Montrer que lna+12lnb= ln a√ b

I.U.T. de Villetaneuse

D´epartement d’informatique Vendredi 13 mars 2015

Corrig´e du contrˆole d’Analyse

Exercice 1. Les trois questions suivantes sont ind´ependantes. On d´etaillera chacune des r´eponses.

1. Calculer 16³⁴.

2. Soient aet bdeux r´eels strictement positifs. Montrer que lna+¹₂lnb= ln a√

b . 3. R´esoudre l’´equatione^5−3x= 1.

Correction : 1. 16³⁴ = 16¹⁴3

= (2⁴)¹⁴3

= 23

= 8.

Autre m´ethode. 16³⁴ = exp(³₄ln 16) = exp(³₄ln(2⁴)) = exp(¹²₄ ln 2) = exp(3 ln 2) = exp(ln 2³) = exp(ln 8) = 8.

2. lna+¹₂lnb= lna+ ln(b¹²) = ln(a b¹²) = ln(a√ b).

3. e^5−3x= 1 est ´equivalent `a ln(e<sup>5−3x</sup>) = ln 1, c-`a-d, 5−3x= 0 et doncx= ⁵₃.

Exercice 2.

1. Donner la d´efinition d’une fonction r´eciproque.

2. Soitg(x) = ln(x²+e).

a. Donner le domaine de d´efinition deg.

b. Montrer queg r´ealise une bijection de ]− ∞; 0[ sur un invervalle J `a d´efinir.

c. Justifier quegadmet une fonction r´eciproque deJ vers ]− ∞; 0[, puis calculer cette fonction r´eciproque.

Correction : 1. voir cours.

2. Le domaine de d´efinition de la fonction ln est ]0,+∞[. g est la compos´ee de lnx avec x² +e : g(x) = f(h(x)) avec f(x) = ln(x) eth(x) =x²+e. Commeh(x)>0 pour toutxdansR,f(h(x)) est bien d´efinie etD_g=R.

3. g est continue et d´erivable sur ]− ∞,0[ comme compos´ee de fonctions continues et d´erivables sur cet intervalle et g⁰(x) =

f(h(x))0

=f(h(x))h⁰(x) = 2x x²+e.

Pour x <0,g⁰(x)<0 doncgest strictement d´ecroissante sur ]− ∞,0[. De plusg(0) = lne= 1 et lim

x→−∞g(x) = +∞.

Doncg r´ealise une bijection de ]− ∞,0[ surJ =]1,+∞[.

4. Commegr´ealise une bijection de ]−∞,0[ surJ =]1,+∞[, elle admet une fonction r´eciproque deJ =]1,+∞[ vers ]−∞,0[, not´eeg⁻¹. Pour calculerg⁻¹, on posey= ln(x²+e) et on va chercher `a exprimerxen fonction dey.

y= ln(x²+e)⇔e^y =x²+e⇔x²=e^y−e⇔x=±√ e^y−e.

Comme on sait queg⁻¹ est `a valeurs dans ]− ∞,0[, on doit prendrex=−√ e^y−e et doncg⁻¹(x) =−√

e^x−e.

Exercice 3. D´eterminer les extrema ´eventuels des fonctions d´efinies ci-dessous.

a)f(x) =x²−x−1, sur [0; 3] b)g(x) =





 1

1−x lorsque 0≤x <1 (2−x)² lorsque 1≤x≤2

Correction :

a) f est une fonction continue sur [0,3] qui est un intervalle ferm´e, donc elle admet un maximum et un minimum. Pour trouver ces extrema on calculef(0), f(3) etf(c_i) avecc_i des points critiques.

On af(⁰x) = 2x−1 doncf⁰(x) = 0 si et seulement si x= ¹₂. Il n’y a ici qu’un seul point critique qui estc= ¹₂.

On af(0) =−1, f(3) = 5 etf(¹₂) =−⁵₄. Doncf a un minimum enx=¹₂ qui vaut−⁵₄ etf a un maximum enx= 3 qui vaut 5.

b) On remarque queg n’est pas continue sur [0,2], puisque lim

x→1⁻g(x) = +∞et lim

x→1⁺g(x) = 1. La fonction n’a donc pas de maximum sur [0,2].

Calculons les points critiques deg.

g⁰(x) =





 1

(1−x)² lorsque 0≤x <1

−2(2−x) lorsque 1≤x≤2 Doncg⁰(x) = 0 si et seulement six= 2 qui est donc le seul point critique.

De l’expression deg⁰ on d´eduit queg est strictement croissante sur [0,1[ et va de g(0) = 1 `a +∞ et g est strictement d´ecroissante sur [1,2] et va deg(1) = 1 `ag(2) = 0. On en d´eduit queg admet un minimum enx= 2 qui vaut 0.

Exercice 4.

L’objectif de cet exercice est de trouver le rectangle d’aire maximale inscrit dans le demi-cercle de centre 0 et de rayon R. On note C ce demi-cercle. Ici, inscrit signifie que deux sommets du rectangle sont sur le demi-cercle et que les deux autres sommets sont sur l’axe des abcisses, comme le montre la figure ci-contre.

e

a y

o x C

r

1. Exprimer l’aire d’un rectangle inscrit dans le demi-cercle Cen fonction dexet y.

2. En utilisant que pour tout point (x, y) appartenant `a C,x²+y² =R², montrer que l’aire d’un rectangle inscrit dansC est :

A(x) = 2xp

R²−x². 3. Trouver les extrema deA(x).

4. En d´eduire l’aire du plus grand rectangle inscrit dansC.

Correction :

1. Un rectangle inscrit dans Ca une longueur ´egale `a 2xet une largeur ´egale `ay, donc l’aire d’un tel rectangle est 2xy.

2. Comme (x, y) appartient `a C,y²=R²−x², soity=√

R²−x² (car on a choisi le demi-cercle dans la partie sup´erieure du plan). Ainsi A(x) = 2x√

R²−x².

3. On cherche les extrema deAsur [0, R] qui est un intervalle ferm´e. Pour trouver un extrema deAon va chercher un (ou des) point critique, cpuis calculerA(0), A(R) etA(c) pour d´eterminer les extrema.

Cherchons les points critiques :

A⁰(x) = 2p

R²−x²+ 2x −2x

√R²−x² A⁰(x) = 0 si et seulement si 2(R²−x²)−4x²= 0 soit 2R²= 6x² ou encorex=

qR²

3 . (x´etant une longueur on le choisit poisitif.)

On aA(0) = 0,A(R) = 0 etA(

qR² 3 ) = 2

rR² 3

r

R²−R² 3 = 2

rR² 3

2R² 3 = 2√

2R

3. Donc l’aire du plus grand rectangle inscrit dansC est 2√

2R 3.

2