Chapitre 2 : Les suites I - Rappels sur les suites numériques
1. Définitions Définition :
Une suite de nombre réels est une liste ordonnée de nombres réels.
Une suite est une fonction qui a tout entier naturel n associe un nombre réel u(n) que l'on note aussi un.
Vocabulaire :
Le nombre réel un s'appelle le termed'indice n de la suite ou terme général de la suite.
La suite est notée (un).
Remarque :
Le terme précédent un est un–1 et le terme suivant un est un+1. Définition :
Une suite (un) est définie de façon explicite lorsque le terme général un est exprimé en fonction de n.
Il existe une fonction f définie sur 0 ; + telle que un = f n( ). Définition :
Une suite (un) est définie par récurrence lorsque chaque terme, sauf le premier qui est donné, se calcule à partir du précédent.
Remarque :
Si une suite est définie par récurrence, pour connaître un il faut connaître tous les termes précédents.
2. Représentation graphique a. Suite définie de façon explicite
Soit f une fonction définie sur
0 ;+
et (un) une suite définie par un = f n( ).La représentation graphique de la suite (un) est l'ensemble des points Un de coordonnées
(
n; f n( ))
.Remarque :
n est un entier naturel, il ne faut pas relier les points.
Exemple :
La suite (un) est définie par un =n2−6n+1
b. Suite définie par récurrence
Le plan est muni d'un repère orthonormé
(
O ;i ; j)
.On représente ici les termes de la suite sur l'axe des abscisses.
Etapes :
1. Tracer la courbe Cg représentant la fonction g ainsi que la droite (d) d'équation y=x. 2. Placer u0 sur l'axe des abscisses.
3. Placer sur la courbe Cg le point A0 d'abscisse u0. A0
(
u0 ; ( )g u0)
c'est à dire A0(
u0 ;u1)
. 4. Placer sur la droite (d) le point B0 ayant la même ordonnée que A0. B0(
u1;u1)
.5. On projette orthogonalement B0 sur l'axe des abscisses et on obtient u1.
Exemple :
La suite (un) est définie par
0 1
-1
-2 n 5
n
u
u + u
=
= − g x: -2x−5
3. Variations d’une suite Définitions :
- (un) est (strictement) croissante si et seulement si pour entier naturel n, un+1 ≥ un. (un+1 > un)
- (un) est (strictement) décroissante si et seulement si pour entier naturel n, un+1 ≤ un. (un+1 < un)
- (un) est constante si et seulement si pour entier naturel n, un+1 = un.
- (un) est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
Propriété :
Soit (un) une suite définie de façon explicite par un = f n( ).
- Si f est croissante sur 0 ; + alors la suite (un) est croissante.
- Si f est décroissante sur 0 ; + alors la suite (un) est décroissante.
- Si f est constante sur 0 ; + alors la suite (un) est constante.
Propriété :
- Si pour tout entier naturel n, un+1 – un ≥ 0 alors la suite (un) est croissante.
- Si pour tout entier naturel n, un+1 – un ≤ 0 alors la suite (un) est décroissante.
Propriété :
Soit (un) une suite dont tous les termes sont strictement positifs.
- Si pour tout entier naturel n, n 1 1
n
u u
+ alors la suite (un) est croissante.
- Si pour tout entier naturel n, n 1 1
n
u u
+ alors la suite (un) est décroissante.
4. Suites arithmétiques Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier naturel n : un+1 = un + r.
r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Remarque :
Une suite arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 (éventuellement u1) et de sa raison r.
Propriété :
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + nr.
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r est : un = u1 + (n – 1)r.
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme us et de raison r est : un = us + (n – s)r.
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
- Si r > 0 , alors la suite (un) est strictement croissante.
- Si r < 0 , alors la suite (un) est strictement décroissante.
- Si r = 0 , alors la suite (un) est constante.
Propriété :
Soient p et q deux nombres entiers naturels tels que p q.
Le nombre de termes de la somme up + up+1 + … + uq est q – p + 1 Propriété :
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la moyenne des termes extrêmes.
S = "nombre de termes" "premier terme" + "dernier terme"
2 Exemple :
up + up+1 + … + uq =
(
q− + p 1)
up2+uq+ r + r + r + r + r + r u0 u1 u2 u3 u4 u5
5. Suites géométriques Définition :
Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier naturel n : un+1 = q × un.
q est appelé la raison de la suite géométrique.
Remarque :
Une suite géométrique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 (éventuellement u1) et de sa raison q.
Propriété :
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est : un = u0 qn.
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q est : un = u1 qn−1.
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme us et de raison q est : un = us qn s−
Propriété :
Soit (un) une suite géométrique de raison q (strictement positive) et de terme initial u0 > 0.
Si 0 < q < 1 et u0 > 0, alors la suite (un) est strictement décroissante.
Si q > 1 et u0 > 0, alors la suite (un) est strictement croissante.
Si q = 1, alors la suite (un) est constante.
Remarque :
Si q < 0 la suite est alternativement positive puis négative … Propriété :
La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q, est donnée par : S = "premier terme" 1 " "
1
nombredetermes
q q
− −
Exemple :
up + up+1 + … + ur = 1 1
1
p r
p
u q
q
− − +
−
u0 u1 u2 u3 u4 u5
• • • • • • •
q q q q q
II - Limite d'une suite 1. Limite finie Définition :
Soit (un) une suite numérique. l est un réel.
La suite (un) a pour limite l quand n tend vers +∞
signifie que pour tout réel A positif, l'intervalle ]l - A ; l + A[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note nlim
( )
un l→+ =
Exemple :
La suite définie par 1 un
=na pour limite 0 quand n tend vers +∞.
Soit A un réel positif.
un]-A ; A[ -A 1 A
n C’est-à-dire 1
0 A
n car 1
n 0. Ainsi un]-A ; A[ 1 n A
. Si n0 est le plus petit entier naturel strictement supérieur à 1
A alors l'intervalle ]A ; +∞[
contient tous les termes un à partir du rang n0. Donc nlim→+
( )
un =0. 2. Limite infinieDéfinition :
Soit (un) une suite numérique.
La suite (un) a pour limite +∞ quand n tend vers +∞
signifie que pour tout réel A, l'intervalle ]A ; +∞[
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note nlim→+
( )
un = +Exemple :
La suite définie par un = na pour limite +∞ quand n tend vers +∞.
Soit A un réel positif, un]A ; +∞[ n A n A2.
(Si A est négatif, tous les termes de la suite appartiennent à ]A ; +∞[)
Si l'on note n0 le plus petit entier naturel strictement supérieur à A², comme (un) est une suite croissante, l'intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes un à partir du rang n0. Donc nlim→+
( )
un = +.Définition :
Soit (un) une suite numérique.
La suite (un) a pour limite –∞ quand n tend vers +∞ signifie que pour tout réel A, l'intervalle ]–∞ ; A[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note nlim→+
( )
un = −Vocabulaire :
Une suite est convergente lorsqu'elle a une limite finie l.
Une suite est divergente lorsqu'elle n'a pas de limite ou qu'elle a une limite infinie.
Exemples :
La suite définie par 1 un
=nest convergente.
La suite définie par un =n2est divergente.
La suite définie par un =
( )
-1nn'a pas de limite, elle est divergente.3. Limites et opérations
(un) et (vn) sont deux suites numériques, l et l' sont deux réels.
Somme de deux suites :
F.I. : Forme Indéterminée Sinlim→+
( )
un = l l l +∞ -∞ +∞etnlim
( )
vn→+ = l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞
alors nlim
(
un vn)
→+ + = l + l' +∞ -∞ +∞ -∞ F.I.
Produit de deux suites :
* On applique les règles du signe d'un produit Sinlim
( )
un→+ = l l ≠ 0 ±∞ 0
etnlim→+
( )
vn = l' ±∞ ±∞ ±∞alors nlim→+
(
unvn)
= l × l' ±∞* ±∞* F.I.Quotient de deux suites :
0+ (ou 0-) signifie que la suite tend vers 0 avec des termes toujours positifs (négatifs) à partir d'un certain rang.
Sinlim→+
( )
un = l l ±∞ l ≠ 0 ±∞ 0 ±∞etnlim→+
( )
vn = l' ≠ 0 ±∞ l' ≠ 0 0± 0± 0 ±∞alors lim n
n n
u
→+ v
= l
l 0 ±∞* ±∞* ±∞* F.I. F.I.
Exemple :
Déterminer la limite des suites suivantes : 3 2 2 10
un = n + n− ; 21
n 1 v =n
+ ; 5
n 1
w n
= +n + Lever une indétermination :
Il existe 4 types de formes indéterminées : " −" ; "0" ; "
" et "0 0"
ATTENTION : Ces notations NE DOIVENT PAS apparaître sur une copie.
1. Si pour étudier la limite d'une suite du type un =P n( )où P est une fonction polynôme, et que l'on est en présence d'une forme indéterminée du type " −", on peut mettre en facteur le terme de plus haut degré de ( )P n pour lever l'indétermination.
Exemple :
2 1
un =n − +n . On est en présence d'une forme indéterminée de la forme " −".
Pour tout n > 0, 2 1 12
n 1
u n
n n
= − + . Or 1 12
lim lim 0
n→+ n n→+ n
= = donc 1 12
lim 1 1
n→+ n n
− + = Comme nlim→+
( )
n2 = + donc nlim→+( )
un = +.2. Si pour étudier la limite d'un quotient n
n
u
v on est en présence d'une forme indéterminée du type "
", on peut penser à mettre en facteur dans l'expression de un et de vn le terme de plus haut degré puis de simplifier le quotient pour lever l’indétermination.
Exemple :
2
3
n 1 u n
n
= +
+ . On est en présence d'une forme indéterminée du type "
".
Pour tout n > 0,
2
2 2
3 3
1 1
1
1 1
1 1
n
n n n
u n
n n n
+ +
= =
+ + .
Or, lim 1 lim 12 0
n→+ n n→+ n
= = donc lim 1 3 1
n→+ n
+ = et lim 1 12 1
n→+ n
+ = Ainsi nlim
( )
un nlim 1 0→+ →+ n
= = .
