SoientU etV deux ensembles non vides et f une application deU à valeurs dansV.Legraphe de f est le sous-ensemble deU×V défini parGf ={(x,y)∈U×V tels quey=f(x)}.
1. On suppose maintenant queU etV sont des espaces vectoriels. Rappeler la définition de la structure d’espace vectoriel deU×V.
2. Montrer qu’une partieHdeU×V est le graphe d’une application linéaire deU dansV si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :
i)La projection canoniqueH→U définie par(x,y)7→xest surjective.
ii) H est un sous-espace vectoriel deU×V.
iii) H∩({0U})×V) ={0U×V}.(0U et 0U×V sont les éléments neutres respectifs deU etU×V.) 3. On identifieR4àR2×R2par l’isomorphisme(x,y,z,t)7→((x,y),(z,t)).Enoncer des conditions
nécés-saires et suffisantes pour queEsoit le graphe d’une application linéaire deR2dans lui-même.
4. Montrer queE est le graphe d’une application linéaireϕ deR2 dans lui-même. Déterminer sa matrice dans une base que l’on définira au préalabe.
[000966]
Exercice 1214 Projecteur et involution
SoitEun espace vectoriel ; on noteiE l’identité surE. Un endomorphismeudeEest unprojecteursiu◦u=u.
1. Montrer que siuest un projecteur alorsiE−uest un projecteur. Vérifier aussi que Imu={x∈E; u(x) = x}et queE=Keru⊕Imu.
Un endomorphismeudeEest appeléinvolutif siu◦u=iE.
2. Montrer que siuest involutif alorsuest bijectif etE=Im(iE+u)⊕Im(iE−u).
SoitE=F⊕Get soitx∈Equi s’écrit donc de façon uniquex= f+g, f∈F,g∈G. Soitu:E3x7→
f−g∈E.
3. Montrer queuest involutif,F={x∈E;u(x) =x}etG={x∈E;u(x) =−x}.
4. Montrer que siuest un projecteur, 2u−iE est involutif et que tout endomorphisme involutif peut se mettre sous cette forme.
[000967]
Exercice 1215
SoientP={(x,y,z)∈R3; 2x+y−z=0}etD={(x,y,z)∈R3; 2x−2y+z=0,x−y−z=0}.On désigne par ε la base canonique deR3.
1. Donner une base{e1,e2}dePet{e3}une base deD.Montrer queR3=P⊕Dpuis queε0={e1,e2,e3} est une base deR3.
2. Soit p la projection de R3 surP parallélement à D.Déterminer Mat(p,ε0,ε0) puis A=Mat(p,ε,ε).
VérifierA2=A.
3. Soitsla symétrie deR3par rapport àPparallélement àD.Déterminer Mat(s,ε0,ε0)puisB=Mat(s,ε,ε).
VérifierB2=I,AB=AetBA=A.
[000968]
Exercice 1216
1. SoitEun espace vectoriel de dimensionn. UnhyperplandeEest un sous-espace vectoriel de dimension n−1. Montrer que l’intersection de deux hyperplans deEa une dimension supérieure ou égale àn−2.
Montrer que, pour tout p6n, l’intersection de p hyperplans a une dimension supérieure ou égale à n−p.
2. Montrer que, pour toutn∈Net pour touty∈R, l’applicationeydeRn[X]à valeurs dansRdéfinie en posantey(P(X)) =P(y) ( i.e. l’applicationey est l’évaluation eny) est linéaire. Calculer la dimension de son noyau.
3. Même question avec l’applicatione0y deRn[X]à valeurs dansRdéfinie en posante0y(P(X)) =P0(y)(en désignant parP0le polynôme dérivé deP).
4. Démontrer, à l’aide de ces deux résultats, qu’il existe dansR6[X]un polynômePnon nul et ayant les propriétés suivantes :P(0) =P(1) =P(2) =0 etP0(4) =P0(5) =P0(6) =0.
[000969]
Exercice 1217
Soit f :R2→R2,(x,y)7→ 13(−x+2y,−2x+4y). Montrer que f est la bîîîîp par rapport à bîîîîp parallèlement
à bîîîîp. [000970]
Exercice 1218
E est unR−espace vectoriel,F etGdeux sous-espaces supplémentaires deE :E=FLG.On poses(u) = uF−uGoùu=uF+uGest la décomposition (unique) obtenue grâce àE=FLG.sest la symétrie par-rapport àF de directionG.
1. Montrer ques∈L(E),queu∈F⇔s(u) =u,u∈G⇔s(u) =−u,donner Ker(s)et calculers2. 2. Réciproquement si f∈L(E)vérifie f2=idE.On pose p= f+id2 E.Calculer f(u)en fonction dep(u)et
u.Vérifier que pest un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer que f est la symétrie par rapport àF={u∈E|f(u) =u}de directionG={u∈E|f(u) =−u}.
[000971]
Exercice 1219
Soientpetqdeux projecteurs deE, espace vectoriel, tels que pq=qp(petqcommutent). Montrer quepqet (p+q−pq)sont deux projecteurs deE, et que :
Im(pq) =Imp∩Imq, Im(p+q−pq) =Imp+Imq.
[000972]
Exercice 1220
Soient petqdeux projecteurs deE, espace vectoriel ; donner une condition nécessaire et suffisante pour que p+qsoit un projecteur deE; donner alors Im(p+q)et Ker(p+q).
Indication: on montrera que Im(p+q) =ImpLImqet que Ker(p+q) =Ker(p)∩Ker(q). [000973]
Exercice 1221
SoitE l’espace vectoriel des fonctions deRdansR. SoientPle sous-espace des fonctions paires etI le sous-espace des fonctions impaires. Montrer que E=PLI. Donner l’expression du projecteur surPde direction I.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000974]
Exercice 1222
SoitE=R[X]l’espace vectoriel des polynômes, et f :E→Edéfinie par :
∀P∈E, f(P)(X) = P(−X)−P(X)
2 .
Montrer que f ∈L(E), que E=ImfLKer(f) mais que f2=−f.Quel théorème cet exemple illustre t-il ?
[000975]
Exercice 1223
SoitE=Rn[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré6n, et f :E→Edéfinie par : f(P) =P+ (1−X)P0.
Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Imf et de kerf.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000976]
On désigne par Pq l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à q, et Oq l’espace vectoriel des polynômes d’ordre supérieur ou égal à q, c’est-à-dire divisibles par xq. Pétant un polynôme, on noteT(P)le polynôme défini par :
T(P)(x) =xP(0)− 1
5. Montrer que KerT peut s’écrire sous la forme (O1∩P1)⊕V; expliciter un sous-espaceV possible.
Déterminer KerT∩ImT.
6. On cherche un vecteur non nulu=ae3+be4 deO3∩P4, et un nombre réelλ, tels queT(u) =λu.
Écrire les équations que doivent vérifiera,b,λ. Montrer qu’il existe deux valeurs possibles de λ,λ1 etλ2, telles 0<λ1 <λ2; les calculer. Trouver deux vecteurs non nuls u3 et u4 de O3∩P4 tels que T(u3) =λ1u3etT(u4) =λ2u4.
7. On poseu0=e1,u1=e2−4e3+3e4,u2=e0. Montrer que{u0,u1,u2,u3,u4}est une base deP4. Écrire la matrice deT dans cette base.
[000978]
Exercice 1226
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes deC∞(R)(φ∈C∞(R)est fixé) : f 7→ f+φ, f 7→φf, f7→ f◦φ, f7→φ◦f, f7→
Z
f, f 7→ f0.
Lesquelles sont des endomorphismes deC0(R)?
Pour quelles valeurs deφles endomorphismesΦ:f 7→ f◦φetD:f7→ f0commutent-ils (c’est-à-dire vérifient
D(Φf) =Φ(D f),∀f) ? [002432]
Exercice 1227 Image d’une somme, d’une intersection
Soit f :E→F une application linéaire etE1,E2 deux sous-espaces vectoriels deE,F1,F2deux sous-espaces vectoriels deF. Que pouvez-vous-dire de f(E1+E2), f(E1∩E2), f−1(F1+F2), f−1(F1∩F2)? [003306]
Exercice 1228 Effet sur les familles libres et génératrices SoientE,F deux espaces vectoriels et f:E→F linéaire.
1. Montrer que f est injective si et seulement si f transforme toute famille libre deE en une famille libre deF.
2. Montrer que f est surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice deE transformée par f en une famille génératrice deF.
[003307]
Exercice 1229 f(Ker(g◦f))
SoitEun espace vectoriel et f,g∈L(E). Montrer que f(Ker(g◦f)) =Kerg∩Imf. [003308]
Exercice 1230 Permutation de coordonnées dansKn
Soitσ∈Sn(groupe symétrique) et fσ :Kn→Kn,(x1, . . .xn)7→(xσ(1), . . . ,xσ(n)) On munitKnde la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.
1. Montrer que fσ est un automorphisme d’algèbre.
2. Soitϕun automorphisme d’algèbre deKn.
(a) Montrer que la base canonique deKnest invariante parϕ (étudierϕ(e2i)etϕ(ei×ej)).
(b) En déduire qu’il existeσ∈Sntel queϕ= fσ.
3. Montrer que{0},K(1, . . . ,1),{(x1, . . . ,xn)tqx1+···+xn=0}etKnsont les seuls sev stables par tous les endomorphismes fσ.
[003314]
Exercice 1231 Isomorphisme◦projecteur SoientEen ev de dimension finie et f ∈L(E).
1. Montrer qu’il existe un projecteurp∈L(E)et un isomorphismeg∈GL(E)tels que f =g◦p.
2. Montrer qu’il existe un projecteurp∈L(E)et un isomorphismeg∈GL(E)tels que f =p◦g.
[003338]
Exercice 1232 Centre deL(E)
SoitEunK-ev de dimension finie. Le centre deL(E)est :Z={f∈L(E)tq∀g∈L(E), f◦g=g◦f}. 1. Soit f ∈L(E) et~x∈E. Si(~x,f(~x)) est libre, montrer qu’il existeg∈L(E) telle que g(~x) =~x et
g◦f(~x) =−f(~x).
2. En déduire queZest l’ensemble des homothéties.
3. DéterminerZ0={f ∈L(E)tq∀g∈GL(E), f◦g=g◦f}.
[003339]
Exercice 1233 Éléments réguliers dansL(E) Soit f ∈L(E,F).
1. Montrer que : (f est injectif) ⇐⇒ (∀g∈L(E), f◦g=0⇒g=0).
2. Montrer que : (f est surjectif) ⇐⇒ (∀g∈L(F), g◦f =0⇒g=0).
[003340]
Exercice 1234 f2=−id
SoitEunR-ev et f ∈L(E)tel que f◦f =−idE. Pourz=x+iy∈Cet~u∈E, on pose :z~u=x~u+y f(~u).
1. Montrer qu’on définit ainsi une structure deC-ev surE.
2. En déduire que dimR(E)est paire.
[003341]
Exercice 1235 f◦f =0 et f◦g+g◦f =id 1. SoitEunK-ev et f,g∈L(E)tels que :
(f2=0
f◦g+g◦f =idE. Montrer que Kerf =Imf.
2. Réciproquement, soit f∈L(E)tel que Kerf=Imf, etF un supplémentaire de Kerf. Montrer que (a) f2=0.
(b) ∀~x∈E, il existe~y,~z∈F uniques tels que~x=~y+f(~z).
(c) Il existeg∈L(E)tel que f◦g+g◦f=idE.
CorrectionH [003342]
Exercice 1236 Endomorphisme nilpotent
Un endomorphisme f ∈L(E)est ditnilpotents’il existe p∈Ntel que fp=0. Dans ce cas,l’indicede f est le plus petit entierptel que fp=0. On considère f ∈L(E)nilpotent d’indicep.
1. Soit~u∈E\Kerfp−1. Montrer que la famille ~u,f(~u), . . . ,fp−1(~u)
est libre.
2. En déduire que siE est de dimension finien, alors fn=0.
3. Soitg∈GL(E)tel que f◦g=g◦f. Montrer que f+g∈GL(E). . . (a) en dimension finie.
(b) pourEquelconque.
4. DansL(K2), soient f,gde matrices : 0 01 0
et −0 11 0
. Vérifier que f est nilpotent,g∈GL(K2), mais f+g∈/GL(K2).
CorrectionH [003343]
Exercice 1237 Matexo
SoitEunKespace vectoriel de dimension finie et f ∈L(E)tel que∀x∈E, ∃px∈N∗, fpx(x) =~0. Montrer que f est nilpotent. Donner un contre-exemple en dimension infinie. [003344]
Exercice 1238 Mines P’ 1995
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E)nilpotente d’indicen.
Soitφ:L(E)→L(E),g7→ f◦g−g◦f.
1. Montrer queφp(g) =∑k=0p (−1)kCkpfp−k◦g◦fk. En déduire queφ est nilpotente.
2. Soita∈L(E). Montrer qu’il existeb∈L(E)tel quea◦b◦a=a. En déduire l’indice de nilpotence deφ.
[003345]
Exercice 1239 Endomorphisme cyclique
SoitEun ev de dimensionnet f∈L(E). On suppose qu’il existe un vecteur~u∈Etel que la famille fk(~u)
k∈N
engendreE.
1. Montrer que ~u,f(~u), . . . ,fn−1(~u)
est une base deE. (Considérerpmaximal tel queF= ~u, . . . ,fp−1(~u) est libre, et prouver que fk(~u)est combinaison linéaire deF pour tout entierk)
2. Montrer qu’un endomorphismeg∈L(E)commute avec f si et seulement si c’est un polynôme en f.
[003346]
Exercice 1240 u2=0 en dimension 3
Soit E un ev de dimension 3 etu∈L(E) tel que u2=0. Montrer qu’il existe f ∈E∗ et~a∈E tels que :
∀~x∈E,u(~x) = f(~x)~a.
[003347]
Exercice 1241 (u,x,f(x))liée
SoitE un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et~u∈E\ {~0}. Trouver tous les endomorphismes f∈L(E) tels que :∀~x∈E, la famille(~u,~x,f(~x))est liée.
CorrectionH [003348]
Exercice 1242 Automorphismes deL(E)
SoitEun ev de dimensionnetΦ:L(E)→L(E)un automorphisme d’algèbre. On note(~e1, . . . ,~en)une base fixée deE,(ϕi j)la base deL(E)associée ϕi j(~ek) =δjk~ei
etψi j =Φ(ϕi j).
1. Simplifierψi j◦ψk`.
2. En déduire qu’il existe~u1∈E\ {~0}tel queψ11(~u1) =~u1.
3. On note~ui=ψi1(~u1). Montrer queψi j(~uk) =δjk~uiet en déduire que(~ui)est une base deE.
4. Soit f ∈GL(E)définie par : f(~ei) =~ui. Montrer que :∀g∈L(E), Φ(g) =f◦g◦f−1.
CorrectionH [003354]
Exercice 1243 f2=0⇒ f =g◦havech◦g=0
Soit f ∈L(E)telle que f2=0. Montrer qu’il existeg,h∈L(E)tels que f=g◦heth◦g=0.
CorrectionH [003355]
Exercice 1244 Barycentre de projections
Soientp,qdeux projections de même baseHet de directionsF,G. Soitλ ∈K. Montrer queλp+ (1−λ)qest
encore une projection de baseH. [003485]
Exercice 1245 Valeurs propres d’une projection
SoitEun espace vectoriel et p∈L(E)une projection. Montrer que pour toutλ ∈K\ {−1}, idE+λpest un
isomorphisme deE. [003486]
Exercice 1246 Projections ayant même base ou même direction SoitEun espace vectoriel etp,q∈L(E)deux projections.
1. Montrer quepetqont même base si et seulement si : p◦q=qetq◦p=p.
2. Donner une condition analogue pour quepetqaient même direction.
[003487]
Exercice 1247 Somme de deux projecteurs
Soientp,qdeux projections. Montrer les équivalences :
p+qest une projection ⇔p◦q+q◦p=0⇔
(Base(p)⊂Dir(q) Base(q)⊂Dir(p).
Chercher alors la base et la direction dep+q. [003488]