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AES option mathématique Année 2004–2005
Partiel novembre 2004
—ÉNONCÉ—
On étudie la distribution selon la distance de « domicile familial – travail » des salariés d’une entreprise. Après répartition par classes, on obtient le tableau suivant :
distances (km) effectifs
[1 ; 5[ 250
[5 ; 10[ 328
[10 ; 20[ 165
[20 ; 30[ 91
[30 ; 50[ 46
Question 1–Quelle proportion de salariés habite à moins de 20 km de l’entreprise ? Question 2–Tracer l’histogramme correspondant à cette série.
Question 3–Déterminer la valeur de la médiane.
Question 4–L’écart interquartiles est 10, 45 et le troisième quartile est 14, 97 (on ne demande pas de calculer ces valeurs). Déterminer le premier quartile.
Question 5–Calculer la moyenne correspondant à cette série. Donner la formule utilisée.
Question 6–Calculer l’écart–type.
—SOLUTION—
Réponse à la question 1–Le nombre de salariés habitant à moins de 20 km de l’entreprise est 250+328+165=743.
Le nombre total de salariés de l’entreprise est
250+328+165+91+46=880.
La proportion de salariés habitant à moins de 20 km de l’entreprise est donc 84, 4% puisque 743
800=84, 4%.
Réponse à la question 2– Dans l’histogramme de la distribution d’un caractère continu, chaque modalité est représentée par un rectangle dont la longueur est proportionnelle à l’amplitude de la modalité et la surface est proportionnelle à son effectif. La hauteur d’un rectangle est donc proportionnelle au rapport (appelé densité) de l’effectif sur l’amplitude de sa modalité correspondante. On résume les amplitudes et densités des modalités dans le tableau suivant et l’histogramme est représenté sur la figure1page suivante.
modalités [1 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 50[
amplitudes 4 5 10 10 20
densités 62, 5 65, 6 16, 5 9, 1 2, 3
1
1 5 10 20 30 50 62,5
65,6
16,5 9,1 2,3
FIG. 1 – Histogramme de la distribution Réponse à la question 3–La fréquence cumulée de la modalité [1 ; 5[ est
250
880=28, 4%
et la fréquence cumulée de la modalité [5 ; 10[ est 250+328
880 =65, 7%.
La médianne est la valeur en laquelle la fonction de distribution cumulée (extrapolée linéairement entre les va- leurs connues) prend la valeur 50%. Elle est donc située dans l’intervalle [5 ; 10[ et on la calcule à l’aide (par exemple) du théorème de Thalès1(voir la figure2page suivante). On a
m−5
10−5= 50−28, 4
65, 7−28, 4 donc m−5=(10−5)× 50−28, 4 65, 7−28, 4 puis
m=5+(10−5)× 50−28, 4
65, 7−28, 4=7, 9.
Ainsi, la médianne est de 7, 9 km.
Réponse à la question 4–SiQ1etQ3sont, respectivement, les premiers et troisièmes quartiles, l’espace interquar- tiles est∆=Q3−Q1. AinsiQ1=Q3−∆et on trouve
Q1=14, 97−10, 45=4, 52.
Le premier quartile est 4, 52 km.
Réponse à la question 5–Les modalités étant des intervalles, le calcul de la moyenne et de l’écart–type se fait en remplaçant chaque intervalle par son centre. On rappelle que le centrecd’un intervalle [a,b[ se calcule par la formule
c=a+b 2 .
modalités [1 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 50[
centres 3 7, 5 15 25 40
effectifs 250 328 165 91 46
1Qui fut mathématicien bien avant que des ambitieux ne donnent son nom à une entreprise.
2
5 m 10 28,4%
50%
65,7%
FIG. 2 – Calcul de la médianne à l’aide du théorème de Thalès Ainsi
Moy=3×250+7, 5×328+15×165+25×91+40×46
880 =11, 136.
La distance moyenne entre le domicile et le lieu de travail est 11, 1 km.
Réponse à la question 5–La moyenne des carrés est
32×250+7, 52×328+152×165+252×91+402×46
880 =213, 977.
La variance est donc
Var=213, 977−11, 1362=89, 97 et l’écart–type est
σ=p
Var=p
89, 97=9, 5.
L’écart–type de la distance entre le domicile et le lieu de travail est 9, 5 km.
3
