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(c) Si E/F est normale, alorsE/K est normale

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Academic year: 2022

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Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2019/2020

M1 Th´eorie de Galois Maria Chlouveraki

Morphismes d’extensions de corps - TD 8

1. Dans tous les exemples des exercices du TD7 d´eterminer si les extensions sont s´eparables, normales ou galoisiennes.

2. Soient F ⊆K ⊆E des corps tels queE/F est finie. Montrer que : (a) Si E/F est s´eparable, alorsE/K etK/F sont s´eparables.

(b) Si E/K etK/F sont s´eparables, alorsE/F est s´eparable.

(c) Si E/F est normale, alorsE/K est normale.

(d) L’extension K/F est normale si et seulement siϕ(K) =K pour tout ϕ∈HomF(E,Ω), o`u Ω est une extension alg´ebriquement close de E.

3. Soit F un corps. Montrer que le polynˆome f(x) := xn−1F ∈ F[x] est s´eparable si et seulement si carF ne divise pasn. Dans ce cas l`a, soitE le corps de d´ecomposition def(x).

Montrer que :

(a) E/F est galoisienne.

(b) AutF(E) est un groupe ab´elien.

(c) Si nest un nombre premier, AutF(E) est un groupe cyclique.

(d) Si n= 8, AutF(E) n’est pas un groupe cyclique.

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