Analyse complexe

Analyse complexe

Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie

Cours de Licence 3 — 2017/2018 Bruno Deschamps (Rédaction par Ivan Suarez Atias)

i

Table des matières

Rappels 1

I. Limite supérieure, limite inférieure 1

II. Séries numériques 4

1. Premiers rappels 4

2. Critères de convergences 4

III. Suites et séries de fonctions 8

Chapitre 1. Séries entières complexes 11

I. Lemme d’Abel 11

II. Détermination pratique du rayon de convergence 11

III. Analycité 12

IV. Les zéros isolés 14

V. Inégalités de Cauchy 15

VI. Opérations algébriques sur les séries entières 17

VII. Remarque sur l’holomorphie 19

Chapitre 2. Fonctions analytiques 21

I. Généralités 21

II. Prolongement analytique 25

III. Principe du maximum 28

IV. Fonctions exponentielle et trigonométriques 29

Chapitre 3. Théorie de Cauchy 37

I. Chemins et lacets 37

II. Homotopie 40

III. Théorème de Cauchy 41

IV. Analycité et holomorphie 44

V. Conditions de Cauchy-Riemann 46

VI. Fonctions logarithmes et puissances 48

Chapitre 4. Singularités et résidus 51

I. Points singuliers isolés et séries de Laurent 51

II. Étude au voisinage d’un point frontière isolé 53

III. Résidus 56

IV. Application au calcul intégral 57

ii

Rappels

I. Limite supérieure, limite inférieure

Dans ce premier paragraphe, une suite numérique sera une suite à valeurs dansR.

NotonsR=R∪ {+∞} ∪ {−∞}la droite réelle à laquelle nous avons rajouté deux symboles. Nous étendons l’ordre défini surRàRen décrétant que+∞est strictement supérieur à n’importe quel nombre réel et à−∞

(resp. que−∞est strictement inférieur à n’importe quel nombre réel).

Propriéte 1. DansR, toute partie non vide possède une borne supérieure et une borne inférieure.

SiA⊆R,A6=∅, on notesup(A)(resp.inf(A)) laborne supérieure(resp. laborne inférieure) deA.

Exemple 2. SoitA = ßp

q : p∈Z, q∈N^•:=N r{0}, p²<2q²

™

⊆Q. AlorsAest bornée etsupA =

√2,infA=−√ 2.

Propriéte 3. SoitA⊆R,A6=∅. On a

· supA= +∞ ⇐⇒ An’est pas majorée

· supA∈R ⇐⇒ Aest majorée

Soit(un)_n∈

Nune suite numérique. Pourn∈N, notons

v_n = sup{uk : k≥n} ∈R et w_n= inf{uk : k≥n} ∈R

Comme{uk : k≥n+ 1} ⊆ {uk : k ≥n}, la suitevnest décroissante. Cette suite(vn)_n∈Nconverge donc dansR.

Définition 4. Lalimite supérieurede la suite(un)_n∈Nest définie comme l’élémentL= lim

n→+∞vn ∈R. On la notelim sup(u_n) = lim(u_n).

La suite(w_n)_n∈

Nest quant à elle croissante.

Définition 5. Lalimite inférieurede la suite(un)_n∈Nest définie comme l’élément`= lim

n→+∞wn ∈R. On la notelim inf(un) = lim(un).

Exemple 6.

1. Soit(un)_n∈N= ((−1)ⁿ)_n∈N. On avn = sup{uk : k≥n}= sup{−1; 1}= 1etwn = inf{−1; 1}=

−1. Ainsi,lim supun= 1etlim infun =−1. 2. Soit(u_n)_n∈

Nla suite de terme généralu_n = (1 + (−1)ⁿ)n. Remarquons queu_2k = 4ketu_2k+1= 0. On a donc

v_2n = sup{0; 2×2n; 2×(2n+ 2); 2×(2n+ 4);. . .}= +∞

v2n+1= sup{0; 2×2n; 2×(2n+ 2); 2×(2n+ 4);. . .}= +∞

Ceci montre quelim supu_n = +∞. De même, on montre quelim infu_n= 0(exercice).

3. Soit(un)_n∈

Nla suite de terme généralun =n+ 2 n+ 1. Alors vn= sup

ßn+ 2 n+ 1,n+ 3

n+ 2, . . .

™

=n+ 2 n+ 1 Donclim supu_n= lim

n→+∞v_n = 1. De même, on montre quelim infu_n = 1. Proposition 7. Soit(un)_n∈

Nune suite numérique. Alorslim infun≤lim supun.

Démonstration. En utilisant les notations de la définition,vnetwnsont respectivement la borne supérieure et la borne inférieure du même sous-ensemble non vide deR. L’inégalité souhaitée est obtenue en passant à la

limite.

1

Théorème 8. Soit(un)_n∈

Nune suite numérique.lim supun(resp.lim infun) est laplus grande(resp.plus petite) valeur d’adhérence de la suite(un)_n∈

N.

Démonstration. La démonstration concernantlim supu_netlim infu_nest identique. Démontrons le théo- rème uniquement pour le caslim supu_n, le caslim infu_nétant laissé en exercice. Posons doncv_n = sup{uk : k≥n}etL= lim

n→+∞v_n. Trois cas sont possibles :L= +∞;L∈RetL=−∞.

Cas 1:L= +∞. La suite(vn)_n∈Nétant décroissante, ceci implique quevn= +∞pour toutn≥0. Ainsi, pour toutA >0, il existen∈Ntel queun> A, ce qui montre que+∞est une valeur d’adhérence de(un)_n∈N. Cas 2:L=−∞. Commevn ≥un, ceci implique que lim

n→+∞un=−∞, et−∞est bien l’unique valeur d’adhé- rence de(un)_n∈

N.

Cas 3:L∈R. Montrons dans un premier temps queLest bien une valeur d’adhérence de(un)_n∈

N. Soitε >0. La suite(vn)_n∈

Ntend versL, donc

∃N ∈N ∀k≥N |vk−L|< ε 2 D’après la définition dev_N,

∃N2≥N |vN−uN₂|< ε 2 Ainsi,

|uN₂−L| ≤ |uN₂−vN|+|vN −L|< ε 2+ε

2 =ε Le réelLest donc bien une valeur d’adhérence de(u_n)_n∈

N. Montrons désormais qu’il s’agit de la plus grande.

SoitM > L.

∃N ∈N ∀n≥N |vn−L|<M −L 2 La suite(vn)_n∈

Nétant décroissante, l’égalité précédente implique L < vN < L+M −L

2 < M Par conséquent, par définiton devN,

∀n≥N un≤vN <_M −L 2 < M Le réelM ne peut donc pas être une valeur d’adhérence de(un)_n∈

N.

Démonstration. La démonstration concernantlim supunetlim infunest identique. Démontrons le théo- rème uniquement pour le caslim supun, le caslim infunétant laissé en exercice. Posons doncvn = sup{uk : k≥n}etL= lim

n→+∞vn. Trois cas sont possibles :L= +∞;L∈RetL=−∞. Intéressons-nous dans un premier temps au cas oùL = +∞. La suite(vn)_n∈

Nétant décroissante, cette limite implique quevn= +∞pour toutn∈N. En revenant à la définition devn, nous en déduisons

∀A∈R ∀m∈N ∃N > m u_N > A

Cette dernière assertion permet de construire une suite extraite de(un)_n∈Ntendant vers+∞. La suite extraite, une fois construite, montre alors que+∞est bien une valeur d’adhérence de(un)_n∈N, qui est la plus grande valeur d’adhérence possible pour(un)_n∈N. Afin de construire cette suite extraite il faut procéder par récurrence.

Supposons que lesnpremiers termes de la suite extraite(uϕ(k))_k≤n−1soient définis. La propriété précédente appliquée àA=netm =ϕ(n−1)(resp.m = 0sin= 0) montre l’existence d’un entierϕ(n)> ϕ(n−1) satisfaisantu_ϕ(n)> n. Ainsi, lim

n→+∞u_ϕ(n)= +∞.

Intéressons-nous désormais au cas oùL=−∞. La définition devnimplique

∀A∈R ∃N ∈N ∀m≥N uN < A Cette propriété montre que lim

n→+∞u_n = −∞. Ainsi,−∞est l’unique valeur d’adhérence de(u_n)_n∈

N. Étant l’unique valeur d’adhérence, il s’agit également de la plus grande.

Supposons finalement queL∈R.

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n≥N |v_n−L|< ε Construisons par récurrence une suite extraite(uϕ(n))_n∈

N

tendant versL. Définissonsϕ(0) = 0. Fixonsn≥1 et supposons queϕsoit définie pourk < n. Choisissonsε= 1

n >0et fixonsN >0tel que|vn−L|< εpour toutn≥N. Rappelons que(vn)_n∈Nest décroissante. Ainsi,

∀n≥N L≤vn < L+ε

I. LIMITE SUPÉRIEURE, LIMITE INFÉRIEURE 3

Orvn= sup{uk : k≥n}, d’où

∃ϕ(n)>maxn, ϕ(n−1) v_n−ε < u_ϕ(n)≤v_n

L’inégalité concernantv_nimplique alorsL−ε < u_ϕ(n)< L+ε, implication qui montre que lim

n→+∞u_ϕ(n)=L. AinsiLest bien une valeur d’adhérence de(un)_n∈

N. Soitλune valeur d’adhérence de(un)_n∈

N. Choisissons une suite extraite(u_ϕ(n))_n∈

N

tendant versλ. On a, pour n∈N,

v_n= sup{uk : k≥n} ≥sup{uϕ(k) : ϕ(k)≥n} ≥λ En passant à la limite, on en déduit

lim supun= lim

n→+∞vn ≥λ

égalité qui termine la démonstration.

Théorème 9. Soit(u_n)_n∈

Nune suite numérique. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) La suite(u_n)_n∈

Nconverge.

(ii) lim supun= lim infun∈R. Démonstration. La suite(u_n)_n∈

Nconverge dansRsi et seulement si(u_n)_n∈

Npossède une unique valeur

d’adhérence réelle.

Théorème 10. Soient(u_n)_n∈

N une suite numérique et(v_n)_n∈

N une suite numérique convergeant vers` =

n→+∞lim v_n>0. Alors

lim sup(unvn) = lim supun lim

n→+∞vn=`lim supun

Démonstration. Soitϕ: N → Nune application strictement croissante. La suite(v_n)_n∈

Nétant conver- gente, la suite extraite v_ϕ(n)

n∈N

converge également vers`. On en déduit l’équivalence suivante.

uϕ(n)

n∈N

converge ⇐⇒ uϕ(n)vϕ(n)

n∈N

converge

Si l’on noteA (resp. B) l’ensemble des valeurs d’adhérence de(un)_n∈N (resp. de (unvn)_n∈N), on a l’égalité B={λ` :`∈A}. Comme` >0, on en déduit

lim sup(unvn) =`lim supun

égalité qui conclut la démonstration.

Attention. Généralement,lim sup(unvn)6= lim supunlim supvn, comme on peut le voir dans l’exemple suivant. Posons

ß u_2k = 0 u_2k+1 =k

ß v_2k =k v_2k+1 = 0







lim sup(u_nv_n) = 0 lim supu_n = +∞

lim supv_n = +∞

Attention. L’inégalitélim sup(u_n+v_n)≤ lim supu_n+ lim supv_nest vraie, mais il n’y a pas toujours égalité. Par exemple, siu_n = (−1)ⁿetv_n = (−1)ⁿ, on au_n+v_n = 0.

Lemme 11. Soit(un)_n∈

Nune suite à termes positifs. Alorslim sup√ⁿ

un+1 = lim sup ⁿ⁺¹√ un+1. Démonstration. Supposons dans un premier temps que`= lim sup√ⁿ

un+1 ∈R^×+. Soitε >0.

∃N1∈N ∀n≥N1 ⁿ

√un+1 < `+ε

La fonctionx 7→ xⁿ⁺¹ⁿ étant strictement croissante surR^×+, on en déduit que pourn ≥ N₁, on au

1 (n+1)

n+1 <

(`+ε)ⁿ⁺¹ⁿ −−−−−→

n→+∞ `+ε. En particulier,lim supu

1 (n+1)

n+1 ≤`+ε. Cette dernière inégalité étant valable pour tout ε >0, on en déduit quelim supu

1 (n+1)

n+1 ≤`. Choisissons désormais0< ε < `.

∃N2∈N ∀n≥N2 ∃m≥n ^m√

um+1 > `−ε On peut donc extraire une sous-suite(u_ϕ(n))

n∈Nvérifiant

∃N3∈N ∀n≥N3 ^ϕ(n)

√u_ϕ(n)+1 > `−ε Ainsi, pourn ≥ N3, on a u<sub>ϕ(n)+1</sub><sup>(ϕ(n)+1)1</sup> > (`−ε)

ϕ(n)

ϕ(n)+1 −−−−−→

n→+∞ `−ε. Cette suite extraite montre que lim sup ⁿ⁺¹√

un+1 ≥ `−ε. Comme précédemment, cette inégalité étant valable pour toutε > 0, on obtient lim sup ⁿ⁺¹√

un+1 ≥`, d’où l’égalitélim sup ⁿ⁺¹√

un+1 =`.

Les caslim supun= 0etlim supun= +∞sont laissés en exercice.

II. Séries numériques

Dorénavant, sauf indication contraire les suites et les séries numériques sont à valeur dansC. 1. Premiers rappels.

Définition 12. Soit(u_n)_n∈

Nune suite numérique. On appellesériede terme généralu_nlasuitedes sommes partielles

n

X

k=0

u_k

!

n∈N

. On note cette suite Xu_n.

Théorème 13 (Critère de Cauchy pour les séries). Soit(un)_n∈

Nune suite numérique. Les assertions sui- vantes sont équivalentes.

(i) La sériePunconverge.

(ii) ∀ε >0 ∃N∈N ∀n≥N ∀p≥0

n+p

X

k=n

uk

< ε

Démonstration. CommeCest complet, la sériePu_nconverge si, et seulement si,Pu_nest une suite de Cauchy. NotonsSn=

n

X

k=0

uk. Nous avons alors

Xunest de Cauchy ⇐⇒ (Sn)_n∈Nest de Cauchy

⇐⇒ ∀ε >0 ∃N∈N ∀n≥N ∀p≥0 |Sn+p−S_n−1|< ε

L’équivalence cherchée découle directement de la dernière assertion.

Définition 14. La sériePunest diteabsolument convergentesi la sérieP|un|converge.

Théorème 15. Toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration. SoitPun une série absolument convergente. Le critère de Cauchy appliqué à la série P|un|donne

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n≥N ∀p≥0

n+p

X

k=n

|uk|< ε L’inégalité triangulaire

n+p

X

k=n

u_k

≤

n+p

X

k=n

|uk|implique alors que la sériePu_nsatisfait bien également le critère

de Cauchy. La sériePunest donc convergente.

Attention. Soitun = (−1)ⁿ

n . La sériePunconverge (d’après le critère des séries alternées) bien que la sérieP|un|diverge (comparaison série intégrale).

Corollaire 16. SiPunconverge, alors la suite(un)_n∈Nconverge vers0.

Démonstration. Appliquons le critère de Cauchy.

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n≥N ∀p≥0

n+p

X

k=n

uk

< ε Le choixp= 0dans le critère de Cauchy montre que la suite(u_n)_n∈

Ntend vers0.

D’après le corollaire 16, si la suite(u_n)_n∈

Nne tend pas vers0, alors la sériePu_ndiverge.

Définition 17. On dit que la sériePu_n estgrossièrement divergentesi la suite(u_n)_n∈

Nne tend pas vers0.

2. Critères de convergences.

•Critère des séries alternées

Définition 18. Une sériePunest ditealternéesi

∀n∈N un= (−1)ⁿ|un| Remarquons qu’une série alternée est obligatoirement à valeurs réelles.

Théorème 19 (Critère des séries alternées). SoitX

(−1)ⁿ|un|une série alternée.

Si(|un|)_n∈

Nconverge vers0endécroissant, alors la sériePunconverge.

II. SÉRIES NUMÉRIQUES 5

Démonstration. NotonsSn=Pn

k=0uk. Nous avons les égalités

S2n+2−S2n= (−1)²ⁿ⁺²|u2n+2|+ (−1)²ⁿ⁺¹|u2n+1|=|u2n+2| − |u2n+1| ≤0 S2n+3−S2n+1= (−1)²ⁿ⁺³|u2n+3|+ (−1)²ⁿ⁺²²|u2n+2|=−|u2n+3|+|u2n+2| ≥0

S2n+1−S2n=−|u2n+1| −→

n→+∞0

Les égalités précédentes montrent que les deux suites(S2n)_n∈

Net(S2n+1)_n∈

Nsont adjacentes. Elles convergent donc simultanément vers une limite commune notée`. Ces deux suites extraites couvrentNentièrement, nous en déduisons que lim

n→+∞Sn =`.

•Transformation d’Abel

Proposition 20. Soient(a_n)_n∈

N∈C^Net(b_n)_n∈

N∈C^N. Pourn∈N, posonsA_n =

n

X

k=0

a_k. Alors

n

X

k=0

akbk =

n−1

X

k=0

Ak(bk−bk+1) +Anbn

Démonstration. Démontrons l’égalité par récurrence. Pourn= 0, l’égalité à montrer se lita0b0=A0b0, égalité qui est vraie.

Supposons l’égalité démontrée pour un entiern∈N. Au rangn+ 1, le membre de droite vaut

n

X

k=0

A_k(b_k−b_k+1) +A_n+1b_n+1=

n−1

X

k=0

A_k(b_k−b_k−1) +A_n(b_n−b_n+1) +A_n+1b_n+1

=

n−1

X

k=0

Ak(bk−bk−1) +Anbn+bn+1(An+1−An)

=

n

X

k=0

akbk +bn+1an+1

L’égalité est donc vérifiée au rangn+ 1, ce qui termine la démonstration.

Théorème 21 (Théorème d’Abel). Gardons les notations de la proposition précédente. Supposons que

· (An)_n∈

Nest bornée ;

· (bn)_n∈

Nconverge vers0;

· P(bn+1−bn)converge absolument.

AlorsPanbnconverge.

Démonstration. La suite(An)_n∈

Nétant bornée et la suite(bn)_n∈

Nconvergeant vers0, on en déduit que Anbn−→_n→+∞0. Ainsi, d’après la proposition 20,

Xanbnconverge ⇐⇒ X

An(bn−b_n−1)converge

SoitM >0un majorant de la suite(An)_n∈N: pour tout entiern,An≤M. La sériePM(bn−bn−1)convergeant absolument, le critère de Cauchy implique

∀ε >0 ∃N∈N ∀n≥N ∀p≥0

n+p

X

k=n

|M(b_n−b_n−1)|< ε

Le réelε >0étant donné, l’entierNdonné par la condition de Cauchy vérifie également

∀n≥N ∀p≥0

n+p

X

k=n

A_n(b_n−b_n−1)

≤

n+p

X

k=n

|A_n||b_n−b_n−1| ≤X

M|b_n−b_n−1|< ε

La sériePAn(bn−b_n−1)vérifie donc la condition de Cauchy. Cette dernière série converge donc, tout comme

la sériePanbn.

Exemple 22. Soit(λn)_n∈Nune suite numérique réelle décroissante et convergeant vers0. Soitθ∈R r2πZ. Alors la sériePλne^inθconverge.

En effet, posonsan =e^inθetbn=λn. On a alors A_n =

n

X

k=0

e^ikθ= e^i(n+1)θ−1

e^iθ−1 = e^{in+12 θ} e^iθ2

e^{in+12 θ}−e^{−in+12 θ}

e^iθ2 −e^−iθ2 e^iθ−1 = e^{in+12 θ} e^iθ2

sin ⁿ⁺¹₂ θ sin ^θ₂

|An|=

sin ⁿ⁺¹₂ θ sin ^θ₂

≤ 1

sin ^θ₂ La suite(An)_n∈

Nest donc bornée. La suite(bn)_n∈

Nconverge vers0par hypothèse. De plus,

n

X

k=0

|bk−b_k−1|=

n

X

k=0

|λk−λ_k−1|=

n

X

k=0

(λ_k−1−λk) (car(λn)_n∈Nest décroissante)

=λ0−λn−→n→+∞λ0

Les trois hypothèse du théorème d’Abel étant vérifiées, on en déduit que la sériePλne^inθconverge.

Remarqe. Le choixθ=πdonne la convergence de la sérieP(−1)ⁿλn. L’exemple précédant est donc une généralisation du critère des séries alternées.

Application 23. La série

Xcos(nθ)

logn converge siθ6∈2πZ.

En effet, en posantλn= _log¹_n, la suite(λn)_n∈Ndécroît vers0. L’exemple 22 implique alors que la série

X e^inθ logn converge. Ainsi, les sérieRe

Ç

X e^inθ logn

å etIm

Ç

X e^inθ logn

å

convergent donc également, ce qui montre que les séries

Xcos(nθ) logn et

Xsin(nθ)

logn convergent.

•Critère de d’Alembert

Théorème 24. SoitPunune série àtermes strictement positif: pour tout entiern,un>0.

· Silim supu_n+1 un

<1, alors la sériePu_nconverge.

· Silim inf un+1

u_n >1, alors la sériePundiverge grossièrement.

Démonstration. Supposons dans un premier tempslim supu_n+1 un

<1. Soitλ∈Rvérifiantlim sup^u_uⁿ⁺¹

n <

λ <1. Posonsvn = sup ßuk+1

uk

: k≥n

™

. Posonsε= λ−lim sup^u_uⁿ⁺¹

n

2 >0. La suite(vn)_n∈Ndécroît vers lim supun+1

u_n < λ:

∃N∈N ∀n≥N v_n< λ Ainsi uk+1

u_k < λpourk ∈ JN, nK. Les termes intervenant dans ces inégalités étant strictement positifs, les inégalités peuvent être multipliées entre elles.

un+1

u_N =

n

Y

k=N

uk+1

u_k < λ^n−N+1 Cette inégalité implique

∀n≥N un< uN

λ^N−1λⁿ

Commeλ <1, la sériePλⁿconverge, convergence qui implique la convergence de la sériePu_n. Intéressons-nous désormais au cas oùlim inf un+1

u_n >1.

∃λ∈R lim infun> λ >1 Comme précédemment, on montre

∃N ∈N ∀n≥N un > uN

λ^N−1λⁿ

La divergence grossière de la sériePλⁿ(pourλ >1) implique alors la divergence grossière de la sériePu_n. Exemple 25. La série

X 1

n! converge. En effet, en posantun= _n!¹, on a un+1

u_n = 1

n+ 1−→0.

•Critère de Cauchy

II. SÉRIES NUMÉRIQUES 7

Théorème 26. Soit(un)_n∈

Nune suite à termes positifs :un ≥0pourn∈N.

· Silim sup√ⁿ

un <1, alorsPunconverge.

· Silim sup√ⁿ

un >1, alorsPundiverge grossièrement.

Démonstration. Supposons dans un premier tempslim sup√ⁿ

un <1. Soitλ∈Rvérifiantlim sup√ⁿ un <

λ <1.

∃N ∈N ∀n≥N √ⁿ un < λ En particulier,

∀n≥N u_n < λⁿ

Commeλ <1, la sériePλⁿconverge, tout comme la sériePunen utilisant le critère de comparaison des séries à termes positifs.

Supposons désormaislim sup√ⁿ

u_n >1. Soitλ∈Rvérifiantlim sup√ⁿ

u_n > λ >1. Définissonsϕ(−1) =−1. Pour chaque entiern, il existe un entierϕ(n)> ϕ(n−1)tel que ϕ(n)√

u_ϕ(n) > λ, autrement ditu_ϕ(n)> λ^ϕ(n)≥ λⁿ −→

n→+∞+∞. Ceci permet de construire une suite extraite de(un)_n∈

Ntendant vers+∞, ce qui montre que la suite(u_n)_n∈

Nne tend pas vers0.

Exemple 27. Intéressons-nous à la série XÅ

cos 1 2n

ãn³+2n²

. On a

n

s Å

cos 1 2n

ãⁿ³⁺²ⁿ²

= exp

Å(n³+ 2n²)

n log

Å cos 1

2n ãã

Lorsquen→+∞, on a ¹

2n →0. Le développement limité à l’ordre2decosen0nous donne l’équivalent suivant.

cos Å 1

2n ã

= 1−1 2· 1

4n² +o Å 1

n² ã

log Å

cos Å 1

2n ãã

=− 1 8n² +o

Å 1 n²

ã

(n²+ 2n) log Å

cos 1 2n

ã

=−1 8+o(1)

n→+∞lim Ñ

n

s Å

cos 1 2n

ãn³+2n²é

=e⁻¹⁸ <1

Le critère de Cauchy implique donc que la série XÅ

cos 1 2n

ãⁿ³⁺²ⁿ²

converge.

•Produit au sens de Cauchy

SoientPa_netPb_ndeux séries complexes. Il faut donner un sens à la série produitPc_n= (Pa_n) (Pb_n). Une idée retenue par Cauchy consiste à regarder le cas particulier oùa_n =α_nXⁿ,b_n =β_nXⁿetc_n =γ_nXⁿ, oùαn∈C,βn ∈Cetγn∈C. Le coefficientγnest alors la somme des produitsαkβ_n−k, où0≤k≤n. Il s’agit de la définition que nous retiendrons pour définir la série produit.

Définition 28. On appelleproduit au sens de Cauchydes sériesPanetPbnla sériePcn, où c_n= X

i+j=n

a_ib_j=

n

X

k=0

a_kb_n−k On notePc_n= (Pa_n) (Pb_n).

Exemple 29. Posonsan=bn= (−1)ⁿ

√n+ 1. Le critère des séries alternées montre que les sériesPanetPbn

convergent. Cependant cn=

n

X

k=0

(−1)^k

√k+ 1 · (−1)^n−k

√n−k+ 1 = (−1)ⁿ

n

X

k=0

1

p(k+ 1)(n−k+ 1) Or pour0≤k≤n, on a0< k+ 1≤n+ 1et0< n−k+ 1≤n+ 1, donc0<p

(k+ 1)(n−k+ 1) ≤n+ 1. Ainsi,

|c_n|=

n

X

k=0

1

p(k+ 1)(n−k+ 1) ≥

n

X

k=0

1 n+ 1 = 1 La suitecnne tendant pas vers0, la série produitPcndiverge grossièrement.

Théorème 30. SoientPanetPbndeux séries. SoitPcn= (Pan) (Pbn)le produit au sens de Cauchy des sériesPanetPbn.

Si les sériesPanetPbnconvergent absolument, alors la sériePcnconverge.

Démonstration. Cas 1: supposonsan ≥0,bn ≥0. PosonsAn =

n

X

k=0

ak,Bn =

n

X

k=0

bketCn =

n

X

k=0

ck. Montrons que pour toutn∈N, on aCn ≤AnBn≤C2n. En effet, pourn∈N, on a

A_nB_n =

n

X

k=1

a_k

! _n X

j=1

b_j

!

=

n

X

k=1 n

X

j=1

a_kb_j C_n = X

k+j≤n

a_kb_j≤A_nB_n C_2n = X

k+j≤2n

a_kb_j≥A_nB_n

les inégalités découlent du fait que tous les termes sont positifs. Les suites(An)_n∈

Net(Bn)_n∈

Nsont croissantes et convergentes par hypothèse. Notonsα= lim

n→+∞Anetβ = lim

n→+∞Bn. L’encadrementCn≤AnBnimplique alorsC_n ≤αβ. La suite(C_n)_n∈

Nétant croissante et majorée, elle converge. L’inégalitéC_2n ≥A_nB_n implique

n→+∞lim Cn≥αβ, inégalité qui montre lim

n→+∞Cn=αβ. Cas général: Posons

ean =|an|,ebn = |bn|et

ecn = |cn|. Définissons égalementAn =

n

X

k=0

ak,Bn =

n

X

k=0

bk, C_n=

n

X

k=0

c_k,Ae_n=

n

X

k=0

ea_k,B‹_n=

n

X

k=0

eb_ketC‹_n=

n

X

k=0

ec_k. Pourn∈N, on a

|C_n−A_nB_n|=

X

0≤k,j≤n k+j>n

a_kb_j

≤ X

0≤k,j≤n k+j>n

ea_keb_j =Ae_nB‹_n−C‹_n −→

n→+∞0

d’après le cas 1, limite qui termine la démonstration.

III. Suites et séries de fonctions

NotonsKle corpsRou bien le corpsC. SoitX un ensemble (on peut penser àX ⊆ RouX ⊆ C). Soit (f_n)_n∈

Nune suite de fonctions définies surX. Rappelons que la suite(f_n)_n∈

Nest la donnée, pour chaquen∈N, d’une fonctionfn : X → K. Rappelons également que l’on dispose de la norme infinie sur l’ensemble des fonctions bornées surX, notion que l’on peut étendre aux fonctions non bornées en étendant la définition de la manière suivante.

Définition 31. Soitf :X→K. La norme infinie def est kfk∞=kfkX,∞= sup

t∈X

|f(t)| ∈R

Exemple 32. PrenonsX= [0; 1],K=R. Pourn∈N, définissonsfn:X→Ren posantfn(t) =tⁿ. Lorsque0 ≤ t < 1, on afn(t) = tⁿ −→

n→+∞0. Si t = 1, alors fn(t) = 1 −→

n→+∞1. Ainsi, (fn)_n∈

N converge simplement vers la fonction

f : X −→ R

t 7−→

®0 sit <1 1 sit= 1 La suite(fn)_n∈

Nne converge pas uniformément versf surX. En effet, pourt <1, on afn(t)−f(t) =tⁿqui tend vers1lorsquet−→1⁻. Ainsikfn−fk∞= 1et lim

n→+∞kfn−fk∞6= 0. Proposition 33. Si(fn)_n∈

Nconverge uniformément versf, alors(fn)_n∈

Nconverge simplement versf. Démonstration. Il suffit de remarquer que, pour toutt∈X, on a|f_n(t)−f(t)| ≤ kf_n−fk_∞. Théorème 34 (Critère de Cauchy uniforme). La suite(f_n)_n∈

Nconverge uniformément si, et seulement si,

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n≥N ∀p≥0 kfn+p−fnk_∞< ε Théorème 35. X⊆C. Soit(fn)_n∈

Nune suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonctionf. Si chaque fonctionfnest continue (oùn∈N), alors la fonctionf est continue.

III. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 9

Théorème 36. X= [a, b]. Soit(fn)_n∈

Nune suite de fonctions continues convergeant uniformément surXvers une fonctionf.

Alors Z b

a

f(x)dx= lim

n→+∞

Z b a

fn(x)dx.

Exemple 37. X =R;f_n(t) = 1

nsin(nt). Alors kfnk_∞= sup

t∈R

1 nsin(nt)

= 1 n −→

n→+∞0 La suite(f_n)_n∈

Nconverge donc uniformément vers la fonction nullef définie parf(t) = 0pourt∈R. Cepen- dant,f_n⁰(t) = cos(nt)ne converge pas simplement. Il faut donc faire attention avec la dérivation.

Théorème 38. SoitX=Iun intervalle. Soit(fn)_n∈Nune suite de fonctions dérivables surI. Supposons que

· il existea∈Ipour lequel la suite numérique(fn(a))_n∈Nconverge ;

· la suite(f_n⁰)_n∈Nconverge uniformément vers une fonctiong.

Alors la suite(fn)_n∈Nconverge uniformément sur tout segment inclus dansIvers une fonctionf. De plus, cette fonctionfest dérivable surIet vérifief⁰ =g.

Démonstration. •Soitε > 0. Le critère de Cauchy appliqué à la suite(f_n⁰)_n∈Net àεdonne l’existence d’un entierN1vérifiant :

∀n≥N1 ∀p≥0 kf_n+p⁰ −f_n⁰k_∞< ε

Pourn≥N1etp≥0, l’inégalité des accroissements finis appliqué à la fonctionfn+p−fnmontre

∀t0∈I ∀t∈I |fn+p(t)−f_n(t)−(f_n+p(t₀)−f_n(t₀))| ≤ |t−t₀|kf_n+p⁰ −f_n⁰k∞

Ainsi, pourt₀=aetn≥N₁, l’inégalité triangulaire implique

|fn+p(t)−fn(t)| ≤ |t−a|ε+|fn+p(a)−fn(a)|

La suite numérique(fn(a))_n∈Nétant convergente, le critère de Cauchy donne l’existence d’un entierN2≥N1

vérifiant

∀n≥N2 ∀p≥0 |fn+p(a)−fn(a)|< ε

SoitS= [α, β]⊆Iun segment. Posonsδ= sup(|a−α|,|a−β|). Pourn≥N2, on a alors

∀p≥0 ∀t∈S |f_n+p(t)−f_n(t)| ≤ε(1 +δ) La suite(fn)_n∈

Nsatisfait donc le critère de Cauchy uniforme sur le segmentS. Cette suite converge donc uni- formément sur le segmentS. Chaque réel deIétant contenu dans un segmentS⊆I, la conclusion précédente montre que(fn)_n∈

Nconverge simplement surIvers une fonction que l’on noteraf.

•Montrons désormais quef est dérivable surI. Soitt0∈Iet montrons quef est dérivable ent0. Rappelons

∀n≥N1 ∀p≥0 ∀t∈I |fn+p(t)−fn(t)−(fn+p(t0)−fn(t0))| ≤ε|t−t0| Faire tendrep−→+∞dans l’inégalité ci-dessus montre

∀n≥N1 ∀t∈I |f(t)−fn(t)−(f(t0)−fn(t0))| ≤ε|t−t0|

En gardant à l’esprit que la dérivée de f devrait êtreg, l’idée consiste à majorer astucieusement la quantité suivante.

|f(t)−f(t₀)−g(t₀)(t−t₀)|=|(f(t)−f(t₀))−(f_n(t)−f_n(t₀)) + (f_n(t)−f_n(t₀)) (1)

−f_n⁰(t0)(t−t0) +f_n⁰(t0)(t−t0)−g(t0)(t−t0)|

≤ |(f(t)−f(t0))−(fn(t)−fn(t0))|

+|(fn(t)−fn(t0))−f_n⁰(t0)(t−t0)|

+|f_n⁰(t0)−g(t0)||t−t0|

Soitε >0. Nous allons majorer chacune des trois quantités précédentes parε(t−t0), majoration qui implique que la dérivée defent0vautg(t0)(pour quelle raison ?). L’entierN1introduit précédemment vérifie alors

∀n≥N₁ ∀t∈I |(f(t)−f(t₀))−(f_n(t)−f_n(t₀))|< ε|t−t₀| Orf_n⁰(t0)−−−−−→

n→+∞ g(t0), donc

∃N3≥N1 ∀n≥N3 |f_n⁰(t0)−g(t0)||t−t0|< ε|t−t0| Finalement, pourn=N3,fN₃ est dérivable ent0. Ainsi,

∃η >0 ∀t∈I

|t−t0|< η =⇒ |(fn(t)−fn(t0))−f_n⁰(t0)(t−t0)|< ε|t−t0|

Ainsi, en reprenant l’inégalité (1) appliquée à l’entierN3, nous obtenons

|f(t)−f(t0)−g(t0)(t−t0)|<3ε|t−t0|

inégalité qui montre quef est dérivable ent₀etf⁰(t₀) =g(t₀). Définition 39. Soit(f_n)_n∈

Nune suite d’applications,f_n:X →K. SoitPf_nla série de fonctions associée.

On dit que la sériePf_nconverge normalement(notation CVN) si la série numériquePkf_nk_∞converge.

Théorème 40.

Xf_n CVN =⇒ X

f_n CVU =⇒ X

f_n CVS

Démonstration. Supposons quePf_n CVN et utilisons le critère de Cauchy uniforme sur la série numé- riquePkf_nk_∞.

∀ε >0∃N >0 ∀n≥N ∀p≥0

n+p

X

k=n

kfkk_∞< ε

L’inégalité

n+p

X

k=n

f_k ∞

≤

n+p

X

k=n

kf_kk_∞implique alors que la série de fonctionsPf_nsatisfait également le critère de Cauchy uniforme. Ainsi(fn)_n∈

NCVU. La deuxième implication est laissée en exercice.

Chapitre 1

Séries entières complexes

I. Lemme d’Abel Les applications sont définies sur un sous-ensemble deC.

Définition 41. On appellesérie entièretoute série de fonctions monomialesPanzⁿ, où an ∈ Cpour toutn∈Net oùzest une variable complexe.

Proposition 42 (Lemme d’Abel). Soitz0 ∈ Cpour lequel la suite(anzⁿ₀)_n∈

Nest bornée. Alors pour tout z1∈Cvérifiant|z1|<|z0|, la série numériquePanzⁿ₁ converge absolument (CVA).

En conséquence de quoi,

r≥0 : (|an|rⁿ)_n∈Nest borné est un intervalle de la forme[0, α]ou[0, α[avecα∈ R+∪ {+∞}. Dans ces conditions,

∀z∈C |z|< α =⇒ X

anzⁿ CVA

∀z∈C |z|> α =⇒ X

anzⁿ diverge grossièrement

Définition 43. L’élémentα ∈ R+ ∪ {+∞}s’appelle lerayon de convergencede la sériePa_nzⁿ. Si α∈R+, le disqueD(0, α)s’appelle ledisque de convergencede la sériePa_nzⁿ.

Démonstration. SoitM >0tel que|anzⁿ₀| ≤M pour toutn∈N. Soit|z1|<|z0|. On a alors

z₁ z0

<1 et|anz₁ⁿ|=|anz₀ⁿ|

z₁ z0

n

≤M

z₁ z0

n

. La série X

z₁ z0

n

est convergente, donc la série

X|anzⁿ₁|est également convergente, ce qui montre la première partie du Lemme d’Abel.

NotonsI =

r≥0 : (|an|rⁿ)_n∈

Nest borné . Remarquons que 0 ∈ I, de sorte que I 6= ∅. Soitr ∈ I. Si 0≤r⁰ < r, on applique le résultat de la première partie (avecz₀ =r⁰) pour en déduire que la série

X|a_nr⁰ⁿ| converge. Cette dernière série étant convergente, on a|anr⁰ⁿ| −−−−−→

n→+∞ 0. En particulier la suite(|anr⁰ⁿ|)_n∈

Nest bornée etr⁰ ∈I. Ainsi,Iest un intervalle de la forme[0, α]ou[0, α[avecα∈R.

Supposons désormais queα ∈Ret que|z| > α. Alors|z| ∈/ Iet la suite(|a_nzⁿ|)_n∈

Nn’est pas bornée. Ainsi,

|a_nzⁿ| −−−−−→6

n→+∞ 0et la sériePa_nzⁿdiverge grossièrement.

Supposons finalement que|z|< α.

∃λ∈R |z|< λ < α

L’ensembleIétant un intervalle, on aλ∈I. Ainsi(|anλⁿ|)_n∈Nest bornée. Comme|z|< λ, on en déduitPanzⁿ

CVA, ce qui termine la démonstration.

Remarqe 44. On ne peut a priori rien dire quant à la convergence sur le cercle{|z|=α}lorsqueα∈R+. Exemple 45. Intéressons-nous à la sériePzⁿ

n. Soitz0∈C. Si|z0|>1, alors

z₀ⁿ n

−−−−−→

n→+∞ +∞. Le rayon de convergenceRde la série vérifie doncR≤1. Si|z0|<1, alors

Å

z₀ⁿ n ã

n∈N

est bornée. Ainsi,R≥1. On en déduit doncR= 1. Étudions la nature de la série sur le cercle de convergence. Soitz0∈S(0,1) ={z∈ C : |z| = 1}. Siz0 = 1, alors la série

X1

n diverge. Siz0 6= 1, alorsz0 = e^inθ où θ /∈ 2πZ. L’exemple 22 utilisant le théorème d’Abel (théorème 21) implique alors que la série

Xe^inθ

n converge.

Remarqe 46. Les sériesPanzⁿetP|an|zⁿont le même rayon de convergence.

II. Détermination pratique du rayon de convergence

Théorème 47 (Hadamard). SoitPa_nzⁿune série entière de rayon de convergenceR. Alors

R= 1

lim suppⁿ

|an|

11

(en utilisant la convention 1

0 = +∞et 1 +∞ = 0).

Démonstration. Soitz0∈C^×. D’après le critère de Cauchy, lim sup»ⁿ

|anzⁿ₀| <1 =⇒ X

anzⁿ₀ CV lim sup»ⁿ

|anzⁿ₀| >1 =⇒ X

anzⁿ₀ DV grossièrement Or ⁿ

»|anz₀ⁿ| =|z0|»ⁿ

|an| etz0est fixé. Les implications précédentes se récrivent donc

|z₀|< 1 lim suppⁿ

|an| =⇒ X

a_nz₀ⁿ CV

|z0|> 1 lim suppⁿ

|an| =⇒ X

anz₀ⁿ DV grossièrement

L’égalitéR= 1 lim suppⁿ

|an|

découle alors de ces implications.

Théorème 48. SoitPa_nzⁿune série entière de rayon de convergenceR. Supposons que pour toutn∈N, on a a_n6= 0. Alors

R= 1

lim sup|a_n+1|

|an|

Démonstration. Il suffit d’utiliser le critère de d’Alembert. Soitz0∈C. Le critère de d’Alembert appliqué à la série numériqueP|anz₀ⁿ|donne

lim sup

a_n+1zⁿ⁺¹₀

|anzⁿ₀| <1 =⇒ X

a_nz₀ⁿ CVA lim sup

an+1zⁿ⁺¹₀

|anzⁿ₀| >1 =⇒ X

a_nz₀ⁿ DV grossièrement

Le complexez₀étant fixé, on alim sup

Çan+1zⁿ⁺¹₀

|anzⁿ₀| å

=|z0|lim sup|a_n+1|

|an| . On en déduit

|z0|< 1 lim sup|a_n+1|

|an|

=⇒ X

anz₀ⁿ CVA

|z0|> 1 lim sup|an+1|

|an|

=⇒ X

anz₀ⁿ DV grossièrement

Ces dernières implications terminent la démonstration.

Exercice 49. Déterminer le rayon de convergenceRpour les séries suivantes.

1. Xzⁿ n!

2.

Xn!zⁿ

3.

XÅ cos1

n ã^{n2 +2}_n+2

III. Analycité

Notation. Pourz0∈Cet pourr∈R^×+, on noteB(z0, r) ={z∈C : |z−z0|< r}=D(z0, r)la boule centrée enz₀et de rayonr.

Théorème 50. SoitPa_nzⁿ une série entière de rayonR >0. Pourz ∈ D(0, R), notonsf(z) =

+∞

X

n=0

a_nzⁿ. Alorsf est continue surD(0, R).

III. ANALYCITÉ 13

Démonstration. SoitK ⊂D(0, R)un compact. La sériePanzⁿCVU surK. Pourn∈N, l’application z7→anzⁿest continue. Ainsi,f est continue surK.

Soitz0∈D(0, R). Posonsε= R− |z0|

2 , de telle sorte que le compactK=B(z0, ε)soit inclus dansB(0, R). Le raisonnement précédent implique alors quef est bien continue enz0, ce qui termine la démonstration.

Définition 51. SoitΩ⊆Cun ouvert. Soitf : Ω→Cet soitz₀∈Ω. On dit quef estholomorpheenz₀ si

∃λ∈C lim

z→z0

f(z)−f(z0) z−z₀ =λ

On note alorsf⁰(z0) =λ. On dit également quefestdérivable au sens complexe.

Sif est holomorphe en tout point deΩ, on dit quef estholomorphe surΩ. Dans ces conditions, l’application définie surΩparz7→f⁰(z)est appelée ladérivéedef.

Lemme 52. SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR. Alors la sérieP(n+ 1)an+1zⁿ(appelée série dérivée) a pour rayon de convergenceR.

Démonstration. NotonsR⁰le rayon de CV de la sérieP(n+1)a_n+1zⁿ. En utilisant le critère d’Hadamard, on a

R= 1

lim suppⁿ

|a_n| R⁰= 1

lim suppⁿ

(n+ 1)|a_n+1| Or ⁿ

√n+ 1 = exp _n¹log(n+ 1)

−−−−−→

n→+∞ 1, donc lim sup»ⁿ

(n+ 1)|an+1| = lim sup

√n

n+ 1 · »ⁿ

|an+1|

= lim

n→+∞

√n

n+ 1 ·lim sup»ⁿ

|an+1| (d’après le théorème 10)

= lim sup»ⁿ

|a_n+1|

Le lemme 11 donne alors l’égalité des deux rayons de convergence.

Théorème 53. Soit Panzⁿ une série entière de rayon de convergence R > 0. Pour z ∈ B(0, r) notons f(z) =

+∞

X

n=0

anzⁿ. Alorsf est holomorphe surB(0, R). De plus,

∀z∈B(0, R) f⁰(z) =

+∞

X

n=0

(n+ 1)a_n+1zⁿ

Démonstration. Considérons la série entière de la variable réelleσ(t) =

+∞

X

n=0

|an|tⁿ. Cette série a pour rayonR. Appliquons le théorème 38 de dérivation des séries de la variable réelle : la fonctionσest dérivable sur ]−R, R[de dérivée

σ⁰(t) =

+∞

X

n=0

(n+ 1)|a_n+1|tⁿ Soitz0∈B(0, R). Pourz∈B(0, R), on a

f(z)−f(z0) z−z₀ −

+∞

X

n=0

(n+ 1)a_n+1z₀ⁿ=

+∞

X

n=1

a_nzⁿ−zⁿ₀ z−z₀ −

+∞

X

n=1

na_nz₀ⁿ⁻¹=

+∞

X

n=2

a_n

Åzⁿ−zⁿ₀

z−z₀ −nzⁿ⁻¹₀ ã

Or, en posantz=z₀+h, pourn≥2on a

zⁿ−z₀ⁿ z−z0

= (z₀+h)ⁿ−z₀ⁿ (z0+h)−z0

=

n

X

k=0

Çn k å

h^kz^n−k₀ h −z₀ⁿ

h =

n

X

k=1

Çn k å

h^k−1z₀^n−k

D’où

zⁿ−z₀ⁿ z−z0

−nz₀ⁿ⁻¹=

n

X

k=2

Çn k å

h^k−1z^n−k₀

zⁿ−z₀ⁿ z−z0

−nz₀ⁿ⁻¹

≤

n

X

k=2

Çn k å

|h|^k−1|z0|^n−k= (|z0|+|h|)ⁿ− |z0|ⁿ

|h| −n|z0|ⁿ⁻¹

f(z)−f(z0) z−z0

−

+∞

X

n=0

(n+ 1)an+1z₀ⁿ

≤

+∞

X

n=2

|an|

Å(|z0|+|h|)ⁿ− |z0|ⁿ

|h| −n|z0|ⁿ⁻¹ ã

= σ(|z0|+|h|)−σ(|z0|)

|h| −σ⁰(|z0|) Fairez→z0revient, par définition à faire|h| →0. Ainsi,

σ(|z0|+|h|)−σ(|z0|)

|h| −σ⁰(|z0|)−−−→

h→0 0 limite qui montre que

z→zlim0

f(z)−f(z0) z−z₀ =

+∞

X

n=0

(n+ 1)an+1z₀ⁿ

d’où la conclusion recherchée.

Corollaire 54. SoitPanzⁿ une série entière de rayonR > 0et de sommef(z) =

+∞

X

n=0

anzⁿ. Alorsf est indéfiniment dérivable au sens complexe surB(0, R). De plus,

∀p≥0 ∀z∈B(0, R) f^(p)(z) =

+∞

X

m=0

(m+p)!

m! a_m+pz^m=

+∞

X

n=p

n!

(n−p)!a_nz^n−p

Démonstration. Exercice.

Corollaire 55. En gardant les même hypothèses que ci-dessus, pour toutp≥0, on aap = ^f(p)_p!⁽⁰⁾. Ainsi on obtient le développement de Taylor

∀z∈B(0, R) f(z) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! zⁿ

Démonstration. Exercice.

IV. Les zéros isolés

Théorème 56. SoitPa_nzⁿune série entière de rayonR >0. Notonsf(z) =

+∞

X

n=0

a_nzⁿ. Supposons qu’il existe n≥0tel quean6= 0. Alors

∃0< ρ < R ∀z∈B(0, ρ)r{0} f(z)6= 0

Démonstration. Notonsn₀= inf{n∈N : a_n6= 0}(n₀s’appelle la valuation def en0). On a f(z) =an₀zⁿ⁰+an₀+1zⁿ⁰⁺¹+· · ·=an₀zⁿ⁰

Å

1 + an₀+1

a_n0 z+an₀+2

a_n0 z²+. . . ã

Posonsg la série entièreg(z) = 1 +

+∞

X

k=1

a_n0+k an₀

z^k. La série entièrega également pour rayon de convergence R(cela se voit en utilisant par exemple le critère d’Hadamard). Le théorème 50 montre quegest continue sur B(0, R). Ainsi,lim

z→0g(z) =g(0) = 1. Choisissonsε= ¹₂ et appliquons le critère de continuité àgen0.

∃ρ >0 ∀z∈B(0, R) Å

|z|< ρ =⇒ |g(z)−g(0)|<1 2 ã

En fixantρ >0comme ci-dessus,

∀z∈B(0, ρ) |g(0)| − |g(z)| ≤ |g(z)−g(0)|< 1 2

∀z∈B(0, ρ) |g(z)|>1 2