Exercice 731
1. Montrer que le polynômeP(X) =X5−X2+1 admet une unique racine réelle et que celle-ci est iration-nelle.
2. Montrer que le polynôme Q(X) =2X3−X2−X−3 a une racine rationnelle (qu’on calculera). En déduire sa décomposition en produit de facteurs irréductibles dansC[X].
[000396]
Exercice 732
SoitP(X) =anXn+···+a0un polynôme à coefficients entiers premiers entre eux (c’est à dire tels que les seuls diviseurs communs à tous lesaisoient−1 et 1). Montrer que sir= p
q avec petqpremiers entre eux est une
racine rationnelle dePalorspdivisea0etqdivisean. [000397]
Exercice 733
SoitP∈Q[X]un polynôme de degrén.
1. Montrer que siPest irréductible dansQalors il n’a que des racines simples dansC. 2. Soitλ∈Cune racine deP, de multiplicité strictement plus grande que n
2.Montrer queλ est rationnel.
[000398]
Exercice 734
Montrer que le polynômenXn+2−(n+2)Xn+1+ (n+2)X−nadmet une racine multiple. Application : déter-miner les racines du polynôme 3X5−5X4+5X−3.
[000399]
Exercice 735
SoitP= (X2−X+1)2+1.
1. Vérifier queiest racine deP.
2. En déduire alors la décomposition en produit de facteurs irréductibles dePsurR[X]
3. Factoriser surC[X]et surR[X]les polynômes suivants en produit de polynômes irréductibles :P=X4+ X2+1,Q=X2n+1,R=X6−X5+X4−X3+X2−X+1,S=X5−13X4+67X3−171X2+216X−108 (on cherchera les racines doubles deS).
[000400]
Exercice 736
Décomposer dansR[X], sans déterminer ses racines, le polynômeP=X4+1, en produit de facteurs irréduc-tibles.
CorrectionH [000401]
Exercice 737
Pour touta∈Ret toutn∈N∗, démontrer queX−adiviseXn−an. [000402]
Exercice 738
DécomposerX12−1 en produit de facteurs irréductibles dansR[X]. [000403]
Exercice 739
Prouver queBdiviseA, où :
A=X3n+2+X3m+1+X3petB=X2+X+1,
A= (X+1)2n−X2n−2X−1 etB=X(X+1)(2X+1),
A=nXn+1−(n+1)Xn+1 etB= (X−1)2. [000404]
Exercice 740
SoitP∈Z[X]etn∈Z; notonsm=P(n); (deg(P)>1).
1. Montrer que :∀k∈Z,mdiviseP(n+km).
2. Montrer qu’il n’existe pas de polynômePdansZ[X], non constant, tel que pour toutn∈Z,P(n)soit premier.
[000405]
Exercice 741
SoitPun polynôme deR[X]tel queP(x)>0 pour toutx∈R.
Montrer qu’il existeS,T ∈R[X]tels queP=S2+T2(on utilisera la factorisation dansC[X]).Indications : 1. Soient a,b∈R, déterminerc,d∈R tels que :ab=c2−d2, vérifier que(a2+b2)(c2+d2) = (ac+
bd)2+ (bc−ad)2.
2. Résoudre le problème pourPde degré 2.
3. Conclure.
[000406]
Exercice 742
Soitθ∈R; on suppose sinnθ6=0. Déterminer les racines du polynômeP=∑nk=1CnksinkθXk. Vérifier que ces
racines sont toutes réelles. [000407]
Exercice 743
Soita∈C,P∈C[X]etQ∈C[X], premiers entre eux. On suppose queaest racine double deP2+Q2. Montrer
queaest racine deP02+Q02. [000408]
Exercice 744
Pourn∈N∗, quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme nXn+2−(4n+1)Xn+1+4(n+1)Xn−4Xn−1
CorrectionH [000409]
Exercice 745
Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7−X7−aadmet-il une racine multiple réelle ?
CorrectionH Vidéo [000410]
Exercice 746
Montrer que le polynômeX3+2 est irréductible dansQ[X]. Factoriser ce polynôme dansR[X]et dansC[X].
[000411]
Exercice 747
DansR[X]et dansC[X], décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles.
1. X3−3.
2. X12−1.
CorrectionH [000412]
Exercice 748
Quelle est la décomposition deX6+1 en facteurs irréductibles dansC[X]? DansR[X]? [000413]
Exercice 749
SoitPle polynômeX4+2X2+1. Déterminer les multiplicités des racinesiet−i, de deux façons différentes : soit en décomposantPdansC[X], soit en utilisant le polynôme dérivé deP. [000414]
Exercice 750
Soit le polynômeP=X8+2X6+3X4+2X2+1.
1. Montrer que jest racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de multiplicité.
2. Quelle conséquence peut-on tirer de la parité deP?
3. DécomposerPen facteurs irréductibles dansC[X]et dansR[X].
[000415]
Exercice 751
SoitE le polynôme du troisième degré :aX3+bX2+cX+d aveca,b,c,d∈Reta6=0, et soitx1,x2,x3 ses trois racines dansC. Trouver un polynôme ayant pour racinesx1x2,x2x3etx3x1. [000416]
Exercice 752
Soientx1,x2,x3les racines deX3−2X2+X+3. Calculerx31+x32+x33. [000417]
Exercice 753
Soitn∈Nfixé. Montrer qu’il y a un nombre fini de polynômes unitaires de degrénà coefficients entiers ayant
toutes leurs racines de module inférieur ou égal à 1. [000418]
Exercice 754
Soitn>2 etPn(X) =
n
∑
k=0 1
k!Xk.Pna-t-il une racine double ? [000419]
Exercice 755
Résoudre les équations :
1. P0P00=18PoùP∈R[X].
2. P(X2) = (X2+1)P(X)oùP∈C[X].
[000420]
Exercice 756
SoitP∈R[X]scindé surRà racines simples.
1. Montrer qu’il en est de même deP0.
2. Montrer que le polynômeP2+1 n’a que des racines simples dansC.
[000421]
Exercice 757
Soitn∈N∗etP(X) = (X+1)n−(X−1)n. 1. Quel est le degré deP?
2. FactoriserPdansC[X].
3. Montrer que∀p∈N∗
p
∏
k=1
cotan( kπ
2p+1) = 1
√2p+1.
[000422]
Exercice 758
Factoriser dansR[X]: 1. X6+1.
2. X9+X6+X3+1.
CorrectionH [000423]
Exercice 759 Factorisation deXn−1 FactoriserXn−1 surC.
1. En déduire∏nk=1−1sin kπn .
2. Calculer également∏nk=0−1sin kπn +θ .
3. On noteω =e2iπ/n. Calculer∏06k,`<n,k6=`(ωk−ω`).
CorrectionH [003214]
Exercice 760 Mines MP 1999
Montrer que∏nk=0−1(ω2k−2ωkcosθ+1) =2(1−cos(nθ))avecω=e2iπn .
CorrectionH [003215]
Exercice 761 Racines de jet j2
Montrer que si p6n, alorsX2p+X2p−1+1 diviseX2n+X2n−1+1. [003216]
Exercice 762 X2−2Xcosθ+1 diviseX2n−2Xncos(nθ) +1
Montrer queX2−2Xcosθ+1 diviseX2n−2Xncosnθ+1. Pour sinθ6=0, chercher le quotient.
CorrectionH [003217]
Exercice 763 X2−2Xcosθ+1 diviseXn+1cos(n−1)θ−Xncosnθ−Xcosθ+1
Montrer queX2−2Xcosθ+1 diviseXn+1cos(n−1)θ−Xncosnθ−Xcosθ+1, puis déterminer le quotient.
CorrectionH [003218]
Exercice 764 X8+X4+1 diviseX8n+pX4n+q
Donner une CNS surp,q∈Cpour queX8+X4+1 diviseX8n+pX4n+q(n∈N∗fixé).
CorrectionH [003219]
Exercice 765 Racines rationnelles
FactoriserP(X) =3X4+11X3+20X2+7X−5, sachant qu’il existe des racines rationnelles.
CorrectionH [003220]
Exercice 766 Équation de degré 4 tqx1x2=5
Trouver les racines deP(X) =X4−3X3+6X2−15X+5 sachant que deux racines,x1etx2, vérifient :x1x2=5 (on introduira le polynômeQ=X4P(5/X)).
CorrectionH [003221]
Exercice 767 Racines multiples
FactoriserP=X5−13X4+67X3−171X2+216X−108 sachant qu’il admet une racine triple.
CorrectionH [003222]
Exercice 768 Recherche d’une racine triple
SoitP=X5+aX2+15X−6i. Trouvera∈Ctel quePa une racine triple dansC. Factoriser alorsP.
CorrectionH [003223]
Exercice 769 Ensi P 90
Donner une condition surλ pour que l’équation :x4−2x3+λx2+2x−1=0 ait une racine au moins triple.
CorrectionH [003224]
Exercice 770 x1+x2=1
Soientp,q∈CetP(X) =X5+pX+q. Donner une CNS sur petqpour que deux des racines dePaient pour somme 1.
CorrectionH [003225]
Exercice 771 Factorisation Factoriser
1−X
1!+X(X−1)
2! − ···+ (−1)n+1X(X−1)···(X−n) (n+1)! .
CorrectionH [003226]
Exercice 772 X−1|P(Xn)⇒X−1|P SoientP,Q∈K[X].
1. Montrer que siP(Xn)est divisible parX−1, alorsPest divisible parX−1 (n∈N).
2. Montrer que siP(X3) +X Q(X3)est divisible parX2+X+1, alorsPetQsont divisibles parX−1.
[003227]
Exercice 773 Racines de∑nk=0Ckn(sinkθ)Xk
Soitθ∈Rtel que sinnθ6=0. Démontrer que le polynômeP=∑nk=0Cnk(sinkθ)Xka toutes ses racines réelles.
CorrectionH [003228]
Exercice 774
Démontrer que 1+X+Xnn’a que des racines simples. [003229]
Exercice 775 P0diviseP
Quels sont les polynômesP∈K[X]tels queP0diviseP?
CorrectionH [003230]
Exercice 776 Équations fonctionnelles
Trouver tous les polynômesP∈C[X]tels que . . . 1. P(X2) =P(X−1)P(X+1).
2. P(X2) =P(X)P(X−1).
3. P(X)P(X+2) +P(X2) =0.
CorrectionH [003231]
Exercice 777 Pà racines réelles simples=>P2+a2à racines simples SoitP∈R[X]dont toutes les racines sont réelles.
1. Démontrer que les racines deP0sont aussi réelles.
2. En déduire que :∀a∈R∗, les racines deP2+a2sont simples.
[003232]
Exercice 778 PetQont même module
SoientP,Q∈C[X]tels que :∀z∈C, |P(z)|=|Q(z)|. Démontrer qu’il existeu∈C,|u|=1 tel queP=uQ.
CorrectionH [003233]
Exercice 779 Valeur moyenne
Soientz0,z1, . . . ,zn∈Ctels que :∀P∈Cn−1[X], on aP(z0) =P(z1)+···n+P(zn). On noteΦ(X) =∏ni=1(X−zi).
1. CalculerzΦ(z0)
0−zk.
2. En déduire queΦ(X) =(X−z0n)Φ0(X)+Φ(z0).
3. Démontrer quez1, . . . ,znsont les sommets d’un polygone régulier de centrez0. 4. Réciproque ?
CorrectionH [003234]
Exercice 780 P(x)6=14
SoitP∈Z[X]tel queP(x) =7 pour au moins 4 valeurs distinctesx∈Z.
Démontrer que :∀x∈Z, on aP(x)6=14. [003235]
Exercice 781 Nombre algébrique rationnel
Soitα∈C. On dit queαestalgébriques’il existe un polynômeP∈Q[X]tel queP(α) =0.
Le polynôme unitaire de plus bas degré vérifiantP(α) =0 est appelé :polynôme minimal deα.
1. Soitα algébrique de polynôme minimal P. Démontrer quePest irréductible dans Q[X]et queα est racine simple deP.
2. Soit α algébrique, et P∈Q[X] tel que P(α) =0. On suppose que la multiplicité de α dans P est strictement supérieure à 12degP. Démontrer queα∈Q.
[003236]
Exercice 782 P(√ 2) =0 SoitP∈Q[X]tel queP √
2
=0. Démontrer que−√
2 est aussi racine dePavec la même multiplicité que√ 2.
[003237]
Exercice 783 Polynôme minimal de 2 cos(2π/7)
Montrer quex=2 cos2π7 est racine deX3+X2−2X−1. Quelles sont les autres racines ?
CorrectionH [003238]
Exercice 784 Racines réelles simples
SoitP=∑nk=0akXk∈R[X]dont les racines sont réelles simples.
1. Démontrer que :∀x∈R, on aP(x)P00(x)6P02(x).
2. Démontrer que :∀k∈ {1, . . . ,n−1}, ak−1ak+16a2k.
CorrectionH [003239]
Exercice 785 Méthode de Ferrari SoitP=X4−6X3+7X2−18X−8.
TrouverQ∈R[X]tel que deg(Q) =deg(P−Q2) =2, etP−Q2a une racine double. Factoriser alorsPsurR.
CorrectionH [003240]
Exercice 786 Pgcd6=1⇔racine commune
SoientP,Q∈Q[X]. Montrer quePetQsont premiers entre eux si et seulement siPetQn’ont pas de racine en
commun dansC. [003241]
Exercice 787 Mines MP 2001 SoitKun corps de caractéristique p.
1. Montrer queσ : x7→xpest un morphisme de corps.
2. Montrer queσest surjectif si et seulement si tout polynômeP∈K[X]irréductible vérifieP06=0.
CorrectionH [003242]
Exercice 788 Centrale MP 2001 SoitP∈Rn[X]\ {0}.
Pourx∈Ron noteV(x)le nombre de changements de signe dans la suite(P(x),P0(x), . . . ,P(n)(x))en convenant de retirer les termes nuls. Soientα <β deux réels non racines deP. Montrer que le nombre de racines deP dans[α,β], comptées avec leur ordre de multiplicité, a même parité queV(α)−V(β)et queV(α)−V(β)>0.
CorrectionH [003243]
Exercice 789 X MP∗2004
SoitP∈C[X]de degréd dont toutes les racines sont de module strictement inférieur à 1. Pourω∈Uon note Ple polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux dePetQ(X) =P(X) +ωXdP(1/X). Montrer que les racines deQsont de module 1.
CorrectionH [003244]
Exercice 790 X MP∗2005
Soienta0, . . . ,an∈Rtels que|a0|+···+|an−1|<an. Soit f(x) =a0+a1cosx+···+ancos(nx). Montrer que les zéros de f sont tous réels (cad. six∈C\R, alors f(x)6=0).
CorrectionH [003245]
Exercice 791 Factorisation surRdeX8+X4+1 FactoriserX8+X4+1 surR.
CorrectionH [003246]
Exercice 792 Polynôme irréductible surQ
Démontrer que 1+ (X−1)2(X−3)2est irréductible dansQ[X].
CorrectionH [003247]
Exercice 793 Polynômes positifs surR
SoitE ={P∈R[X]tq∃Q,R∈R[X]tqP=Q2+R2}. 1. Montrer queE est stable par multiplication.
2. Montrer queE ={P∈R[X]tq∀x∈R,P(x)>0}.
3. (Centrale MP 2000, avec Maple)P=65X4−134X3+190X2−70X+29. TrouverAetBdansZ[X]tels queP=A2+B2.
CorrectionH [003248]
Exercice 794 Lemme de Gauss
SoitP∈Z[X]. On appellecontenu de Ple pgcd des coefficients deP(notation : cont(P)).
1. SoientP,Q∈Z[X]avec cont(P) =1, etR=PQ. Soitpun facteur premier de cont(R).
(a) Sipest premier avec le coefficient constant deP, Démontrer quepdivise tous les coefficients deQ.
(b) Si pdivise le coefficient constant deP, se ramener au cas précédent.
(c) En déduire que cont(Q) = cont(R).
2. Lorsque cont(P)6=1, trouver cont(PQ).
3. Application : SoitR∈Z[X], etP,Q∈Q[X]tels queR=PQ. Montrer qu’il existeP1,Q1∈Z[X] propor-tionnels àPetQet tels queR=P1Q1.
(cad : un polynôme à coefficients entiers réductible surQest aussi réductible surZ)
[003249]
Exercice 795 Polynômes irréductibles surZ
Démontrer queX4+X+1 etX6+X2+1 sont irréductibles dansZ[X]. [003250]
Exercice 796 Polynômes irréductibles surZ Soienta1, . . . ,an∈Zdistincts.
1. Montrer que(X−a1). . .(X−an)−1 est irréductible dansZ[X].
2. Même question avec(X−a1). . .(X−an) +1,nimpair.
CorrectionH [003251]
Exercice 797 Critère d’irréductibilité d’Eisenstein
SoitP∈Z[X],P=Xn+an−1Xn−1+···+a0X0etpun nombre premier tel que : a0≡0(modp), . . . , an−1≡0(modp), a06≡0(modp2).
Montrer quePest irréductible dansZ[X].
CorrectionH [003252]
Exercice 798 Irréductibilité deXp−a
SoitKun sous-corps deC,a∈Ketp∈Npremier. Montrer que le polynômeXp−aest irréductible surKsi et seulement s’il n’a pas de racine dansK.
IndicationH CorrectionH [003253]
Exercice 799 **T
Pour quelles valeurs de l’entier naturelnle polynôme(X+1)n−Xn−1 est-il divisible parX2+X+1 ?
CorrectionH [005318]
Exercice 800 ***
SoitPun polynôme à coefficients réels tel que∀x∈R,P(x)>0. Montrer qu’il existe deux polynômesRetS à coefficients réels tels queP=R2+S2.
CorrectionH [005319]
Exercice 801 ****I Théorème de LUCAS
Soit P∈C[X]de degré supérieur ou égal à 1. Montrer que les racines de P0 sont barycentres à coefficients positifs des racines deP(on dit que les racines deP0sont dans l’enveloppe convexe des racines deP). Indica-tion : calculer PP0.
CorrectionH [005324]
Exercice 802 ***
Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée.
CorrectionH [005325]
Exercice 803 **T
Déterminera∈Ctel queP=X5−209X+aadmette deux zéros dont le produit vaut 1.
CorrectionH [005328]
Exercice 804 ***T
Soit(ak)16k65la famille des racines deP=X5+2X4−X−1. Calculer∑5k=1aak+2
k−1.
CorrectionH [005329]
Exercice 805
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans R[X]le polynômeX6−2X3cosa+1 oùa est un réel donné dans[0,π].
CorrectionH [005342]
Exercice 806
Former une équation du sixième degré dont les racines sont les sinkπ7 oùk∈ {−3,−2,−1,1,2,3}puis montrer que ces six nombres sont irrationnels.
CorrectionH [005345]
Exercice 807
Déterminerλ etµ complexes tels que les zéros dez4−4z3−36z2+λz+µ soient en progression arithmétique.
Résoudre alors l’équation.
CorrectionH [005349]
Exercice 808
Soientx1,x2,x3les zéros deX3+2X−1. Calculerx14+x42+x43.
CorrectionH [005350]
Exercice 809
Soientx1,...,x8les zéros deX8+X7−X+3. Calculer∑xx21x3 (168 termes).
CorrectionH [005351]
Exercice 810
1. Factoriser dansR[X]etC[X]les polynômes suivants :
a)X3−3 b)X12−1 c)X6+1 d)X9+X6+X3+1 2. Factoriser les polynômes suivants :
a)X2+ (3i−1)X−2−i b)X3+ (4+i)X2+ (5−2i)X+2−3i
CorrectionH Vidéo [006959]
Exercice 811
Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relation
P(X2) =P(X)P(X+1)
IndicationH CorrectionH Vidéo [006960]
Exercice 812
Soitn∈N. Montrer qu’il existe un uniqueP∈C[X]tel que
∀z∈C∗ P
z+1 z
=zn+ 1 zn
Montrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l’intervalle[−2,2].
IndicationH CorrectionH Vidéo [006961]
Exercice 813
1. SoitP=Xn+an−1Xn−1+···+a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0.
2. Les polynômesX3−X2−109X−11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ?
CorrectionH Vidéo [006962]
Exercice 814
Soienta0, . . . ,andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0, . . . ,n, on pose Li(X) =
∏
16j6n j6=i
X−aj
ai−aj
(lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).
Soientb0, . . . ,bndes réels fixés. Montrer queP(X) =∑ni=0biLi(X)est l’unique polynôme de degré inférieur ou égal ànqui vérifie :
P(aj) =bj pour tout j=0, . . . ,n.
Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que
P(0) =1 et P(1) =0 et P(−1) =−2 et P(2) =4.
CorrectionH Vidéo [006963]