D20600. Auto-inverse
Caractériser une cubique du plan qui est transformée en elle-même par une inversion.
Solution de Bernard Legrand
Soit dans le plan projectif complexe (P) une cubique réelle (K).
Un point O de (K) et un nombre réel a étant donnés, soit (K0) la trans- formée de la cubique (K) dans l’inversion (I) de centre O et de puissance a.
Si (K) = (K0), la cubique (K) sera dite auto-inverse.
Le cas où les trois points à l’infini de (K) sont réels est trivial : pour que (K) soit auto-inverse, il faut et il suffit que (K) soit alors décomposée en trois droites concourantes en O.
Dans ce qui suit, on suppose donc qu’un seul des points à l’infini de (K), soit H, est réel, et l’on se propose de démontrer que pour que la cubique (K) soit auto-inverse, il faut et il suffit qu’elle passe par les points cycliques de (P).
1/ Remarques préliminaires sur l’inversion (I)
L’inversion (I) n’est définie que dans (P) privé des isotropes deO, ce sous ensemble de (P) sera noté (P0).
Le transformé (P00) de (P0) par (I) est l’ensemble (P0) privé de la droite de l’infini et augmenté du point O.
La transformée d’une droite réelle (D) de (P) privée de ses intersections avec les isotropes de O est un cercle (C) passant parO et privé des points cycliques de (P).
2/ Condition nécessaire
Dans (I),H est transformé enOet la droiteOH est tangente enO à (K).
Une droite réelle (D) de (P) ne passant ni parO ni par une des 6 intersec- tions de (K) avec les isotropes de O, coupe (K0) en trois points de (P0), et son inverse est un cercle (C) coupant (K0) en 4 points [O et 3 points de (P0)].
Or, dans (P), (C) et (K0) ont 6 point communs. (C) et (K0) ont donc 2 points communs qui appartiennent aux isotropes de O et sont différents deO : ces deux points sont les points cycliquesI etJ de (P).
3/ Condition suffisante
SoitO un point de (K) tel que la tangente enO à (K) passe par le point H.
SoitA un point de (K) etA0 le troisième point d’intersection de la droite OAavec (K).
SoitBun point de (K) différent deA,A0 etO. La cubique (K) passant par I etJ, le cercle circonscrit au triangleAA0B recoupe (K) en un quatrième pointB0. SoitO’ l’intersection de BB0 avec (K).
Parmi les huit points A A0 B B0 I J H et O, il n’y en a ni sept sur une conique, ni quatre sur une droite. Le théorème du neuvième point est donc applicable : deux des cubiques qui passent par ces huit points étant la cubique (K) et la cubique formée des droitesAA0,BB0 etIJ, le neuvième point est le point O0; comme la cubique formée du cercle AA0BB0 et de la droite OH passe aussi par les huit points A A0 B B0 I J H et O, cette cubique passe par O0, qui, n’étant pas situé sur le cercle AA0BB0, appartient à la droiteOH et est donc confondu avecO1.
La droiteBB0 passe parOetOA.OA0=OB.OB0 : tout pointB de (K) a pour inverseB0, point de (K), dans l’inversion de centreO qui transforme Aen A0; la cubique est globalement invariante dans cette inversion.
1. Pour cette démonstration et celle du théorème du neuvième point, voir page 103 in
« Compléments de géométrie moderne » par Charles Michel, Troisième édition, Vuibert 1949.
