Exercice 113
1. SoitE=N×N, on définitR par :(a,b)R(a0,b0)⇔a+b0=b+a0. Montrer queR est une relation d’équivalence. IdentifierE/R.
2. Mêmes questions avecE=Z×N∗et(p,q)R(p0,q0)⇔pq0=p0q.
[000207]
Exercice 114
DansR2on définit la relationRpar :
(x,y)R(x0,y0)⇔y=y0. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de(x,y)∈R2.
[000208]
Exercice 115
DansCon définit la relationRpar :
zRz0⇔ |z|=|z0|. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaquez∈C.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000209]
Exercice 116
SoitRune relation binaire sur un ensembleE, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ?
“xRy⇒yRxcarRest symétrique, or(xRyetyRx)⇒xRxcarRest transitive,
doncRest réflexive.”
IndicationH CorrectionH [000210]
Exercice 117
Étudier la relationRdéfinie surRR(l’ensemble des applications deRdansR) par : fRg⇐⇒ ∃A>0,∀x∈R,|x|>A⇒ f(x) =g(x).
[000211]
Exercice 118
Montrer que la relationRdéfinie surRpar :
xRy⇐⇒xey=yex
est une relation d’équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d’éléments de la classe dexmoduloR.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000212]
Exercice 119
La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur N? sur Z? Si oui, est-ce une relation d’ordre total ?
[000213]
Exercice 120
Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’équivalence, préciser les classes ; dans le cas d’une relation d’ordre, préciser si elle est totale, si l’ensemble admet un plus petit ou plus grand élément.
1. DansP(E):AR1B⇔A⊂B ; AR2B⇔A∩B=/0.
2. DansZ:aR3b⇔aetbont la même parité ; aR4b⇔ ∃n∈N a−b=3n ; aR5b⇔a−best divisible par 3.
[000214]
Exercice 121
Soient(X,6)et(Y,6)deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux ordres de la même façon). On définit surX×Y la relation(x,y)6(x0,y0)ssi(x<x0)ou(x=x0ety6y0). Montrer que c’est un ordre et qu’il
est total ssiXetY sont totalement ordonnés. [000215]
Exercice 122
Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit élément.
1. Donner un exemple d’ensemble bien ordonné et un exemple d’ensemble qui ne l’est pas.
2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné.
3. La réciproque est-elle vraie ?
[000216]
Exercice 123
Soit(E,6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)\ {/0}la relation≺par X≺Y ssi (X=Y ou ∀x∈X ∀y∈Y x6y).
Vérifier que c’est une relation d’ordre.
CorrectionH Vidéo [000217]
Exercice 124
Montrer quea∗b= a+b
1+ab est une l.c.i sur]−1,1[et déterminer ses propriétés. [000218]
Exercice 125 Congruence des carrés modulo 5
On définit la relation∼surZparx∼y ⇐⇒ x2≡y2mod 5.
1. Déterminer l’ensemble quotient.
2. Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ?
[003030]
Exercice 126 Produit cartésien
Soient deux relations d’équivalence :RsurE, etS surF. On définit surE×F: (x,y)∼(x0,y0) ⇐⇒ xRx0etySy0.
1. Vérifier que∼est une relation d’équivalence.
2. Soitφ:E×F→(E/R)×(F/S),(x,y)7→(x,˙ y)˙
Démontrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
[003031]
Exercice 127 X∪A=Y∪A
SoitEun ensemble etA⊂E. On définit la relation surP(E): X∼Y ⇐⇒ X∪A=Y∪A.
1. Montrer que c’est une relation d’équivalence.
2. Soitφ:P(E)→P(E\A),X7→X\A.
Montrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
[003032]
Exercice 128 Équivalences surEE
SoitEun ensemble non vide. On considère les relations surF=EE : f ∼g ⇐⇒ ∃n∈N∗tq fn=gn, f ≈g ⇐⇒ ∃m,n∈N∗tq fn=gm, f ≡g ⇐⇒ f(E) =g(E).
1. Montrer que∼,≈,≡sont des relations d’équivalence.
2. Pour f∈F, on note f∼, f≈, f≡les classes d’équivalence de f modulo∼,≈,≡. (a) Comparer f∼, f≈.
(b) Montrer que toute classe d’équivalence pour≈est réunion de classes d’équivalence pour∼. (c) Que pouvez-vous dire de f s’il existeg∈ f≈ injective ? surjective ?
(d) Même question avec f≡.
[003033]
Exercice 129 Relation d’équivalence quotient
SoientRetS deux relations d’équivalence sur un ensembleE, telles que :
∀x,y∈E,xRy⇒xSy.
On définitS˙surE/Rpar : ˙xS˙y˙ ⇐⇒ xSy.
Vérifier queS˙est une relation d’équivalence, puis définir une bijection entre(E/R)/S˙etE/S. [003034]
Exercice 130 Complétion d’une relation réflexive et transitive
SoitRune relation binaire sur un ensembleE réflexive et transitive. On définit les deux relations : xSy ⇐⇒ (xRyetyRx),
xTy ⇐⇒ (xRyouyRx).
Est-ce queS etT sont des relations d’équivalence ? [003035]
Exercice 131 Parties saturées pour une relation d’équivalence
Soit∼une relation d’équivalence sur un ensembleE. PourA⊂E, on définits(A) =Sx∈Ax.˙ 1. ComparerAets(A).
2. Simplifiers(s(A)).
3. Montrer que :∀x∈E, on a(x∈s(A)) ⇐⇒ (x˙∩s(A)6=∅). En déduires(E\s(A)).
4. Démontrer ques(Si∈IAi) =Si∈Is(Ai)ets(Ti∈IAi)⊂Ti∈Is(Ai).
5. Donner un exemple d’inclusion stricte.
[003036]
Exercice 132 Ordre sur les fonctions
SoitXun ensemble etE=RX. On ordonneEpar : f6g ⇐⇒ ∀x∈X, f(x)6g(x).
1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.
2. L’ordre est-il total ?
3. Comparer les énoncés :“ f est majorée”, et“{f}est majoré”.
4. Soit(fi)i∈Iune famille majorée de fonctions deE. Montrer qu’elle admet une borne supérieure.
[003037]
Exercice 133 sup◦inf et inf◦sup
Soit f :R2→Rune fonction bornée. On définit les fonctions :
g:R→R,t7→sup{f(t,y)tqy∈R}
h:R→R,t7→inf{f(x,t)tqx∈R}
Montrer quegethsont bornées, puis comparer suphet infg. [003038]
Exercice 134 Ordre lexicographique
On noteE= [−1,1]2, et on définit surE la relation : (x,y)(x0,y0) ⇐⇒
(x<x0)ou(x=x0ety6y0)
(ordre lexicographique).
1. Pour(a,b)∈E, représenter graphiquement l’ensemble des majorants de(a,b).
2. SoitAune partie non vide deE. Montrer queAadmet une borne supérieure.
[003039]
Exercice 135 Distance entre un point et une partie PourA⊂Rnon vide et bornée, etx∈R, on note :
d(x,A) =inf{|x−a|tqa∈A} (distance de x à A).
Montrer qued(x,A)−d(y,A)6|x−y|. [003040]
Exercice 136 Parties adjacentes SoientA,B⊂Rvérifiant : (
∀a∈A,∀b∈B,a6b
∀ε>0, ∃a∈A, ∃b∈Btqb−a6ε
(on dit queAetBsontadjacentes). Montrer que sup(A) =inf(B). [003041]
Exercice 137 borne sup⇒borne inf
SoitE ordonné tel que toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Montrer que toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
CorrectionH [003042]
Exercice 138 Ordre surR2
On définit surR2:(x,y)(x0,y0) ⇐⇒ |x0−x|6y0−y.
1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.
2. Dessiner les ensembles des majorants et des minorants d’un couple(a,b).
3. L’ordre est-il total ?
4. SoitA={(x,y)∈R2tqx2+y261}. Déterminer sup(A).
CorrectionH [003043]
Exercice 139 Propriétés de sup et inf
Un treillis est un ensemble ordonnéE dans lequel pour tousx,y∈E, sup(x,y) et inf(x,y)existent. SoitE un treillis.
1. Montrer que sup et inf sont des opérations associatives.
2. A quelle condition ont-elles des éléments neutres ? 3. Montrer que :
∀x,y∈E, sup x,inf(x,y)
=inf x,sup(x,y)
=x,
∀x,y,z∈E, x6z⇒sup x,inf(y,z)
6inf sup(x,y),z ,
∀x,y,z∈E, inf x,sup(y,z)
>sup inf(x,y),inf(x,z) .
[003044]
Exercice 140 Ordre déduit d’une loi idempotente
Soit·une opération commutative et associative surE, telle que :∀x∈E,x·x=x.
On définit la relation6surEpar :x6y ⇐⇒ x·y=x 1. Reconnaître6quand·est∩surP(X) (resp∪).
2. Montrer que6est une relation d’ordre.
3. Démontrer que :∀x,y∈E,x·y=inf(x,y).
[003045]
Exercice 141 Borne supérieure parmi les intervalles
SoitEl’ensemble des intervalles deR(y compris∅) ordonné par l’inclusion.
SoientI,Jdeux intervalles. Qu’est-ce que inf(I,J)? sup(I,J)? [003046]
Exercice 142 Prolongement d’applications
SoitEun ensemble etE ={(A,f)tqA⊂E,A6=∅,et f ∈EA}. On ordonneE par : (A,f)(B,g) ⇐⇒
(A⊂B
∀x∈A, f(x) =g(x)
(c’est-à-dire que la fonctiong, définie surB, prolonge la fonction f, définie seulement surA).
1. Montrer queest une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
2. Soient (A,f) et(B,g) deux éléments de E. Trouver une CNS pour que la partie{(A,f),(B,g)} soit majorée. Quelle est alors sa borne supérieure ?
3. Même question avec minorée.
[003047]
Exercice 143 Point fixe d’une fonction croissante
Soit f :[0,1]→[0,1]croissante. On noteA={x∈[0,1]tq f(x)6x}. 1. Démontrer queAn’est pas vide.
2. Démontrer que f(A)⊂A.
3. Soita=inf(A). Montrer que f(a)minoreA.
4. En déduire que f(a) =a.
Cela prouve que toute application croissante de[0,1]dans lui-même admet un point fixe. Montrer que c’est
faux pour l’intervalle[0,1[. [003048]
Exercice 144 Relation d’ordre sur un ensemble quotient
SoitRune relation surE réflexive et transitive. On définit la relation :x∼y ⇐⇒ xRyetyRx.
1. Montrer que∼est une relation d’équivalence surE.
SurE/∼on pose : ˙x6y˙ ⇐⇒ xRy.
2. Montrer que cette définition est indépendante des représentantsxetychoisis.
3. Montrer que6est une relation d’ordre surE/∼.
[003049]
Exercice 145 Pas de borne supérieure dansQ Dans cet exercice, on admet que :∀x∈Q, x26=2.
1. SoientA={x∈Z+∗tqx2<2}etB={x∈Z+∗tqx2>2}. Déterminer sup(A)et inf(B).
2. SoientA={x∈Q+∗tqx2<2}etB={x∈Q+∗tqx2>2}. On veut démontrer queAn’admet pas de borne supérieuredansQ. Pour cela, on suppose au contraire queα =sup(A)existe (α ∈Q), et on poseβ =α2.
(a) Montrer queβ =inf(B).
(b) Montrer que :∀a∈A, ∀b∈B,onaa6b. Que pouvez-vous en déduire pourα etβ? (c) Obtenir une contradiction en considérantγ=α+β2 .
[003050]
Exercice 146
Soit E l’ensemble des droites du plan. Le parallélisme et l’orthogonalité sont-elles des relations réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives ?
[007189]
Exercice 147
SoitE un ensemble fini, de cardinaln. Combien de relations binaires y a-t-il surE? De relations symétriques ? Réflexives ?
[007190]
Exercice 148
Soit6une relation d’ordre sur un ensembleE, et<la relation d’ordre strict associée, c’est-à-dire par définition : x<y ⇐⇒ x6yetx6=y. Est-ce que le contraire dex6yesty<x?
IndicationH CorrectionH [007191]
Exercice 149
SoitE un ensemble fini et f:E→E une involution, c’est-à-dire une application vérifiant f◦f =Id. Montrer que si f n’a pas de points fixes, alors|E|est pair. Plus généralement, montrer que la parité de|E|est celle du nombre de points fixes de f.
IndicationH [007192]
Exercice 150
SoitR la relation d’équivalence la plus fine sur{0,1,2}vérifiant 0R1. Décrire le graphe deR (donner tous ses éléments).
[007193]
Exercice 151
(Coordonnées polaires) Soit∼la relation d’équivalence la plus fine surR+×[−π,π]vérifiant les conditions : (∀θ,θ0∈[−π,π],(0,θ)∼(0,θ0)
∀r∈R∗+,(r,−π)∼(r,π) Décrire le graphe de∼, ainsi que ses classes d’équivalence.
[007194]
Exercice 152
Soitl>0 un réel etX= [0,l]×[−1,1], et∼la relation d’équivalence la plus fine surXtelle que(0,y)∼(l,−y) pour touty∈[−1,1]. Décrire le graphe et les classes d’équivalence de la relation.
Note : l’ensemble quotientM=X/∼est donc l’ensemble obtenu en recollant le rectangleX= [0,l]×[−1,1]le long de deux bords opposés, en suivant une orientation opposée. On l’appelle leruban de Möbius(de longueur l).
[007195]
Exercice 153
Soient R et S des relations binaires sur E. On dit que R est plus fine que S, ou encore que c’est est un raffinement, si∀x,y∈E,xRy =⇒ xSy. De façon équivalente,R est plus fine queS si on a l’inclusion de graphesΓR⊆ΓS.
1. Montrer que « être plus fine que » est une relation d’ordre sur l’ensemble des relations binaires surE. 2. SoientRetS des relations binaires surE. Montrer qu’il existe une relation binaire surEqui raffine à
la foisRetS, et qu’il existe aussi une relation binaire surE simultanément moins fine queRetS.
[007196]
Exercice 154
Soit f :R→U,t7→eit, et soitRla relation d’équivalence surRdéfinie parxRy ⇐⇒ x≡y (mod 2π). On note R/2πZ l’ensemble quotientR/R. Montrer que l’application f descend au quotient en une application [f]:R/2πZ→Uqui est une bijection.
CorrectionH [007197]
Exercice 155
(Produit de deux relations) SoientRetS deux relations surE. Leurproduit, notéRS, est la relation binaire définie par :
∀x,y∈E,xRSy ⇐⇒ ∃a∈E,(xRaetaSy)
1. Prouver par un exemple qu’en général, les relationsRS etS Rsont distinctes.
2. Montrer que le produit de relations est néanmoins associatif, autrement dit siR, S etT sont trois relations, on a
(RS)T =R(S T)
[007198]
Exercice 156
(Clôture transitive. Cet exercice utilise la notion de produit de relations) SoitRune relation surE. Pourn∈N etR est une relation surE, on définit alors par récurrence la relationRn(en définissantR0comme l’égalité, puisRn+1=RRn).
Montrer que toutes les relations suivantes sont égales : 1. Wn>0Rn;
2. la relation dont le graphe estSn>0ΓRn;
3. la relation dont le graphe est l’intersection de tous les graphes de relations transitives qui contiennent ΓR.
4. la plus fine relation parmi toutes les relations transitives moins fines queR.
Cette relation binaire (qui est donc transitive) est appeléeclôture transitivedeR. Montrer que siRest symé-trique (resp. réflexive), sa clôture transitive l’est également. [007199]
Exercice 157
SoitEl’ensemble des couples de la forme(I,f), oùIest un intervalle deRet f est une fonction deI dansR.
La relationsurE est définie par
(I,f) (J,g) ⇐⇒ (I⊆Jet f =g|I).
Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. [007200]
Exercice 158
SoitE=RRl’ensemble des fonctions deRdansRet f,g∈E. On dit que f etgont « même germe en zéro » et on note f =
0 gsi :
∃ε>0,f|]−ε,ε[=g|]−ε,ε[
1. Montrer que=
0 est une relation d’équivalence surE.
2. Montrer que si f =
0 galors f(0) =g(0), mais que la réciproque est fausse.
3. Montrer également que pour touta∈R∗, il existe deux fonctions f etgavec f =
0 get f(a)6=g(a).
La classe d’équivalence d’une fonction f pour cette relation d’équivalence s’appelle legerme de f en zéro.
Attention, cette relation d’équivalence n’estpas« l’équivalence en zéro » qui sera par la suite introduite dans
le cours d’analyse. [007201]
Exercice 159
Soit f :E→F, soit≡f la relation d’équivalence surE dont les classes d’équivalence sont les fibres de f, et soitQ=E/≡f l’ensemble quotient.
1. Montrer que f passe au quotient en une application ¯f :Q→Fqui est injective.
2. Montrer qu’une relation d’équivalence R sur E est plus fine que ≡f si et seulement si f passe au quotient parR.
3. En déduire quelles sont les relations d’équivalence les plus et moins fines telles que fpasse au quotient parR.
[007202]
Exercice 160
(Coégalisateur) SoientAetBdeux ensembles et fetgdeux applications entreAetB. On définit surBla relation binaire suivante :Rest la relation d’équivalence la plus fine telle que∀a∈A,f(a)Rg(a). Lecoégalisateur de f et gest par définition l’ensemble quotientC=B/R. On noteπ:B→Cla surjection canonique sur le quotient.
On a alorsπ◦f=π◦g.
Montrer queCetπvérifient la propriété suivante (ditepropriété universelle du coégalisateur) :
Pour tout ensembleXet applicationφ:B→X vérifiantφ◦f =φ◦g, il existe une unique applicationh:C→X telle queφ=h◦π.
[007203]
Exercice 161
(Somme amalgammée d’ensembles. Cet exercice utilise la notion de coégalisateur.) SoientA,BetCdes en-sembles et f :C→A,g:C→Bdes applications.
SoitABl’union disjointe deAetBetiA etiBles injections canoniques deAetBdansAB.
Les deux applicationsiA◦f etiB◦gvont toutes deux deCdansAB. Leur coégalisateur est appelé la somme amalgamée de A et B sous C, est notéACB. La surjection canoniqueAB→ACBest notéeπet on note jA=π◦iA
et jB=π◦iB.
Montrer queACBvérifie la propriété universelle suivante :
Pour tout ensembleDmuni d’applicationsφ:A→Detψ:B→D, il existe une unique applicationh:ACB→D telle queφ=h◦jAetψ =h◦jB.
[007204]
Exercice 162
(Écrasement d’une partie d’un ensemble) Soit X un ensemble. Pour tout sous-ensembleA⊆X, on définit la relation binaire∼A surXcomme suit :
∀(x,y)∈X2,x∼Ay ⇐⇒ (x=you (x∈Aety∈A)).
1. Montrer que c’est une relation d’équivalence surX. Quelles sont ses classes d’équivalence ?
2. Soit f une fonction deX dans un ensembleE, constante surA. Montrer qu’elle descend au quotient en une application[f]:X/∼A→E.
3. Montrer que pour tout ensembleE, l’application
φ:{f ∈F(X,E),|f est constante surA} →F(X/∼A,E), qui à f associe[f]est surjective.
4. Identifier, parmi les relations d’équivalence étudiées dans le cours et les exercices du chapitre, celles qui sont des cas particuliers d’écrasements de parties.
[007205]
Exercice 163
(Cône sur un ensemble) SoitX un ensemble etY =X×[0,1]. SoitRla relation d’équivalence la plus fine sur Y telle que∀x,x0∈X,(x,0)R(x0,0).
1. Montrer que(x,t)R(x0,t0) ⇐⇒ (t=t0=0)ou(x,t) = (x0,t0)).
2. Le cône surX, noté Cone(X), est par définitionY/R. Le nom de « cône » peut s’expliquer à l’aide de l’exemple suivant. Définir une bijection entre Cone(S1)et l’ensemble
(x,y,z)∈R3z2=x2+y2,et 06z61 (qui est un vrai cône au sens usuel : faire un dessin).
[007206]
Exercice 164
(Suspension d’un ensemble) SoitX un ensemble. Sur l’ensembleX×[−1,1], on considère la relation d’équi-valence la plus fine vérifiant : (
∀x,x0∈X,(x,−1)R(x0,−1)
∀x,x0∈X,(x,1)R(x0,1) 1. Montrer que
(x,t)R(x0,t0) ⇐⇒ t=t0=−1 out=t0=1 ou(x,t) = (x0,t0) L’ensemble quotient est appelésuspension de X, et est notéS(X).
2. SoitX ={−1,1}. Montrer que l’application f :X×[−1,1]→R2,(x,t)7→(t,x√
1−t2) est à valeurs dans le cercle unité du plan, notéS1, et passe au quotient en application injective deS(X)versR2dont l’image estS1. Ceci formalise la phrase « la suspension de deux points est un cercle. »
(Note : plus généralement, on peut montrer que pour toutn∈N, la suspension de la sphèreSnest en bijection naturelle avec la sphèreSn+1. Cet exercice traite le casn=0. ) [007207]
Exercice 165
(Union/disjonction et intersection/conjonction de deux relations) SoientRetS deux relations surE. On définit la disjonction (ou union), notéeR∨S, par :
x(R∨S)y ⇐⇒ (xRyouxSy)
De façon équivalente, le graphe de R∨S est l’union des graphes de R et de S. De même, on définit la conjonction (ou intersection)R∧S comme la relation dont le graphe est l’intersection des deux graphes deR etS, c’est-à-dire
x(R∧S)y ⇐⇒ (xRyetxSy).
Si R et S sont des relations d’équivalence, montrer que R∧S est une relation d’équivalence, mais pas forcémentR∨S.
(Note : on peut définir la conjonction ou la disjonction d’un nombre quelconque de relations, à l’aide de l’union
ou de l’intersection des graphes associés.) [007208]
6 100.99 Autre
Exercice 166
Quels sont les entiersntels que 4n6n! ? [000180]
Exercice 167 Montrer que :
∀n>2,un=
n
∑
k=1
1 k ∈/N. Indication: montrer que
∀n>2,∃(pn,qn)∈(N∗)2,un=2pn+1 2qn
.
[000181]
Exercice 168
Soit f :N∗→N∗une application vérifiant :
∀n∈N∗,f(n+1)>f(f(n)).
Montrer que f =IdN∗.Indications: que dire dek∈Ntel que f(k) =inf{f(n)|n∈N}? En déduire que∀n>
0,f(n)> f(0). Montrer ensuite que ∀n∈N,on a : ∀m>n,f(m)> f(n) et∀m6n,f(m)>m(on pourra introduirektel que f(k)soit le plus petit entier de la forme f(m)avecm>n). En déduire que f est strictement croissante et qu’il n’existe qu’une seule solution au problème. Laquelle ? [000182]
Exercice 169 4. En utilisant l’exercice59, calculerS3.
[000183]
Exercice 170
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces indices et à sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer :
1. ∑
IndicationH CorrectionH Vidéo [000185]
Exercice 172
Exercice 173 Images directes et réciproques
Soit f :E→Fune application,A,A0⊂EetB,B0⊂F.
1. Simplifier f(f−1(f(A)))et f−1(f(f−1(B))).
2. Montrer que f(A∩f−1(B)) = f(A)∩B.
3. Comparer f(A∆A0)et f(A)∆f(A0).
4. Comparer f−1(B∆B0)et f−1(B)∆f−1(B0).
5. A quelle condition sur f a-t-on :∀A⊂E, f(E\A) =F\f(A)?
[002889]
Exercice 174 (X∩A,X∩B)
SoitEun ensemble, etA,Bdeux parties fixées deE. Soitφ:P(E)→P(A)×P(B),X7→(X∩A,X∩B).
1. Qu’est-ce queφ(∅)?φ(E\(A∪B))?
2. A quelle condition surAetB,φ est-elle injective ? 3. Est-ce que le couple(∅,B)possède un antécédent parφ? 4. A quelle condition surAetB,φ est-elle surjective ?
[002890]
Exercice 175 Partie stable par une application
Soit f :E→E. Pourn∈N∗, on note fn= f◦f◦ ··· ◦f
| {z }
nfois
, et f0=idE. SoitA⊂E,An= fn(A), etB=Sn∈NAn.
1. Montrer que f(B)⊂B.
2. Montrer queBest la plus petite partie deEstable par f et contenantA.
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Exercice 176 Factorisation d’une application
1. Soit f:F→Eetg:G→Edeux applications. Montrer qu’il existe une applicationh:G→Ftelle que g= f◦hsi et seulement si :g(G)⊂ f(F).
A quelle conditionhest-elle unique ?
2. Soit f:E→Fetg:E→Gdeux applications. Montrer qu’il existe une applicationh:F→Gtelle que g=h◦f si et seulement si :∀x,y∈E, f(x) = f(y)⇒g(x) =g(y)
. A quelle conditionhest-elle unique ?
[002892]
Exercice 177 Propriétés des applicationsA7→ f(A)etB7→ f−1(B) Soit f :E→F. On considère les applications
Φ:P(E)→P(F),A7→ f(A) et Ψ:P(F)→P(E),B7→ f−1(B).
Montrer que :
1) f est injective ⇐⇒ Φest injective ⇐⇒ Ψest surjective.
2) f est surjective ⇐⇒ Φest surjective ⇐⇒ Ψest injective.
[002893]
Exercice 178 ϕ7→ f◦ϕetϕ7→ϕ◦f
Soit f :E→Fune application, etGun troisième ensemble ayant au moins deux éléments. On construit deux nouvelles applications :
f∗:EG→FG,ϕ7→ f◦ϕ et f∗GF →GE,ϕ7→ϕ◦f Montrer que :
1. f est injective ⇐⇒ f∗est injective ⇐⇒ f∗est surjective.
2. f est surjective ⇐⇒ f∗est surjective ⇐⇒ f∗est injective.
[002894]
Exercice 179
[h◦g◦f,g◦f◦hinjectives et f◦h◦gsurjective] SoientE−→f F−→g G−→h Etrois applications telles queh◦g◦f etg◦f◦hsont injectives et f◦h◦gest surjective. Montrer que f,g,hsont bijectives. [002895]
Exercice 180 Parties saturées pour la relation d’équivalence associée à f Soit f :E→Fune application, etS ={X⊂Etq f−1(f(X)) =X}.
1. PourA⊂E, montrer que f−1(f(A))∈S.
2. Montrer queS est stable par intersection et réunion.
3. SoientX∈S etA⊂Etels queX∩A=∅. Montrer queX∩f−1(f(A)) =∅. 4. SoientX etY ∈S. Montrer queX etY\Xappartienent àS.
5. Montrer que l’applicationS →P(f(E)),A7→ f(A)est une bijection.
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Exercice 181 Conjugaison
SoitEun ensemble et f:E→Ebijective.
La conjugaison par f est l’applicationΦf :EE →EE,φ7→ f◦φ◦f−1 1. Montrer queΦf est une bijection deEE.
2. SimplifierΦf◦Φg. 3. SimplifierΦf(φ)◦Φf(ψ).
4. SoientI,S, les sous-ensembles deEE constitués des injections et des surjections. Montrer queI et S sont invariants parΦf.
5. Lorsqueφest bijective, qu’est-ce que
Φf(φ)−1
?
[002897]
Exercice 182 Ensembles équipotents SoientE,Fdeux ensembles. On dit que :
Eest moins puissant queF s’il existe une injection f : E→F Eest plus puissant queF s’il existe une surjection f : E→F EetF sont équipotents s’il existe une bijection f : E→F.
1. Démontrer que : (Eest moins puissant queF) ⇐⇒ (Fest plus puissant queE).
2. Montrer queN,N∗,{n∈Ntqnest divisible par 3}, etZsont deux à deux équipotents.
3. Démontrer queEest moins puissant queP(E).
4. Soit f :E→P(E)quelconque etA={x∈Etqx∈/ f(x)}. Prouver queA∈/ f(E).
5. Est-ce queEetP(E)peuvent être équipotents ?
6. SoitGun troisième ensemble. Si E est moins puissant queF, démontrer queEG est moins puissant queFG.
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Exercice 183 Affirmations
Soit f :E→F. Que pensez-vous des affirmations suivantes ? 1. ∀x∈E ∀y∈F f(x) =y.
2. ∀x∈E ∃y∈Ftel que f(x) =y.
3. ∃x∈Etel que ∀y∈F f(x) =y.
4. ∃x∈Etel que ∃y∈F tel que f(x) =y.
5. ∀y∈F ∀x∈E f(x) =y.
6. ∀y∈F ∃x∈Etel que f(x) =y.
7. ∃y∈Ftel que ∀x∈E f(x) =y.
8. ∃y∈Ftel que ∃x∈E tel que f(x) =y.
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