Exercice 210
IndicationH CorrectionH Vidéo [000220]
Exercice 212
Démontrer queCnkCnp−−kk=CkpCnp(pour 06k6p6n). En déduire que
n
∑
k=0
CnkCnp−−kk=2pCnp.
[000221]
Exercice 213
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
1. 2n+1 est divisible par 3 si et seulement sinest impair ; 2. 32n+1+24n+2est divisible par 7.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000222]
Exercice 214
Démontrer queCnp=Cnp−1+Cnp−−11pour 16p6n−1. [000223]
Exercice 215
Montrer que, pourpetnentiers naturels non nuls tels que 16p6n, on a : pCnp=nCnp−−11.
[000224]
Exercice 216
1. Montrer que :
p
∑
k=0
CnkCnp−−kk=2pCnp, où petnsont des entiers naturels avec 06p6n.
2. Avec les mêmes notations, montrer que
p
∑
k=0
(−1)kCnkCnp−−kk=0.
[000225]
Exercice 217
1. Soientn, petqdes entiers naturels tels que 06p,q6n.
2. Montrer que l’on aCnp=Cnqsi et seulement sip=qoup+q=n.
3. Résoudre l’équation
C2n+43n−1=C2n+4n2−2n+3.
[000226]
Exercice 218
Soientm,n∈N∗ et p∈N. En utilisant la formule du binôme, démontrer quem2p+1+n2p+1 est divisible par
m+n. [000227]
Exercice 219
En utilisant la formule du binôme montrer : (a)
Calculer le module et l’argument de(1+i)n. En déduire les valeurs de S1 = 1−Cn2+Cn4−Cn6+···
SoientEun ensemble non vide etX,Y une partition deE.
1. Montrer que l’application suivante est une bijection :
P(E)−→P(X)×P(Y) 1. Montrer que f est une bijection.
2. On suppose désormais queE est fini et Card(E) =n. On poseP0(E)l’ensemble des parties deE de cardinal pair et P1(E)l’ensemble des parties de E de cardinal impair. Montrer que Card(P0(E)) = Card(P1(E)).
3. Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que
n
1. Montrer par récurrence surnque
n
2. Démontrer que Γp+1n+1 =Γn+1p +Γnp+1 (on classera les (n+1)-uplets tels que x1+···+xn+1= p+1 suivant quex1=0 ou non).
3. En déduire queΓnp=Cn+p p−1.
CorrectionH [002905]
Exercice 232 Sommes de coefficients du binôme
Soientn,p∈N. Montrer que∑nk=0Cp+kp =Cp+n+1p+1 . [002906]
Exercice 233 Cnpmaximal
Soitn∈Nfixé. Déterminer pour quelle valeur deple nombreCnpest maximal (on étudiera le rapportCnp/Cnp+1).
CorrectionH [002907]
Exercice 234 Parité deCnp
Soit p∈N∗, etn=2p.
2. En cherchant le nombre de parties de cardinalcdansE∪F, oùE etF sont des ensembles disjoints de cardinauxaetb.
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
1. Calculer n0
+...et trouver la valeur commune des deux sommes.
3. Calculer les sommes n0
n+1 (considérer dans chaque cas un certain polynôme astucieusement choisi).
8. (a) Soit In =R01(1−x2)ndx. Trouver une relation de récurrence liant In et In+1 et en déduire In en fonction den(faire une intégration par parties dansIn−In+1).
(b) Démontrer l’identité valable pourn>1 : 1−(n1)
3 +(n2)
5 +...+ (−1)n (nn)
2n+1= 2.4...(2n) 1.3...(2n+1).
CorrectionH [005137]
Exercice 239 **
Quel est le coefficient dea4b2c3dans le développement de(a−b+2c)9.
CorrectionH [005138]
Exercice 240 **I
Développer(a+b+c+d)2et(a+b+c)3.
CorrectionH [005139]
Exercice 241 ***
Soit(n,a,b)∈N∗×]0,+∞[×]0,+∞[. Quel est le plus grand terme du développement de(a+b)n?
CorrectionH [005140]
Exercice 242 *
Résoudre dansN∗l’équation n1 + n2
+ n3
=5n.
CorrectionH [005141]
Exercice 243 *I Inégalité de BERNOULLI
Montrer que, pouraréel positif etnentier naturel donnés,(1+a)n>1+na.
CorrectionH [005147]
Exercice 244 ****I Soitn∈N∗.
1. Montrer qu’il existe(an,bn)∈(N∗)2tel que(2+√
3)n=an+bn√
3, puis que 3b2n=a2n−1.
2. Montrer queE((2+√
3)n)est un entier impair (penser à(2−√ 3)n)).
CorrectionH [005158]
Exercice 245 IT
1. (***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité∑Cn2k=∑Cn2k+1 ou encore démontrer di-rectement qu’un ensemble à n éléments contient autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair.
2. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identitékCkn=nCkn−−11. 3. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identitéC2nn =∑nk=0(Cnk)2.
CorrectionH [005278]
Exercice 246 ***
Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiersxi>0 de l’équation x1+x2+...+xn=k (k entier naturel donné) estCkn+k−1. (Noter an,k le nombre de solutions et procéder par récurrence.)
CorrectionH [005280]
12 102.02 Cardinal
Exercice 247
Montrer queZest dénombrable en utilisant l’application : φ:Z→N
(n7→2n−1 sin>0 ; n7→ −2n sinon.
[000235]
Exercice 248
PourA,Bdeux ensembles deEon noteA∆B= (A∪B)\(A∩B). PourE un ensemble fini, montrer : CardA∆B=CardA+CardB−2CardA∩B.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000236]
Exercice 249
SoitEun ensemble ànéléments, etA⊂Eun sous-ensemble à péléments. Quel est le nombre de parties deE qui contiennent un et un seul élément deA?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000237]
Exercice 250
Déterminer le nombre de mots distincts que l’on peut former avec 6 voyelles et 20 consonnes, chaque mot étant composé de 3 consonnes et 2 voyelles, en excluant les mots qui renferment 3 consonnes consécutives. [000238]
Exercice 251
On considère les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 52 cartes.
1. Combien y a-t-il de mains différentes ?
2. Combien y a-t-il de mains comprenant exactement un as ? 3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000239]
Exercice 252
SoientA,A0,B,B0quatre ensembles tels que :
Card(A) =Card(A0) =aet Card(B) =Card(B0) =b.
1. Déterminer le nombre de bijections deA×BsurA0×B0.
2. Supposons maintenant que{A,B}, {A0,B0}forment deux partitions deE, un ensemble. Déterminer le nombre de bijections f :E−→Etelles que f(A) =A0et f(B) =B0.
[000240]
Exercice 253
SoientAetBdeux sous ensembles finis d’un ensembleE.
1. Montrer que : Card(A∪B) =Card(A) +Card(B)−Card(A∩B).
2. Montrer par récurrence que si(Fi)16i6nest une famille de sous-ensembles finis de E alors : Card(
[n
i=1
Fi)6
n i=1
∑
Card(Fi) avec égalité si lesFisont deux à deux disjoints.
[000241]
Exercice 254
Soient 16k6n. Déterminer le nombre dek-uplets(i1, . . . ,ik)tels que 16i1< . . . <ik6n. [000242]
Exercice 255 Permutations
Combien y a-t-il de bijections f de{1, . . . ,12}dans lui-même possédant : 1. la propriété :nest pair⇒ f(n)est pair ?
2. la propriété :nest divisible par 3⇒ f(n)est divisible par 3 ? 3. ces deux propriétés à la fois ?
4. Reprendre les questions précédentes en remplaçantbijectionparapplication.
CorrectionH Vidéo [002912]
Exercice 256 Permutations de couples
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de 2npersonnes,nhommes etnfemmes, qui constituentn couples. Combien existe-t-il de dispositions. . .
1. au total ?
2. en respectant l’alternance des sexes ? 3. sans séparer les couples ?
4. en remplissant les deux conditions précédentes ?
CorrectionH [002913]
Exercice 257 Nombre d’opérations
1. Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble ànéléments ? 2. Combien sont commutatives ?
3. Combien ont un élément neutre ?
4. Combien sont commutatives et ont un élément neutre ?
CorrectionH [002914]
Exercice 258 Formule du crible SoientA1, . . . ,Annensembles finis.
1. (a) Calculer Card(A1∪A2∪A3)et Card(A1∪A2∪A3∪A4).
(b) Suggérer une formule pour Card(A1∪ ··· ∪An).
2. Démonstration de la formule : On noteE=Sni=1Ai, et pourx∈Eon pose fi(x) = (
1 six∈Ai
0 sinon.
(a) Soientx1, . . . ,xn∈R. Développer complètement p= (1−x1)× ··· ×(1−xn).
(b) En considérant la somme∑x∈E(1−f1(x)). . .(1−fn(x)), démontrer la formule1b.
3. Applications :
(a) Déterminer le nombre d’applications f:{1, . . . ,p} → {1, . . . ,n}non surjectives.
(b) Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble ànéléments ayant au moins un point fixe.
CorrectionH [002915]
Exercice 259 Inégalités pour la formule du crible SoientA1, . . . ,Annensembles finis, etE=Sni=1Ai.
1. Montrer que Card(E)6∑ni=1Card(Ai). Cas d’égalité ?
2. Montrer que Card(E)>∑ni=1Card(Ai)−∑16i<j6nCard(Ai∩Aj). Cas d’égalité ?
CorrectionH [002916]
Exercice 260 Couples(A,B)tels queA∪B=E
SoitEun ensemble fini ànéléments, etE ={(A,B)∈(P(E))2tqA∪B=E}. Chercher card(E).
CorrectionH [002917]
Exercice 261 Parties ne contenant pas d’éléments consécutifs
1. Quel est le nombre de parties àpéléments de{1, . . . ,n}ne contenant pas d’éléments consécutifs ? 2. Soittnle nombre de parties de{1, . . . ,n}de cardinal quelconque sans éléments consécutifs.
(a) Montrer quetn+2=tn+1+tn,t2n+1=tn2+tn2−1, ett2n=tn2−tn2−2. (b) Calculert50.
IndicationH CorrectionH [002918]
Exercice 262 Nombre de relations d’équivalence
SoitRnle nombre de relations d’équivalence sur un ensemble ànéléments.
1. Trouver une relation de récurrence entreRnet lesRk,k<n
(fixer un élément, et raisonner sur la classe d’équivalence de cet élément).
2. CalculerRnpourn66.
CorrectionH [002919]
Exercice 263 Equivalence entre fonctions
SoientE,F, deux ensembles non vides. On définit deux relations surX=FE par : f ∼g ⇐⇒ ∃φ:F→Fbijective tqg=φ◦f,
f ≡g ⇐⇒ ∀x,y∈E, f(x) = f(y) ⇐⇒ g(x) =g(y) . 1. Montrer que ce sont des relations d’équivalence.
2. Montrer que f ∼g⇒ f ≡g.
3. On suppose f ≡g. Montrer que f∼gdans les cas suivants : (a) Fest fini et f est surjective.
(b) Fest fini et f est quelconque.
(c) Eest fini.
4. Chercher un contrexemple pourE=F=N.
[002920]
Exercice 264 Très bon ordre
SoitEun ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide possède un plus grand et un plus petit élément.
Montrer queE est totalement ordonné et fini. [002921]
Exercice 265 Élément maximal
SoitEun ensemble ordonné. Un élémenta∈E est ditmaximals’il n’existe pas deb∈Etqb>a.
1. SiEest totalement ordonné, montrer que :maximal ⇐⇒ maximum.
2. E={1,2,3,4,5,6}ordonné par la divisibilité. Chercher les éléments maximaux.
3. SiEest fini, montrer qu’il existe un élément maximal.
4. SiEest fini et n’a qu’un seul élément maximal, montrer que cet élément est maximum.
[002922]
Exercice 266 Nombres de Catalan
Soientx1, . . . ,xnnréels. Pour calculer la sommex1+···+xn, on place des parenthèses de façon à n’avoir que des additions de deux nombres à effectuer. Soittn le nombre de manières de placer les parenthèses (on pose t1=1).
1. Déterminert2,t3,t4.
2. Trouver une relation de récurrence entretnett1, . . . ,tn−1.
CorrectionH [002923]
Exercice 267 ***
Combien y a-t-il de partitions d’un ensemble àpqéléments enpclasses ayant chacuneqéléments ? (SiEest un ensemble àpqéléments et siA1,...,Apsont pparties deE,A1,...,Apforment une partition deEsi et seulement si tout élément deE est dans une et une seule des partiesAi. Il revient au même de dire que la réunion desAi
estE et que lesAi sont deux à deux disjoints.)
CorrectionH [005279]
Exercice 268 *
Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres où 0 figure une fois et une seule ?
CorrectionH [005281]
Exercice 269 **I
On part du point de coordonnées(0,0) pour rejoindre le point de coordonnées(p,q) (p etqentiers naturels donnés) en se déplaçant à chaque étape d’une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins possibles ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [005284]
Exercice 270 ***I
De combien de façons peut-on payer 100 euros avec des pièces de 10, 20 et 50 centimes ?
CorrectionH [005285]
Exercice 271 ****
1. SoitE un ensemble fini et non vide. Soient n un entier naturel non nul et A1,..., An, n parties de E.
Montrer la « formule du crible » :
card(A1∪...∪An) =
n
∑
i=1
card(Ai)−
∑
16i1<i26n
card(Ai1∩Ai2) +...+ (−1)k−1
∑
16i1<i2<...<ik6n
card(Ai1∩Ai2∩...∩Aik) +...+ (−1)n−1card(A1∩...∩An).
2. Combien y a-t-il de permutationsσ de{1, ...,n}vérifiant∀i∈ {1, ...,n}, σ(i)6=i? (Ces permutations sont appelées dérangements (permutations sans point fixe)). Indication : noterAil’ensemble des permu-tations qui fixentiet utiliser 1).
On peut alors résoudre un célèbre problème de probabilité, le problème des chapeaux. n personnes laissent leur chapeau à un vestiaire. En repartant, chaque personne reprend un chapeau au hasard. Mon-trer que la probabilité qu’aucune de ces personnes n’ait repris son propre chapeau est environ 1e quand nest grand.
CorrectionH [005286]
Exercice 272 **
Combien y a-t-il de surjections de{1, ...,n+1}sur{1, ...,n}?
CorrectionH [005287]
Exercice 273 ***
Soit(P)un polygone convexe ànsommets. Combien ce polygone a-t-il de diagonales ? En combien de points distincts des sommets se coupent-elles au maximum ?
CorrectionH [005288]
Exercice 274 ***
1. On donnen droites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient concourantes. Déterminer le nombreP(n)de régions délimitées par ces droites.
2. On donnenplans de l’espace. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient concourants en une droite, ni quatre qui soient concourants en un point. Déterminer le nombre Q(n)de régions délimitées par ces plans.
CorrectionH [005289]
Exercice 275 ***
SoitPnkle nombre de partitions d’un ensemble ànéléments enkclasses.
Montrer quePnk=Pnk−−11+kPnk−1pour 26k6n−1.
Dresser un tableau pour 16k,n65.
Calculer en fonction dePnkle nombre de surjections d’un ensemble ànéléments sur un ensemble àpéléments.
CorrectionH [005290]
13 102.99 Autre
Exercice 276
1. (principe des bergers) SoientE,Fdeux ensembles avecFensemble fini, et f une surjection deE surF vérifiant :
∀y∈F,Card(f−1(y)) =p Montrer que E est alors un ensemble fini et Card(E) =pCard(F).
2. (principe des tiroirs) Soientα1,α2, . . . ,αp, p élements distincts d’un ensemble E, répartis entre une famille den sous-ensembles de E. Sin<pmontrer qu’il existe au moins un ensemble de la famille contenant au moins deux éléments parmi lesαi.(on pourra raisonner par l’absurde)
[000243]
Exercice 277
Montrer par récurrence surnque siA1, . . . ,An⊂Ealors Card(A1∪. . .∪An) =
n
∑
k=1
(−1)k+1 ∑
16i1<...<ik6n
Card(Ai1∩
. . .∩Aik). [000244]
Exercice 278
Soit pn(k)le nombre de permutations de{1, ...,n}ayantkpoints fixes, montrer alors que :
n
∑
k=0
k pn(k) =n!.
Interpréter. [000245]
Exercice 279
SoitEun ensemble de cardinalnm∈N∗, où(n,m)∈(N∗)2, etPn,ml’ensemble des partitions deE ennparties àméléments chacune. Montrer que :
Nn,m=card(Pn,m) = (nm)!
n!(m!)n.
(Indication: on peut procéder par récurrence.) [000246]
Exercice 280
L’histoire : n personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas formé par tous les présents apportés. Quelle est la probabilité qu’au moins une personne reparte avec son cadeau ? Que devient cette probabilité quand le nombre de personnes devient très grand, i.e. : n→∞? (On remarquera que l’intuition met en évidence deux effets contradictoires : plus de personnes c’est plus de proba qu’une personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c’est aussi plus de cadeaux, donc une proportion plus élevée de cadeaux “acceptables”).
Soit Sn =σ({1, . . . ,n}). On dit que σ ∈Sn est un dérangement si ∀i∈ {1, . . . ,n} σ(i)6=i. On note Ai = {σ∈Sn/σ(i) =i}etDnl’ensemble des dérangements.
1. Calculer Card(Ai).
2. ExprimerSn−Dnen fonction desAi.
3. En déduire Card(Dn)(on pourra utiliser l’exercice277).
4. Déterminer la limite deCardDn
CardSn
. (on rappelle que lim
n→+∞(1+x+. . .+xn!n) =ex).
[000247]
Exercice 281
SoitEun ensemble de cardinaln,Re une relation d’équivalence surE, aveckclasses d’équivalences etrcouples (x,y)∈E2tels quexRey.Montrer quen26kr. [000248]
Exercice 282 Dénombrement deN2 Soit
f :N2→N, (p,q)7→ 1
2(p+q)(p+q+1) +p.
1. Montrer pourq>0 : f(p+1,q−1) =f(p,q) +1 et f(0,p+1) =f(p,0) +1.
2. Montrer que : f(0,p+q)6 f(p,q)< f(0,p+q+1).
3. Montrer queg:n7→ f(0,n)est strictement croissante.
4. Montrer que f est injective (on supposera f(p,q) = f(p0,q0)et on montrera dans un premier temps que p+q=p0+q0).
5. Montrer que f est surjective.
[003051]
Exercice 283 Parties dénombrables
Soit(nk)une suite d’entiers naturels. On dit que la suite est : - presque nulle s’il existe p∈Ntq∀k>p,nk=0
- stationnaire s’il existe p∈Ntq∀k>p,nk=np.
Montrer que les ensembles des suites presque nulles et des suites stationnaires sont dénombrables. [003052]
Exercice 284 Propriétés du pgcd et du ppcm
Soienta,b∈N. On posem=ppcm(a,b)etd=pgcd(a,b).
1. Soitxun multiple commun àaetb. En écrivant la division euclidienne dexparm, montrer quem|x.
2. Soitxun diviseur commun àaetb. Montrer que ppcm(x,d)est aussi un diviseur commun àaetb. En déduirex|d.
3. Comment qualifiermetdpour la relation d’ordre de divisibilité ?
[003053]
Exercice 285 Bases de numération
Soit b∈N\ {0,1} et p∈N. Montrer que pour tout entier n∈ {0, . . . ,bp−1}, il existe un unique p-uplet (n0, . . . ,np−1)d’entiers naturels tel que :
∀k<p,nk∈ {0, . . . ,b−1}, et n=
p−1
∑
k=0
nkbk.
[003054]
Exercice 286 Bases de numération
Soitn∈N∗. Montrer qu’il existe p∈Netn0,n1, . . . ,np∈ {1,2}uniques tels quen=∑k=0p nk2k. [003055]
Exercice 287 Bases de numération
Soientn,p∈N∗avecn<p!. Montrer qu’il existe un uniquep-uplet(n1, . . . ,np)d’entiers naturels tel que
∀k6p, nk6k, et n=
p
∑
k=1
nkk!.
[003056]
Exercice 288 Récurrence d’ordre 2 On notean=25n+23n+4.
1. Trouvera,b∈Ztels que :∀n∈N,an+2=a.an+1+b.an. 2. En déduire que :∀n∈N, anest divisible par 17.
CorrectionH [003057]
Exercice 289 Ordre surNN
SoitE=NN. Pour f,g∈Eavec f 6=g, on notenf,g=min{ktq f(k)6=g(k)}. On ordonneEpar :
∀ f,g∈E, fg ⇐⇒ (f=g)ou f(nf,g)<g(nf,g) . 1. Montrer que c’est une relation d’ordre total.
2. Montrer que toute partie de E non vide admet une borne inférieure et toute partie de E non vide et majorée admet une borne supérieure.
[003058]
Exercice 290 f◦f(n) =n+k
On veut montrer qu’il n’existe pas d’application f:N→Nvérifiant :∀n∈N, f(f(n)) =n+1987.
(Olympiades 1987)
Soit f une telle application. On pose :
E={0, . . . ,1986}, F=N\E, G= f(N)∩E, H=E\G.
Démontrer successivement : 1. f est injective, 2. f(F)⊂F, 3. f−1(F) =F∪G, 4. f−1(G) =H,
puis obtenir une contradiction. [003059]
Exercice 291 f(f(n))<f(n+1)
Soit f :N→Ntelle que :∀n∈N, f(f(n))< f(n+1). On veut montrer que f =idN. (Olympiades 1977)
1. Montrer que∀n∈N,∀x>n, f(x)>n.
2. Soitn∈Neta>ntel que f(a) =min{f(x)tqx>n}. Montrer quea=n.
3. En déduire que f est strictement croissante, puis conclure.
CorrectionH [003060]
Exercice 292 ***I
Quelle est la probabilitépnpour que dans un groupe denpersonnes choisies au hasard, deux personnes au moins aient le même anniversaire (on considèrera que l’année a toujours 365 jours, tous équiprobables). Montrer que pourn>23, on a pn> 12.
CorrectionH [005282]
Exercice 293 ***
Montrer que le premier de l’an tombe plus souvent un dimanche qu’un samedi.
CorrectionH [005283]