Exercice 519
1. Pour quelles valeurs dez∈Ca-t-on|1+iz|=|1−iz|. On considère dansCl’équation 1+iz1−izn
=1+ia1−ia,oùa∈R.Montrer, sans les calculer, que les solutions de cette équation sont réelles. Trouver alors les solutions.
Calculer les racines cubiques de
√3+i
√3−i.
[000039]
Exercice 520
Pour tout nombre complexeZ, on poseP(Z) =Z4−1.
1. FactoriserP(Z)et en déduire les solutions dansCde l’équationP(Z) =0.
2. Déduire de 1. les solutions de l’équation d’inconnuez:
((2z+1)/(z−1))4=1
[000040]
Exercice 521
Résoudre dansCl’équation suivante : z4= (1−i)/ 1+i√ 3
. [000041]
Exercice 522
Résoudre dansCl’équationz3=14(−1+i)et montrer qu’une seule de ses solutions a une puissance quatrième réelle.
CorrectionH [000042]
Exercice 523
Trouver les racines cubiques de 2−2iet de 11+2i.
CorrectionH Vidéo [000043]
Exercice 524 Calculer
1+i√ 3
√ 2 2(1+i)
2
algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire cos12π, sin12π, tan12π, tan5π12. Résoudre dansCl’équationz24=1.
CorrectionH [000044]
Exercice 525
Trouver les racines quatrièmes de 81 et de−81.
CorrectionH [000045]
Exercice 526
1. Montrer que, pour toutn∈N∗et tout nombrez∈C, on a : (z−1) 1+z+z2+...+zn−1
=zn−1, et en déduire que, siz6=1, on a :
1+z+z2+...+zn−1=zn−1 z−1. 2. Vérifier que pour toutx∈R, on a exp(ix)−1=2iexp ix2
sin 2x . 3. Soitn∈N∗. Calculer pour toutx∈Rla somme :
Zn=1+exp(ix) +exp(2ix) +...+exp((n−1)ix), et en déduire les valeurs de
Xn = 1+cos(x) +cos(2x) +...+cos((n−1)x) Yn = sin(x) +sin(2x) +...+sin((n−1)x).
CorrectionH [000046]
Exercice 527
Calculer la sommeSn=1+z+z2+···+zn.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000047]
Exercice 528
1. Résoudre z3 =1 et montrer que les racines s’écrivent 1, j, j2. Calculer 1+j+j2 et en déduire les racines de 1+z+z2=0.
2. Résoudrezn=1 et montrer que les racines s’écrivent 1,ε, . . . ,εn−1. En déduire les racines de 1+z+ z2+···+zn−1=0. Calculer, pour p∈N, 1+εp+ε2p+···+ε(n−1)p.
CorrectionH Vidéo [000048]
Exercice 529 Résoudre dansC:
1. z5=1.
2. z5=1−i.
3. z3=−2+2i.
4. z5=z.¯
[000049]
Exercice 530
1. Calculer les racinesn-ièmes de−iet de 1+i.
2. Résoudrez2−z+1−i=0.
3. En déduire les racines dez2n−zn+1−i=0.
[000050]
Exercice 531
Soitεune racinen-ième de l’unité ; calculer
S=1+2ε+3ε2+···+nεn−1.
[000051]
Exercice 532
Résoudre, dansC, l’équation(z+1)n= (z−1)n. [000052]
Exercice 533
Résoudre, dansC, l’équationzn=zoùn>1. [000053]
Exercice 534
Résoudre les équations suivantes :
z6=1+i√ 3 1−i√
3 ; z4= 1−i 1+i√
3.
[000054]
Exercice 535
Résoudrez6+27=0. (z∈C) [000055]
Exercice 536
1. Soientz1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.
Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner, sous forme polaire, les solutions dansCde :
z6+ (7−i)z3−8−8i=0.
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)
CorrectionH Vidéo [000056]
Exercice 537
Résoudre dansCl’équation 27(z−1)6+ (z+1)6=0. [000057]
Exercice 538
Déterminer les racines quatrièmes de−7−24i. [000058]
Exercice 539
Soitβ∈Ctel queβ7=1 etβ6=1. Montrer β
1+β2+ β2
1+β4+ β3
1+β6 =−2
[000059]
Exercice 540 Racines de l’unité Résoudre :
1. (z+1)n= (z−1)n. 2. (z+1)n=zn=1.
3. z4−z3+z2−z+1=0.
4. 1+2z+2z2+···+2zn−1+zn=0.
5. 1+ix1−ixn
=1+i1−itanatana. 6. x=xn−1.
7. z+1z−13
+ zz+1−13
=0.
CorrectionH [002939]
Exercice 541 Sommes sur les racines de l’unité Soitω=exp2iπn . Calculer :
1. ∑nk=0−1(1+ωk)n. 2. ∑nk=0−1∑n`=k−1C`kωk+`.
CorrectionH [002940]
Exercice 542 Somme des puissancesp-èmes des racines de l’unité Soientn,p∈N∗etUnle groupe des racinesn-èmes de 1.
1. Calculer∑x∈Unxp.
2. SoitPun polynôme à coefficients complexes de degré inférieur ou égal àn−1 etM=max{|P(x)|,x∈ Un}. Montrer que tous les coefficients dePsont bornés parM.
CorrectionH [002941]
Exercice 543 ∑ωk2
Soientn∈N∗,ω=e2iπ/netZ=∑nk=0−1ωk
2. On demande de calculer|Z|2. Pour cela. . .
1. Écrire|Z|2comme une somme double.
2. Regrouper les termes diagonalement en tenant compte de la périodicité de la fonctionk7→ωk. 3. Terminer le calcul.
CorrectionH [002942]
Exercice 544 e2iπ/7
Soitz=exp2iπ7 etu=z+z2+z4,v=z3+z5+z6. 1. Calculeru+vetu2.
2. En déduire sin2π7 +sin4π7 +sin8π7.
CorrectionH [002943]
Exercice 545 Calcul de produit Simplifierx=∏np=2p
3−1
p3+1 en utilisant 1,j,j2.
CorrectionH [002944]
Exercice 546 ***
Soitα∈
−π2,π2
donné. Résoudre dansCl’équation 1+iz1−iz3
=1+i1−itanαtanα.
CorrectionH [005122]
Exercice 547 **
Résoudre dansCl’équation(z2+1)n−(z−1)2n=0.
CorrectionH [005126]
Exercice 548 **T
Déterminer les racines quatrièmes deiet les racines sixièmes de −4
1+i√ 3.
CorrectionH [005131]
Exercice 549 **I
On considère l’équation(E) : (z−1)n−(z+1)n=0 oùnest un entier naturel supérieur ou égal à 2 donné.
1. Montrer que les solutions de(E)sont imaginaires pures.
2. Montrer que les solutions de(E)sont deux à deux opposées.
3. Résoudre(E).
CorrectionH [005135]
Exercice 550 ***I
Calculeran=∏nk=1sinkπn,bn=∏nk=1cos(a+kπn)etcn=∏nk=1tan(a+kπn )en éliminant tous les cas particuliers concernanta.
CorrectionH [005313]
Exercice 551 Racines
1. Déterminer les racines carrées et les racines cubiques dei.
2. Déterminer les racines cubiques de 1.
3. Déterminer les racines carrées de√ 3+3i.
4. Résoudre les équationsz2+2z−2+4i=0 etz6−z3+1=0.
[007521]
22 104.04 Géométrie
Exercice 552
Déterminer l’ensemble des nombres complexesztels que : 1.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000060]
Exercice 553
1. Résoudre dansCl’équation (1)(z−2)/(z−1) =i.On donnera la solution sous forme algébrique.
2. SoitM,A,etBles points d’affixes respectivesz,1,2. On suppose queM6=Aet queM6=B. Interpréter géométriquement le module et un argument de(z−2)/(z−1)et retrouver la solution de l’équation (1).
[000061]
Exercice 554
Le planPest rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensembleCdes nombres complexes par M(x,y)7→x+iy=z,
oùzest appelé l’affixe deM.Soit f :PrgPqui à tout pointMd’affixezassocieM0d’affixez0=zz+i−i. 1. Sur quel sous ensemble deP, f est-elle définie ?
2. Calculer|z0|pourzaffixe d’un pointMsitué dans le demi plan ouvert H:={M(x,y)∈P|y>0.}? 3. En déduire l’image par f deH.
[000062]
Exercice 555
Le planPest rapporté à un repère orthonormé et on identifiePà l’ensemble des nombres complexesCpar M(x,y)7→x+iy=z,
oùzest appelé l’affixe deM.Soitg:PrgPqui à tout pointMd’fixez6=−1 associeg(M)d’affixez0= 11+z−z. 1. Calculerz0+z¯0pour|z|=1.
2. En déduire l’image du cercle de rayon 1 de centre 0 privé du point de coordonnées(−1,0)par l’appli-cationg.
[000063]
Exercice 556
SoitCla courbe d’équationx2−xy+y2=0 dans le planPrapporté à un repère orthonormé.
1. La courbeCa-t-elle des points d’intersection avec le rectangle ouvertRdont les sommets sont : A = (−3,2)
B = (4,2) C = (4,−1) D = (−3,−1).
2. Même question pour le rectangle ferméR0de sommets :
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes z tels que
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexesztels que
1. SoitA, B,C trois points du plan complexe dont les affixes sont respectivement a, b, c. On suppose quea+jb+j2c=0 ; montrer que ABC est un triangle équilatéral (jet j2 sont les racines cubiques complexes de 1 — plus précisément j=−1+i2√3). Réciproque ?
2. ABCétant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles équilatéraux directs BODetOCE, ce qui détermine les pointsDetE(Oest l’origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilatèreADOE? Comparer les trianglesOBC,DBAetEAC.
CorrectionH [000067]
Exercice 560
SoitHune hyperbole équilatère de centreO, etMun point deH. Montrer que le cercle de centreMqui passe par le symétrique deMpar rapport àOrecoupeHen trois points qui sont les sommets d’un triangle équilatéral.
Indications :en choisissant un repère adéquat,Ha une équation du typexy=1, autrement dit en identifiant le plan deH au plan complexe,z2−z¯2=4i. En notantal’affixe deM, le cercle a pour équation|z−a|2=4aa.¯ On poseZ=z−aet on élimine ¯Zentre les équations du cercle et de l’hyperbole. En divisant parZ+2apour éliminer la solution déjà connue du symétrique deM, on obtient une équation du typeZ3−A=0. [000068]
Exercice 561
Montrer que pouru,v∈C, on a|u+v|2+|u−v|2=2(|u|2+|v|2).Donner une interprétation géométrique.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000069]
Exercice 562
1. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan complexe, d’affixeztels que :z(z−1) =z2(z−1).
2. Déterminer l’ensemble des pointsM du plan complexe, d’affixez tels que les images de 1, z, 1+z2 soient alignées.
[000071]
Exercice 564
Soits= (1−z)(1−iz).
1. Déterminer l’ensemble des images des nombres complexesztel quessoit réel.
2. Déterminer l’ensemble des images des nombres complexesztel quessoit imaginaire pur.
[000072]
Exercice 565
1. SoitAun point du plan d’affixeα=a+ib. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixez vérifie|z|2=αz¯+α¯z.
2. Quelles conditions doivent vérifier les pointsM1etM2d’affixesz1etz2pour quezz1
2 soit réel ?
3. Déterminer les nombres complexesztels que les points du plan complexe d’affixesz,iz,iforment un triangle équilatéral.
4. Soitz=a+ib, mettre l’expression zz+1−1 sous formeA+iB, . Déterminer l’ensemble des points du plan complexe d’affixeztelle que l’argument de zz+1−1 soitπ2.
[000073]
Exercice 566
Déterminer les nombres complexesz tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixesz,z2,z3 soit
rectangle au point d’affixez. [000074]
Exercice 567
Déterminer les nombres complexesz∈C∗tels que les points d’affixesz,1z et(1−z)soient sur un même cercle
de centre O. [000075]
Exercice 568
Résoudre dansCle système :
|z−1|61,|z+1|61.
[000076]
Exercice 569
Soit(A0,A1,A2,A3,A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé(O,−→u,−→v)
avec−→u =−−→
OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexesC.
A0
A3
A4 A1 A2
O 1
i
1. Donner les affixesω0, . . . ,ω4des pointsA0, . . . ,A4. Montrer queωk=ω1kpourk∈ {0,1,2,3,4}. Mon-trer que 1+ω1+ω12+ω13+ω14=0.
2. En déduire que cos(2π5)est l’une des solutions de l’équation 4z2+2z−1=0. En déduire la valeur de cos(2π5).
3. On considère le point Bd’affixe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin10π puis de √ 5 (on remarquera que sin10π =cos2π5 ).
4. On considère le pointI d’affixe 2i, le cercleC de centreI de rayon 12 et enfin le pointJ d’intersection deC avec la demi-droite[BI). Calculer la longueurBI puis la longueurBJ.
5. Application :Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
CorrectionH Vidéo [000077]
Exercice 570 Équations affines
1. Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe :az+az=baveca∈C∗,b∈R.
2. Soienta,b,c∈C,a,bnon tous deux nuls. Discuter la nature deE={z∈Ctqaz+bz=c}.
CorrectionH [002925]
Exercice 571 Transformation homographique Soit f :C\ {i} →C\ {1},z7→ z+iz−i
1. Montrer que f est bijective.
2. Déterminer f(R), f(U\ {i}), f(iR\ {i}).
CorrectionH [002926]
Exercice 572 Triangle équilatéral
Soienta,b,c∈Cdistincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. {a,b,c}est un triangle équilatéral.
2. jou j2est racine deaz2+bz+c=0.
3. a2+b2+c2=ab+ac+bc.
4. a−1b+b−1c+c−1a=0.
[002928]
Exercice 573 Sommets d’un carré
Soienta,b,c,d∈Ctels que (
a+ib =c+id a+c =b+d.
Que pouvez-vous dire des points d’affixesa,b,c,d?
En déduire qu’il existez∈Ctel que(z−a)4= (z−b)4= (z−c)4= (z−d)4.
CorrectionH [002929]
Exercice 574 Configuration de points Déterminer les nombresz∈Ctels que. . .
1. z,z2,z4sont alignés.
2. 1,z,z2forment un triangle rectangle.
3. z,1z,−isont alignés.
CorrectionH [002930]
Exercice 575 a+b+c=1 Trouvera,b,c∈Utels que
(a+b+c=1 abc=1.
CorrectionH [002931]
Exercice 576 u+v+w=0
Soientu,v,w trois complexes unitaires tels queu+v+w=0. Montrer que u= jv= j2wou u= jw= j2v.
[002932]
Exercice 577 z+1/z=2
Trouver les complexesz∈C∗tels quez+1z=2.
CorrectionH [002933]
Exercice 578 Symétrique par rapport à une droite
Les points A,B,M ayant pour affixes a,b,z, calculer l’affixe du symétriqueM0 de M par rapport à la droite (AB).
CorrectionH [002934]
Exercice 579 Orthocentre
Soient a,b,c,d ∈C deux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports db−−ac,dc−−ab,da−−bc sont imaginaires purs, alors le troisième l’est aussi.
CorrectionH [002935]
Exercice 580 Similitudes dans un triangle
On donne un triangleABC, un réel positifk et un angle θ. On noteSM la similitude directe de centre M, de rapportket d’angleθ. SoitC1déduit deCparSA,B1déduit deBparSC,A1déduit deAparSB. Montrer que les deux trianglesABCetA1B1C1ont même centre de gravité. [002936]
Exercice 581 Centre du cercle circonscrit
Soienta,b,c∈C, affixes de pointsA,B,Cnon alignés. Calculer l’affixe du centre du cercle circonscrit àABC en fonction dea,b,c.
CorrectionH [002937]
Exercice 582 Sphère deR3
Soientu,v∈Ctels queu+v6=0. On posex=1+uvu+v,y=i1u+v−uv,z=uu+v−v. 1. CNS suruetvpour quex,y,zsoient réels ?
2. On suppose cette condition réalisée. Montrer que le pointM(x,y,z)dans l’espace appartient à la sphère de centreOet de rayon 1.
3. A-t-on ainsi tous les points de cette sphère ?
CorrectionH [002938]
Exercice 583 **IT Une construction du pentagone régulier à la règle et au compas
1. On posez=e2iπ/5 puisa=z+z4 etb=z2+z3. Déterminer une équation du second degré dont les solutions sontaetbet en déduire les valeurs exactes de cos 2π5
, sin 2π5
, cos 4π5
, sin 4π5
, cos π5 et sin π5
.
2. Le cercle de centreΩd’affixe−12 passant par le point Md’affixe irecoupe(Ox) en deux pointsI et J. Montrer que OI+OJ =OI.OJ=−1 et en déduire une construction à la règle et au compas, du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre Oet de rayon 1 dont un des sommets est le point d’affixe 1.
3. La diagonale[AC]d’un pentagone régulier(ABCDE)est recoupée par deux autres diagonales en deux pointsF etG. Calculer les rapports AFAC et FGAF.
CorrectionH [005121]
Exercice 584 ****
1. Soit(ABC)un triangle dont les longueurs des côtésBC,CAetABsont notées respectivementa,betc.
SoitIle centre du cercle inscrit au triangle(ABC). Montrer queI=bar{A(a),B(b),C(c)}.
2. Déterminerzcomplexe tel queOsoit le centre du cercle inscrit au triangle(PQR)dont les sommets ont pour affixes respectivesz,z2etz3.
CorrectionH [005123]
Exercice 585 ***I
SoientA,BetCtrois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectivesa,betc. Montrer que : ABCéquilatéral⇔ jou j2est racine de l’équationaz2+bz+c=0
⇔a2+b2+c2=ab+ac+bc⇔ 1
b−c+ 1
c−a+ 1 a−b=0.
CorrectionH [005124]
Exercice 586 **T
Pourz∈C\ {1}, on poseZ=1+z1−z. Déterminer et construire l’ensemble des pointsMd’affixesztels que 1. |Z|=1.
2. |Z|=2.
3. Z∈R. 4. Z∈iR.
CorrectionH [005133]
Exercice 587 *T
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe : 1. z0=z+3−i
2. z0=2z+3 3. z0=iz+1
4. z0= (1−i)z+2+i
CorrectionH [005134]
Exercice 588 Théorèmes de Thébault et de Van Aubel
Soit ABCD un quadrilatère convexe direct. On construit quatre carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés[AB],[BC],[CD]et[DA]. Les centres respectifs de ces carrés sont notésP,Q,RetS.
1. Montrer que dans le carré construit sur[AB], on ap=a1−−ibi. Démontrer des relations analogues pour les autres carrés.
2. Montrer le théorème de Van Aubel :PQRSest unpseudo-carré, c’est-à-dire que ses diagonales sont de même longueur et se croisent à angle droit. Pour cela, calculer rs−−qp.
3. (Théorème de Thébault) Dans le cas particulier oùABCDest un parallélogramme, montrer quePQRS est un carré.
CorrectionH [007004]
Exercice 589 Point de Vecten
SoitABCun triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés[AB],[BC]et [CA]. Les centres respectifs de ces carrés sont notésP,QetR. Le but est de montrer que(AQ),(BR)et(CP) sont concourantes. Le point de concours est appelépoint de Vectendu triangle.
1. Montrer que dans le carré construit sur[AB], on ap=a1−−ibi. Démontrer des relations analogues pour les autres carrés.
2. Montrer queABCetPQRont même centre de gravité.
3. Montrer que(AQ)et(PR)sont perpendiculaires. Conclure.
CorrectionH [007005]
Exercice 590 Théorème de Napoléon
SoitABCun triangle direct. SoientP,Q,Rtels queCBP,ACQetBARsoient des triangles équilatéraux directs.
On note U,V,W les centres de gravité respectifs de ces trois triangles équilatéraux. Montrer queUVW est équilatéral, de même centre de gravité queABC, en utilisant la caractérisation des triangles équilatéraux.
CorrectionH [007006]
Exercice 591 Théorème de Ptolémée On admet le résultat suivant :
Quatre points distincts d’affixes a,b,c,d sont cocycliques ou alignés (resp. cocycliques ou alignés dans cet ordre) si et seulement si leur birapport
[a,b,c,d]:=(a−c)(b−d) (b−c)(a−d) est un réel (resp. réel positif).
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Ptolémée dans sa version suivante : Théorème(Ptolémée)Soient A, B, C, D quatre points du plan non alignés. Alors on a
AC·BD6AB·CD+AD·BC, avec égalité si et seulement si A,B,C,D sont cocycliques dans cet ordre.
1. (Échauffement) Montrer que pour tousx,y,z∈C,
|x| · |y−z|6|y| · |z−x|+|z| · |x−y|. 2. Prouver le théorème si deux des points sont égaux.
3. Dans la suite on suppose les points distincts deux à deux. En utilisant les affixesa,b,c,d des points, prouver l’inégalité.
4. Étudier le cas d’égalité et conclure.
CorrectionH [007007]
Exercice 592 Théorème des quatre cercles de Miquel On admet le résultat suivant :
Quatre points distincts d’affixes a,b,c,d sont cocycliques ou alignés si et seulement si leur birapport
[a,b,c,d]:=(a−c)(b−d) (b−c)(a−d) est réel.
SoientC1,C2,C3etC4quatre cercles du plan vérifiant la condition suivante :
C1coupeC2 en deux points distinctsz1etw1, qui coupeC3en deux points distinctsz2etw2, qui coupeC4en deux points distinctsz3etw3, qui coupeC1en deux points distinctsz4etw4.
On suppose les huit points ci-dessus tousdistincts.
1. Démontrer que
[z1,w2,z2,w1]·[z3,w4,z4,w3]
[z2,w3,z3,w2]·[z4,w1,z1,w4]= [z1,z3,z2,z4]·[w1,w3,w2,w4].
2. En déduire que siZ1,Z2,Z3,Z4sont alignés ou cocycliques, alors il en est de même deW1,W2,W3,W4.
[007008]
Exercice 593
Déterminer une équation complexe de la droite 1. contenant les points d’affixesiet 1+2i;
2. contenant le point d’affixe 1+iet de vecteur normal d’affixe 2+i;
3. contenant le point d’affixe 1+iet de vecteur directeur d’affixe 2+i.
[007009]
Exercice 594
SoientAetBdeux points distincts d’affixesaetb, etθ∈R. Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixeztels que
Argz−b
z−a≡θ[π].
CorrectionH [007010]
Exercice 595
Déterminer les éléments caractéristiques des transformations représentées par : 1. z7→(1−i)z+i;
2. z7→i¯z+1−i;
3. z7→2i¯z+3 ; 4. z7→z¯+1.
CorrectionH [007145]
Écrire en coordonnée complexe les deux similitudes (directe et indirecte) envoyant les points d’affixes 2 et 3 sur ceux d’affixesiet 3iet trouver leurs éléments caractéristiques.
IndicationH CorrectionH [007147]
Exercice 598
Soita∈C∗, et soit f la similitude directe du plan représentée parz7→a2z+a−1.
Déterminer l’ensemble des paramètresapour lesquels f est : 1. une translation ;
2. une homothétie de rapport−4 ; 3. une rotation d’angleπ/2.
CorrectionH [007148]
Exercice 599
SoitABCun triangle tel queCsoit l’image deBpar la rotation de centreAet d’angleπ/2. Soitsune similitude envoyantAsurBetBsurC.
1. Que peut valoirs(C)?
2. On suppose quesest directe. Déterminer son centreΩ. On l’exprimera comme barycentre deA,BetC.
3. Si la similitude est indirecte, déterminer son centre et son axe.
CorrectionH [007149]
Exercice 600
Fixons un repère orthonormé direct du plan. À quelle condition sur les réelsa,b,c,d,eet f la transformation x
est-elle une similitude directe ? Indirecte ? Application : écrire en coordonnée complexe les applications
φ:
1. Soitsl’application du plan dans lui-même qui envoie un point d’affixezsur celui d’affixe 2
3iz+1 3−5
3i.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des.
2. On noteB0=Bet pour toutn∈N, on noteBn+1=s(Bn).
(a) Calculer la distanceABn+1en fonction deABn.
(b) Déterminer le plus petit entierNvérifiant la propriété suivante : pour toutn>N, le pointBn appar-tient au disque de centreAet de rayon 10−2. On demande une formule exacte pour cet entier mais pas son écriture explicite en base 10.
(c) Déterminer l’ensemble des entiersntels que les pointsA,BetBnsoient alignés.
CorrectionH [007151]
Exercice 602
1. SoitABC un triangle. Montrer qu’il est équilatéral direct ssi les affixes (un repère orthonormé direct ayant été fixé) des sommets vérifienta+b j+c j2=0.
2. (Notations réinitialisées) SoitOun point du plan,C un cercle de centreO, etA,B,C,D,E etF des points distincts deC vérifiant (dansR/2πZ) l’égalité :
(−→
OA,−→
OB) = (−→
OC,−→
OD) = (−→
OE,−→
OF) =π/3.
On noteM(resp.N,P) le milieu de[BC](resp.[DE],[FA]). Montrer queMNPest équilatéral direct.
O A
B
C
D
E F P
M
N
CorrectionH [007163]
Exercice 603
SoitABCun triangle équilatéral direct, etMun point. On noteA0 (resp.B0 etC0) le symétrique orthogonal de Mpar rapport à la droite(BC)(resp.(CA)et(AB)). Le but de l’exercice est de démontrer queABCetA0B0C0 ont le même centre de gravité.
1. Écrire en coordonnée complexe (relativement à un repère que l’on choisira judicieusement) la réflexion σABpar rapport à l’axe(AB).
2. Conclure.
CorrectionH [007164]
Exercice 604
SoitM1M2M3M4un parallélogramme direct du plan, de centreO, etAun point quelconque du plan. On consi-dèreBle symétrique deApar rapport àM1,Cle symétrique deBpar rapport àM2,Dle symétrique deCpar rapport àM3etEle symétrique deDpar rapport àM4.
M1
M2 M3 M4
A
B
C D
O
1. Montrer queE=A.
2. Montrer que sizetz0sont deux complexes, alors|z+z0|+|z−z0|>2|z|.
3. On fixe un repère orthonormé direct de centreO. Exprimera,b,cetdpuis le périmètre deABCDen fonction dem1,m2et det=a−m1+m2.
4. On fait maintenant varier le pointA. Montrer que le périmètre du quadrilatèreABCDest minimal lorsque AM1OM4est un parallélogramme.
CorrectionH [007166]
23 104.05 Trigonométrie
Exercice 605
On rappelle la formule (θ∈R) :
eiθ =cosθ+isinθ.
1. Etablir les formules d’Euler (θ∈R) :
cosθ=eiθ+e−iθ
2 et sinθ=eiθ−e−iθ 2i .
2. En utilisant les formules d’Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) (a,b∈R) : 2 cosacosb ; 2 sinasinb ; cos2a ; sin2a.
3. A l’aide de la formule :eixeiy=ei(x+y)(x,y∈R), retrouver celles pour sin(x+y), cos(x+y)et tan(x+y) en fonction de sinus, cosinus et tangente dexou dey; en déduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x)et tan(2x)(x,y∈R).
4. Calculer cosxet sinxen fonction de tanx
2 (x6=π+2kπ,k∈Z).
5. Etablir la formule de Moivre (θ∈R) :
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ) +isin(nθ).
6. En utilisant la formule de Moivre, calculer cos(3x)et sin(3x)en fonction de sinxet cosx.
[000078]
Exercice 606
1. Calculer cos 5θ, cos 8θ, sin 6θ, sin 9θ, en fonction des lignes trigonométriques de l’angleθ.
2. Calculer sin3θ, sin4θ, cos5θ, cos6θ, à l’aide des lignes trigonométriques des multiples entiers deθ.
[000079]
Exercice 607
En utilisant les nombres complexes, calculer cos 5θ et sin 5θen fonction de cosθet sinθ.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000080]
Exercice 608
1. Soitθ∈R. A l’aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de cosθ et de sinθ : (a) cos(2θ)et sin(2θ).
(b) cos(3θ)et sin(3θ). En déduire une équation du troisième degré admettant pour solution cos(π3)et la résoudre.
2. Linéariser les polynomes trigonométriques suivants : 1+cos2x, cos3x+2 sin2x.
[000081]
Exercice 609
Exprimer(cos 5x)(sin 3x)en fonction de sinxet cosx. [000082]
Exercice 610
Soitxun nombre réel. On noteC=1+cosx+cos 2x+. . .+cosnx=∑nk=0coskx, etS=sinx+sin 2x+. . .+
sinnx=∑nk=0sinkx. CalculerCetS. [000083]
Exercice 611
Résoudre dansRles équations :
sinx=1
2,cosx=−1
2,tanx=−1,
et placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions ; résoudre dansRl’équation cos(5x) =cos
2π 3 −x
.
[000084]
Exercice 612
Calculer sin(25π/3),cos(19π/4),tan(37π/6). [000085]
Exercice 613
Résoudre l’équation : 2 sin2x−3 sinx−2=0, puis l’inéquation : 2 sin2x−3 sinx−2>0. [000086]
Exercice 614
Etudier le signe de la fonction donnée par f(x) =cos 3x+cos 5x. [000087]
Exercice 615
Simplifier, suivant la valeur dex∈[−π,π], l’expression√
1+cosx+|sinx/2|. [000088]
Exercice 616
Résoudre dansRles équations suivantes : (donner les valeurs des solutions appartenant à]−π,π]et les placer sur le cercle trigonométrique).
1. sin(5x) =sin 2π3 +x , 2. sin 2x−π3
=cos x3 , 3. cos(3x) =sin(x).
CorrectionH [000089]
Exercice 617
A quelle condition sur le réelml’équation√
3 cos(x) +sin(x) =ma-t-elle une solution réelle ? Résoudre cette équation pourm=√
2.
CorrectionH [000090]
Exercice 618
Résoudre dansRles inéquations suivantes :
cos(5x) +cos(3x)6cos(x) 2 cos2(x)−9 cos(x) +4>0.
CorrectionH [000091]
Exercice 619
Résoudre dansRles équations suivantes : 1. cos2(x)−sin2(x) =sin(3x).
2. cos4(x)−sin4(x) =1.
CorrectionH [000092]
Exercice 620 Somme de coefficients binomiaux A l’aide de formules du binôme, simplifier :
1. ∑[n/3]k=0 Cn3k. 2. ∑[n/2]k=0 Cn2k(−3)k. 3. ∑nk=0Ckncos(kθ).
4. ∑nk=0Cknsin (k+1)θ .
5. cosa+Cn1cos(a+b) +Cn2cos(a+2b) +···+Cnncos(a+nb).
CorrectionH [002951]
Exercice 621 Sommes trigonométriques Simplifier :
1. ∑nk=0kcos(kθ).
2. ∑nk=1sin3(kθ).
CorrectionH [002952]
Exercice 622 Équation trigonométrique Soita∈R. Résoudre : (
cos(a) +cos(a+x) +cos(a+y) =0 sin(a) +sin(a+x) +sin(a+y) =0.
CorrectionH [002953]
Exercice 623 ∑cos2p(x+kπ/2p)
Résoudre dansRpuis dans[0,2π]les équations suivantes : 1. sinx=0,
Résoudre dansRpuis dans[0,2π]les équations suivantes :
1. sinx=12, 2. sinx=−√12, 3. tanx=−1, 4. tanx=√1
3, 5. cosx=√23, 6. cosx=−√12.
CorrectionH [005064]
Exercice 631 **IT
Résoudre dansRpuis dansI les équations suivantes : 1. sin(2x) =12,I= [0,2π],
2. sin 2x
=−√12,I= [0,4π], 3. tan(5x) =1,I= [0,π], 4. cos(2x) =cos2x,I= [0,2π],
5. 2 cos2x−3 cosx+1=0,I= [0,2π], 6. cos(nx) =0(n∈N∗),
7. |cos(nx)|=1, 8. sin(nx) =0, 9. |sin(nx)|=1,
10. sinx=tanx,I= [0,2π], 11. sin(2x) +sinx=0,I= [0,2π], 12. 12 cos2x−8 sin2x=2,I= [−π,π].
CorrectionH [005065]
Exercice 632 **IT
Résoudre dansIles inéquations suivantes : 1. cosx612,I= [−π,π],
2. sinx>−√12,I=R, 3. cosx>cos2x,I= [0,2π], 4. cos2x>cos(2x),I= [−π,π], 5. cos2x6 12,I= [0,2π], 6. cosx36sinx3,I= [0,2π].
CorrectionH [005066]
Exercice 633 *I Calculer cosπ8 et sinπ8.
CorrectionH [005067]
Exercice 634 *I Calculer cos12π et sin12π.
CorrectionH [005068]
Exercice 635 ***
Montrer que∑cos(±a1±a2±...±an) =2ncosa1cosa2...cosan(la somme comporte 2ntermes).
CorrectionH [005069]
Exercice 636 ***I
1. Calculer∏nk=1cos 2ak
pouraélément donné de]0,π[(penser à sin(2x) =2 sinxcosx).
2. Déterminer limn→+∞∑nk=1ln cos(2ak) .
CorrectionH [005070]
Exercice 637 **
Résoudre dansRl’équation 24 cos2x+1+16.24 sin2x−3=20.
CorrectionH [005071]
Exercice 638 ***
Soitaun réel distinct de√1
3 et−√13.
1. Calculer tan(3θ)en fonction de tanθ.
2. Résoudre dansRl’équation :
3x−x3
1−3x2 =3a−a3 1−3a2.
On trouvera deux méthodes, l’une algébrique et l’autre utilisant la formule de trigonométrie établie en 1).
CorrectionH [005072]
Exercice 639 ****
On veut calculerS=tan 9◦−tan 27◦−tan 63◦+tan 81◦. 1. Calculer tan(5x)en fonction de tanx.
2. En déduire un polynôme de degré 4 dont les racines sont tan 9◦,−tan 27◦,−tan 63◦ et tan 81◦ puis la
2. En déduire un polynôme de degré 4 dont les racines sont tan 9◦,−tan 27◦,−tan 63◦ et tan 81◦ puis la