k=1 1 P0(ak)
X−ak 3. Décomposer T1
n en éléments simples.
IndicationH CorrectionH [006972]
29 105.05 Définition, degré, produit 30 105.99 Autre
Exercice 866
Montrer que pour toutn∈N∗il existe un polynômePnet un seul tel que
∀θ∈R,Pn(2 cosθ) =2 cosnθ.
Montrer quePnest unitaire et que ses coefficients sont entiers. En déduire lesr rationnels tels que cosrπ soit
rationnel. [000424]
Exercice 867
Déterminer, s’il en existe, tous les idéauxJdeR[X]tels que :I(P)⊂J⊂R[X], avecI(P)idéal engendré parP dans les cas suivants :
P=X2+X+1, P=X2+2X+1, P=X3+3X−4.
[000425]
Exercice 868
Trouver un polynômePde degré62 tel que
P(1) =−2 et P(−2) =3 et P(0) =−1
CorrectionH [000426]
Exercice 869
Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :
P(0) =1 et P(1) =0 et P(−1) =−2 et P(2) =4.
CorrectionH Vidéo [000427]
Exercice 870
Trouver les polynômesPdeR[X]tels que∀k∈ZRkk+1P(t)dt =k+1 (on pourra utiliser le polynômeQ(x) = Rx
0P(t)dt). [000428]
Exercice 871
Soit (P0,P1, . . . ,Pn) une famille de polynômes deK[X]telle que∀k∈ {0, . . . ,n}degPk=k. Montrer à l’aide
d’une récurrence soigneuse que cette famille est libre. [000429]
Exercice 872
Soitn∈N∗fixé et∆:Rn[X]7→Rn[X],P(X)7→P(X+1)−P(X).
1. Montrer que∆est linéaire, i.e. que∀(a,b)∈R2et(P,Q)∈Rn[X]∆(aP+bQ) =a∆(P) +b∆(Q).
2. Déterminer ker(∆) ={P∈Rn[X]/∆(P) =0}. 3. SoientH0=1 et pourk∈ {1, . . . ,n} Hk= 1
k!X(X−1). . .(X−k+1). Calculer∆(Hk).
4. SoitQ∈Rn−1[X]. Comment trouverP∈Rn[X]tel que∆(P) =Q.
5. DéterminerPpourQ=X2tel queP(1) =0.
6. En déduire la somme 12+22+. . .+n2.
[000430]
Exercice 873
Résoudre l’équation d’inconnueP∈C[X]:P(X+1)P(X) =−P(X2). [000431]
Exercice 874
Soit (P,Q)∈Rn[X]2 tels que ∃(a,A)∈(R+∗)2,∀x∈]−a,a[,|P(x)−Q(x)|6Axn+1.Que dire deP et Q?
[000432]
Exercice 875
SoientWn= (X2−1)n,Ln=2n1n!Wn(n).
1. Donner le degré deLn, son coefficient dominant, sa parité, calculerLn(1).DonnerL0,L1,L2. 2. Démontrer :∀n>1,(X2−1)Wn0=2nXWn,en déduire :
∀n∈N,(X2−1)L00n+2X L0n−n(n+1)Ln=0.
3. Montrer ensuite :∀n>1,L0n=X L0n−1+nLn−1,puisnLn=X L0n−L0n−1. 4. Montrer enfin que les polynômesLnpeuvent être définis par la récurrence :
(n+1)Ln+1= (2n+1)X Ln−nLn−1.
[000433]
Exercice 876
Montrer que sin>3,l’équationxn+yn=znn’a pas de solution non triviale (i.e.xyz6=0) dansC[X].
Indication: on peut supposerx,y,z,sans facteurs communs. Dériver la relation, la multiplier parz, étudier le
degré. [000434]
Exercice 877
Soitn∈N∗,P∈C[X]de degrén, avecP(0) =1,P(1) =0,montrer : sup
|z|=1|P(z)|>1+1 n.
Indication:wk=e2ikπn+1,montrer
n
∑
k=0
P(wk) = (n+1)a0. [000435]
Exercice 878
1. Lemme : SoitP∈C[X]non constant,z0∈C,montrer que
∀ε >0,∃z∈D(z0,ε) ={z∈C||z−z0|6ε},|P(z)|>|P(z0)|. Indications: EcrireP(z0+h) =P(z0) +∑degPm=k h
m
m!P(m)(z0)oùkest le plus petit entier strictement positif tel queP(i)(z0)6=0.
On se propose de démontrer le théorème de d’Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coeffi-cients complexes admet une racine complexe.
2. Expliquer pourquoi le minimum de la fonctionz→ |P(z)|est atteint sur un disque centré en 0, mettons D(0,R),et expliquer pourquoi :
∃z0∈C,|P(z0)|=inf
z∈C|P(z)|. 3. Montrer avec le lemme queP(z0) =0.
[000436]
Exercice 879
Soitn∈N∗,etP(X) = (X+1)n−(X−1)n.Quel est le degré deP? Le factoriser dansC[X]. [000437]
Exercice 880
SoitP∈R[X]un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer queφ= (P0)2−PP00n’a pas de
zéro réel. [000438]
Exercice 881
SoitK⊆Cun corps pour les lois usuelles surCetP∈K[X]non constant.
1. Montrer que siα est racine dePde multiplicitém∈[1,+∞[alorsα est racine du polynômeP0avec la multiplicitém−1.
2. On supposeK=RetPscindé surR. Montrer queP0est scindé surR(on utilisera le théorème de Rolle).
[000439]
Exercice 882
Soientm,n∈[1,+∞[,d=pgcd(m,n)etP=Xm−1,Q=Xn−1,D=Xd−1∈C[X].
1. (a) Montrer que si x∈C est racine commune de P et Q alors x est racine de D (on pourra utiliser l’égalité de Bézout dansZ).
(b) Montrer que siy∈Cest racine deDalorsyest racine commune dePetQ(utiliser la définition de d).
2. (a) SoientA,B∈C[X]tels que toute racine de Aest racine deB.Peut-on en déduire queAdiviseB? Même question si les racines deAsont simples.
(b) Montrer que les racines deDetPsont simples et en déduire que pgcd(P,Q) =D.
[000440]
Exercice 883
Soient les polynômes complexesP1=X3−2,P2=X4+4 etP3=X4+4X3+8.
1. Étudier leur irréductibilité surCet surR.
2. Montrer queP1est irréductible surQ(on utilisera que√3 2∈/Q).
3. Montrer queP2est réductible surZ. 4. Montrer queP3est irréductible surZ.
[000441]
Exercice 884
SoitP=X4−5X3+9X2−15X+18∈C[X]. Déterminer toutes les racines complexes dePsachant que deux
d’entre elles ont 6 pour produit. [000442]
Exercice 885 Familles libres de polynômes
Soita,b∈K,a6=b. On posePk= (X−a)k(X−b)n−k. Démontrer que la famille(P0, . . . ,Pn)est libre. [003164]
Exercice 886 Formule de Van der Monde
Soitn∈N∗. Pourk∈[[0,n]]on posePk=Xk(1−X)n−k. Démontrer queB= (P0, . . . ,Pn)est une base deRn[X].
Calculer les composantes dansBde dxdnn Xn(1−X)n
. En déduire la valeur de∑nk=0(Cnk)2. [003165]
Exercice 887 Famille libre de polynômes
SoientU,V∈K[X]non constants. On posePk=UkVn−k. Montrer que(P0, . . . ,Pn)est libre . . . 1. lorsqueU∧V=1.
2. lorsque(U,V)est libre.
[003166]
Exercice 888 Ensi PC 1999
Déterminer les polyômesP∈R2n−1(X)tels queP(X) +1 est multiple de(X−1)netP(X)−1 est multiple de (X+1)n.
CorrectionH [003167]
Exercice 889 Opérateur différence
On noteUp=X(X−1)···p!(X−p+1), p∈N, et∆:K[X]→K[X],P7→P(X+1)−P(X) 1. Démontrer que la famille(Up)p∈Nest une base deK[X].
2. Calculer∆n(Up).
3. En déduire que :∀P∈Kn[X], onaP=P(0) + (∆P)(0)U1+ (∆2P)(0)U2+···+ (∆nP)(0)Un. 4. SoitP∈K[X]. Démontrer que :
∀n∈Z, on aP(n)∈Z
⇔ les coordonnées dePdans la base(Up)sont entières .
5. Soit f :Z→Zune fonction quelconque. Démontrer que f est polynomiale si et seulement si :∃n∈N tq∆n(f) =0.
[003168]
Exercice 890 Liberté deP(X), . . . ,P(X+n)
SoitP∈K[X]de degrén. Démontrer que la famille P(X),P(X+1), . . . ,P(X+n)
est une base deKn[X].
(Utiliser l’opérateur∆de l’exercice889)
CorrectionH [003169]
Exercice 891 (X+z0)n, . . . ,(X+zk)n(Centrale MP 2003)
Soitk∈N∗etz0, . . . ,zk des complexes. Soient les polynômesP0= (X+z0)n, . . . ,Pk= (X+zk)n. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que(P0, . . . ,Pk)soit une base deCn[X].
CorrectionH [003170]
Exercice 892 P−X|P◦P−X
1. SoitP∈K[X]. Démontrer queP−X diviseP◦P−X.
2. Résoudre dansC:(z2+3z+1)2+3z2+8z+4=0.
CorrectionH [003171]
Exercice 893 P7→P(X+1) +P(X−1)−2P(X)
SoitΦ:K[X]→K[X],P7→P(X+1) +P(X−1)−2P(X) 1. Chercher deg(Φ(P))en fonction de degP.
2. En déduire KerΦet ImΦ.
3. Montrer que :∀Q∈K[X],∃!P∈K[X]tq
(Φ(P) =Q
P(0) =P0(0) =0.
[003172]
Exercice 894 P7→(X−a)(P0(X) +P0(a)) +P(X)−P(a)
Soita∈KetΦ:Kn[X]→Kn[X],P7→(X−a)(P0(X) +P0(a)) +P(X)−P(a).
Chercher KerΦet ImΦ.
CorrectionH [003173]
Exercice 895 A3+B=C3+D SoientA,B,C,D∈R[X]tels que :
degA=degC=m degB<2m,degD<2m A3+B=C3+D.
Montrer queA=CetB=D.
Trouver un contre-exemple avec des polynômes à coefficients complexes. [003174]
Exercice 896 P(n)|P(n+P(n))
SoitP∈Z[X], n∈Z, etp=P(n). Montrer quepdiviseP(n+p).
CorrectionH [003175]
Exercice 897 P(a/b) =0⇒a−kbdiviseP(k) SoitP∈Z[X]eta,b∈Z∗premiers entre eux tels queP
a b
=0.
1. Montrer queadivise le coefficient constant deP.
2. Montrer que pour toutk∈Z,a−kbdiviseP(k).
CorrectionH [003176]
Exercice 898 Automorphismes des polynômes PourA∈K[X]on noteΦA:K[X]→K[X],P7→P◦A
1. Démontrer que les applicationsΦAsont les seuls endomorphismes d’algèbre deK[X].
2. A quelle conditionΦAest-il un isomorphisme ?
[003177]
Exercice 899 Sous anneau non principal des polynômes
SoitA={P∈K[X]dont le coefficient deX est nul}. Démontrer queAest un sous anneau non principal deK[X].
[003178]
Exercice 900 ÉquationP2+Q2= (X2+1)2
TrouverP,Q∈R[X]premiers entre eux tels queP2+Q2= (X2+1)2.
CorrectionH [003179]
Exercice 901 ÉquationX(X−1)P0+P2−(2X+1)P+2X =0
Trouver tous les polynômesP∈K[X]tels que :X(X−1)P0+P2−(2X+1)P+2X=0.
CorrectionH [003180]
Exercice 902 P(X) +P(X+1) =2Xn
1. Montrer qu’il existe un unique polynômePn∈K[X]tel quePn(X) +Pn(X+1) =2Xn. 2. Chercher une relation de récurrence entrePn0 etPn−1.
3. DécomposerPn(X+1)sur la base(Pk)k∈N. 4. Démontrer quePn(1−X) = (−1)nPn(X).
CorrectionH [003181]
Exercice 903 (1−X)nP+XnQ=1
1. Démontrer qu’il existeP,Q∈Kn−1[X]uniques tels que(1−X)nP+XnQ=1.
2. Montrer queQ=P(1−X).
3. Montrer que :∃λ ∈Ktel que(1−X)P0−nP=λXn−1. 4. En déduireP.
CorrectionH [003182]
Exercice 904 Endomorphismes qui commutent avec la dérivation
SoitΦ∈LK[X]commutant avec la dérivation, c’est à dire :∀P∈K[X], on aΦ(P0) =Φ(P)0. 1. Démontrer qu’il existe un unique suite(ak)k∈Nde scalaires tels que :
∀P∈Kn[X], on aΦ(P) =
n
∑
k=0
akP(k).
(On écritformellement:Φ=∑∞k=0akDkavec D(P) =P0) 2. Décomposer ainsi l’endomorphismeΦ:P7→P(X+1).
[003183]
Exercice 905 Pest positif⇒P+P0+P”+. . . aussi
SoitP∈R[X]tel que :∀x∈R, on aP(x)>0. Démontrer que :∀x∈R, on a(P+P0+P00+. . .)(x)>0.
CorrectionH [003184]
Exercice 906 P(tanα) =Q 1
cosα
SoitP∈R[X]. Existe-t-ilQ∈R[X]tel que∀α∈
−π2,π2
, P(tanα) =Q 1
cosα
?
CorrectionH [003185]
Exercice 907 Xn+1/Xn=Pn(X+1/X)
1. Montrer que pour tout entiern∈Nil existe un unique polynômePn∈Z[X]vérifiant :
∀z∈C∗,zn+z−n=Pn(z+z−1).
2. Déterminer le degré, le coefficient dominant, et les racines dePn. 3. PourP∈C[X], on note ˜Ple polynôme tel que :
∀z∈C∗,P(z) +P(z−1) =P(z˜ +z−1).
Étudier l’applicationP7→P.˜
CorrectionH [003186]
Exercice 908 Polytechnique MP∗2000
1. Donner un isomorphisme f entreCn+1etCn[X].
2. Montrer queσ:Cn+1→Cn+1,(a0, . . . ,an)7→(an,a0, . . . ,an−1)est linéaire.
3. Si (P,Q) ∈(C[X])2, on définit le produit PQ comme le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1−1. Montrer que l’application induite parσ surCn[X](c’est-à-dire f◦σ◦ f−1) est l’application qui àPassocieX P.
4. SoitFun sous-espace deCn+1stable parσ.
Montrer qu’il existe un polynômeQtel que f(F) ={RQ, R∈Cn[X]}.
CorrectionH [003187]
Exercice 909 Centrale MP 2002
Déterminer tous les polynômesPtels queP(C)⊂Rpuis tels queP(Q)⊂Qet enfin tels queP(Q) =Q.
CorrectionH [003188]
Exercice 910 Polytechnique MP 2002
Soientx1, . . . ,xn∈Cdistincts ety1, . . . ,yn∈C. TrouverE={P∈C[X]tq∀i,P−1({yi}) ={xi}}.
CorrectionH [003189]
Exercice 911 ENS Ulm MP 2002 SoitS⊂Nfini etP=∑s∈SasXs∈C[X].
1. On suppose que lesassont réels. Montrer quePa moins de racines strictement positives distinctes que la suite(as)n’a de changement de signe.
2. On suppose quePvérifie :∀s∈S, P(s) =0. Montrer quePest nul.
CorrectionH [003190]
Exercice 912 ∑100k=1x−kk >1 (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP∗2003)
Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation∑100k=1x−kk >1 est une réunion finie d’intervalles disjoints.
Calculer la somme des longueurs de ces intervalles.
CorrectionH [003191]
Exercice 913 Polynôme positif (Ens Ulm MP∗2003) SoitP∈R[X]. Montrer :
(∀x>0, P(x)>0)⇔(∃`∈Ntq(X+1)`P(X)est à coefficients strictement positifs).
CorrectionH [003192]
Exercice 914 Diviseurs premiers de la suite(P(n))(Ens ULM-Lyon-Cachan MP∗2003)
SoitP∈Z[X]non constant etE l’ensemble des diviseurs premiers d’au moins unP(n),n∈Z. Montrer queE est infini.
CorrectionH [003193]
Exercice 915 Centrale MP 2004
Soitn∈N∗. Montrer l’existence dePn∈R[X]tel que 1+X−Pn2est divisible parXn.
CorrectionH [003194]
Exercice 916 Polynômes à coefficients entiers, ULM-Lyon-Cachan MP∗2004 On donne un entiern>0. Résoudre dansCle système :
Exercice 924 a,b,cen progression géométrique
Soienta,b,c∈C.
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique si et seulement si(ab+ac+bc)3=abc(a+b+c)3.
[003261]
Exercice 925 Condition liant les racines SoitP=X3+pX+qde racinesa,b,c.
1. CNS pour ces racines soient aux sommets d’un carré ? 2. CNS pour quea2+b2=1+c2?
CorrectionH [003262]
Exercice 926 Condition liant les racines
SoientA,B,Cles points dont les affixes sont les racines deX3+pX+q,p,q∈C. A quelle condition surpetq a t-onAB=AC=2BC?
CorrectionH [003263]
Exercice 927 Condition liant les racines
SoitP=X4+aX2+bX+cde racinesα,β,γ,δ. CNS pour ces racines soient en progression arithmétique ?
CorrectionH [003264]
Exercice 928 Transformation d’équation
Soientx1,x2,x3les racines deX3+2X2+3X+4.
Calculer le polynôme unitaire deR3[X]dontx1+x2,x2+x3,x3+x1sontlesracines.
CorrectionH [003265]
Exercice 929 Transformation d’équation
Soientx1,x2,x3les racines deX3+aX2+bX+c.
Calculer le polynôme unitaire deR3[X]dontx21,x22,x23sontlesracines.
CorrectionH [003266]
Exercice 930 2X3+5X2−X+λ a une racine de module 1
Trouverλ ∈Rtel que 2X3+5X2−X+λ ait une racine de module 1.
CorrectionH [003267]
Exercice 931 Polynômes dont les racines sont de module 1
Soitn∈N∗etE l’ensemble des polynômes à coefficients entiers, unitaires de degrénet dont toutes les racines sont de module 1.
1. Démontrer queE est fini.
2. PourP∈E de racinesx1, . . . ,xn, on notePele polynôme unitaire de racinesx21, . . . ,x2n. Démontrer quePe∈E.
3. En déduire que :∀P∈E, les racines dePsont des racines de l’unité.
CorrectionH [003268]
Exercice 932 Centrale MP 2001
Soit f(x) =x4+ax3+bx2+cx+d avec a,b,c,d réels. Donner une condition nécessaire et suffisante por-tant sura,b,c,d pour qu’il existe une droite coupant la courbe représentative de f en quatre points distincts M1,M2,M3,M4tels queM1M2=M2M3=M3M4.
CorrectionH [003269]
Exercice 933 ***
Soit P un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à 1. Soit n un entier relatif et m=P(n).
1. Montrer que∀k∈Z,P(n+km)est un entier divisible parm.
2. Montrer qu’il n’existe pas de polynômes non constants à coefficients entiers tels queP(n)soit premier pour tout entiern.
2. Montrer que toute combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs desPnest encore un élément deE.
3. Montrer queEest l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs desPn.
CorrectionH [005322]
Exercice 941 **
Factoriser dansC[X]le polynôme 12X4+X3+15X2−20X+4.
CorrectionH [005332]
Exercice 942 ***
Soitn∈N∗. Montrer que(X−1)2n−X2n+2X−1 est divisible par 2X3−3X2+Xpuis déterminer le quotient.
CorrectionH [005333]
Exercice 943 **I
Déterminer deux polynômesUetV vérifiantU Xn+V(1−X)m=1 et deg(U)<met deg(V)<n.
CorrectionH [005334]
Exercice 944
SoitP=oùnest un entier naturel non nul, lesaisont des entiers relatifs eta0etansont non nuls. Soientpun entier relatif non nul etqun entier naturel non nul tels que p∧q=1.
Montrer que, sir= pq est une racine (rationnelle) dePalorspdivisea0etqdivisean. Application. Résoudre dansCl’équation 9z4−3z3+16z2−6z−4=0.
CorrectionH [005343]
Exercice 945 Equations réciproques Résoudre dansCles équations suivantes :
1. z4+2z3+3z2+2z+1=0 en posantZ=z+1z (ou autrement).
2. z6−5z5+5z4−5z2+5z−1=0.
3. z7−z6−7z5+7z4+7z3−7z2−z+1=0.
CorrectionH [005344]
Exercice 946
SoitPun polynôme à coefficients complexes de degré 4.
Montrer que les images dans le plan complexe des racines dePforment un parallélogramme si et seulement si P0etP(3)ont une racine commune
CorrectionH [005346]
Exercice 947
Résoudre dansC3le système
y2+yz+z2=7 z2+zx+x2=13 x2+xy+y2=3
.
CorrectionH [005347]
Exercice 948
Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. Pourk∈Z, on poseωk=e2ikπ/n. 1. Calculer∏nk=0−1
1+2−2ω
k
.
2. Montrer que, pour tout réela,∏nk=0−1(ωk2−2ωkcosa+1) =2(1−cos(na))(questions indépendantes.)
CorrectionH [005348]
Exercice 949
Résoudre dans Cl’équation z4−21z+8=0 sachant qu’il existe deux des solutions sont inverses l’une de l’autre.
CorrectionH [005352]