MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit E un ensemble ni, on appelle n -recouvrement de E un n -uplet (E

1

, · · · , E

n

)

de parties de E dont la réunion est E .

Soient A et B deux ensembles quelconques, on considère une application Φ

AB

dénie de la manière suivante

F(A, P(B)) → F(B, P(A)) f → Φ

AB

(f ) = ϕ avec

∀b ∈ B, ϕ(b) = {a ∈ A, b ∈ f(a)}

1. Préciser pour un exemple de A , B , f de votre choix la fonction ϕ .

2. Explicitez Φ

AB

◦ Φ

BA

et Φ

BA

◦ Φ

AB

. Montrer que Φ

AB

est une bijection. Vérier, en les calculant autrement, que F(A, P (B )) et F(B, P (A)) ont le même nombre d'éléments lorsque A et B sont nis.

3. Dans toute la suite, on suppose que A = {1, · · · , n} et B = E . Si f est une application de A dans P (E) , on pose

E

₁

= f (1), E

₂

= f (2), · · · , E

_n

= f(n), ϕ = Φ

_AB

(f )

a. Désignons par Ω

_i

l'ensemble des parties de A contenant i . Montrer que E

i

= ϕ

⁻¹

(Ω

i

)

b. Montrer que E

1

∪ · · · ∪ E

n

= E si et seulement si l'ensemble vide n'est pas un élément de ϕ(E) . En déduire le nombre de n -recouvrements de E . Montrer que

∀i ∈ {1, · · · , n}, E

i

6= ∅ ⇔ [

x∈E

ϕ(x) = {1, · · · , n}

Corrigé

1. Exemple. Choisissons A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z, t}

f =





1 → {x, y}

2 → {x}

3 → ∅





alors

ϕ =







x → {1, 2}

y → {1}

z → ∅

t → ∅







2. On peut reformuler les dénitions de Φ

AB

et de Φ

BA

∀f ∈ F(A, P(B)), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ∈ (Φ

AB

(f ))(b) ⇔ b ∈ f (a)

∀g ∈ F(B, P(A)), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : b ∈ (Φ

BA

(g))(b) ⇔ a ∈ g(b) Par conséquent, ∀f ∈ F(A, P(B)), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B on a

b ∈ (Φ

BA

◦ Φ

AB

(f ))(a) ⇔ b ∈ (Φ

BA

(Φ

AB

(f )))(a)

⇔ a ∈ Φ

AB

(f ))(b)

⇔ b ∈ f (a) Ceci étant valable pour tous les f ∈ F (A, P (B)) on a bien

Φ

BA

◦ Φ

AB

= Id

_F(A,P(B))

On démontre de la même manière que

Φ

_AB

◦ Φ

_BA

= Id

_F(B,P_(A))

On tire la surjectivité de Φ

AB

de la première équation et l'injectivité de la deuxième.

Les applications Φ

AB

et Φ

BA

sont donc des bijections réciproques l'une de l'autre.

Supposons A et B nis avec respectivement α et β éléments. D'après le cours sur le dénombrement des applications et celui des parties d'un ensemble, on peut écrire

Card (F(A, P (B ))) = Card (F(A, P (B))) = (2

^β

)

^α

= 2

^αβ

3. On suppose maintenant que A = {1, · · · , n} et B = E . Si f est une application de A dans P(E) , on pose

E

1

= f (1), E

2

= f (2), · · · , E

n

= f (n), ϕ = Φ

AB

(f )

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Anbrecouv

(2)

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a. Désignons par Ω

i

l'ensemble des parties de A contenant i alors

x ∈ ϕ

⁻¹

(Ω

_i

) ⇔ ϕ(x) ∈ Ω

_i

⇔ i ∈ ϕ(x)

⇔ x ∈ f (i) Donc ϕ

⁻¹

(Ω

_i

) = f (i) .

b. Utilisons encore la relation fondamentale

∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ∈ ϕ(b) ⇔ b ∈ f (a) On peut écrire

∅ ∈ ϕ(E) ⇔ ∃b ∈ B tq ϕ(b) = ∅

⇔ ∃b ∈ B tq ∀a ∈ A : a 6∈ ϕ(b)

⇔ ∃b ∈ B tq ∀a ∈ A : b 6∈ f (a)

⇔ ∃b ∈ B tq b 6∈ Ω

₁

∪ · · · ∪ Ω

_n

L'équivalence des négations des deux propositions fournit la relation demandée.

On en déduit que le nombre de n -recouvrements est aussi le nombre d'applications de E vers P (E) − ∅ soit (si p est le nombre d'éléments de E ) :

(2

^p

− 1)

ⁿ

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