z+1 z
=zn+ 1 zn
Montrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l’intervalle[−2,2].
IndicationH CorrectionH Vidéo [006961]
Exercice 813
1. SoitP=Xn+an−1Xn−1+···+a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0.
2. Les polynômesX3−X2−109X−11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ?
CorrectionH Vidéo [006962]
Exercice 814
Soienta0, . . . ,andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0, . . . ,n, on pose Li(X) =
∏
16j6n j6=i
X−aj
ai−aj
(lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).
Soientb0, . . . ,bndes réels fixés. Montrer queP(X) =∑ni=0biLi(X)est l’unique polynôme de degré inférieur ou égal ànqui vérifie :
P(aj) =bj pour tout j=0, . . . ,n.
Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que
P(0) =1 et P(1) =0 et P(−1) =−2 et P(2) =4.
CorrectionH Vidéo [006963]
28 105.04 Fraction rationnelle
Exercice 815
Décomposer les fractions rationnelles suivantes : 3
X3+1 surCpuis surR X3
X3−1 surR
X2+X+1
(X−1)2(X+1)2 surR F(X) = 1
(X3−1)2 surCen remarquant queF(jX) =F(X) X7+1
(X2+1)(X2+X+1) surR 3X5+2X4+X2+3X+2
X4+1 surR 1
X2n+1 surCpuis surR X3+X
(X2+X+1)2 surR
[000443]
Exercice 816
1. Décomposer X3−3XX−2+X1 −4 en éléments simples surR. 2. Décomposer 2XX3+X2−3X2−+2X+1 en éléments simples surR.
3. Décomposer 2XX3+X2−2X2−+1X+1 en éléments simples surR. 4. Décomposer X4+2XX2−12+1en éléments simples surR. 5. Décomposer X2X−4 en éléments simples surR.
6. Décomposer X5X+X3−4X+1en éléments simples surR. 7. Décomposer XX5(X+X−41)+14 en éléments simples surR.
8. Décomposer (XX−51)+X3(X+1)4+1 2 en éléments simples surR. 9. Décomposer (X2X+X7+3+2)3 en éléments simples surR. 10. Décomposer (3−X2i)X2+iX+2−5+3i en éléments simples surC.
11. Décomposer XX2+i+i en éléments simples surC.
12. Décomposer (XX+i)2 en éléments simples surC. 13. Décomposer XX24+1+1 en éléments simples surRet surC. 14. Décomposer X4X+1 en éléments simples surRet surC. 15. Décomposer X2X+X+14+1 en éléments simples surRet surC. 16. Décomposer X5X+X+14−1 en éléments simples surRet surC.
17. Décomposer X5X+X+16−1 en éléments simples surRet surC. 18. Décomposer X4(XX23+X+1)−2 2 en éléments simples surRet surC. 19. Décomposer (X2+1)(XX 2+4) en éléments simples surRet surC. 20. Décomposer (X2+1)(XX2−32+4) en éléments simples surRet surC.
CorrectionH [000444]
Exercice 817
Décomposition en éléments simplesΦ=2x4+x3+3x2−6x+1 2x3−x2 .
IndicationH CorrectionH [000445]
Exercice 818
Décomposition en éléments simplesΦ=2x5−8x3+8x2−4x+1 x3(x−1)2 .
IndicationH CorrectionH [000446]
Exercice 819
Décomposition en éléments simplesΦ=4x6−2x5+11x4−x3+11x2+2x+3 x(x2+1)3 .
CorrectionH [000447]
Exercice 820
Soient a etb deux réels distincts etF(X) = 1
(X−a)n(X−b)n. En utilisant la formule de Taylor en a pour
f(X) = (X−a)nF(X), décomposerFsurR. [000448]
Exercice 821
Donner une CNS sur f ∈C(X)pour qu’il existeg∈C(X)tel que f=g0. [000449]
Exercice 822
On appelle valuation une applicationv:C(X)→Z∪{∞}telle que :λ ∈C∗Vv(λ) =0,v(0) =∞,∃a∈C(X): v(a) =1
∀(f,g)∈C(X)2,v(f g) =v(f) +v(g)
∀(f,g)∈C(X)2,v(f+g)>min(v(f),v(g))
(avec les convention évidentesk+∞=∞,∀k>1 :k∞=∞,0∞=0, etc.) Déterminer toutes les valuations de C(X)et montrer la formule (la somme portant sur toutes les valuations) :
∀f ∈C(X)− {0},
∑
v
v(f) =0.
[000450]
Exercice 823 Substitution de fractions
SoitF∈K(X)non constante etP∈K[X],P6=0.
1. Montrer queP◦F6=0.
2. Montrer que l’applicationK(X)→K(X),G7→G◦F est un morphisme injectif d’algèbre.
3. A quelle condition est-il surjectif ?
4. Montrer que tous les isomorphismes de corps deK(X)sont de cette forme.
CorrectionH [003270]
Exercice 824 Multiplicité des pôles
SoientF,G0, . . . ,Gn−1∈K(X)telles queFn+Gn−1Fn−1+···+G0=0.
Montrer que l’ensemble des pôles deF est inclus dans la réunion des ensembles des pôles desGi. [003271]
Exercice 825 Ensemble image d’une fonction rationelle SoitF∈C(X). ÉtudierF(C\ {pôles}).
CorrectionH [003272]
Exercice 826 F◦Gest un polynôme Trouver tous les couples(F,G)∈ C(X)2
tels queF◦G∈C[X](utiliser l’exercice825).
CorrectionH [003273]
Exercice 827 Fractions invariantes
1. SoitF ∈C(X)telle queF(e2iπ/nX) =F(X). Montrer qu’il existe une unique fractionG∈C(X) telle queF(X) =G(Xn).
2. Application : Simplifier∑nk=0−1X+e
2ikπ/n
X−e2ikπ/n.
CorrectionH [003274]
Exercice 828 Fractions invariantes SoitH={F∈K(X)tel queF(X)=F(X1)}.
1. Montrer que :F∈H⇔ ∃G∈K(X)tel queF(X)=G
X+X1
. 2. Montrer queHest un sous-corps deK(X).
3. Que vaut dimH(K(X))? Donner une base deK(X)surH.
CorrectionH [003275]
Exercice 829 Formule de Taylor
SoitF∈K(X)définie ena∈K. Démontrer qu’il existe une fractionGndéfinie enatelle que : F(X) =F(a) + (X−a)F0(a) +···+ (X−a)n−1F(n−1)(a)
(n−1)! + (X−a)nGn(X).
[003276]
Exercice 830 Dérivée de 1/(x2+1)
SoitF=X21+1. Montrer qu’il existe un polynômePn∈Zn[X]tel queF(n)=(X2P+1)n n.
Montrer que les racines dePnsont réelles et simples. [003277]
Exercice 831 Fractions de degré négatif
SoitA={F∈K(X)tels que degF60}. Démontrer queAest une sous-algèbre deK(X).
Chercher ses idéaux.
CorrectionH [003278]
Exercice 832 Décompositions pratiques des fractions rationnelles Éléments de 1ère espèce
1
x8
[003279]
Exercice 833 Ensi PC 1999
Décomposer en éléments simples surRpuis surC: (X2+2X+1)(X1 3−1).
CorrectionH [003280]
Exercice 834 Calcul de dérivées
Calculer les dérivéesp-ièmes des fractions suivantes : 1. X(X+1)...(X+n)1 .
2. X2−2X1cosα+1 (α6≡0(modπ)).
3. X2−2X1shα−1 (α∈R).
CorrectionH [003281]
Exercice 835 Sommation de séries
A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer : 1. ∑∞n=1 1
n(n+1). 2. ∑∞n=1n(n+1)(n+2)1 . 3. ∑∞n=1n4+nn2+1.
CorrectionH [003282]
Exercice 836 Partie polaire pour un pôle d’ordre 2
SoitF(X) =R(X1)= (X−a)12Q(X) avecQ(a)6=0. Chercher la partie polaire deF en aen fonction deQpuis en fonction deR.
CorrectionH [003283]
Exercice 837
Soienta1, . . . ,an∈Kdistincts etP= (X−a1). . .(X−an).
1. Décomposer en éléments simples la fraction(1+XP22)n. 2. Montrer que les coefficients des X−1a
i sont tous nuls si et seulement si : (1+X2)P00−2nX P0+n(n+ 1)P=0.
CorrectionH [003284]
Exercice 838 Pà racinesxisimples⇒∑xki/P0(xi) =0 SoitP∈Cn[X] (n>2)ayantnracines distinctes :x1, . . . ,xn.
1. Démontrer que∑ni=1P0(x1i)=0.
2. Calculer∑ni=1 x
k i
P0(xi) pour 06k6n−1.
CorrectionH [003285]
Exercice 839 Les racines deP0sont des barycentres des racines deP SoitP∈C[X]de racinesx1,x2, . . . ,xnavec les multiplicitésm1,m2, . . . ,mn.
1. Décomposer en éléments simples PP0.
2. En déduire que les racines deP0sont dans l’enveloppe convexe dex1, . . . ,xn.
CorrectionH [003286]
Exercice 840 F0(X)/F(X) =. . .
Soienta1, . . . ,an∈Kdistincts etα1, . . . ,αn∈K. Existe-t-ilF∈K(X)telle que : FF0(X(X)) =∑nk=1Xα−ka
k? [003287]
Exercice 841 F(X+1)−F(X) =. . .
Trouver les fractionsF∈R(X)telles que :F(X+1)−F(X) =X(X−X1)(X+1)+3 .
CorrectionH [003288]
Exercice 842 Inversion de la matrice(1/(ai−bj))
Soient a1, . . . ,an,b1, . . . ,bn, etc des scalaires distincts. On note A la matrice carrée
1 ai−bj
et Bla matrice colonne
1 ai−c
. Montrer que l’équation AX =B possède une solution unique en considérant une fraction rationnelle bien choisie.
CorrectionH [003289]
Exercice 843 Racines de(X2+1)PP0+X(P2+P02)
SoitP∈R[X]ayantnracines positives distinctes (entre autres).
Factoriser le polynômeQ= (X2+1)PP0+X(P2+P02)en deux termes, faire apparaître PP0, et Démontrer que Qadmet au moins 2n−2 racines positives.
CorrectionH [003290]
Exercice 844 Inégalité
SoitP∈R[X]unitaire de degrénetQ(X) =X(X−1). . .(X−n).
Calculer∑nk=0∏P(k)
i6=k(k−i) et en déduire l’existence dek∈[[0,n]]tel que|P(k)|> n!2n.
CorrectionH [003291]
Exercice 845 ENS MP 2002
SoitP∈C[X]admettant deux racines distinctes et tel queP00diviseP. Montrer quePest à racines simples.
SoitP∈R[X]admettant deux racines réelles distinctes, et tel queP00diviseP. Montrer quePest scindé surR et à racines simples.
CorrectionH [003292]
Exercice 846 Division deX3−1 parX2+1
1. Effectuer la division suivant les puissances croissantes deX3−1 parX2+1 à l’ordre 3.
2. En déduire une primitive de f :x7→ x4x(x3−2+1)1 .
CorrectionH [003293]
Exercice 847 Division de 1 par(1−X)2
1. Effectuer la division suivant les puissances croissantes à un ordrenquelconque de 1 par(1−X)2. 2. En déduire 1+2 cosθ+3 cos 2θ+···+ncos(n−1)θ,n∈N∗,θ∈R.
CorrectionH [003294]
Exercice 848 Division de 1−X2par 1−2Xcost+X2
1. Effectuer la division suivant les puissances croissantes à un ordre queclonque de 1−X2par 1−2Xcosθ+ X2.
2. En déduire la valeur de 1+2∑nk=1coskθ, (θ6≡0(mod 2π)).
CorrectionH [003295]
Exercice 849 Coefficients de Bézout
SoientP=1+2X+3X2+3X3+2X4+X5etQ=X5. 1. Vérifier quePetQsont premiers entre eux.
2. TrouverU,V∈K[X]tels queU P+V Q=1 (utiliser une division suivant les puissances croissantes).
CorrectionH [003296]
Exercice 850
Décomposer en éléments simples dansC(X)les fractions rationnelles suivantes 1) XX22+3X−3X+5+2 2) (X−1)(XX2−+12)(X−3) 3) X(X1−1)2
4) (X−1)X22+1(X+1)2 5) (X−2)31(X+2)3 6) (X3X−61)2
7/ X61+1 8) X5−3X4+5XX23+3−7X2+6X−2 9) (X2+1)X3(X2−1)
10)X5 X6+1
−X4+X3−X2+X−1 11) (X2X+X7+1+1)3 12) X(X X2+1
−1)4(X2−2)2
13)(X+1)71−X7−1.
CorrectionH [005335]
Exercice 851
Décomposer en éléments simples dansC(X)les fractions rationnelles suivantes 1) Xn1−1 2) (X−1)(X1 n−1) 3) (X−1)(X−2)...(Xn! −n) 4) X4−2X2Xcos(2a)+12 5) X2n1+1.
CorrectionH [005336]
Exercice 852
Soit Un l’ensemble des racinesn-ièmes de l’unité dansC. Ecrire sous forme d’une fraction rationnelle (ou encore réduire au même dénominateur)F=∑ω∈Un ωX+1
ω2X2+ωX+1.
CorrectionH [005337]
Exercice 853
SoitF=PQoùPetQsont des polynômes tous deux non nuls et premiers entre eux. Montrer queF est paire si et seulement siPetQsont pairs. Etablir un résultat analogue pourF impaire.
CorrectionH [005338]
Exercice 854
Montrer que(X1−a)a∈Cest libre dansK(X).
CorrectionH [005339]
Exercice 855
Calculer la dérivéen-ième de X21+1.
CorrectionH [005340]
Exercice 856
On poseP=a(X−x1)...(X−xn)où lesxi sont des complexes non nécessairement deux à deux distincts eta est un complexe non nul.
Calculer PP0. De manière générale, déterminer la décomposition en éléments simples de PP0 quand P est un polynôme scindé. Une application : déterminer tous les polynômes divisibles par leur dérivées.
CorrectionH [005341]
Exercice 857
Existe-t-il une fraction rationnelleF telle que F(X)2
= (X2+1)3 ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [006964]
Exercice 858
SoitF=QP une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu’il existe une fraction ration-nelleGtelle que
IndicationH CorrectionH Vidéo [006965]
Exercice 859
Soitn∈N∗etP(X) =c(X−a1)···(X−an)(où lesaisont des nombres complexes et oùc6=0).
1. Exprimer à l’aide dePet de ses dérivées les sommes suivantes :
n
IndicationH CorrectionH Vidéo [006966]
Exercice 860
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, par identification des coefficients.
1. F=X2X−4
2. G=X3−3XX−2+X1 −4 3. H=2XX3+X2−2X2−+1X+1
4. K=XX4+1+1
IndicationH CorrectionH Vidéo [006967]
Exercice 861
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, en raisonnant par substitution pour obtenir les coefficients.
1. F=X5X+X3−4X+1
2. G=(XX−1)3+X+13(X+1)
3. H=(X2+1)(XX 2+4)
4. K=2X4+X2X3+3X3−X2−2 6X+1
IndicationH CorrectionH Vidéo [006968]
Exercice 862
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR. 1. À l’aide de divisions euclidiennes successives :
F=4X6−2X5+11X4−X3+11X2+2X+3 X(X2+1)3
2. À l’aide d’une division selon les puissances croissantes :
G=4X4−10X3+8X2−4X+1 X3(X−1)2
3. Idem pour :
H=X4+2X2+1 X5−X3 4. A l’aide du changement d’indéterminéeX=Y+1 :
K=X5+X4+1 X(X−1)4
IndicationH CorrectionH Vidéo [006969]
Exercice 863
1. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surC.
(3−2i)X−5+3i X2+iX+2
X+i X2+i
2X (X+i)2 2. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, puis surC.
X5+X+1 X4−1
X2−3 (X2+1)(X2+4)
X2+1 X4+1
CorrectionH Vidéo [006970]
Exercice 864
On poseQ0= (X−1)(X−2)2,Q1=X(X−2)2 etQ2=X(X−1). À l’aide de la décomposition en éléments simples de X(X−1)(X1 −2)2, trouver des polynômesA0,A1,A2tels queA0Q0+A1Q1+A2Q2=1. Que peut-on en déduire surQ1,Q2etQ3?
CorrectionH Vidéo [006971]
Exercice 865
SoitTn(x) =cos narccos(x)
pourx∈[−1,1].
1. (a) Montrer que pour toutθ∈[0,π],Tn(cosθ) =cos(nθ).
(b) CalculerT0etT1.
(c) Montrer la relation de récurrenceTn+2(x) =2xTn+1(x)−Tn(x), pour toutn>0.
(d) En déduire queTnune fonction polynomiale de degrén.
2. SoitP(X) =λ(X−a1)···(X−an)un polynôme, où lesaksont deux à deux distincts etλ6=0. Montrer que
1 P(X) =
n
∑
k=1 1 P0(ak)
X−ak 3. Décomposer T1
n en éléments simples.
IndicationH CorrectionH [006972]