Chapitre VI : Exponentielle

Chapitre VI : Exponentielle

I – La fonction exponentielle :

Définition 1 : Soit a un nombre réel.

On appelle solution, sur l'intervalle I, de l'équation différentielle y '=aytoute fonction f, dérivable sur I, vérifiant pour tout x∈I , f 'x=a f x.

Exemple : La fonction nulle est solution de y '=ay.

Remarque : l'équation différentielle y '=ay, encore notée dy

dx=ayexprime une proportionnalité entre la fonction et sa dérivée (modélisation de nombreux phénomènes en physique, biologie, économie, etc.)

Théorème 1 : Il existe une fonction positive strict f solution de l'équation différentielle y '=y vérifiant f 0=1 . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp. Cette solution est unique.

Démonstration : l'existence est admise provisoirement.

Démontrons que : pour tout x∈ℝ, f x0 .

Notonsla fonction définie surℝparx=expx×exp−x.

Démontrons maintenant l'unicité. Supposons qu'il existe une autre solution g.

Notonsla fonction définie surℝparx= gx expx .

Théorème 2 :Soit a un nombre réel. Les solutions de l'équation différentielle y '=aysont les fonctions définies surℝpar f x=kexpaxoù k est un réel.

Démonstration : f est solution de y '=aycar Supposons qu'il existe une autre solution g.

Notonsla fonction définie surℝparx= gx expa x II- La notatione^x :

Théorème 3 : Pour tout a et b réel, on a :

expab=expa×expb

Démonstration : Notonshla fonction définie surℝparhx=expax. Corollaire 1 : Pour tout a, b réel et n entier relatif on a :

• exp−a= 1

expa.

• expa−b=expa expb.

• expn a=expaⁿ Démonstration :

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Propriété 1 : Le réel exp1 se note e avece≈2,72 ., et pour tout élément deℝon a : expx=e^x.

Démonstration :

Propriétés 2 : (réécriture des propriétés algébriques de la fonction exponentielle) Pour tout a, b réel et r rationnel on a :

• e⁰ =1

• e^ab=e^a×e^b

• e^−a=1

e^a

• e^a−b=e^a e^b

• e^a^r=e^a×r

III- Étude de la fonction xe^x :

Théorème 4 : La fonction exponentielle est définie, dérivable et strictement croissante surℝ. Démonstration : On sait que pour tout x de ℝ, on a exp'x=expx0 d'où le résultat.

Propriété 3 : la fonction affine h1h est l'approximation affine de he^h au voisinage de 0.

Théorème 5 :

• lim

x−∞e^x=0 , lim

x∞e^x=∞

• lim

x0

e^x−1 x =1

• lim

x∞

e^x

x =∞^, lim

x−∞x e^x=0

Démonstration : Notonskla fonction définie surℝparkx=e^x−x. Corollaire 2 : Soit n un entier naturel.

• lim

x∞

e^x xⁿ=∞

• lim

x−∞ xⁿe^x=0 Démonstration :

On déduit de toute cet étude le tableau de variation de la fonction exponentielle : x −∞ 0 ∞

e^x

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Corollaire 3 : Pour tout couple de réels (x, y)

• e^x=e^y⇔x=y

• e^xe^y⇔xy Exemples d'utilisation :

Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. e^3x−1=e^x21

2. e^4x=1 3. e^2x1 4. e^x−5e^{x2−4 x}

Théorème 6 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, alors la fonctione^uest définie et dérivable sur I et on a :e^u'x=u 'x×e^ux

Démonstration :

Exemple : Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : f : xe^x2−4; g : xe^cosx

IV- L'équation différentielle y '=a yb

Théorème 7 : Soient a et b deux nombres réels. Les fonctions solutions de l'équation différentielle y '=aybsont définies surℝpar :

• Sia=0: xbxk , k∈ℝ.

• Sia≠0: xk e^{a x}−b

a , k∈ℝ

Démonstration :

Théorème 8 : Soitx_0, y_Oun couple de nombres réels. L'équation différentielle y '=ayb admet une unique solution vérifiant y₀=fx₀.

Démonstration :

Exemple : Résoudre l'équation différentielle y '=−2y3 vérifiant y1=2 .

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