV1= (0,1,2,3),V2= (1,2,3,4)
etV3= (2,3,4,5). [001014]
Exercice 1099
SoitEest un espace vectoriel de dimension finie etF etGdeux sous-espaces vectoriels deE. Montrer que : dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G).
IndicationH CorrectionH Vidéo [001015]
Exercice 1100
Montrer que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
IndicationH CorrectionH Vidéo [001016]
Exercice 1101
SoientP0,P1,P2etP3∈R2[X]définis par
P0(X) =(X−1)(X−2)
2 , P1(X) =X(X−1)
2 ,
P2(X) =2X(X−2), P3(X) =(X−1)(X−3)
3 .
Exprimer 1,X,X2en fonction deP0,P1etP2. On noteF=Vect{P0,P1}etG=Vect{P2,P3}. Calculer dimF, dimG, dim(F+G)et dim(F∩G). Vérifier que
dim(F+G) =dim(F) +dim(G)−dim(F∩G).
[001017]
Exercice 1102
Donner la dimension du sous-espaceF deF(R,R)engendré par f1(x) =sin2x,f2(x) =cos2x,f3(x) =sin 2x
et f4(x) =cos 2x. [001018]
Exercice 1103
On considère, dansR4, les vecteurs :
v1= (1,2,3,4), v2= (1,1,1,3), v3= (2,1,1,1), v4= (−1,0,−1,2), v5= (2,3,0,1).
SoitFl’espace vectoriel engendré par{v1,v2,v3}et soitGcelui engendré par{v4,v5}. Calculer les dimensions respectives deF,G,F∩G,F+G.
IndicationH CorrectionH Vidéo [001019]
Exercice 1104 SoientE=
(x,y,z,t)∈R4/x+y+z+t=0 etF=
(x,y,z,t)∈R4/x+y=z+t . Déterminer dimE,dimF,dim(E+
F),dim(E∩F). [001020]
Exercice 1105
Montrer que f :R3→R3,(x,y,z)7→(z,x−y,y+z)est un automorphisme. [001021]
Exercice 1106
SoitEunQ-espace vectoriel de dimensionn. Montrer que
nest pair⇔ ∃f ∈L(E)/Imf =kerf
[001022]
Exercice 1107
Montrer qu’il existe une unique forme linéaire f surR2 telle que f(1,2) =2 et f(−2,1) =5. Déterminer le
noyau et l’image de f. [001023]
Exercice 1108
Déterminer suivant la valeur de x∈R le rang de la famille de vecteurs e1= (1,x,−1),e2 = (x,1,x),e3=
(−1,x,1). [001024]
Exercice 1109
SoitEun espace vectoriel de dimension 3 et f ∈L(E)telle que f26=0 et f3=0. Soitx0∈E/f2(x0)6=0.
1. Montrer que(x0,f(x0),f2(x0))est une base.
2. Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est un sous-espace vectoriel de L(E)de base(id,f,f2).
[001025]
Exercice 1110
SoitEde dimension finie et f ∈L(E). Montrer l’équivalence des trois propriétés : (i) kerf =kerf2.
(ii) Imf=Imf2. (iii) E=kerf⊕Imf.
[001026]
Exercice 1111
SoitEetFde dimensions finies etu,v∈L(E,F).
1. Montrer que rg(u+v)6rg(u) +rg(v).
2. En déduire que|rg(u)−rg(v)|6rg(u+v).
CorrectionH Vidéo [001027]
Exercice 1112
Soit(f,g)∈(L(E))2oùEest unK-espace vectoriel de dimension finien, montrer les inégalités : rg(f) +rg(g)−n6rg(f◦g)6inf(rg(f),rg(g))
(on pourra utiliserg|ker(f◦g)=hdont on déterminera le noyau) [001028]
Exercice 1113
Soit (f,g)∈(L(E))2 oùE est unK-espace vectoriel de dimension finien, tel que :(f+g) est inversible et f g=0. Montrer que :
rg(f) +rg(g) =n.
[001029]
Exercice 1114
SoitUun sous-espace vectoriel deE espace vectoriel, et
A={f ∈L(E)|U⊂Ker(f)}.
Montrer queAest un sous-espace vectoriel deL(E).SiEest de dimension finie, quelle est la dimension deA?
[001030]
Exercice 1115
Soient E0,E1, ...,En n+1 espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, de dimensions respectives α0,α1, ...,αn.On suppose qu’il existenapplications linéaires f0,f1, ...,fn−1telles que :
∀k∈ {0, ...,n−1},fk∈L(Ek,Ek+1).
et de plus :
— f0est injective ;
— ∀j∈ {1, ...,n−1},Imfj−1=Ker(fj);
— fn−1est surjective.
Montrer que
n
∑
j=0
(−1)jαj=0.
[001031]
Exercice 1116
SoientH1etH2deux hyperplans deE,espace vectoriel de dimensionn.Montrer que : dim(H1∩H2)>n−2.
Généraliser. [001032]
Exercice 1117
Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d’un endomorphisme
surjectif et non injectif. [001033]
Exercice 1118
SoitEun espace vectoriel de dimension finie et f ∈L(E), montrer l’équivalence : E=Ker(f)⊕Im(f)⇔Imf =Imf2.
Donner un contre-exemple quand dimE= +∞. [001034]
Exercice 1119
Soit(f,g)∈L(E,F)2avecE,Fde dimension finie. On suppose rg(f+g) =rg(f) +rg(g).
Montrer que :
E=Ker(f) +Imf; Imf∩Img={0}.
[001035]
Exercice 1120
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et (f,g) ∈L(E)2 avec E =Imf+Img=Ker(f) +Ker(g).
Montrer que ces sommes sont directes. [001036]
Exercice 1121
SoitEun espace vectoriel de dimension finie, et(f1, ...,fk)des projecteurs deE.Montrer l’équivalence : ∀(i,j)∈ {1, ...,k}2,i6= j⇒ fifj=0
⇔
k
∑
i=1
fi est un projecteur.
[001037]
Exercice 1122
Soit f ∈L(E)oùEest unK-espace vectoriel de dimensionn, tel que : f2=−Id.
1. Montrer que f est inversible et que la dimension deE est paire, doncn=2p.
2. Soitx6=0,monter quex et f(x)sont linéairement indépendants, et qu’ils engendrent un sous-espace stable deE.
3. Montrer qu’il existe psous-espaces de dimension deux stables par f,E1...Eptels que :E= Lp i=1
Ei.En déduire une “bonne” formule de calcul de f.
[001038]
Exercice 1123
SoitE unK espace vectoriel de dimension finien>1.Soit f ∈L(E)nilpotente. On noteq∈N∗l’indice de nilpotence de f,i.e. :
q=inf{j∈N∗|fj=0}.
1. Montrer que :∃x0∈E tel que{x0,f(x0), ...,fq−1(xo)}soit libre. En déduireq6n.
2. Soitr=dimKer(f).Montrer quer>0 et que n
r 6q6n+1−r.
[001039]
Exercice 1124 dimH=dimK⇔HetKont un supplémentaire commun
SoientH,Kdeux sev d’un evE de dimension finie. Montrer que dimH=dimK si et seulement siHetKont un supplémentaire commun (par récurrence sur codimH).
CorrectionH [003322]
Exercice 1125 **IT
E désigne l’espace vectoriel R4 (muni des opérations usuelles). On considère les vecteurs e1 = (1,2,3,4), e2= (1,1,1,3),e3= (2,1,1,1),e4= (−1,0,−1,2)ete5= (2,3,0,1). Soient alorsF=Vect(e1,e2,e3)etG= Vect(e4,e5). Quelles sont les dimensions deF,G,F∩GetF+G?
CorrectionH [005183]
Exercice 1126 **IT
SoitKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension finien>2. SoientH1etH2deux hyperplans deE. Déterminer dimK(H1∩H2). Interprétez le résultat quandn=2 oun=3.
CorrectionH [005184]
Exercice 1127 ***I
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie surK. Démontrer que dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G).
CorrectionH [005575]
Exercice 1128 **
SoientF,GetHtrois sous-espaces d’un espace vectorielEde dimension finie surK.
Montrer que : dim(F+G+H)6dimF+dimG+dimH−dim(F∩G)−dim(G∩H)−dim(H∩F) +dim(F∩ G∩H).
Trouver un exemple où l’inégalité est stricte.
CorrectionH [005576]
Exercice 1129 ***
SoientF1,F2,...,Fnnsous-espaces vectoriels d’un espaceEde dimension finie surK(n>2).
Montrer que dim(F1+...+Fn)6dimF1+...+dimFnavec égalité si et seulement si la somme est directe.
CorrectionH [005577]
Exercice 1130 **I
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn>3. Montrer que l’intersection den−1 hyperplans deE est non nulle.
CorrectionH [005578]
Exercice 1131 **
Soient(x1, ..,xn)une famille denvecteurs de rangret(x1, ...,xm)une sous famille de rangs(m6nets6r).
Montrer ques>r+m−n. Cas d’égalité ?
CorrectionH [005579]
Exercice 1132 **
SoientE etFdeux espaces vectoriels de dimension finie et soient f etgdeux applications linéaires deE dans F. Montrer que|rgf−rgg|6rg(f+g)6rgf+rgg.
CorrectionH [005580]
Exercice 1133 **
SoientE,F etG, troisK-espaces vectoriels puis f ∈L(E,F)etg∈L(F,G).
Montrer que rgf+rgg−dimF6rg(g◦f)6Min{rgf,rgg}.
CorrectionH [005581]