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(1)

Exo7

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Table des matières

1 100.01 Logique 13

2 100.02 Ensemble 16

3 100.03 Absurde et contraposée 21

4 100.04 Récurrence 22

5 100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre 30

6 100.99 Autre 39

7 101.01 Application 40

8 101.02 Injection, surjection 43

9 101.03 Bijection 45

10 101.99 Autre 46

11 102.01 Binôme de Newton et combinaison 46

12 102.02 Cardinal 52

13 102.99 Autre 56

14 103.01 Divisibilité, division euclidienne 59

15 103.02 Sous-groupes de Z 66

16 103.03 Pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide 67

17 103.04 Nombres premiers, nombres premiers entre eux 76

18 103.99 Autre 80

19 104.01 Forme cartésienne, forme polaire 81

20 104.02 Racine carrée, équation du second degré 85

21 104.03 Racine n-ieme 88

(2)

22 104.04 Géométrie 92

23 104.05 Trigonométrie 103

24 104.99 Autre 109

25 105.01 Division euclidienne 111

26 105.02 Pgcd 117

27 105.03 Racine, décomposition en facteurs irréductibles 120

28 105.04 Fraction rationnelle 129

29 105.05 Définition, degré, produit 140

30 105.99 Autre 140

31 106.01 Définition, sous-espace 151

32 106.02 Système de vecteurs 158

33 106.03 Somme directe 164

34 106.04 Base 168

35 106.05 Dimension 174

36 106.99 Autre 179

37 107.01 Définition 179

38 107.02 Image et noyau, théorème du rang 183

39 107.03 Morphismes particuliers 194

40 107.99 Autre 203

41 108.01 Propriétés élémentaires, généralités 203

42 108.02 Noyau, image 215

43 108.03 Matrice et application linéaire 217

44 108.04 Exemples géométriques 223

45 108.05 Inverse, méthode de Gauss 223

46 108.06 Changement de base, matrice de passage 227

47 108.99 Autre 229

48 120.01 Les rationnels 237

49 120.02 Maximum, minimum, borne supérieure 242

50 120.03 Propriétés des nombres réels 245

51 120.04 Intervalle, densité 245

(3)

52 120.99 Autre 245

53 121.01 Convergence 253

54 121.02 Suite définie par une relation de récurrence 265

55 121.03 Suites équivalentes, suites négligeables 273

56 121.04 Suite récurrente linéaire 279

57 121.05 Suite de Cauchy 282

58 121.06 Suite dans Rn 283

59 121.99 Autre 284

60 122.01 Série à termes positifs 285

61 122.02 Convergence absolue 290

62 122.03 Séries semi-convergentes 292

63 122.04 Séries alternées 292

64 122.05 Familles sommables 293

65 122.06 Fonction exponentielle complexe 295

66 122.99 Autre 297

67 123.01 Continuité : théorie 311

68 123.02 Continuité : pratique 319

69 123.03 Limite de fonctions 322

70 123.04 Etude de fonctions 329

71 123.05 Fonction continue par morceaux 337

72 123.06 Fonctions équivalentes, fonctions négligeables 338

73 123.99 Autre 339

74 124.01 Calculs 340

75 124.02 Théorème de Rolle et accroissements finis 344

76 124.03 Applications 347

77 124.04 Fonctions convexes 349

78 124.99 Autre 352

79 125.01 Formule de Taylor 362

80 125.02 Calculs 366

(4)

82 125.04 Développements limités implicites 380

83 125.05 Equivalents 381

84 125.99 Autre 382

85 126.01 Fonctions circulaires inverses 383

86 126.02 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 390

87 126.99 Autre 394

88 127.01 Théorie 394

89 127.02 Somme de Riemann 405

90 127.03 Longueur, aire, volume 407

91 127.04 Intégration à l’aide d’une fonction auxiliaire 409

92 127.05 Changement de variables 409

93 127.06 Intégration par parties 412

94 127.07 Polynôme en sin, cos ou en sh, ch 413

95 127.08 Fraction rationnelle 415

96 127.09 Fraction rationnelle en sin, cos ou en sh, ch 417

97 127.10 Intégrale abélienne 418

98 127.11 Primitives diverses 419

99 127.12 Intégrale impropre 425

100 127.99 Autre 440

101 140.01 Distance, norme, produit scalaire 446

102 140.02 Droites 446

103 141.01 Produit scalaire, produit vectoriel, déterminant 446

104 141.02 Aire, volume 446

105 141.03 Plans 446

106 141.04 Droites de l’espace 446

107 141.05 Distance 446

108 200.01 Forme multilinéaire 446

109 200.02 Calcul de déterminants 449

110 200.03 Système linéaire, rang 467

(5)

112 200.99 Autre 488

113 201.01 Valeur propre, vecteur propre 492

114 201.02 Diagonalisation 504

115 201.03 Polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton 531

116 201.04 Sous-espace stable 535

117 201.05 Trigonalisation 538

118 201.06 Réduction de Jordan 541

120 201.08 Polynôme annulateur 555

121 201.99 Autre 562

122 202.01 Endomorphisme du plan 566

123 202.02 Endomorphisme auto-adjoint 567

124 202.03 Autres endomorphismes normaux 571

125 202.04 Endomorphisme orthogonal 571

126 202.99 Autre 577

127 203.01 Groupe, sous-groupe 584

128 203.02 Ordre d’un élément 596

129 203.03 Morphisme, isomorphisme 598

130 203.04 Anneau 599

131 203.05 Idéal 605

132 203.06 Algèbre, corps 606

133 203.07 Groupe de permutation 609

134 203.99 Autre 618

135 204.01 Produit scalaire, norme 621

136 204.02 Forme quadratique 634

137 204.03 Espace orthogonal 639

138 204.04 Projection, symétrie 640

139 204.05 Orthonormalisation 647

140 204.06 Espace vectoriel euclidien de dimension 3 652

141 204.07 Endomorphismes auto-adjoints 657

(6)

142 204.08 Espaces vectoriels hermitiens 663

143 204.09 Problèmes matriciels 666

144 204.99 Autre 670

145 205.01 Arithmétique de Z 671

146 205.02 Anneau Z/nZ, théorème chinois 674

147 205.03 Groupe fini commutatif 677

148 205.04 Arithmétique de K[X] 677

149 205.05 Corps fini 677

151 205.99 Autre 677

152 220.01 Convergence normale 677

153 220.02 Critères de Cauchy et d’Alembert 677

154 220.03 Rayon de convergence 677

155 220.04 Propriétés de la sommme d’une série entière 680

156 220.05 Calcul de la somme d’une série entière 680

157 220.06 Développement en série entière 682

158 220.07 Etude au bord 685

159 220.08 Equations différentielles 685

160 220.09 Intégrales 687

161 220.10 Analycité 688

162 220.99 Autre 689

163 221.01 Calcul de coefficients 691

164 221.02 Convergence, théorème de Dirichlet 695

165 221.03 Formule de Parseval 697

166 221.99 Autre 698

167 222.01 Convergence simple, uniforme, normale 700

168 222.02 Continuité, dérivabilité 705

169 222.03 Suites et séries d’intégrales 707

170 222.04 Suite et série de matrices 708

171 222.99 Autre 709

(7)

172 223.01 Limite 715

173 223.02 Continuité 718

174 223.03 Différentiabilité 720

175 223.04 Dérivée partielle 727

176 223.05 Différentielle de fonctions composées 737

177 223.06 Différentielle seconde 737

178 223.07 Extremums locaux 739

179 223.08 Fonctions implicites 744

180 223.99 Autre 744

181 224.01 Intégrale multiple 747

182 224.02 Calcul approché d’intégrale 754

183 224.03 Intégrale de Riemann dépendant d’un paramètre 754

184 224.04 Tranformée de Laplace et transformée de Fourier 765

185 224.99 Autre 765

186 225.01 Résolution d’équation différentielle du premier ordre 765 187 225.02 Résolution d’équation différentielle du deuxième ordre 769

188 225.03 Raccordement de solutions 774

189 225.04 Equations différentielles linéaires 774

190 225.05 Equations différentielles non linéaires 786

191 225.06 Equations aux dérivées partielles 790

192 225.99 Autre 793

193 229.01 Ouvert, fermé, intérieur, adhérence 793

194 229.02 Compacité 799

195 229.03 Borne supérieure 802

196 229.04 Topologie de la droite réelle 803

197 229.05 Topologie des espaces métriques 804

198 229.06 Topologie des espaces vectoriels normés 805

199 229.07 Connexité 819

200 229.08 Espaces complets 820

201 229.09 Fonctions vectorielles 821

(8)

202 229.10 Application linéaire continue, norme matricielle 822

203 229.99 Autre 823

204 240.00 Géométrie affine dans le plan et dans l’espace 825

205 240.01 Sous-espaces affines 840

206 240.02 Applications affines 842

207 240.03 Barycentre 846

208 240.04 Propriétés des triangles 847

209 240.99 Autres 852

210 241.00 Isométrie vectorielle 852

211 242.01 Géométrie affine euclidienne du plan 853

212 242.02 Géométrie affine euclidienne de l’espace 876

213 243.00 Conique 883

214 243.01 Ellipse 886

215 243.02 Parabole 887

216 243.03 Hyperbole 889

217 243.04 Quadrique 891

218 243.99 Autre 896

219 244.01 Courbes paramétrées 896

220 244.02 Coordonnées polaires 905

221 244.03 Courbes définies par une condition 909

222 244.04 Branches infinies 911

223 244.05 Points de rebroussement 912

224 244.06 Enveloppes 912

225 244.07 Propriétés métriques : longueur, courbure,... 914

226 244.08 Courbes dans l’espace 918

227 244.99 Autre 919

228 245.00 Analyse vectorielle : forme différentielle, champ de vecteurs, circulation 920 229 245.01 Forme différentielle, champ de vecteurs, circulation 920

230 245.02 Torseurs 927

231 246.00 Autre 928

(9)

232 246.01 Plan tangent, vecteur normal 928

233 246.02 Surfaces paramétrées 928

234 260.01 Probabilité et dénombrement 931

235 260.02 Probabilité conditionnelle 933

236 260.03 Variable aléatoire discrète 936

237 260.04 Lois de distributions 941

238 260.05 Espérance, variance 943

239 260.06 Droite de régression 944

240 260.07 Fonctions génératrices 944

241 260.99 Autre 944

242 261.01 Densité de probabilité 944

243 261.02 Loi faible des grands nombres 944

244 261.03 Convergence en loi 945

245 261.04 Loi normale 945

246 261.99 Autre 945

247 262.01 Estimation 946

248 262.02 Tests d’hypothèses, intervalle de confiance 946

249 262.99 Autre 950

250 300.00 Groupe quotient, théorème de Lagrange 950

251 301.00 Ordre d’un élément 952

252 302.00 Groupe symétrique, décomposition en cycles disjoints, signature 957

253 303.00 Sous-groupe distingué 958

254 304.00 Action de groupe 963

255 305.00 Groupe cyclique 968

256 306.00 Théorème de Sylow 968

257 307.00 Autre 971

258 310.00 Isométrie euclidienne 971

259 311.00 Géométrie différentielle élémentaire de Rn 973

260 312.00 Géométrie et trigonométrie sphérique 974

261 313.00 Groupe orthogonal et quaternions 975

(10)

262 314.00 Géométrie projective 976

263 315.00 Géométrie et trigonométrie hyperbolique 979

264 316.00 Autre 981

265 320.00 Groupe 981

266 321.00 Sous-groupe, morphisme 987

267 322.00 Groupe fini 990

268 323.00 Anneau, corps 993

269 324.00 Polynôme 1002

270 325.00 Extension de corps 1011

271 326.00 Extension d’anneau 1013

272 327.00 Autre 1015

273 350.00 Variété 1015

274 351.00 Immersion, submersion, plongement 1015

275 352.00 Sous-variété 1015

276 353.00 Espace tangent, application linéaire tangente 1018

277 354.00 Champ de vecteurs 1018

278 355.00 Forme différentielle 1021

279 356.00 Orientation 1023

280 357.00 Intégration sur les variétés 1023

281 358.00 Autre 1023

282 370.00 Différentiabilité, calcul de différentielles 1023

283 371.00 Différentielle d’ordre supérieur, formule de Taylor 1031 284 372.00 Difféomorphisme, théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 1033

285 373.00 Extremum, extremum lié 1041

286 374.00 Autre 1046

287 380.00 Solution maximale 1048

288 381.00 Théorème de Cauchy-Lipschitz 1055

289 382.00 Système linéaire à coefficients constants 1057

290 383.00 Etude qualititative : équilibre, stabilité 1060

291 384.00 Equation aux dérivées partielles 1060

(11)

292 385.00 Autre 1063

293 400.00 Tribu, fonction mesurable 1067

294 401.00 Mesure 1069

295 402.00 Lemme de Fatou, convergence monotone 1069

296 403.00 Théorème de convergence dominée 1070

297 404.00 Intégrales multiples, théorème de Fubini 1072

298 405.00 Intégrale dépendant d’un paramètre 1074

299 406.00 Espace Lp 1074

300 407.00 Transformée de Fourier 1077

301 408.00 Autre 1078

302 420.00 Espace topologique, espace métrique 1084

303 421.00 Compacité 1099

304 422.00 Continuité, uniforme continuité 1109

305 423.00 Application linéaire bornée 1117

306 424.00 Espace vectoriel normé 1120

307 425.00 Espace métrique complet, espace de Banach 1130

308 426.00 Théorème du point fixe 1136

309 427.00 Espace de Hilbert, théorème de projection 1139

310 428.00 Théorème de Baire 1140

311 429.00 Dualité, topologie faible 1141

312 430.00 Connexité 1142

313 431.00 Autre 1147

314 432.00 Théorème de Stone-Weirstrass, théorème d’Ascoli 1148

315 440.00 Fonction holomorphe 1150

316 441.00 Fonction logarithme et fonction puissance 1162

317 442.00 Formule de Cauchy 1166

318 443.00 Singularité 1180

319 444.00 Théorème des résidus 1183

320 445.00 Tranformée de Laplace et de Fourier 1201

321 446.00 Autre 1205

(12)

322 450.00 Interpolation polynomiale 1224

323 451.00 Courbe de Bézier, spline 1224

324 452.00 Intégration numérique 1224

325 453.00 Méthode de Newton 1224

326 454.00 Résolution d’équation différentielle 1224

327 455.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode directe 1224 328 456.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode itérative 1224 329 457.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode de gradient 1224

330 458.00 Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres 1224

331 459.00 Autre 1224

332 470.00 Fonction convexe 1235

333 471.00 Multiplicateurs de Lagrange 1237

334 472.00 Algorithme d’Uzawa 1237

335 473.00 Algorithme du simplexe 1237

336 474.00 Autre 1237

337 480.00 Loi, indépendance, loi conditionnelle 1237

338 481.00 Variance, covariance, fonction génératrice 1239

339 482.00 Convergence de variables aléatoires 1239

340 483.00 Lois des grands nombres, théorème central limite 1240

341 484.00 Estimateur 1240

342 485.00 Tests sur la moyenne, test du chi2 1240

343 486.00 Chaînes de Markov 1240

344 487.00 Autre 1240

(13)

1 100.01 Logique

Exercice 1

SoientRetSdes relations. Donner la négation deR⇒S. [000104]

Exercice 2

Démontrer que(1=2)⇒(2=3).

CorrectionH ^[000105]

Exercice 3

Soient les quatre assertions suivantes :

(a)∃x∈R ∀y∈R x+y>0 ; (b)∀x∈R ∃y∈R x+y>0 ; (c)∀x∈R ∀y∈R x+y>0 ; (d)∃x∈R ∀y∈R y²>x.

1. Les assertionsa,b,c,dsont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur négation.

IndicationH CorrectionH Vidéo ^[000106]

Exercice 4

Soit f une application deRdansR. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent : 1. Pour toutx∈R f(x)61.

2. L’application f est croissante.

3. L’application f est croissante et positive.

4. Il existex∈R⁺tel que f(x)60.

5. Il existex∈Rtel que quel que soity∈R, six<yalors f(x)>f(y).

On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d’écrire le contraire d’un énoncé.

CorrectionH Vidéo ^[000107]

Exercice 5

Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose :⇔,⇐, ⇒. 1. x∈R x²=4 . . . x=2 ;

2. z∈C z=z . . . z∈R; 3. x∈R x=π . . . e^2ix=1.

Exercice 6

DansR², on définit les ensembles F₁={(x,y)∈R², y60} etF₂={(x,y)∈R², xy>1, x>0}. On note M₁M₂la distance usuelle entre deux pointsM₁etM₂deR². Évaluer les propositions suivantes :

1. ∀ε∈]0,+∞[ ∃M₁∈F₁ ∃M₂∈F₂ M₁M₂<ε 2. ∃M₁∈F₁ ∃M₂∈F₂ ∀ε∈]0,+∞[ M₁M₂<ε 3. ∃ε∈]0,+∞[ ∀M₁∈F₁ ∀M₂∈F₂ M₁M₂<ε 4. ∀M₁∈F₁ ∀M₂∈F₂ ∃ε∈]0,+∞[ M₁M₂<ε Quand elles sont fausses, donner leur négation.

Exercice 7

(14)

Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.

Exercice 8

Écrire la négation des assertions suivantes oùP,Q,R,Ssont des propositions.

1. P⇒Q, 2. Pet nonQ, 3. Pet (QetR), 4. Pou (QetR), 5. (PetQ)⇒ (R⇒S).

Exercice 9

Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle rectangle possède un angle droit ; 2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;

3. pour tout entierx, il existe un entierytel que, pour tout entier z, la relationz<ximplique le relation z<x+1 ;

4. ∀ε>0 ∃α >0 (|x−7/5|<α ⇒ |5x−7|<ε).

Exercice 10 Le missionnaire et les cannibales

Les cannibales d’une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d’après Cervantès) [000113]

Exercice 11

La proposition P∧Q⇒(¬P)∨Q

est-elle vraie ? [000114]

Exercice 12

On suppose que la propositionPest vraie ainsi que les propositions suivantes : 1. (¬Q)∧P⇒ ¬S.

2. S⇒(¬P)∨Q.

3. P⇒R∨S.

4. S∧Q⇒ ¬P.

5. R∧ ¬(S∨Q)⇒T. 6. R⇒(¬P)∨(¬Q).

La propositionT est-elle vraie ? [000115]

Exercice 13

Ecrire la négation des phrases suivantes : 1. (∀x)(∃n)/(x6n).

2. (∃M)/(∀n)(|un|6M).

(15)

3. (∀x)(∀y)(xy=yx).

4. (∀x)(∃y)/(yxy⁻¹=x).

5. (∀ε>0)(∃N∈N)/(∀n>N)(|un|<ε).

6. (∀x∈R)(∀ε>0)(∃α>0)/(∀f ∈F)(∀y∈R)(|x−y|<α⇒ |f(x)−f(y)|<ε).

[000116]

Exercice 14

Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...)

1. (∀x)(∃y)/(x6y).

2. (∀x)(∀y)(x6y).

3. (∃x)(∃y)/(x6y).

4. (∃x)/(∀y)(x6y).

5. (∃x)/(∀y)(y<x).

6. (∃x)(∃y)/(y<x).

7. (∀x)(∃y)/(x=y).

[000117]

Exercice 15

SiP(x)est une proposition dépendant dex∈X, on noteP={x∈X/P(x)est vraie}. Exprimer en fonction de

PetQles ensembles¬P,P∧Q,P∨Q,P⇒Q,P⇔Q. [000118]

Exercice 16 Montrer que

∀ε>0 ∃N∈Ntel que(n>N⇒2−ε<2n+1

n+2 <2+ε).

Exercice 17

Soient f,gdeux fonctions deRdansR. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes : 1. f est majorée ;

2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne s’annule jamais ; 6. f est périodique ; 7. f est croissante ;

8. f est strictement décroissante ; 9. f n’est pas la fonction nulle ;

10. f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; 11. f atteint toutes les valeurs deN;

12. f est inférieure àg; 13. f n’est pas inférieure àg.

(16)

Exercice 18 **IT

Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation.

1. (f étant une application du plan dans lui-même) (a) f est l’identité du plan.

(b) f a au moins un point invariant (on dit aussi point fixe).

2. (f étant une application deRdansR) (a) f est l’application nulle.

(b) L’équation f(x) =0 a une solution.

(c) L’équation f(x) =0 a exactement une solution.

3. ((un)n∈Nétant une suite réelle) (a) La suite(un)n∈Nest bornée.

(b) La suite(un)n∈Nest croissante.

(c) La suite(un)n∈Nest monotone.

Exercice 19 *IT

Donner la négation des phrases suivantes 1. x>3

2. 0<x62.

Exercice 20 **IT

Les phrases suivantes sont-elles équivalentes ?

1. « ∀x∈R,(f(x) =0 etg(x) =0)» et « (∀x∈R, f(x) =0)et(∀x∈R,g(x) =0)».

2. « ∀x∈R,(f(x) =0 oug(x) =0)» et « (∀x∈R, f(x) =0)ou(∀x∈R,g(x) =0)».

Donner un exemple de fonctions f etgdeRdansR, toutes deux non nulles et dont le produit est nul.

2 100.02 Ensemble

Exercice 21

Montrer que /0⊂X, pour tout ensembleX. [000121]

Exercice 22

Montrer par contraposition les assertions suivantes,Eétant un ensemble : 1. ∀A,B∈P(E) (A∩B=A∪B)⇒A=B,

2. ∀A,B,C∈P(E) (A∩B=A∩CetA∪B=A∪C)⇒B=C.

Exercice 23

SoitA,Bdeux ensembles, montrer{(A∪B) ={A∩{Bet{(A∩B) ={A∪{B.

(17)

Exercice 24

SoientEetF deux ensembles, f :E→F. Démontrer que :

∀A,B∈P(E) (A⊂B)⇒(f(A)⊂ f(B)),

∀A,B∈P(E) f(A∩B)⊂ f(A)∩f(B),

∀A,B∈P(E) f(A∪B) = f(A)∪f(B),

∀A,B∈P(F) f⁻¹(A∪B) = f⁻¹(A)∪f⁻¹(B),

∀A∈P(F) f⁻¹(F\A) =E\f⁻¹(A).

Exercice 25

AetBétant des parties d’un ensembleE, démontrer les lois de Morgan : {A∪{B={(A∩B) et {A∩{B={(A∪B).

[000125]

Exercice 26

Démontrer les relations suivantes :

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) et A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

[000126]

Exercice 27

Montrer que siF etGsont des sous-ensembles deE :

(F⊂G ⇐⇒ F∪G=G) et (F⊂G ⇐⇒ {F∪G=E).

En déduire que :

(F⊂G ⇐⇒ F∩G=F) et (F⊂G ⇐⇒ F∩{G= /0).

[000127]

Exercice 28

SoitEetFdes ensembles. SiA⊂EetB⊂F montrer queA×B⊂E×F. [000128]

Exercice 29

Soit A={a₁,a₂,a₃,a₄} etB={b₁,b₂,b₃,b₄,b₅}. Écrire le produit cartésien A×B. Quel est le nombre de

parties deA×B? ^[000129]

Exercice 30

SoitEun ensemble ànéléments. Quel est le nombre d’éléments deE^p? Quel est le nombre de parties deE^p?

[000130]

Exercice 31

x,y,zétant des nombres réels, résoudre le système :

(x−1)(y−2)z = 0 (x−2)(y−3) = 0

Représenter graphiquement l’ensemble des solutions. [000131]

(18)

Exercice 32

SoitA une partie deE, on appelle fonction caractéristique de Al’application f de E dans l’ensemble à deux éléments{0,1}, telle que :

f(x) =

(0 six∈/A 1 six∈A

SoitAetBdeux parties deE, f etgleurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera :

1. 1−f. 2. f g.

3. f+g−f g.

[000132]

Exercice 33

Soit un ensembleE et deux partiesAetBdeE. On désigne parA4Bl’ensemble(A∪B)\(A∩B).Dans les questions ci-après il pourra être commode d’utiliser la notion de fonction caractéristique.

1. Démontrer queA4B= (A\B)∪(B\A).

2. Démontrer que pour toutes les partiesA,B,CdeEon a(A4B)4C=A4(B4C).

3. Démontrer qu’il existe une unique partieXdeEtelle que pour toute partieAdeE,A4X=X4A=A.

4. Démontrer que pour toute partieA de E, il existe une partieA⁰ de E et une seule telle queA4A⁰= A⁰4A=X.

[000133]

Exercice 34

1. Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : x7→√

x, x7→ x−¹1, x7→√

x+_x₋¹₁.

2. Simplifier[1,3]∩[2,4]et[1,3]∪[2,4].

3. Pour toutn∈N, on notenZl’ensemble des entiers relatifs multiples den:nZ={np|p∈Z}. Simplifier 2Z∩3Z.

[000134]

Exercice 35

On définit les cinq ensembles suivants :

A₁ =

(x,y)∈R²,x+y<1 A₂ =

(x,y)∈R²,|x+y|<1 A₃ =

(x,y)∈R²,|x|+|y|<1 A₄ =

(x,y)∈R²,x+y>−1 A₅ =

(x,y)∈R²,|x−y|<1

1. Représenter ces cinq ensembles.

2. En déduire une démonstration géométrique de

(|x+y|<1 et |x−y|<1)⇔ |x|+|y|<1.

(19)

[000135]

Exercice 36

Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point I₁=

+∞\

n=1

3,3+ 1 n²

et I₂=

+∞\

n=1

−2−1 n,4+n²

.

Exercice 37

Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez.

I=

+∞\

n=1

−1 n,2+1

n

et J=

+∞[

n=2

1+1

n,n

Exercice 38

SoientEun ensemble etA,B,Ctrois parties deEtelles queA∪B=A∪CetA∩B=A∩C. Montrer queB=C.

[000138]

Exercice 39

SoientEun ensemble etA,B,Ctrois parties deE.

Montrer que(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A). [000139]

Exercice 40

Donner les positions relatives deA,B,C⊂E siA∪B=B∩C. ^[000140]

Exercice 41

Est-il vrai queP(A∩B) =P(A)∩P(B)? EtP(A∪B) =P(A)∪P(B)? ^[000141]

Exercice 42

Montrer queA∩B=A∩C⇔A∩{B=A∩{C. [000142]

Exercice 43

Donner la liste des éléments deP(P({1,2})). [000143]

Exercice 44

SoientA,B⊂E. Résoudre les équations à l’inconnueX⊂E 1. A∪X=B.

2. A∩X=B.

Exercice 45

SoientE,F,Gtrois ensembles. Montrer que(E×G)∪(F×G) = (E∪F)×G. [000145]

Exercice 46

SoientE,F,G,Hquatre ensembles. Comparer les ensembles(E×F)∩(G×H)et(E∩G)×(F∩H). [000146]

(20)

Exercice 47

SoitE l’ensemble des fonctions deNdans{1,2,3}. Pouri=1,2,3 on poseA_i={f ∈E/f(0) =i}. Montrer

que lesA_iforment une partition deE. [000147]

Exercice 48 **T

AetBsont des parties d’un ensembleE. Montrer que : 1. (A∆B=A∩B)⇔(A=B=∅).

2. (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A).

3. A∆B=B∆A.

4. (A∆B)∆C=A∆(B∆C).

5. A∆B=∅⇔A=B.

6. A∆C=B∆C⇔A=B.

Exercice 49 ***IT

Soient(Ai)i∈Iune famille de parties d’un ensembleEindéxée par un ensembleIet(Bi)i∈Iune famille de parties d’un ensembleF indéxée par un ensembleI. Soit f une application deEversF. Comparer du point de vue de l’inclusion les parties suivantes :

1. f(^S_i_∈_IAi)et^S_i_∈_If(Ai)(recommencer par f(A∪B)si on n’a pas les idées claires).

2. f(^T_i_∈_IA_i)et^T_i_∈_If(Ai).

3. f(E\A_i)etF\f(Ai).

4. f⁻¹(^T_i_∈_IBi)et^T_i_∈_If⁻¹(Bi).

5. f⁻¹(^S_i_∈_IBi)et^S_i_∈_If⁻¹(Bi).

6. f⁻¹(F\Bi)etE\f⁻¹(Bi).

Exercice 50 ***I Théorème de CANTOR

1. Montrer qu’il existe une injection deE dansP(E).

2. En considérant la partieA={x∈E/x∈/ f(x)}, montrer qu’il n’existe pas de bijection fdeEsurP(E).

Exercice 51

SoitEun ensemble etOune partie deP(E). On dit queOest unetopologie sur Esi les conditions suivantes sont vérifiées

— Oest stable par intersection finie, autrement dit : pour toutn∈N^∗et toute familleU₁,···Und’éléments deO, on a^Tⁿ_i=1U_i∈O.

— O est stable par union quelconque, autrement dit : pour tout ensembleI et toute famille(Ui)i∈I d’élé- ments deO,^Si∈IUi∈O.

— Les parties /0 etEsont des éléments deO.

1. Montrer queO1={/0,E}etO2=P(E)sont des topologies surE.

2. Montrer que

O3={U∈P(E)|U=/0 ou^cUest fini} est une topologie surE.

(21)

3. Combien de topologies différentes y a-t-il siEest l’ensemble vide ? S’il n’a qu’un seul élément ? Deux éléments ? Trois éléments ?

[007186]

Exercice 52

Dans l’ensembleR, il existe une notion departie bornée: c’est une partie qui est incluse dans un segment du type[−M,M], pour un certainM. Cet exercice montre comment généraliser cette notion departie bornéeà un ensemble quelconque.

SoitEun ensemble etBune partie deP(E). On dit queBest unebornologie sur Esi les conditions suivantes sont vérifiées

— SiA∈BetB⊆A, alorsB∈B.

— SiA∈BetB∈B, alorsA∪B∈B.

— Pour toutx∈E, on a{x} ∈B.

Les éléments de B sont dits B-bornés, ou simplement bornés s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la bornologie utilisée.

Dans la suite, on fixe un ensembleE.

1. Montrer queB1={/0,E}est une bornologie deE. On l’appelle labornologie triviale (ou : grossière).

2. Montrer que l’ensembleB2des parties finies deEest une bornologie deE. On l’appelle labornologie discrète.

3. Combien de bornologies différentes y a-t-il siEest vide ? S’il contient (exactement) un élément ? Deux ? Trois ?

4. On suppose maintenant queE =R. Soit B3l’ensemble des partiesA⊆Rbornées au sens classique, autrement dit

A∈B3 ⇐⇒ ∃M∈R,∀a∈A,|a|6M

Montrer que B3 est une bornologie. On l’appelle la bornologie usuelle sur R, et lorsqu’on parle de bornés deR, il est implicite qu’on se réfère à cette bornologie (et non aux deux premières par exemple).

[007187]

Exercice 53

Soit E un ensemble etA une partie deP(E). On dit queA est une algèbre de parties E si les conditions suivantes sont vérifiées :

— A n’est pas vide.

— SiX∈A, alorsE\X aussi.

— A est stable par union finie, autrement dit : pour toutn∈N^∗ et toute familleU₁,···U_n d’éléments de A, on a^Sⁿ_i=1Ui∈A.

1. Montrer queP(E)est une algèbre de parties deE.

2. Montrer qu’une algèbre de parties deE est stable par intersection finie.

3. Combien d’algèbres de parties y a-t-il siEa (exactement) un, deux, ou trois éléments ?

[007188]

3 100.03 Absurde et contraposée

Exercice 54 Montrer que√

2∈/Q. ^[000148]

Exercice 55

(22)

SoitX un ensemble et f une application deX dans l’ensembleP(X)des parties deX. On noteAl’ensemble desx∈X vérifiantx∈/ f(x). Démontrer qu’il n’existe aucunx∈X tel queA= f(x). [000149]

Exercice 56

Soit(f_n)n∈Nune suite d’applications de l’ensembleNdans lui-même. On définit une application f deNdans Nen posant f(n) = fn(n) +1. Démontrer qu’il n’existe aucunp∈Ntel que f =fp.

Exercice 57

1. Soitp₁,p₂, . . . ,p_r,rnombres premiers. Montrer que l’entierN=p₁p₂. . .p_r+1 n’est divisible par aucun des entierspi.

2. Utiliser la question précédente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers.

4 100.04 Récurrence

Exercice 58

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 10⁶ⁿ⁺²+10³ⁿ⁺¹+1 est divisible par 111 quel que soitn∈N.

(Indication : 1000=9×111+1 ). [000152]

Exercice 59 Montrer :

1.

n

∑

k=1

k=n(n+1)

2 ∀n∈N^∗. 2.

n

∑

k=1

k²=n(n+1)(2n+1)

6 ∀n∈N^∗.

Exercice 60

En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?

SoitP(n):ncrayons de couleurs sont tous de la même couleur.

— P(1)est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.

— SupposonsP(n). Soitn+1 crayons. On en retire 1. Lesncrayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.

Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; lesnnouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur.

Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que lesnautres. La proposition est donc vraie au rangn+1.

— On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.

[000154]

Exercice 61

Soit la suite(xn)n∈Ndéfinie parx₀=4 etx_n+1=2x²_n−3 xn+2 . 1. Montrer que :∀n∈N x_n>3.

2. Montrer que :∀n∈N x_n+1−3>³₂(xn−3).

3. Montrer que :∀n∈N xn> ³₂n

+3.

4. La suite(xn)n∈Nest-elle convergente ?

(23)

Exercice 62

1. Dans le plan, on considère trois droites∆₁,∆₂,∆₃formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parallèles. Donner le nombreR₃ de régions (zones blanches) découpées par ces trois droites.

2. On considère quatre droites∆₁, . . . ,∆₄, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles.

Donner le nombreR₄de régions découpées par ces quatre droites.

3. On considèrendroites∆1, . . . ,∆n, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Soit R_nle nombre de régions délimitées par∆₁. . .∆n, etR_n₋₁le nombre de régions délimitées par∆₁. . .∆n−1. Montrer queRn=Rn−1+n.

4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées parndroites en position générale, c’est-à-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.

Exercice 63

SoitXun ensemble. Pour f ∈F(X,X), on définit f⁰=idet par récurrence pourn∈N fⁿ⁺¹= fⁿ◦f. 1. Montrer que∀n∈N fⁿ⁺¹= f◦fⁿ.

2. Montrer que si f est bijective alors∀n∈N(f⁻¹)ⁿ= (fⁿ)⁻¹.

Exercice 64 Montrer que

∀n>2,n!6 n+1

2 n

.

[000158]

Exercice 65

Pour tout entier natureln, on pose

Sn=1·2+2·3+···+ (n−1)·n Démontrer que l’on a

S_n=1

3n(n−1)(n+1)

[000159]

Exercice 66

Pourn∈Non considère la propriété suivante :

Pn: 2ⁿ>n²

1. Pour quelles valeurs denl’implicationP_n=⇒P_n+1est-elle vraie ? 2. Pour quelles valeurs denla propriétéPnest-elle vraie ?

[000160]

Exercice 67

Que pensez-vous de la démonstration suivante ?

(24)

1. Pour toutn>2, on considère la propriété :

P(n): npoints distincts du plan sont toujours alignés 2. Initialisation :P(2)est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.

3. Hérédité : On suppose queP(n)est vraie et on va démontrerP(n+1).

Soit doncA₁,A₂, . . . ,An,A_n+1des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence,A₁,A₂, . . . ,Ansont alignés sur une droited, etA₂, . . . ,An,A_n+1sont alignés sur une droited⁰. Les deux droitesdetd⁰ayant n−1 points communsA₂, . . . ,A_nsont confondues. DoncA₁,A₂, . . . ,A_n,An+1sont alignés, ce qui montre l’hérédité de la propriété.

4. Conclusion : la propriétéP(n)est vraie pour toutn>2.

[000161]

Exercice 68

1. Démontrer que pour tout entier natureln, 9 divise 10ⁿ−1.

2. Soitk un entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier natureln,k divise (k+1)ⁿ+2.

[000162]

Exercice 69

Démontrer que pourn>1, le produit denentiers impairs est un entier impair. [000163]

Exercice 70

On considère une suite(un)n∈Ntelle que :

u₀=0 et u₁=1 et ∀n>1,u_n+1=un+2un−1

Démontrer que : 1. ∀n∈N,un∈N,

2. ∀n∈N,un=¹₃(2ⁿ−(−1)ⁿ).

[000164]

Exercice 71

Soitb>2 un entier fixé. Démontrer que pour toutN∈N^∗, il existe un entiern∈Net des entiersa₀,a₁, . . . ,an

appartenant à{0,1, . . . ,b−1}tels que ;

N=a₀+a₁b+···+anbⁿ et an6=0

Démontrer que pour chaqueN, le système(n,a₀,a₁, . . . ,an)est déterminé par la propriété ci-dessus.

On dit quea₀,a1, . . . ,ansont les chiffres de l’écriture du nombreNsuivant la baseb. [000165]

Exercice 72

Démontrer par récurrence que pour toutk∈N,k! divise le produit dekentiers consécutifs :

∀n∈N,k!|n(n+1)···(n−k+1)

[000166]

Exercice 73

(25)

Les propriétés

Pn : 3|4ⁿ−1,∀n∈N, et

Qn : 3|4ⁿ+1,∀n∈N,

sont-elles vraies ou fausses ? ^[000167]

Exercice 74

1. Calculer les restes de la division euclidienne de 1,4,4²,4³par 3.

2. Formuler, pour toutn∈N, une hypothèseP(n)concernant le reste de la division euclidienne de 4ⁿpar 3. Démontrer queP(n)est vérifiée pour toutn∈N.

3. Pour toutn∈N, le nombre 16ⁿ+4ⁿ+3 est-il divisible par 3.

[000168]

Exercice 75

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 3²ⁿ⁺²−2ⁿ⁺¹est divisible par 7 quel que soitn∈N. [000169]

Exercice 76

1. Démontrer par récurrence :

n

∑

k=0

k=n(n+1) 2 2. Calculer de deux manières différentes :

n+1

∑

k=1

k³−

n

∑

k=0

(k+1)³. 3. En déduire :

n

∑

k=0

k²=1

6(2n³+3n²+3n).

[000170]

Exercice 77

Montrer que pour tout entiern>1 : 1 1.2+ 1

2.3+. . .+ 1

n.(n+1) = n n+1.

[000171]

Exercice 78

Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entiern₀tel que

∀n>n₀, 2ⁿ>(n+2)².

[000172]

Exercice 79

Démontrer par récurrence surnque pour toutn>2 l’implication

[x>−1,x6=0]⇒[(1+x)ⁿ>1+nx]

est vraie. ^[000173]

Exercice 80

(26)

1. Soitn∈N; montrer que pour tout entierk>1 on a

n^k+kn^k⁻¹6(n+1)^k.

2. Soitbun réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour toutn>1 on a (1+b)ⁿ61+nb

1!+(nb)²

2! +...+(nb)ⁿ n! .

[000174]

Exercice 81

Montrer par récurrence que pour tout entiern∈N, (a+b)ⁿ=

n

∑

k=0

C_n^ka^kbⁿ⁻^k,

pour tout réelaetb. [000175]

Exercice 82

On définit une suite(Fn)de la façon suivante :

F_n+1=F_n+F_n₋₁; F₀=1,F₁=1. 1. CalculerFnpour 1<n<10.

2. Montrer que l’équationx²=x+1 admet une unique solution positiveaque l’on calculera.

3. Montrer que, pour toutn>2, on a

aⁿ⁻²<Fn<aⁿ⁻¹.

[000176]

Exercice 83 Montrer que :

2 cos π 2ⁿ =

r 2+

q

2+. . .√ 2.

[000177]

Exercice 84

Pourn∈N,n>2,trouver une loi simplifiant le produit : (1−1

4)...(1−1 n).

[000178]

Exercice 85

Pourn∈N,soienta₀, . . . ,andes nombres réels de même signe tel queai>−1,montrer que : (1+a₀)...(1+a_n)>1+a₀+. . .+a_n.

[000179]

Exercice 86

Montrer∀n∈N,∑ⁿ_k=0k³=ⁿ²⁽ⁿ⁺¹⁾₄ ². ^[007011]

(27)

Exercice 87

Montrer que pour tout entiernpositif, l’entier 10ⁿ−(−1)ⁿest divisible par 11. [007012]

Exercice 88

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie paru₀=0 et pour toutnpositif,u_n+1=√

3un+4. Montrer que

la suite est majorée par 4. [007013]

Exercice 89

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie paru₀=0 et pour toutnpositif,u_n+1=2un+1. Calculeru_nen fonction den.

IndicationH ^[007014]

Exercice 90

Soit (un)n∈N la suite de nombres réels définie paru₀=1, u₁=2 et pour tout npositif, u_n+2=5u_n+1−6un. Calculerunen fonction den.

Exercice 91

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie paru₀=1,u₁=1 et pour toutnpositif,u_n+2=u_n+1+_n+2² un. Montrer :∀n∈N^∗,16un6n².

Exercice 92

Montrer que pour toutn∈N, la somme desnpremiers entiers positifs impairs est toujours le carré d’un entier.

[007017]

Exercice 93

Montrer :∀u∈R,∀n∈N,|sin(nu)|6n|sin(u)|. [007018]

Exercice 94

1. Soita∈R+. Montrer∀n∈N^∗,(1+a)ⁿ>1+na+ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾a².

2. Soit(un)n∈Nla suite définie parun=³ⁿ₃n. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a 06un6 _2n³ⁿ2+1.

[007019]

Exercice 95

Soita∈]0,π/2[, et définissons une suite réelle paru₀=2 cos(a)et pour toutn∈N,u_n+1=√

2+un. Montrer que pour toutn∈N, on aun=2 cos ₂^an

. [007020]

Exercice 96

Définissons une suite paru₀=1 et pour toutn∈N,u_n+1=¹₂u_n+n−1.

1. Démontrer que pour tout n>3, un est positif. En déduire que pour tout n>4, on a un>n−2. En déduire la limite de la suite.

2. Définissons maintenant la suitevn=4un−8n+24. Montrer que la suite(vn)est une suite géométrique, donner son premier terme et sa raison. Montrer que pour toutn∈N,u_n=7 ¹₂n

+2n−6. Remarquer queunest la somme d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique dont on précisera les raisons et les premiers termes. En déduire une formule pour la quantitéu₀+u₁+...+unen fonction de l’entiern.

(28)

[007021]

Exercice 97

On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie paru₀=2 et pour toutn∈N,u_n+1=√un. 1. Montrer que pour toutn∈N,u_n>1.

2. Montrer que pour tout réela∈]1;+∞[, on a√a+1¹ 6¹₂. 3. En déduire que pour toutn∈N, on au_n+1−16¹₂(un−1).

4. Montrer que pour toutn∈N,un−16 ¹₂n

. En déduire la limite de la suite(un).

[007022]

Exercice 98 Récurrence de Cauchy et application SoitAune partie deN^∗contenant 1 et telle que

1. ∀n∈N^∗,n∈A⇒2n∈A; 2. ∀n∈N^∗,n+1∈A⇒n∈A.

Montrer queA=N^∗.

En déduire l’inégalité arithmético-géométrique : sia₁, ...,ansont des réels positifs, alors on a a₁+...+an

n 6√ⁿ

a₁a₂...an.

[007023]

Exercice 99

Démontrer que tout entiern>1 peut s’écrire comme somme de puissances de deux distinctes.

Exercice 100

Démontrer que tout entiern>1 peut s’écrire de façon unique sous la forme 2^p(2q+1), avecpetqentiers.

Exercice 101

Montrer que pour toutn>0 on a l’inégalité

√1 1+ 1

√2+···+ 1

√n >√ n.

[007035]

Exercice 102 Une récurrence descendante Montrer que pour tout entierN>2,

vu uu t2

vu ut 3

s 4

r ...

q

(N−1)√ N<3.

Exercice 103 Inégalité du binôme

Montrer que pour tousa,b>0 distincts et toutn>1, on a l’inégalité 2ⁿ⁻¹(aⁿ+bⁿ)>(a+b)ⁿ.

(29)

[007037]

Exercice 104 Variantes du raisonnement par récurrence

Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d’en déduire queP_nest vraie pour toutn∈N? 1. P₀et∀n∈N,Pn⇒(P2n∧P_2n+1);

2. P₀,P₁et∀n>1,Pn⇒(P_2n∧P_2n+1); 3. P₀,P₁,P₂et∀n>2,Pn⇒(P_2n∧P_2n+1); 4. P₀,P₁et∀n>1,Pn⇒(Pn−1∧P_n+1).

[007038]

Exercice 105 Conducteur d’un sous-monoïde SoitP_nune assertion dépendant den∈Ntelle que :

1. P₀est vraie ;

2. ∀n∈N,Pn⇒(P_n+3etP_n+4).

La propriété est-elle vraie pour toutn∈N? Pournassez grand ? (Et si oui à partir de quel rang ?) Pour quels entiers est-elle vraie ?

Répondre aux deux premières questions en remplaçant dans l’énoncé les nombres 3 et 4 par des paramètres entiers positifsaetbquelconques.

Exercice 106 Nombres de Catalan

On définit une suite(Cn)n∈NparC₀=1 et pour tout natureln,C_n+1=∑ⁿ_k=0C_kC_n₋_k. 1. Calculer les cinq premiers termes de la suite ;

2. Montrer par récurrence que pour toutn>0,Cn>2ⁿ⁻¹; 3. Montrer par récurrence forte que pour toutn>0,Cn>3ⁿ⁻²;

4. Tenter de montrer par une récurrence similaire à la précédente que pour toutn>0,C_n>4ⁿ⁻². À quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cela échoue ?

[007040]

Exercice 107

Soitxun réel tel quex+¹_x soit entier. Montrer que pour toutn∈N,xⁿ+_x¹n est entier. [007041]

Exercice 108

Soit(un)n∈Nla suite réelle définie paru₀=2,u₁=3, et pour toutn∈N,u_n+2=3un+1−2un. Détermineru_nen fonction den.

Exercice 109

Soit(un)n∈Nla suite réelle définie paru₀=1 et pour toutn∈N,u_n+1=∑ⁿ_k=0u_k. Détermineru_nen fonction de

n. [007043]

Exercice 110

Soitn∈N^∗. On tracencercles dans le plan. Montrer que l’on peut colorier chaque région du plan ainsi délimitée avec exactement deux couleurs, de manière à ce que deux régions séparées par un arc de cercle soient toujours

de couleur différente. [007044]

Exercice 111

(30)

Soitnun entier supérieur ou égal à 2. On place 2npoints dans l’espace, et on tracen²+1 segments entre ces

points. Montrer que l’on a tracé au moins un triangle. ^[007045]

Exercice 112

Déterminer les valeurs denpour lesquelles le nombre un:=1+1

2+1

3+...+1 n est entier.

5 100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre

Exercice 113

1. SoitE=N×N, on définitR par :(a,b)R(a⁰,b⁰)⇔a+b⁰=b+a⁰. Montrer queR est une relation d’équivalence. IdentifierE/R.

2. Mêmes questions avecE=Z×N^∗et(p,q)R(p⁰,q⁰)⇔pq⁰=p⁰q.

[000207]

Exercice 114

DansR²on définit la relationRpar :

(x,y)R(x⁰,y⁰)⇔y=y⁰. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Déterminer la classe d’équivalence de(x,y)∈R².

[000208]

Exercice 115

DansCon définit la relationRpar :

zRz⁰⇔ |z|=|z⁰|. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Déterminer la classe d’équivalence de chaquez∈C.

Exercice 116

SoitRune relation binaire sur un ensembleE, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ?

“xRy⇒yRxcarRest symétrique, or(xRyetyRx)⇒xRxcarRest transitive,

doncRest réflexive.”

IndicationH CorrectionH ^[000210]

Exercice 117

Étudier la relation Re définie surR^R(l’ensemble des applications deRdansR) par : fReg⇐⇒ ∃A>0,∀x∈R,|x|>A⇒ f(x) =g(x).

[000211]

(31)

Exercice 118

Montrer que la relationRdéfinie surRpar :

xRy⇐⇒xe^y=ye^x

est une relation d’équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d’éléments de la classe dexmoduloR.

Exercice 119

La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur N? sur Z? Si oui, est-ce une relation d’ordre total ?

[000213]

Exercice 120

Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’équivalence, préciser les classes ; dans le cas d’une relation d’ordre, préciser si elle est totale, si l’ensemble admet un plus petit ou plus grand élément.

1. DansP(E):AR1B⇔A⊂B ; AR2B⇔A∩B=/0.

2. DansZ:aR3b⇔aetbont la même parité ; aR4b⇔ ∃n∈N a−b=3n ; aR5b⇔a−best divisible par 3.

[000214]

Exercice 121

Soient(X,6)et(Y,6)deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux ordres de la même façon). On définit surX×Y la relation(x,y)6(x⁰,y⁰)ssi(x<x⁰)ou(x=x⁰ety6y⁰). Montrer que c’est un ordre et qu’il

est total ssiXetY sont totalement ordonnés. [000215]

Exercice 122

Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit élément.

1. Donner un exemple d’ensemble bien ordonné et un exemple d’ensemble qui ne l’est pas.

2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné.

3. La réciproque est-elle vraie ?

[000216]

Exercice 123

Soit(E,6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)\ {/0}la relation≺par X≺Y ssi (X=Y ou ∀x∈X ∀y∈Y x6y).

Vérifier que c’est une relation d’ordre.

Exercice 124

Montrer quea∗b= a+b

1+ab est une l.c.i sur]−1,1[et déterminer ses propriétés. [000218]

Exercice 125 Congruence des carrés modulo 5

On définit la relation∼surZparx∼y ⇐⇒ x²≡y²mod 5.

1. Déterminer l’ensemble quotient.

(32)

2. Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ?

[003030]

Exercice 126 Produit cartésien

Soient deux relations d’équivalence :RsurE, etS surF. On définit surE×F: (x,y)∼(x⁰,y⁰) ⇐⇒ xRx⁰etySy⁰.

1. Vérifier que∼est une relation d’équivalence.

2. Soitφ:E×F→(E/R)×(F/S),(x,y)7→(x,˙ y)˙

Démontrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.

[003031]

Exercice 127 X∪A=Y∪A

SoitEun ensemble etA⊂E. On définit la relation surP(E): X∼Y ⇐⇒ X∪A=Y∪A.

1. Montrer que c’est une relation d’équivalence.

2. Soitφ:P(E)→P(E\A),X7→X\A.

Montrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.

[003032]

Exercice 128 Équivalences surE^E

SoitEun ensemble non vide. On considère les relations surF=E^E : f ∼g ⇐⇒ ∃n∈N^∗tq fⁿ=gⁿ, f ≈g ⇐⇒ ∃m,n∈N^∗tq fⁿ=g^m, f ≡g ⇐⇒ f(E) =g(E).

1. Montrer que∼,≈,≡sont des relations d’équivalence.

2. Pour f∈F, on note f^∼, f^≈, f^≡les classes d’équivalence de f modulo∼,≈,≡. (a) Comparer f^∼, f^≈.

(b) Montrer que toute classe d’équivalence pour≈est réunion de classes d’équivalence pour∼. (c) Que pouvez-vous dire de f s’il existeg∈ f^≈ injective ? surjective ?

(d) Même question avec f^≡.

[003033]

Exercice 129 Relation d’équivalence quotient

SoientRetS deux relations d’équivalence sur un ensembleE, telles que :

∀x,y∈E,xRy⇒xSy.

On définitS˙surE/Rpar : ˙xS˙y˙ ⇐⇒ xSy.

Vérifier queS˙est une relation d’équivalence, puis définir une bijection entre(E/R)/S˙etE/S. [003034]

Exercice 130 Complétion d’une relation réflexive et transitive

SoitRune relation binaire sur un ensembleE réflexive et transitive. On définit les deux relations : xSy ⇐⇒ (xRyetyRx),

xTy ⇐⇒ (xRyouyRx).

(33)

Est-ce queS etT sont des relations d’équivalence ? [003035]

Exercice 131 Parties saturées pour une relation d’équivalence

Soit∼une relation d’équivalence sur un ensembleE. PourA⊂E, on définits(A) =^S_x_∈_Ax.˙ 1. ComparerAets(A).

2. Simplifiers(s(A)).

3. Montrer que :∀x∈E, on a(x∈s(A)) ⇐⇒ (x˙∩s(A)6=∅). En déduires(E\s(A)).

4. Démontrer ques(^S_i_∈_IAi) =^S_i_∈_Is(Ai)ets(^T_i_∈_IAi)⊂^Ti∈Is(Ai).

5. Donner un exemple d’inclusion stricte.

[003036]

Exercice 132 Ordre sur les fonctions

SoitXun ensemble etE=R^X. On ordonneEpar : f6g ⇐⇒ ∀x∈X, f(x)6g(x).

1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.

2. L’ordre est-il total ?

3. Comparer les énoncés :“ f est majorée”, et“{f}est majoré”.

4. Soit(f_i)i∈Iune famille majorée de fonctions deE. Montrer qu’elle admet une borne supérieure.

[003037]

Exercice 133 sup◦inf et inf◦sup

Soit f :R²→Rune fonction bornée. On définit les fonctions :

g:R→R,t7→sup{f(t,y)tqy∈R}

h:R→R,t7→inf{f(x,t)tqx∈R}

Montrer quegethsont bornées, puis comparer suphet infg. [003038]

Exercice 134 Ordre lexicographique

On noteE= [−1,1]², et on définit surE la relation : (x,y)(x⁰,y⁰) ⇐⇒

(x<x⁰)ou(x=x⁰ety6y⁰)

(ordre lexicographique).

1. Pour(a,b)∈E, représenter graphiquement l’ensemble des majorants de(a,b).

2. SoitAune partie non vide deE. Montrer queAadmet une borne supérieure.

[003039]

Exercice 135 Distance entre un point et une partie PourA⊂Rnon vide et bornée, etx∈R, on note :

d(x,A) =inf{|x−a|tqa∈A} (distance de x à A).

Montrer qued(x,A)−d(y,A)6|x−y|. ^[003040]

Exercice 136 Parties adjacentes SoientA,B⊂Rvérifiant : (

∀a∈A,∀b∈B,a6b

∀ε>0, ∃a∈A, ∃b∈Btqb−a6ε

(on dit queAetBsontadjacentes). Montrer que sup(A) =inf(B). [003041]