A814. Avec les moyens du bord
Les touches de ma calculette qui fournissent directement les racines et les puissances d’un nombre quelconque sont en panne.
A l’aide des seules touches qui donnent les quatre opérations élémentaires +, - , x et / et de la touche mémoire, prouver qu’il est possible de calculer la racine septième de 2012 avec la précision de 10 chiffres après la virgule dont dispose la calculette.
Je fais réparer la touche « racine carrée ». Montrer qu’avec les touches précédemment décrites, elle fournit une autre méthode de calcul de la racine septième de 2012 avec la même précision. Comparer les rapidités d’exécution des deux méthodes.
On part de la formule de ??? qui converge très rapidement vers √, avec assez proche de √ =1
− 1+ Dans notre cas, elle donne :
=1
7 6+2012
=2012 + 6
7 =6
7 +2012 6
Informatiquement parlant, on sait que 2= 128, et un rapide calcul à la main montre que 3= 729 et 3= 2187 : on prend donc = 3, et connaissant = 729 et = 2187, on optimise la première boucle :
Avec les quatre opérations +,-,x,/ et MS (stockage dans mémoire) et MR (rappel mémoire), on obtient, en mettant en mémoire :
étape opération nb de touches visu correspond à mémoire précision
Boucle 0
1 2187 4 2187.00000000000 x7 0
2 x 6 2 13122.00000000000 6 x7 0
3 + 2012 = 6 15134.00000000000 2012+6 x7 0
4 / 729 4 20.75994513032 (2012+6 x7)/x6 0
5 / 7 = 3 2.96570644719 (2012+6 x7)/7x6 0 < 2 10-3
Boucle 1
6 MS 1 2.96570644719 x 2.96570644719
7 2012 4 2012.00000000000 2012 2.96570644719
8 / 6 2 335.33333333333 2012/6 2.96570644719
9 / MR 2 113.07030527290 2012/6x 2.96570644719
10 / MR 2 38.12592624604 2012/6x2 2.96570644719
11 / MR 2 12.85559677769 2012/6x3 2.96570644719
12 / MR 2 4.33475025483 2012/6x4 2.96570644719
13 / MR 2 1.46162485466 2012/6x5 2.96570644719
14 / MR 2 0.49284205321 2012/6x6 2.96570644719
15 + MR = 3 3.45854850040 x + 2012/6x6 2.96570644719 16 x 6 2 20.75129100240 6(x + 2012/6x6) 2.96570644719
17 / 7 = 3 2.96447014320 6/7 (x + 2012/6x6) 2.96570644719 < 2 10-6
Boucle 2
18 MS 1 2.96447014320 x 2.96447014320
19 2012 4 2012.00000000000 2012 2.96447014320
20 / 6 2 335.33333333333 2012/6 2.96447014320
21 / MR 2 113.11746016485 2012/6x 2.96447014320
22 / MR 2 38.15773298453 2012/6x2 2.96447014320
23 / MR 2 12.87168739819 2012/6x3 2.96447014320
24 / MR 2 4.34198584449 2012/6x4 2.96447014320
25 / MR 2 1.46467518131 2012/6x5 2.96447014320
26 / MR 2 0.49407655013 2012/6x6 2.96447014320
27 + MR = 3 3.45854669333 x + 2012/6x6 2.96447014320 28 x 6 2 20.75128015998 6(x + 2012/6x6) 2.96447014320
29 / 7 = 3 2.96446859428 6/7 (x + 2012/6x6) 2.96447014320 < 3 10-12 73
La chose est faite avec 29 étapes, 73 touches, et une précision meilleure que celle demandée.
En récupérant la touche racine (RAC), on peut mettre " en mémoire, et on améliore un peu avec 25 étapes, et 67 touches : étape opération nb de touches visu correspond à mémoire précision
Boucle 0
1 2187 4 2187.00000000000 x7 0
2 x 6 2 13122.00000000000 6 x7 0
3 + 2012 = 6 15134.00000000000 2012+6 x7 0
4 / 729 4 20.75994513032 (2012+6 x7)/x6 0
5 / 7 2 2.96570644719 (2012+6 x7)/7x6 0 < 2 10-3
Boucle 1
6 x = 2 8.79541473089 x2 0
7 MS 1 8.79541473089 x2 8.79541473089
8 2012 4 2012.00000000000 8.79541473089
9 / MR 2 228.75555747625 2012/ x2 8.79541473089
10 / MR 2 26.00850152896 2012/x4 8.79541473089
11 / MR 2 2.95705231927 2012/x6 8.79541473089
12 / 6 = 3 0.49284205321 2012/6x6 8.79541473089
13 + MR RAC = 4 3.45854850040 x+2012/6x6 8.79541473089 14 x 6 2 20.75129100240 6(x+2012/6x6) 8.79541473089
15 / 7 2 2.96447014320 6/7(x+2012/6x6) 8.79541473089 < 2 10-6
Boucle 2
16 x = 2 8.78808322993 x2 8.79541473089
17 MS 1 8.78808322993 x2 8.78808322993
18 2012 4 2012.00000000000 8.78808322993
19 / MR 2 228.94639790719 2012/ x2 8.78808322993
20 / MR 2 26.05191506694 2012/x4 8.78808322993
21 / MR 2 2.96445930077 2012/x6 8.78808322993
22 / 6 = 3 0.49407655013 2012/6x6 8.78808322993
23 + MR RAC = 4 3.45854669333 x+2012/6x6 8.78808322993 24 x 6 2 20.75128015998 6(x+2012/6x6) 8.78808322993
25 / 7 = 3 2.96446859428 6/7(x+2012/6x6) 8.78808322993 < 3 10-12 67
