A 814. Avec les moyens du bord.

A 814. Avec les moyens du bord.

Les touches de ma calculette qui fournissent directement les racines et les puissances d’un nombre

quelconque sont en panne. A l’aide des seules touches qui donnent les quatre opérations élémentaires +, - , x et / et de la touche mémoire, prouver qu’il est possible de calculer la racine septième de 2012 avec la précision de 10 chiffres après la virgule dont dispose la calculette.

Je fais réparer la touche « racine carrée ». Montrer qu’avec les touches précédemment décrites, elle fournit une autre méthode de calcul de la racine septième de 2012 avec la même précision.

Comparer les rapidités d’exécution des deux méthodes.

Solution proposée par Michel Lafond: [en espérant que la touche "point décimal" fonctionne]

Pour calculer 2012^{1 / 7} une des meilleures méthodes est celle de Newton :

Rappel : pour avoir une valeur approchée d’une solution x0 de l’équation f (x) = 0, on utilise la suite u définie par :

u₀ = une valeur approchée de x₀ puis u_n+1 = u_n -

) ( '

) (

n n

u f

u

f .

Sauf accident, la suite (un) converge vers x0 très rapidement [en gros doublement des décimales exactes à chaque itération].

Ici, on a f (x) = x⁷ – 2012 donc f ’ (x ) = 7 x⁶ et donc :



 



 

 

 



  6 6

7 6

7 1

6 2012 7 1 7

2012 6

7 2012

n n n

n n

n n

n u u

u u u

u u

u (R)

puisque 3⁷  2000 on partira de u0 = 3 et on obtiendra successivement (en utilisant la récurrence R et la mémoire pour stocker les valeurs successives) :

u0 = 3

u1 = 2,9657064472

3 3 2012 7 6

1

6 

  

9644701432 ,

2012 2 7 6

1

6 1 1

2 



 



 

 u u

u

9644685943 ,

2012 2 7 6

1

6 2 2

3 



 



 

 u u

u On refait une itération par prudence :

9644685943 ,

2012 2 7 6

1

6 3 3

4 



 



 

 u u

u valeur de 2012^{1 / 7} à 10^-10 près.

* * * * * * * * * * * * * * * * *

Si on a la touche "racine carrée" qui fonctionne, ce n’est pas un gros avantage, mais on peut l’utiliser ainsi : considérons la fonction x  (A x) ^{1 / 8} = Ax exécutable avec les touches en

fonctionnement. Si on itère cette fonction à partir d’une valeur initiale positive, et s’il y a une limite l alors on aura : l ⁸ = A l c’est à dire l ⁷ = A ou encore l = A ^{1 / 7}

Ici, on itérera donc x  2012x = g (x) à partir de x0 = 3 pour obtenir : x₁ = g (x₀) = 2,9688869032

x2 = g (x1) = 2,9650205231 x3 = g (x2) = 2,9645375798 x4 = g (x3) = 2,9644772174 x5 = g (x4) = 2,9644696722 x6 = g (x5) = 2,9644687290 x₇ = g (x₆) = 2,9644686111 x₈ = g (x₇) = 2,9644685964 x9 = g (x8) = 2,9644685945

x10 = g (x9) = 2,9644685943

On trouve la précision voulue mais beaucoup moins rapidement que par Newton.