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Dénombrement. Chapitre Cardinal d un ensemble fini. Sommaire Dénition

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Academic year: 2022

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Chapitre 11

Dénombrement

Sommaire

11.1 Cardinal d'un ensemble ni . . . 106

11.1.1 Dénition . . . 106

11.1.2 Propriétés . . . 107

11.2 p-listes d'un ensemble à n éléments . . . 109

11.2.1 p-listes avec répétition . . . 109

11.2.2 Arrangements. . . 109

11.3 Parties d'un ensemble à n éléments . . . 110

11.3.1 Nombre de parties à p éléments. . . 110

11.3.2 Nombre de parties . . . 111

11.3.3 Propriétés des coecients binomiaux - lien avec le dénombrement. . . 111

11.4 Bilan . . . 111

11.5 Pour aller un peu plus loin... . . 112 Dans ce chapitre, nous allons revoir les bases du dénombrement. Cela nous sera utile lorsque nous tra- vaillerons plus tard sur les chapitres liés aux probabilités.

11.1 Cardinal d’un ensemble fini

11.1.1 Dénition

Commençons par revoir les dénitions de base de ce chapitre, que nous avons déjà vues dans le chapitre 9.

ˆ On dit qu'un ensembleE est ni s'il contient un nombre nin∈Nd'éléments.

ˆ L'entiernprécédemment déni est appelé lecardinaldeE. On le note Card(E) ou|E|. Dénition 11.1 (Ensemble ni et cardinal)

Par convention, l'ensemble vide est un ensemble ni de cardinal 0. Remarque 11.1

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Exercice 11.1. •Quel est le cardinal de l'ensemble{a, b}sia6=b?

• Quel est le cardinal de l'ensembleJa, bKsiaetbsont des entiers naturels aveca≤b?

Exercice 11.2. Soient Aet B deux parties deE etF deux ensembles. Étant donnée une application f :E→F, est-il vrai que siA est une partie nie deE alorsf(A)est une partie nie deF?

11.1.2 Propriétés

SoitE un ensemble ni.

1. siAet B sont deux partiesdisjointesdeE, alors on a :

|A∪B|=|A|+|B|.

2. pourn∈N, si A1, . . . , An sont des parties deE deux à deux disjointes, alors :

|∪ni=1Ai|=

n

X

i=1

|Ai|. Propriété 11.1 (Union)

L'hypothèse des ensemblesdisjointsest cruciale.

Remarque 11.2

Exercice 11.3. Quel est le cardinal de{a, b} ∪ {c, d}poura6=b etc6=d?

Soient E un ensemble ni de cardinaln∈Net A une partie deE. AlorsA est égalementun ensemble ni.

Propriété 11.2 (Partie d'un ensemble ni)

Soient Eun ensemble ni de cardinal n∈NetAune partie de E. Alors,

|A|=|E| − |A|=n− |A|.

Corollaire 1 (Complémentaire)

SoientEun ensemble ni de cardinaln∈NetAune partie deE. Alors,|A| ≤ |E|avec égalité si et seulement siA=E.

Corollaire 2 (Egalité)

Il peut donc être intéressant de démontrer une égalité d'ensembles en montrant une inclusion et une égalité de cardinaux. Nous verrons cela souvent en algèbre linéaire.

Méthode 11.1

(3)

CHAPITRE 11. DÉNOMBREMENT

Si EetF sont deux ensembles nis, alors leur produit cartésienE×F est un ensemble niet son cardinal vérie :

|E×F|=|E| × |F|.

Plus généralement siE1,. . . Ensontnensembles nis, alors leur produit cartésienE1×· · ·×En

est unensemble ni et son cardinal vérie :

|E1× · · · ×En|=|E1| × · · · × |En|. Propriété 11.3 (Produit cartésien)

On retrouve bien l'idée que pour construire un élément (x, y) de E ×F, il faut choisir un élément deE (Card(E)possibilités) et un élément deF (Card(F)possibilités).

Remarque 11.3 (C'est logique !)

Exemple 11.2. SiE est un ensemble ni etn∈NalorsEn est ni et son cardinal vaut|E|n.

Exercice 11.4. Quel est le cardinal du produit cartésien deE={2,6,9,0}et F={8,9,10}? Et celui du produit cartésien de E avec∅?

On considère un ensemble niE etA, B etC trois parties deE. On alors :

|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|

puis,

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |C∩B|+|A∩B∩C|. Théorème 11.1 (Formule du crible ou de Poincaré)

Cela implique que :

Card(A∪B)≤Card(A) +Card(B).

En généralisant la formule de Poincaré, on peut montrer que

Card(∪ni=1Ai)≤

n

X

i=1

Card(Ai), mais ce n'est pas au programme d'ECS1.

Remarque 11.4 (Cardinal de l'union)

Exercice 11.5. Dans une classe de 36 élèves, 22 étudient l'anglais, 22 l'allemand et 18 l'espagnol.

Chaque élève étudie forcément une langue. On sait que 10 font anglais et allemand, 9 font allemand et

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11.2 p-listes d’un ensemble à n éléments

11.2.1 p-listes avec répétition

Soit E un ensemble ni de cardinal n. Soit p ∈ N. On appelle p-liste d'éléments de E tout élément deEp (c'est donc unp-uplet d'éléments deE.)

Dénition 11.2 (p-liste)

Exemple 11.3. (1,5,2,5)est une 4-liste de{1,2, . . . , n}pour n= 10.

Un même élément peutapparaître plusieurs foisdans une p-liste. Par ailleurs,l'ordre d'appa- rition est pris en compte!

Remarque 11.5

Exercice 11.6. Soit E ={a, b, c, d} aveca, b, c, d deux à deux distincts. Quels sont les 2-listes de E? Combien y en a-t-il ? Pourriez-vous deviner une généralisation de cette formule ?

Soient (n, p)∈N2. Il y anp p-listes d'un ensemble ànéléments.

Propriété 11.4 (Nombre de p-listes)

Exercice 11.7. Combien y a-t-il de nombres entiers naturels pouvant s'écrire avec 1 à 4 chires ?

Pour ne pas oublier de possibilités lorsqu'on cherche les p-listes d'un ensemble à néléments, on peut utiliser un arbre.

Méthode 11.2 (Arbre)

11.2.2 Arrangements

Soient E un ensemble ni de cardinal n et p un élément de {1, . . . , n}. On appelle p-liste d'éléments distincts deE ouarrangement de péléments deE toutep-liste dont les éléments sontdistincts.

Lorsque n=p, on appellepermutationdeE touten-liste d'éléments distincts deE. Dénition 11.3 (Arrangement)

Exemple 11.4. (2,1,3)est un arrangement de 3 éléments de{1,2, . . . ,10}. C'est également une permu- tation de{1,2,3}.

• Sip > Card(E), il n'y a pas d'arrangement depéléments deE.

• En fait, une pertmutation deE n'est rien d'autre qu'une bijection deE dansE! Remarque 11.6

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CHAPITRE 11. DÉNOMBREMENT

Exercice 11.8. Donner les arrangements de 2 éléments de E ={a, b, c, d} avec a, b, c, d deux à deux distincts. Combien y en a-t-il ? Pourriez-vous deviner une généralisation de cette formule ?

Soient n ∈ N et p ∈ {1, . . . , n}. On note Apn le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble ànéléments. Alors :

Apn= n!

(n−p)! =n(n−1)(n−2). . .(n−p+ 1).

En particulier, il y an!permutations d'un ensemble ànéléments.

Théorème 11.2 (Nombre d'arrangements)

Exercice 11.9. 1) Une compétition de judo rassemble 15 sportifs. Quel est le nombre de podiums possibles à la n de la compétition ?

2) S'il n'y a pas d'ex-aequo, quel est le nombre possible de classements après un devoir de maths dans la classe d'ECS1 ?

11.3 Parties d’un ensemble à n éléments

11.3.1 Nombre de parties à p éléments

Soit n un entier naturel et p un entier inférieur à n. On appelle combinaison de péléments d'un ensembleE ni de cardinalntoute partieF deEde cardinal p.

Dénition 11.4 (Combinaison)

Exemple 11.5. {1,2,3}est une combinaison de 3 éléments de{1,2, . . . ,10}. C'est la même combinaison que{2,3,1}.

En fait, prosaïquement, une combinaison est un arrangement où l'ordre d'apparition n'est pas pris en compte.

Remarque 11.7

Exercice 11.10. Donner les combinaisons de 2 éléments de l'ensemble E = {a, b, c, d} avec a, b, c, d deux à deux distincts. Combien y en a-t-il ? Pourriez-vous deviner une généralisation de cette formule ?

Pourn∈Netpen entier inférieur àn, le nombre de combinaisons àpéléments d'un d'ensemble à néléments est np

(qui se lit pparmin) avec n

p

= n!

p!(n−p)! = n(n−1)(n−2). . .(n−p+ 1)

p! .

Propriété 11.5 (Nombre de combinaisons)

Quel est le lien entre npet Apn? Comment l'expliquer ? Remarque 11.8

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Exercice 11.11. 1) Quel est le nombre de mains possibles dans un jeu de belote (main de 8 cartes dans un jeu de 32 cartes) ?

2) Quel est le nombre de manières de choisir le premier groupe de colle dans la classe d'ECS1 (sans tenir compte des contraintes de langues) ?

Exercice 11.12. On place dans un planndroites en position générale (deux d'entre elles ne sont jamais parallèles et trois d'entre elles ne sont jamais concourantes). Combien forme-t-on ainsi de triangles ?

11.3.2 Nombre de parties

Soit E un ensemble ni de cardinal n. L'ensemble des parties de E est un ensemble ni de cardinal 2n :

Card(P(E)) = 2Card(E).

Propriété 11.6 (Nombre de parties d'un ensemble dans lui-même E)

11.3.3 Propriétés des coecients binomiaux - lien avec le dénombrement

Dans cette partie, nous allons revoir certaines propriétés des coecients binomiaux que nous avons déjà étudiées dans le Chapitre 2. Cette fois, nous les interpréterons d'un point de vue dénombrement.

Soient netpdeux entiers naturels tels quep≤n, alors 1.

n

X

k=0

n k

= 2n 2. np

= n−pn

3. Sip6= 0et n6= 0alors np

= np n−1p−1. 4. Sip6= 0et p < n, alors

n p

= n−1

p−1

+ n−1

p

. Propriété 11.7 (Diverses propriétés)

11.4 Bilan

Faire un tableau qui résume les notions vues dans ce chapitre et leurs diérences.

Exercice 11.13. -Tirages 1

On considère une urne contenant 26 boules annotés deAà Z. On tire 4 boules dans cette urne.

1) Combien y a-t-il de tirages simultanés ne contenant que des voyelles ?

2) Combien y a-t-il de tirages successifs sans remise ne contenant que des voyelles ?

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CHAPITRE 11. DÉNOMBREMENT

3) Combien y a-t-il de tirages successifs avec remise ne contenant que des voyelles ? Exercice 11.14. -Tirages2

On considère une urne contenant 2 boules blanches, 1 boule noire et 1 boule verte. On tire 3 boules dans cette urne.

1) Combien y a-t-il de tirages simultanés contenant 2 boules blanches et 1 boule verte ? 2) Combien y a-t-il de tirages successifs sans remise contenant :

1. 2 boules blanches et 1 boule verte obtenus dans cet ordre ?

2. 2 boules blanches et 1 boule verte obtenus dans n'importe quel ordre ? 3) Combien y a-t-il de tirages successifs avec remise contenant :

1. 2 boules blanches et 1 boule verte obtenus dans cet ordre ?

2. 2 boules blanches et 1 boule verte obtenus dans n'importe quel ordre ?

11.5 Pour aller un peu plus loin...

Exercice 11.15. -Nombre d'anagrammes

1) Combien y a-t-il d'anagramme du mot MORADI ? 2) Combien y a-t-il d'anagramme du mot CALVEL ?

3) Plus généralement, si un mot M den lettres est écrit avec pcaractères diérents A1, . . . , Ap, le caractère Ak apparaissant nk fois à l'intérieur du mot M (et doncn1+· · ·+np =n) ; combien d'anagrammes y a -t-il de ce mot ?

Exercice 11.16. -Nombre d'applications

On considère E un ensemble ni à néléments et F un ensemble ni àpéléments. on considère que les deux ensembles sont non-vides.

1) Combien y a-t-il d'applications de E dansF?

2) Combien y a-t-il d'applications injectives deE dansF? Exercice 11.17. -Les oeufs dans un panier

On dispose de n oeufs indiscernables et dek paniers numérotés. On cherche le nombre de manières de mettre cesnoeufs dans noskpaniers sous diérentes contraintes. Dans tout le problème, on suppose que k≥n.

1. Combien y a-t-il de manières de mettre lesnoeufs dans leskpaniers en mettant au moins 1 oeuf par panier ?

2. Combien a-t-il de manières de mettre lesnoeufs dans leskpaniers en autorisant les paniers vides ? 3. Combien y a-t-il de manières de mettre 9 oeufs dans 3 paniers en mettant au moins 2 oeufs par

panier ?

4. Combien y a-t-il de manières de mettre lesnoeufs dans leskpaniers en mettant au moinsa≥0 oeufs par panier ?

5. Application 1 : On dispose de 7 billets de 10 euros. Maxime, Diana et Loïs recoivent chacun un billet. Combien y a-t-il de possibilités de distribution des 7 billets parmi ces 3 personnes ? 6. Application 2 : On a 10 bonbons à distribuer à 4 élèves. Combien y a-t-il de possibilités de

distribution sans contrainte ? Si chacun doit avoir au moins 1 bonbon ? 2 bonbons ?

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