1) Structure de l’ensemble des solutions

II - Rappel : équations linéaires scalaires d’ordre 1

1) Structure de l’ensemble des solutions

I désigne un intervalle non trivial de R,K=Rou C ;aetbsont des applications continues de I dans K. On considère les équations différentielles :

(E) y^′ =a(t)y+b(t) et (H) y^′=a(t)y

•L’ensemble SI(H)des solutions de(H) surI est la droite vectorielle SI(H) = t→λ.e^A(t), λ∈K

cela pour toute primitiveAdeasur I.

•L’ensemble SI(E) des solutions de(E) surI est une droite affine S^I(E) = t→f0(t) +λ.e^A(t), λ∈K

cela pour toute primitiveAdeasur I et toute “solution particulière” f0 de(E) (il en existe !).

•Problème de Cauchy : pour tout (t0, y0) ∈ I ×K, il existe une unique solution f de (E) sur I telle quef(t0) =y0, donnée par

∀t∈I f(t) =e^A0(t)· y0+

t t0

e^−A0(s)b(s).ds où A0:t→

t t0

a(u).du

NB : dans le cas d’une équation linéaire non résolue en y^′, de la forme : u(t)y^′+v(t)y =w(t), les résultats précédents s’appliquentsur tout intervalle oùune s’annule pas(et oùu, v, w sont continues !).

On peut examiner ensuite les raccordements des solutions obtenues sur des intervalles adjacents.

2) Détermination pratique d’une “solution particulière”

•Méthode de variation de la constante: après avoir déterminé une primitiveAdea, on trouve une solution de (E) sous la forme t →λ(t)e^A(t), λ∈ C¹(I,K) (puisqu’on connaît la structure de l’ensemble des solutions, il suffit de trouver une fonctionλqui convienne). En effet, siy=λ(t)e^A(t), y^′ =λ^′(t)e^A(t)+λ(t)a(t)e^A(t), donc y est solution de(E) si et seulement si

∀t∈I λ^′(t) =b(t)e^−A(t)

(on retrouve ainsi l’expression de la solution du problème de Cauchy).

•Éviter la variation de la constante lorsqu’il apparaît une solution “évidente” (constante, . . . ).

•Cas où aest une constante et b(t) =P(t)e^kt,k∈K,P ∈K[X] : le changement de fonction inconnuey=ze^kt (zest définie parz=ye^−kt) permet de se ramener à l’équationz^′+ (k−a)z=P, banale sik=aet admettant sinon une unique solution polynomiale de même degré queP, que l’on peut déterminer à l’aide de coefficients indéterminés.

•Principe de superposition des solutions: pour obtenir une solution de (E) y^′ =a(t)y+b1(t) +b2(t)

il suffit d’ajoutery1 ety2, solutions respectives de

(E1) y^′ =a(t)y+b1(t) et (E2) y^′=a(t)y+b2(t) (le coefficient dey est le même !).

•Penser enfin à déterminer et éventuellement reconnaître les solutions développables en série entière.

II

II - Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 — Généralités

1) Notations

SoientI un intervalle deR,nun entier naturel au moins égal à 2,Aune application continue deI dans Mn(K),Bune application continue de I dansF =Mn,1(K); le système différentiel

(S) X^′ =A(t)X+B(t) d’inconnue X:I →F est dit système différentiel linéaire d’ordre 1.

ϕest une solution de (S) sur I si et seulement si ϕest une application de I dans F, dérivable surI et telle que

∀t∈I ϕ^′(t) =A(t)ϕ(t) +B(t) Si l’on note A=





a1,1 · · · a1,n

... ... ...

an,1 · · · an,n



,B=



 b1

...

bn



 et X=



 x1

...

xn



 alors (S) s’écrit







x^′₁ = a1,1(t)x1+· · ·+a1,n(t)xn+b1(t)

... ...

x^′_n= an,1(t)x1+· · ·+an,n(t)xn+bn(t)

NB : une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre n résolue en y⁽ⁿ⁾ équivaut à un système dif- férentiel d’ordre 1 en dimensionn; par exemple (cf. § IV),f est solution de

(E) y^′′+u(t)y^′+v(t)y=w(t) si et seulement si t→ f(t)

f^′(t) est solution de

(S) X^′=A(t)X+B(t) où A(t) = 0 1

−v(t) −u(t) et B(t) = 0 w(t)

2) Structure de l’ensemble des solutions

Théorème de Cauchy linéaire: soientA:I → Mn(K) etB:I →F continues.

Pour tout (t0, X0)∈I ×F, leproblème de Cauchy

X^′=A(t)X+B(t) X(t0) =X0

admet une unique solution sur I (dém. hors programme).

Corollaire :

1) L’ensemble SI(H) des solutions sur I du système homogène associé (H) X^′ = A(t)X est un sous-espace vectoriel de C¹ I, F , de dimension n.

Pour toutt0 ∈I, l’application SI(H) → Mn,1(K) ψ → ψ(t0)

est un isomorphisme.

2) L’ensemble SI(S) des solutions sur I de (S) est un sous-espace affine de C¹ I, F , de direction SI(H), c’est-à-dire que, pour toute solution “particulière” ϕ₀ de(S),

S^I(S) =ϕ₀+S^I(H) = ϕ₀+ψ, ψ∈ S^I(H)

(on dit que la forme de lasolution générale de(S)est la somme d’une solution particulière et de la solution générale du système homogène associé).

Définition :on appelle système fondamental de solutions de (H) toute base (e1, . . . , en) de SI(H) et wronskien de(e1, . . . , en) dans une baseB deF l’application

W :t→detB e1(t), . . . , en(t) .

Caractérisation :soit(e1, . . . , en) une famille de nsolutions de(H).

Les assertions suivantes sont équivalentes : 1) (e1, . . . , en) est une base deSI(H) ;

2) il existe t0 dansI tel que(e1(t0), . . . , en(t0))soit une base de F ; 3) pour toutt dansI,(e1(t), . . . , en(t))est une base de F.

NB : il en résulte que le wronskien d’une famille de n solutions de (H) est soit toujours soit jamais nul.

Complément hors programme : cela était prévisible car

∀t∈I W^′(t) = Tr A(t) .W(t). (Cf. polycop en annexe. . . )

3) Complément hors programme : méthode de variation des constantes

Théorème :soient (e1, . . . , en) une base de SI(H) et ϕ : I → F dérivable. Il existe une unique famille(λ1, . . . , λn) d’applications dérivables de I dansKtelle que ϕ=

n

j=1

λj.ej et l’on a l’équivalence :

ϕ=

n

j=1

λj.ej ∈ SI(S)⇔ ∀t∈I

n

j=1

λ^′_j(t).ej(t) =B(t).

On en déduit les λ^′_j(t) par résolution d’un système de Cramer, puis lesλj parn calculs de primitives.

Dém.Soient B= (ε1, . . . , εn)une base de F,ϕ_i les applications coordonnées deϕrelativement à Bet, pour tout tdeI, M(t) = mi,j(t) la matrice dansB du système de vecteurs (e1(t), . . . , en(t)):

∀t∈I ϕ(t) =

n

i=1

ϕ_i(t).εi et ∀j∈N_n ej(t) =

n

i=1

mi,j(t).εi . Alors, par unicité des coordonnées dans la base B,

ϕ=

n

j=1

λj.ej ⇔ ∀t∈I



 ϕ₁(t)

...

ϕ_n(t)



=M(t)×



 λ1(t)

...

λn(t)





or M(t) est inversible pour tout t et les coefficients de M(t)⁻¹ sont des fonctions dérivables det (cf.

les formules de Cramer ou la formule donnant l’inverse d’une matrice en fonction de sa comatrice !).

D’où l’existence et l’unicité de(λ1, . . . , λn). De plus, ϕ^′=

n

j=1

λj.e^′_j+

n

j=1

λ^′_j.ej et ∀j ∀t∈I e^′_j(t) =A(t)ej(t)

puisqueej ∈ SI(H). D’où : ∀t∈I ϕ^′(t) =A(t)ϕ(t) +

n

j=1

λ^′_j(t)·ej(t), ce qui achève la démonstration.

III

III - Systèmes linéaires d’ordre 1 à coefficients constants

1) Résultats généraux

Soient A∈ Mn(K) etB∈ C⁰(I, F) ; le système différentiel (E) X^′ =AX+B(t)

ressortit du paragraphe précédent, avec, pour tout t, A(t) =A (A est une application constante de I dans Mn(K)!).

On dispose donc des résultats du § II : théorème de Cauchy linéaire, structure de l’ensemble des solutions.

Pour la résolution pratique, on peut réduire la matriceA.

2) Cas où

est diagonalisable

Soit P ∈GLn(K) telle que P⁻¹AP = D = diag (α1, . . . , αn). On effectue le changement de fonction inconnueX =P U ;P étant à coefficients constants, on a

X =P U ; X^′ =P U^′; U =P⁻¹X; U^′=P⁻¹X^′ d’où :

X^′=AX+B(t)⇔U^′ =DU+P⁻¹B(t) . On est donc ramené à un système de la forme :







u^′₁ =α1·u1+β₁(t) ...

u^′_n=αn·un+β_n(t)

qui consiste enn équations linéaires scalaires d’ordre 1 (découplées). On en tireU puis X=P U.

Espace des solutions du système homogène associé:

SiCj désigne le j-ième vecteur colonne de la matriceP, on a directement une base deSI(H) : SI(H) = Vect t→e^αjt·Cj 1≤j≤n

NB : penser à diagonaliser surC une matrice deMⁿ(R) (cf. exemple 2) ci-dessous).

Exemples : 1) x^′= 5x−2y+e^t

y^′ =−x+ 6y+t ; 2)





x^′=x+y y^′ =−x+ 2y+z z^′=x+z

.

3) Exemples où

n’est pas diagonalisable

Idée : trigonaliser A (c’est toujours possible sur C) et utiliser le changement de fonction inconnue du paragraphe précédent ; on obtient un système triangulaire qui permet de déterminer de proche en proche les fonctions inconnues, en partant de la dernière équation.

Exemples : 1)(S) x^′=x+y+ sint

y^′ =−x+ 3y ; 2)(S)





x^′= 2y+ 2z y^′ =−x+ 2y+ 2z z^′ =−x+y+ 3z

.

4) Amortissement

Lorsque toutes les valeurs propres (éventuellement complexes) de A ont une partie réelle strictement négative, les solutions du système homogène associé admettent toutes 0 pour limite en+∞.

IV

IV - Équations linéaires scalaires d’ordre 2

1) Résultats généraux

Soient a, b, c éléments deC⁰(I,K) et : (E) y^′′+a(t)·y^′+b(t)·y=c(t)

NB : une équation différentielle de la forme : δ(t)y^′′ +α(t)y^′ +β(t)y = γ(t) se ramène au cas précédent sur tout intervalle oùδ(t) ne s’annule pas.

Système différentiel d’ordre 1 associé: f est solution de(E)si et seulement sit→ f(t) f^′(t) est solution de

(S) X^′=A(t)X+B(t) où A(t) = 0 1

−b(t) −a(t) et B(t) = 0 c(t) . Ainsi les résultats du§ II s’appliquent.

Théorème de Cauchy linéaire: pour tout(t0, y0, y^′₀)∈I×K², le problème de Cauchy y^′′+a(t)y^′+b(t)y=c(t)

y(t0) =y0 ; y^′(t0) =y^′₀ admet une unique solution sur I.

Corollaire :

1) L’ensemble SI(H) des solutions surI de(H) y^′′+a(t)y^′+b(t)y= 0est un sous-espace vectoriel deC²(I,K), de dimension 2.

2) L’ensemble SI(E) des solutions sur I de (E) est un sous-espace affine de C²(I,K), de direction SI(H).

Attention ! Contrairement à l’ordre 1, il n’y a pas de méthode générale pour résoudre (H). . . On appelle système fondamental de solutions de (H) toute base(ϕ, ψ) deSI(H) ;

Lewronskien de (ϕ, ψ)est W :t→ ϕ(t) ψ(t)

ϕ^′(t) ψ^′(t) ;(ϕ, ψ)est une base de SI(H) si et seulement s’il existet0 dansI tel que W(t0) = 0, ce qui équivaut encore à : ∀t∈I W(t) = 0.

NB : il est facile de vérifier ici queW^′(t) =−a(t)W(t).

2) Cas où

est à coefficients constants

Soient (a, b)∈K² et : (E) y^′′+ay^′+by=w(t) ; (H) y^′′+ay^′+by= 0.

Théorème :on connaît une base de l’espace des solutions de(H)en fonction des solutions de l’équation caractéristique (C) r²+ar+b= 0:

∗ Si(C) admet deux solutions distinctesα, β dansK, alors ϕ:t→e^αt et ψ:t→e^βt conviennent.

∗ Si(C) admet une solution doubleαdansK, alors ϕ:t→e^αt et ψ:t→t.e^αt conviennent.

∗ SiK=Ret (C) admet pour solutionsr±iω dansC\R , alors ϕ:t→e^rt.cosωt et ψ:t→e^rt.sinωt conviennent.

Obtention d’une solution particulière de (E):

•Rechercher une solution “évidente” (constante, fonction de forme particulière suggérée par l’énoncé. . . ).

•Cas où w(t) =P(t)e^kt,k∈K,P ∈K[X] : le changement de fonction inconnue y = ze^kt (z est définie par z = ye^−kt) permet de se ramener à l’équation z^′′+ (2k+a)z^′ + k²+ak+b z = P, banale si k est racine double de (C), admettant une unique solution polynomiale de même degré queP sikn’est pas racine de(C) ; sikest racine simple de (C), on obtientz^′ polynomial de même degré queP. Penser à utiliser des coefficients indéterminés etReou Ims’il y a un cosou unsinau second membre.

•Principe de superposition des solutions: même idée qu’au§ I-2)

•Penser enfin à déterminer et éventuellement reconnaître les solutions développables en série entière.

3) Abaissement de l’ordre

Siϕestune solution de l’équation homogène(H) y^′′+a(t)y^′+b(t)y= 0ne s’annulant pas surI, alors le changement de fonction inconnue y =ϕz transforme (H) (resp. (E)) en une équation linéaire scalaire d’ordre 1 en la fonction inconnue z^′.

On sait alors déterminerz^′, puis z par un calcul de primitive.

Ne pas oublier de multiplier par ϕpour obtenir les solutions de (H) (resp. (E)) !

Dém.Supposonsϕ^′′+aϕ^′+bϕ= 0où ϕne s’annule pas surI. Soient alorsy deux fois dérivable surI etz=y/ϕ; comme ϕ ne s’annule pas,z est également deux fois dérivable surI ety =ϕz d’où

y^′ =ϕ^′z+ϕz^′ et y^′′=ϕ^′′z+ 2ϕ^′z^′+ϕz^′′.

Par conséquent : y^′′+ay^′ +by = (2ϕ^′+aϕ)z^′ +ϕz^′′et donc y est solution de (H) (resp. (E)) si et seulement si Z =z^′ vérifie : ϕZ^′+ (2ϕ^′+aϕ)Z = 0 (resp. ϕZ^′+ (2ϕ^′+aϕ)Z =c).

NB : siϕs’annule, appliquer cette méthode sur les intervalles oùϕne s’annule pas, puis examiner les possibilités de raccordement.

4) Résolution pratique

a) Recherche des solutions de (H)

Rappelons qu’il n’existe pas de méthode générale, contrairement au cas de l’ordre 1.

Toutefois, dans le cas de coefficients constants, on connaît les solutions.

Sinon, l’énoncé peut suggérer un type particulier de solutions : penser alors à l’abaissement de l’ordre (§3).

En l’absence de suggestion, chercher une solution “évidente” (polynôme, simple fonction usuelle) et en dernier lieu chercher les solutions développables en série entière.

b) Recherche d’une solution particulière de (E)

Chercher avant tout une solution “évidente”, penser à la superposition des solutions et à l’abaissement de l’ordre (§ 3).

Exemples :

1) y^′′−3y^′+ 2y=e^t−t−1

2) y^′′+ 4y^′+ 4y= e^−2t

√t²+ 1 (penser à l’abaissement de l’ordre)

3) t(1−t)y^′′+ 2t²−1 y^′+ 2 (1−2t)y= 0(chercher une solution polynomiale) 4) 4xy^′′+ 2y^′−y= 0(utiliser le changement de variablet=√xsurR^+∗,t=√

−xsur R^−∗, voir aussi les solutions DSE au chapitre6)

5) Équations d’Euler : poura, bdansR, l’équationx²y^′′+axy^′+by =c(x) se ramène à une équation à coefficients constants grâce au changement de variablet= ln|x|, surR^+∗ et surR^−∗.

Voir par exemple : x²y^′′+ 3xy^′+y= 0.

5) Variation des constantes (toujours hors programme !)

Si l’on connaît une base (ϕ, ψ) deS^I(H), alors on sait résoudre (E). . .

Soitf deux fois dérivable surI ; il existe un unique couple(λ, µ) d’applications dérivables surI tel que f =λϕ+µψ

f^′ =λϕ^′+µψ^′ et l’on a :

f ∈ SI(E)⇔ λ^′ϕ+µ^′ψ= 0 λ^′ϕ^′+µ^′ψ^′ =c .

On détermine donc λ^′ et µ^′ par résolution d’un système de Cramer, puis λ et µ par deux calculs de primitives.

V

V - Notions sur les équations différentielles d’ordre 1 non linéaires ( complément hors programme )

1) Notations — Définitions

•On considère ici les équations différentielles de la forme(E) y^′ =F(x, y)oùF est une application définie sur un ouvertU de R², à valeurs dans R.

•f estune solution de (E) sur J, intervalle deR, si et seulement sif est une application de J dans R, dérivable surJ et telle que : ∀x∈J x, f(x) ∈U et f^′(x) =F x, f(x) .

•f estune solution maximale de (E) si et seulement sif est une solution de (E) sur un intervalleJ n’admettant aucun prolongement f à un intervalleJ, contenant strictementJ, qui soit solution de (E) surJ.

•Les représentations graphiques des solutions maximales sontles courbes intégrales de (E).

2) Existence et unicité d’une solution au problème de Cauchy

Théorème de Cauchy

Si F : U →R est de classe C¹ sur U, ouvert de R², alors, pour tout (x0, y0) dans U, le problème de Cauchy y^′ =F(x, y)

y(x0) =y0 admet une unique solution maximale, définie sur un intervalleouvert de R. Toute solution du même problème de Cauchy en est une restriction.

Les courbes intégrales de (E) forment une partition de U : par tout point (x0, y0) de U passe une courbe intégrale et une seule.

Corollaire : si la fonction nulle est solution maximale sur J, alors les solutions maximales non nulles ne s’annulent pas surJ.

3) Exemples

Équations de Bernoulli : de la formey^′ =a(x)y+b(x)y^α Idée : siy ne s’annule pas, diviser par y^α puis poserz= 1

y^α−1

Exemple : donner la solution du problème de Cauchy y^′ =y+x²y² y(0) = 1 . Attention ! Le problème de Cauchy y^′= 3.y^2/3

y(1) = 1 admet une infinité de solutions définies sur R(la fonctionF associée n’est pas de classeC¹. . . ).

Équations à variables séparables : de la formea(y)y^′ =b(x)

On calcule des primitivesAetBdeaetb. Siyest solution, alorsA(y) =B(x) +C^ste (formellement, on intègre“a(y) dy=b(x) dx”. . . ).

On obtient ainsi les équations cartésiennes de courbes du plan contenant les courbes intégrales.

NB : si aest de signe constant,A est strictement monotone donc bijective et on obtient y=A⁻¹ B(x) +C^ste .

Mais, sinon, une courbe intégrale n’est en général qu’un “morceau” d’une courbe d’équation A(y) = B(x) +C^ste. Penser notamment au cas où une telle courbe possède plusieurs points ayant la même abscisse. . .

Exemples :

1) Leséquations autonomes y^′ =G(y) sont à variables séparables, sous réserve queG(y) = 0 (les valeurs dey telles que G(y) = 0correspondent aux solutions constantes. . . ).

Revoir par exempley^′ = 3.y^2/3. 2) Intégrer sur(R^+∗)² : xyy^′ =y²−1.

Équations homogènes en x, y : de la formey^′ =ϕ y x Le changement de fonction inconnuet= y

xconduit à l’équationà variables séparables:x.t^′ =ϕ(t)−t.

Les valeurs de t telles que ϕ(t) = t correspondent aux solutions linéaires, de la forme x →tx avec t constant. Pour déterminer les autres solutions, la séparation des variables donne

dt

ϕ(t)−t = dx x

qui fournit facilement x en fonction detet par là même y=t.xégalement en fonction de t.

On obtient ici une représentation paramétrique de courbes du plan contenant les courbes intégrales.

Exemple : étudier le problème de Cauchy 2y+ (y−3x)y^′= 0

y(1) = 2 .