x+y+z = 4 x2+y2+z2 = 4 x3+y3+z3 = 1
CorrectionH [000103]
Exercice 658 ***
Montrer que les solutions de l’équation 1+z+z2+...+zn−1−nzn=0 sont de module inférieur ou égal à 1.
CorrectionH [005132]
Exercice 659 ***T ESIM 1993
Pourz∈C, on pose chz= 12(ez+e−z), shz= 12(ez−e−z)et thz= shzchz. 1. Quels sont les nombres complexeszpour lesquels thzexiste ? 2. Résoudre dansCl’équation thz=0.
3. Résoudre dansCle système
|Imz|< π2
|thz|<1 .
4. Montrer que la fonction th réalise une bijection de∆={z∈C/|Imz|<π4}surU={z∈C/|z|<1}.
CorrectionH [005136]
25 105.01 Division euclidienne
Exercice 660
Effectuer la division euclidienne du polynômeP=X5−X4+2X3+X2+4 par Q=X2−1. Même exercice
lorsqueP=X4−2Xcos(2ϕ) +1 etQ=X2−2Xcos(ϕ) +1. [000356]
Exercice 661
SoitPun polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne dePparX−aest 1 et celui de la division dePparX−best−1,(a6=b), quel est le reste de la division euclidienne dePpar(X−a)(X−b)? [000357]
Exercice 662
Calculer le reste de la division euclidienne du polynômeXn+X+1 par le polynôme(X−1)2. [000358]
Exercice 663
Pour quelles valeurs demle polynômeP= (X+1)m−Xm−1 est-il divisible par le polynômeQ=X2+X+1 ?
[000359]
Exercice 664
Montrer que le polynômeP(X)−X divise le polynômeP(P(X))−X. [000360]
Exercice 665
Déterminera,b∈Zde façon à ce que le polynômeaXn+1−bXn+1 soit divisible par le polynôme(X−1)2.
Calculer alors le quotient des deux polynômes. [000361]
Exercice 666
Existe-t-il un polynômePde degré 7 tel que(X−1)4diviseP(X) +1 et(X+1)4diviseP(X)−1 ? [000362]
Exercice 667
Effectuer les divisions par puissances croissantes de : 1. P=1 parQ=1−X, à l’ordren,
2. P=1+XparQ=1+X2à l’ordre 5,
3. P=X−X63+X125 parQ=1−2X2+X4à l’ordre 5.
[000363]
Exercice 668
Effectuer les divisions euclidiennes de 3X5+4X2+1 par X2+2X+3, 3X5+2X4−X2+1 par X3+X+2, X4−X3+X−2 par X2−2X+4.
CorrectionH [000364]
Exercice 669
DansC[X], effectuer les divisions euclidiennes de X2−3iX−5(1+i) par X−1+i,
4X3+X2 par X+1+i. [000365]
Exercice 670
Effectuer la division selon les puissances croissantes de :
X4+X3−2X+1 parX2+X+1 à l’ordre 2.
CorrectionH [000366]
Exercice 671
Soit a et b deux nombres complexes distincts, m et n deux entiers naturels. Montrer que si les polynômes (X−a)met(X−b)ndivisent un polynômeP, alors le polynôme(X−a)m(X−b)ndiviseP. [000367]
Exercice 672
Pourn∈N, quel est le reste de la division deXn+X+bpar(X−a)2? [000368]
Exercice 673
Pourn∈N, montrer que le polynôme(X−1)n+2+X2n+1est divisible parX2−X+1. Trouver le quotient si
n=2. [000369]
Exercice 674
Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X−1)4etP−1 par(X+1)4. Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l’une des méthode suivantes :
1. à partir de la relation de Bézout entre(X−1)4et(X+1)4;
2. en considérant le polynôme dérivéP00 et en cherchant un polynôme de degré minimal.
Montrer quePconvient si et seulement si le polynômeP−P0est divisible par(X−1)4(X+1)4, et en déduire toutes les solutions du problème.
CorrectionH Vidéo [000370]
Exercice 675
Effectuer la division deA=X6−2X4+X3+1 parB=X3+X2+1 : 1. Suivant les puissances décroissantes.
2. À l’ordre 4 (c’est-à-dire tel que le reste soit divisible parX5) suivant les puissances croissantes.
CorrectionH [000371]
Exercice 676
DétermineraetbdansRtels queX2+2 diviseX4+X3+aX2+bX+2. [000372]
Exercice 677
Déterminer le reste de la division euclidienne de(sinaX+cosa)nparX2+1. [000373]
Exercice 678
SoitPun polynôme dont le reste de la division euclidienne parX−1 est 7 et parX+5 est 3. Quel est le reste
de la division euclidienne dePparX2+4X−5 ? [000374]
Exercice 679
Effectuer la division euclidienne deX5−7X4−X2−9X+9 parX2−5X+4.
CorrectionH [000375]
Exercice 680
Soitn>1. Déterminer le reste de la division euclidienne denXn+1−(n+1)Xn+1 par(X−1)2. [000376]
Exercice 681
SoientP,Q∈K[X]tels queX2+X+1 diviseP(X3) +X Q(X3). Montrer queP(1) =Q(1) =0. Réciproque ?
[000377]
Exercice 682
Quels sont les polynômesP∈C[X]tels queP0diviseP?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000378]
Exercice 683 Décomposition en puissances croissantes
SoitA∈K[X]de degré>0. Montrer que pour tout polynômeP∈Kn[X], il existe des polynômesP0,P1, . . . ,Pn
uniques vérifiant : (
degPi<degA
P=P0+P1A+···+PnAn.
[003196]
Exercice 684 Linéarité du reste et du quotient
SoitB∈K[X]de degrén>0. On considère les applications :
Φ:K[X]→Kn−1[X],P7→R et
Ψ:K[X]→K[X],P7→Q avecP=QB+R.
1. Montrer queΦetΨsont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images.
2. SimplifierΦ(P1P2).
[003197]
Exercice 685 EndomorphismeP7→APmodB
SoitE=K3[X],A=X4−1,B=X4−X,etϕ:E→E,P7→reste de la div. euclid. deAPparB.
Chercher Kerϕ, Imϕ.
CorrectionH [003198]
Exercice 686 Congruences
SoientP∈K[X],a,b∈Kdistincts, etα=P(a),β =P(b).
1. Quel est le reste de la division euclidienne dePpar(X−a)(X−b)? 2. Trouver le reste de la division euclidienne de(cosθ+Xsinθ)nparX2+1.
CorrectionH [003199]
Exercice 687 Congruences
Déterminer les polynômesP∈Q3[X]divisibles parX+1 et dont les restes des divisions parX+2,X+3,X+4 sont égaux.
CorrectionH [003200]
Exercice 688 Calcul de pgcd Calculer le pgcd dePetQpour :
1. P=X4+X3−3X2−4X−1 Q=X3+X2−X−1 2. P=X4−10X2+1
Q=X4−4X3+6X2−4X+1 3. P=X5−iX4+X3−X2+iX−1
Q=X4−iX3+3X2−2iX+2
CorrectionH [003201]
Exercice 689 Coefficients de Bézout
Montrer que les polynômesPetQsuivants sont premiers entre eux. TrouverU,V∈K[X]tels queU P+V Q=1.
1. P=X4+X3−2X+1 Q=X2+X+1 2. P=X3+X2+1
Q=X3+X+1
CorrectionH [003202]
Exercice 690 Division de(X+1)n−Xn−1 parX2+X+1
Chercher le reste de la division euclidienne de(X+1)n−Xn−1 parX2+X+1.
CorrectionH [003203]
Exercice 691 Ensi P 90
Pour quelsn∈Nle polynôme(1+X4)n−Xnest-il divisible par 1+X+X2dansR[X]?
CorrectionH [003204]
Exercice 692 Division de(X−2)2n+ (X−1)n−1 par(X−1)(X−2) SoitPn= (X−2)2n+ (X−1)n−1.
1. Montrer quePnest divisible parX−1 et parX−2. On noteQ1etQ2les quotients correspondant.
2. Montrer quePnest divisible par(X−1)(X−2)et que le quotient estQ2−Q1. 3. Montrer que ce quotient est égal à :
(X−2)2n−2−(X−2)2n−3+··· −(X−2) +1 +
(X−1)n−2+ (X−1)n−3+···+ (X−1) +1 .
CorrectionH [003205]
Exercice 693 Calcul de restes
Trouver les restes des divisions euclidiennes : 1. deX50parX2−3X+2.
2. de X+√ 317
parX2+1.
3. deX8−32X2+48 par X−√ 23
.
CorrectionH [003206]
Exercice 694 Divisibilité
Trouverλ,µ∈Ctels queX2+X+1 diviseX5+λX3+µX2+1.
CorrectionH [003207]
Exercice 695 Congruences
SoitP∈K[X]tel que les restes des divisions dePparX2+1 etX2−1 valent respectivement 2X−2 et−4X. Quel est le reste de la division dePparX4−1 ?
CorrectionH [003208]
Exercice 696 pgcd(Xn−1,Xm−1)
Soientm,n∈N∗. Chercher pgcd(Xn−1,Xm−1).
CorrectionH [003209]
Exercice 697 Degré minimal dans la formule de Bézout SoientP,Q∈K[X]non nuls etD=pgcd(P,Q).
1. Démontrer qu’il existeU,V∈K[X]uniques tels que :
U P+V Q=D
degU<degQ−degD degV<degP−degD.
2. Montrer que la méthode des divisions euclidiennes fournitU etV.
CorrectionH [003210]
Exercice 698 Application(U,V)7→UA+V B
SoientA,B∈K[X],p=degA,q=degB. On considère l’application :
Φ:Kq−1[X]×Kp−1[X]→Kp+q−1[X],(U,V)7→UA+V B
Démontrer que :A∧B=1 ⇐⇒ Φest bijective. [003211]
Exercice 699 pgcd(P(X),P(−X))et ppcm(P(X),P(−X))
SoitP∈K[X]. Démontrer que pgcd(P(X),P(−X))et ppcm(P(X),P(−X))sont pairs ou impairs. [003212]
Exercice 700 A◦P|B◦P⇒A|B
SoientA,B,P∈K[X]avecPnon constant. Montrer que siA◦PdiviseB◦P, alorsAdiviseB. [003213]
Exercice 701 ***
Division euclidienne deP=sinaXn−sin(na)X+sin((n−1)a)parQ=X2−2Xcosa+1,aréel donné.
CorrectionH [005323]
Exercice 702
1. Effectuer la division euclidienne deAparB: (a) A=3X5+4X2+1, B=X2+2X+3 (b) A=3X5+2X4−X2+1,B=X3+X+2 (c) A=X4−X3+X−2,B=X2−2X+4
(d) A=X5−7X4−X2−9X+9,B=X2−5X+4
2. Effectuer la division selon les puissances croissantes deAparBà l’ordrek(c’est-à-dire tel que le reste soit divisible parXk+1) :
(a) A=1−2X+X3+X4,B=1+2X+X2,k=2 (b) A=1+X3−2X4+X6,B=1+X2+X3, k=4
CorrectionH Vidéo [006955]
Exercice 703
À quelle condition sura,b,c∈Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ?
CorrectionH Vidéo [006956]
26 105.02 Pgcd
Exercice 704
Calculer pgcd(P,Q)lorsque :
1. P=X3−X2−X−2 etQ=X5−2X4+X2−X−2, 2. P=X4+X3−2X+1 etQ=X3+X+1.
CorrectionH [000379]
Exercice 705
Déterminer le pgcd des polynômes suivants : X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2, X4+X3−3X2−4X−1 etX3+X2−X−1,
X5+5X4+9X3+7X2+5X+3 etX4+2X3+2X2+X+1.
CorrectionH [000380]
Exercice 706
DéterminerA,B∈R[X]tels que(X3+1)A+ (X2+X+1)B=1. [000381]
Exercice 707
Montrer qu’il existe deux polynômes :U,V, vérifiant :(?) (X−1)nU+XnV=1. DéterminerU1etV1de degré strictement inférieur àn, satisfaisant cette égalité. En déduire tous les polynômesU,V vérifiant(?). [000382]
Exercice 708
SoientP,Qdeux polynômes premiers entre eux.
1. Montrer qu’alorsPnetQmsont premiers entre eux oùn,msont deux entiers positifs.
2. Montrer de même queP+QetPQsont premiers entre eux.
[000383]
Exercice 709
Soitnun entier positif.
1. Déterminer le pgcd des polynômes(Xn−1)et(X−1)n.
2. Pourn=3 démontrer qu’il existe un couple de polynômes(U,V) tel que (X3−1)U+ (X−1)3V = X−1. En donner un.
[000384]
Exercice 710
Montrer que les élémentsX2+X,X2−X,X2−1 deR[X]sont premiers entre eux, mais ne sont pas premiers
entre eux deux à deux. [000385]
Exercice 711
Trouver tous les polynômesU etV de R[X]tels queAU+BV soit un pgcd deAetB avecA=X4−2X3−
2X2+10X−7 etB=X4−2X3−3X2+13X−10. [000386]
Exercice 712
Calculer le pgcd D des polynômes A etB définis ci-dessous. Trouver des polynômes U etV tels que D= AU+BV.
1. A=X5+3X4+2X3−X2−3X−2 et B=X4+2X3+2X2+7X+6.
2. A=X6−2X5+2X4−3X3+3X2−2X et B=X4−2X3+X2−X+1.
CorrectionH [000387]
Exercice 713
Trouver le pgcd des trois polynômes :
A = X5+4X4+6X3+6X2+5X+2 B = X2+3X+2
C = X3+2X2+X+2.
[000388]
Exercice 714
Soit les polynômes deR[X]:
A = (X+3)2(X+1)(X2+1)3 B = (X+3)2(X+2)2(X2+1) C = (X+3)(X+2)(X2+1)2. 1. CombienApossède-t-il de diviseurs normalisés ? etB? etC? 2. Écrire le pgcd et le ppcm deAetB.
3. Écrire le pgcd et le ppcm des trois polynômesA,BetC.
[000389]
Exercice 715
1. Trouver le pgcd deX24−1 etX15−1 ; le pgcd deX280−1 etX60−1.
2. Montrer que quels que soient les entiers positifsbetq,Xb−1 diviseXbq−1. En déduire que le reste de la division deXa−1 parXb−1 estXr−1 oùrest le reste de la division dansNdeaparb. Quel est alors le pgcd deXa−1 etXb−1 ? Application : trouver le pgcd deX5400−1 etX1920−1.
3. Pétant un polynôme quelconque deC[X], etaetbdeux entiers naturels, quel est le pgcd dePa−1 et Pb−1 ? Indication : utiliser le théorème de Bézout dansZet dansC[X].
[000390]
Exercice 716
SoitA∈C[X]etB∈C[X].
1. A-t-on pgcd(A,B) =1 ⇐⇒ pgcd(A+B,AB) =1 ? 2. A-t-on pgcd(A,B) =pgcd(A+B,AB)?
[000391]
Exercice 717
Soitnun entier strictement positif.
1. Démontrer qu’il existe un unique couple de polynômesPetQde degrés strictement inférieurs àntels que(1−X)nP(X) +XnQ(X) =1.
2. Démontrer queP(1−X) =Q(X)etQ(1−X) =P(X).
3. Démontrer qu’il existe une constanteatelle que
(1−X)P0(X)−nP(X) =aXn−1. En déduire les coefficients dePet la valeur dea.
Réponse :a=−(2n−1)C2nn−−12. [000392]
Exercice 718
Déterminer les polynômesP∈R[X]etQ∈R[X], premiers entre eux, tels queP2+Q2= (X2+1)2. En déduire que l’équationx2+y2=z2a une infinité de solutions (non proportionnelles) dansZ. [000393]
Exercice 719
1. Montrer que les polynômesX−1 etX−2 sont premiers entre eux et en déduired=pgcd((X−1)2,(X− 2)3)et desUetV polynômes tels que
U(X−1)2+V(X−2)3=d.
2. Déterminer le polynômeP, de degré minimal, tel que le reste de la division euclidienne dePpar(X−1)2 est 2Xet le reste de la division euclidienne dePpar(X−2)3est 3X.
[000394]
Exercice 720
Montrer que les polynômes complexesP=X1998+X+1 etQ=X5+X+1 sont premiers entre eux. [000395]
Exercice 721 **IT
Déterminer le PGCD deX6−7X4+8X3−7X+7 et 3X5−7X3+3X2−7.
CorrectionH [005317]
Exercice 722
1. Déterminer les pgcd des polynômes suivants : (a) X3−X2−X−2 etX5−2X4+X2−X−2 (b) X4+X3−2X+1 etX3+X+1
(c) X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d) nXn+1−(n+1)Xn+1 etXn−nX+n−1 (n∈N∗)
2. Calculer le pgcdDdes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetV tels queAU+BV= D.
(a) A=X5+3X4+2X3−X2−3X−2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b) A=X6−2X5+2X4−3X3+3X2−2X
etB=X4−2X3+X2−X+1
IndicationH CorrectionH Vidéo [006957]
Exercice 723
1. Montrer que si Aet B sont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A,B), sont aussi à coefficients dansQ.
2. Soita,b,c∈C∗distincts, et 0<p<q<rdes entiers. Montrer que siP(X) = (X−a)p(X−b)q(X−c)r est à coefficients dansQ, alorsa,b,c∈Q.
IndicationH CorrectionH Vidéo [006958]