Enoncé A814 (Diophante) Avec les moyens du bord
Les touches de ma calculette qui fournissent directement les racines et les puissances d’un nombre quelconque sont en panne. A l’aide des seules touches qui donnent les quatre opérations élémentaires +,−,×et / et de la touche mémoire, prouver qu’il est possible de calculer la racine septième de 2012 avec la précision de 10 chiffres après la virgule dont dispose la calculette.
Je fais réparer la touche « racine carrée ». Montrer qu’avec les touches précédemment décrites, elle fournit une autre méthode de calcul de la racine septième de 2012 avec la même précision. Comparer les rapidités d’exécution des deux méthodes.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) Avec les 4 opérations
Soit 2012 =a7; les fonctionsx eta7/x6 donnent la même valeura quand x=a, et il en est de même de leur moyuenne pondérée
f(x) =mx+ (1−m)a7/x6.
La récurrence xn+1 =f(xn) donne-t-elle une suite convergeant vers a? Il faut bien choisir le paramètre m.
xn+1−a= (xn−a)(m−(1−m)(a5+a4xn+a3x2n+a2x3n+ax4n+x5n)a/x6n).
Pour xn voisin dea, le second membre est voisin de (xn−a)(7m−6) L’efficacité de l’algorithme conduit donc à prendrem= 6/7. Comme 37 = 2187, relativement proche de 2012, 3 est une approximation par excès et peut être pris pour valeur initiale x0.
Je note les touches MM (mise en mémoire), RM (rappel mémoire), / et + équivalant à = : la touche + est étiquetée +/=, il n’y a pas de priorité de la multiplication ou de la division sur l’addition (la succession de touches a+b/c fournit (a+b)/c).
La séquence de touches est par exemple 3 (initialisation)
M, 2, 0, 1, 2, /, RM, /, RM, /, RM, /, RM, /, RM, /, RM, +, RM, +, RM, +, RM, +, RM, +, RM, +, RM, /, 7 = (une itération)
La suite des résultats est
3,0000000000 ; 2,9657064472 ; 2,9644701432 ; 2,9644685943 ; 2,9644685943 Le nombre de décimales exactes (2, 4, 10) double à chaque itération. On a en effet, quandm= 6/7,
f(x)−a= (x−a)2(6x5+ 5ax4+ 4a2x3+ 3a3x2+ 2a4x+a5)/(7x6)
<3(x−a)2/asi x > a.
D’où ln a/3
xn+1−a >2 ln a/3 xn+1−a.
2) Remplaçons la moyene arithmétique (pondérée) par une moyenne géo- métrique : les nombresa (7 fois) etx onta comme moyenne géométrique quandx=a. Cette moyenne (a7x)1/8 =
r q√
a7xest facile à obtenir avec la touche racine carrée RC. A nouveau la valeur initiale est 3. La séquence de touches est
2, 0, 1, 2, MM, 3 (initialisation)
*, RM, =, RC, RC, RC, (une itération) La suite des résultats est
3,0000000000 ; 2,9688869032 ; 2,9650205231 ; 2,9644772174 ; 2,9644696722 ; 2,9644687290 ; 2,9644686111 ; 2,9644685964 ; 2,9644685945 ; 2,9644685943 ; 2,9644685943
et le gain en précision est d’à peine une décimale par itération (log 8 = 0,9), le nombre de décimales exactes étant 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 9, 10. On a en effet
xn−a= (xn−1−a)a7/(x7n+ax6n+a2x5n+a3x4n+a4x3n+a5x2n+a6xn+a7)
<(xn−1−a)/8 six > a.
D’où ln 1
xn+1−a >ln 1
xn+1−a+ ln 8.
