Exercice 424
Soienta,bdes entiers supérieurs ou égaux à 1. Montrer : 1. (2a−1)|(2ab−1);
2. 2p−1 premier ⇒ ppremier ; 3. pgcd(2a−1,2b−1) =2pgcd(a,b)−1.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000336]
Exercice 425
Démontrer que, siaetbsont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiersa+betab.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000337]
Exercice 426
Résoudre l’équation 29x−11y=1 dansZ.
On considère maintenant l’équation 29x−11y=5. Déduire de ce qui précède une solution particulière de cette
équation, puis en donner la solution générale. [000338]
Exercice 427
Soit pun nombre premier.
1. Montrer que∀i∈N,0<i<pon a :
Cipest divisible par p.
2. Montrer par récurence que :
∀ppremier,∀a∈N∗, on aap−aest divisible par p.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000339]
Exercice 428
1. Soit(x,y,z)∈N3. Montrer que :
x2+y2=z2⇔ ∃(x0,y0,z0)∈N3,∃n∈Ntq pgcd(x0,y0,z0) =1
x02+y02=z02 x=nx0ety=ny0etz=nz0. 2. Soit(x,y,z)∈N3tels quex2+y2=z2. On suppose que pgcd(x,y,z) =1
(a) Montrer quexetyne sont pas de mêmes parité.
(b) On supposexpair etyimpair. On pose :
x=2u, z−y=2v,z+y=2w avec(u,v)∈N∗. Montrer quevetwsont premiers entre eux.
(c) Montrer que
x=2mn, y=m2−n2, z=m2+n2 avecmetnentiers naturels de parité différentes.
(d) Montrer que si
x=2mn, y=m2−n2, z=m2+n2 alors
x2+y2=z2.
[000340]
Exercice 429
1. Montrer par récurrence que∀n∈N,∀k>1 on a : 22n+k−1=
22n−1
×
k−1
∏
i=0
(22n+i+1).
2. On poseFn=22n+1. Montrer que pourm6=n,FnetFmsont premiers entre eux.
3. En déduire qu’il y a une infinité de nombres premiers.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000341]
Exercice 430
Les nombresa,b,c,d étant des éléments non nuls deZ, dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse.
1. Siadivisebetbdivisec, alorsadivisec.
2. Siadivisebetc, alorsadivise 2b+3c.
3. S’il existeuetventiers tels queau+bv=4 alors pgcd(a,b) =4.
4. Si 7a−9b=1 alorsaetbsont premiers entre eux.
5. Siadivisebetbdivisecetcdivisea, alors|a|=|b|.
6. «aetbpremiers entre eux » équivaut à « ppcm(a,b) =|ab|».
7. Siadivisecetbdivised, alorsabdivisecd.
8. Si 9 diviseabet si 9 ne divise pasa, alors 9 diviseb.
9. Siadivisebouadivisec, alorsadivisebc.
10. «adiviseb» équivaut à « ppcm(a,b) =|b|».
11. Siadiviseb, alorsan’est pas premier avecb.
12. Sian’est pas premier avecb, alorsadiviseboubdivisea.
[000342]
Exercice 431
1. Soit p∈Zun nombre premier. Montrer que sia∈Zn’est pas congru à 0 modulo palors pne divise pasaet donc pgcd(a,p) =1.
2. Soita∈Znon congru à 0 modulo pavec p premier. Montrer en utilisant le a) qu’il existeu∈Znon congru à 0 modulo pvérifiantau≡1[p]. (Remarquer que cela donne un inverse deamodulop).
3. Montrer que sipn’est pas premier, il existe des élémentsa,u∈Znon nuls moduloptels queau≡0[p].
[000343]
Exercice 432
1. Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre eux.
2. Montrer que pour tout entier natureln, pgcd((n+1)2,n+2) =1.
[000344]
Exercice 433
Prouver que pour vérifier qu’un entier pest premier, il suffit de vérifier qu’il n’a pas de diviseurs inférieurs ou
égaux à√p. [000345]
Exercice 434 Théorème de Wilson
Démontrer que tout nombre premier pdivise(p−1)!+1. [000346]
Exercice 435
Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers : 1. n4−20n2+4 pourn∈N.
2. 14(n3+ (n+2)3)pourn>2.
3. a4+4b4poura,b>2.
[000347]
Exercice 436
SoitXl’ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 aveck∈N.
1. Montrer queXest non vide.
2. Montrer que le produit de nombres de la forme 4k+1 est encore de cette forme.
3. On suppose queXest fini et on l’écrit alorsX={p1, . . . ,pn}.
Soita=4p1p2. . .pn−1. Montrer par l’absurde queaadmet un diviseur premier de la forme 4k+3.
4. Montrer que ceci est impossible et donc queXest infini.
CorrectionH Vidéo [000348]
Exercice 437
Soita∈Ntel quean+1 soit premier, montrer que∃k∈N,n=2k.Que penser de la conjecture :∀n∈N,22n+1 est premier ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000349]
Exercice 438
Soitnun nombre premier etp∈ {1, ...,n−1},montrer quendiviseCnp. [000350]
Exercice 439
Soientaetbdeux entiers supérieurs à 2 premiers entre eux, montrer que :
∃N0∈N,∀n>N0,n∈
ax+by|(x,y)∈N2 .
[000351]
Exercice 440 pgcd×ppcm
Soienta,b,c∈N∗. Quand a-t-on pgcd(a,b,c)×ppcm(a,b,c) =abc?
CorrectionH [003130]
Exercice 441 pgcd×ppcm
Soienta1, . . . ,an∈N∗etbi=∏j6=iaj. Montrer que :
pgcd(a1, . . . ,an)×ppcm(b1, . . . ,bn) =ppcm(a1, . . . ,an)×pgcd(b1, . . . ,bn) =∏ai.
CorrectionH [003131]
Exercice 442 abest un carré parfait
Soienta,b∈N∗premiers entre eux tels queabest un carré parfait. Montrer queaetbsont des carrés parfaits.
[003132]
Exercice 443 an=bm
Soienta,b∈N∗etm,npremiers entre eux tels quean=bm. Montrer qu’il existec∈N∗tel quea=cmetb=cn.
[003133]
Exercice 444 Valuation 2-adique de 52n−1
Montrer que la plus grande puissance de 2 divisant 5(2n)−1 est 2n+2.
CorrectionH [003134]
Exercice 445 ar−1 premier ?
On suppose quear−1 est un nombre premier. Montrez querest premier, puis queavaut 2. Réciproque ?
CorrectionH [003135]
Exercice 446 Nombres de Mersenne
On noteMn=2n−1 (n-ième nombre de Mersenne).
1. Montrer que :Mnest premier⇒nest premier.
2. Vérifier queM11n’est pas premier.
CorrectionH [003136]
Exercice 447 an+1 est premier
Soienta,n∈Ntels quea>2,n>1, etan+1 est premier. Montrer quenest une puissance de 2. [003137]
Exercice 448 Nombre de diviseurs d’un nombre entier Pourn∈N∗, on notednle nombre de diviseurs positifs den.
1. Montrer que sin=abaveca∧b=1, alorsdn=dadb.
2. Montrer quenest un carré parfait si et seulement sidnest impair.
3. Montrer que :∏d|nd=√ ndn.
[003138]
Exercice 449 Nombres premiers congrus à 3 modulo 4
Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiersptels que p≡ −1(mod 4). [003139]
Exercice 450 Nombres premiers congrus à 1 modulo 4
On rappelle que sipest premier etn∧p=1, alorsnp−1≡1(modp).
1. Soitn∈Netp>3 un diviseur premier den2+1. Montrer quep≡1(mod 4).
2. En déduire qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+1.
CorrectionH [003140]
Exercice 451 Intervalle sans nombres premiers
Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers. [003141]
Exercice 452 Factorisation de 1000!
Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant 1000 ! ?
CorrectionH [003142]
Exercice 453 1/2+1/3+···+1/nn’est pas entier
Soitn∈N,n>2. Montrer quexn=1+12+13+···+1n est de la forme : 2qpn
n avec pn,qn∈N∗etpnimpair.
CorrectionH [003143]
18 103.99 Autre
Exercice 454
Résoudre en nombres entiers naturels l’équation :
(x+1)(y+2) =2xy.
[000352]
Exercice 455
Montrer que(0,0,0)est le seul triplet(x,y,z)d’entiers naturels tels que l’on ait : x2+y2=3z2.
[000353]
Exercice 456
Déterminer les solutions des équations :
x2−5x−11≡0 mod 17; cos((n2−8n+2)π/7) =1
[000354]
Exercice 457
Un groupe deN>2 personnes se réunit. Montrer qu’au moins deux personnes ont serré le meme nombre de mains. On pourra séparer les deux cas suivants : soit tout le monde a serré au moins une main, soit il existe
quelqu’un qui n’a serré aucune main. [000355]