Devoir d’approfondissement I.

(1)

Devoir d’approfondissement

I. Soit a et b deux nombres complexes.

Démontrer que l’on a : 1 1

a b ab

 

  ( a 1 ou b 1).

Étudier la réciproque.

II.

1°) Soit a un nombre réel.

Résoudre dans  l’équation x xa.

2°) Étudier la suite

 

un définie par son premier terme u₀ et la relation de récurrence u_n_₁  u_n 2 pour tout entier naturel n.

 

un définie par son premier terme u₀ et la relation de récurrence ₁ ³

n n 16

u _  u  pour tout entier naturel n.

III.

On note

 

un et

 

vn les suites définies par leurs premiers termes u₀ a et v₀ b ainsi que pour les relations de récurrence ₁ ²

3

n n

n

u v

u _ 

 et ₁ ²

3

n n

n

u v

v _ 

 pour tout entier naturel n.



vnun



.

2°) Démontrer que les suites

 

un et

 

vn sont adjacentes.



unvn



; en déduire la limite des suites

 

un et

 

vn .

IV.

1°) Écrire une « fonction » sous forme d’un algorithme qui, à tout entier naturel n, fait correspondre la somme de ses chiffres en base dix.

Exemple :

1283  ^{1 2 8 3}^{  }



^¹⁴



2°) Écrire une « fonction » sous forme d’un algorithme qui, à tout entier naturel n, fait correspondre le nombre écrit en inversant l’ordre de ses chiffres.

Exemple :

1283  3821