Montrer queσ(x) est une racine deP

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2017-18 M1 math´ematiques

Feuille 7 Th´eorie de Galois

1.a. SoitK un corps. SoitL|K une extension galoisienne. Soitσ∈Gal(L/K). SoitP ∈K[X]. Soitx∈L une racine deP. Montrer queσ(x) est une racine deP.

1.b. `A quelle condition l’action de Gal(L/K) sur les racines deP dansLest-elle fid`ele ? transitive ? sans point fixe ? Quel est le lien entre les orbites de cette action et la d´ecomposition de P comme produit d’irr´eductibles dansK[X] ?

2. SoitK un corps. Soit ¯K une clˆoture alg´ebrique deK. Soitα∈K. On dit que¯ β∈K¯ est conjugu´edeα surK si et seulement siαet β ont mˆeme polynˆome minimal surK.

2.a. D´emontrer queK(α)|K est normale si et seulement si tous les conjugu´es deαdans ¯Ksont dansK(α).

2.b. Lesquelles des extensions suivantes sont normales ? Q(√

6)|Q,Q(√ 2 +√

3)|Q,Q(ζ₃)|Q(o`uζ<sub>3</sub>est une racine primitive 3-`eme de l’unit´e dansC),Q(ζ9)|Q(o`uζ9 est une racine primitive 9-`eme de l’unit´e dansC), F2[X]/(X²+X+ 1)|F2,Q(⁶√

5)|Q,Q(⁶√

5, ζ3)|Q,Q(⁶√

5, ζ3)|Q(ζ3),F15625|F25,R(T)[X]/(X⁴−T)|R(T).

3. Soit K un corps de caract´eristique 0 ou > 3. Soit P = X³+aX +b ∈ K[X]. Soit L un corps de d´ecomposition de P sur K. Notons α1, α2 et α3 les racines de P dans L. Posons δ = (α1−α2)(α2− α3)(α3−α1)∈Let ∆ =δ². On a ∆ =−4a³−27b².

3.a. Montrer queP est irr´eductible surKsi et seulement siP est sans racine dansK.

3.b. Montrer queL|K est galoisienne. Rappeler comment Gal(L/K) s’identifie `a un sous-groupe du groupe sym´etrique S3. Soitσ∈Gal(L/K). Montrer queσ(δ) = sgn(σ)δ, o`u sgn(σ) est la signature deσ.

3.c. Supposons P irr´eductible sur K. Si δ∈K, montrer que Gal(L/K) est d’ordre 3. En d´eduire queL|K est de degr´e 3 puis queL=K(α₁) =K(α₂) =K(α₃).

3.d. Supposons P irr´eductible sur K. Siδ /∈K, montrer que Gal(L/K) contient un ´el´ement d’ordre 2. En d´eduire que Gal(L/K) n’est pas d’ordre 2. Conclure que Gal(L/K) est d’ordre 6.

3.e. Quels sont les groupes de Galois des polynˆomesX³−3X+ 1 etX³−X+ 1∈Q[X] ? 4.a. Montrer queθ= cos(2π/9) est racine d’un polynˆome irr´eductibleP de degr´e 3 sur Q.

4.b. D´eterminer les racines deP dansC. Exprimer ces racines en fonction deθ.

4.c. D´eterminer le corps de d´ecomposition deP et le groupe de Galois deP.

5. Soientu,v,w∈Qtels que (u²−4v)v=w². PosonsQ(X) =X⁴−uX²+v∈Q[X]. On suppose quev n’est pas un carr´e dansQ. Soitα∈Ctel que α²=v. Soitβ∈Cune racine deQ.

5.a. PosonsL=Q(α). Montrer qu’il existe r∈L,r /∈Qtel queQ(X) = (X²−r)(X²−v/r) avecβ²=r.

5.b. Montrer que les racines deQdansCsont distinctes et que ce sont β,−β,α/β,−α/β.

5.c. NotonsKle corps de d´ecomposition deQdansC. Montrer queK est un corps quartique contenantL.

5.d. Montrer qu’il existe σ ∈ Gal(K/Q) tel que σ(α) = −α. Montrer qu’on a alors σ(r) 6= r puis que σ²(β) =−β. En d´eduire que l’extensionK|Qest cyclique de degr´e 4.

6. SoitK|Qune extension cyclique de degr´e 4 deQ. PosonsG= Gal(K/Q). Soit σun g´en´erateur deG.

6.a. PosonsL={x∈K/σ²(x) =x}. Montrer queLest l’unique sous-corps deK de degr´e 2 surQ.

6.b. Montrer qu’il existes∈Ltel queK=Q(s) et tel quea=s². Montrer queσ(s) =−s.

6.c. Montrer que l’extensionK|L est de degr´e 2. En d´eduire qu’il existet∈K tel queb=t²et K=L(t).

6.d. Montrer queσ²(t)6=t.

6.e. Montrer qu’il existev∈Q,v6= 0 tel queb=u+vs.

6.f. Montrer quetest racine du polynˆomeR(X) =X⁴−2uX²+u²−v²a.

6.g. Monter queσ(t)²=u−vs. Posonsz=σ(t). Montrer quez²=u²−v²aet que z /∈Q.

6.h. Monter queQ(z)|Qest quadratique puis queQ(z) =L, puis qu’il existec∈Qtel quec²= (u²−v²a)a.

6.i. En d´eduire queRest irr´eductible et queK en est un corps de d´ecomposition.

6.j. Soit K|Q une extension galoisienne. Montrer que Gal(K/Q) est cyclique d’ordre 4 si et seulement si K est le corps de d´ecomposition d’ un polynˆome irr´eductible de la forme X⁴−a1X²+a2 ∈ Q[X], avec a2(a²₁−4a2) carr´e dansQ.

7. Posonsδ= 6 + 3√ 2 + 2√

3 + 2√

6 ∈Ret notons √

δ l’unique racine carrr´ee>0 de δ. PosonsP(X) = X⁴−24X³+ 108X²−144X+ 36∈Q[X].

7.a. Montrer queP(δ) = 0.

7.b. Montrer queQ(δ) =Q(√ 2,√

3).

7.c. Montrer queP est le polynˆome minimal deδsurQ. Quel est le degr´e de l’extensionQ(δ)|Q? 7.d. Montrer queδn’est pas un carr´e dansQ(δ).

7.e. Montrer queP(X²) est irr´eductible surQ. Quel est le degr´e de√

δ? Que vaut [Q(√

δ) :Q] ?

7.f. Notonsα, β,γ,δ les conjugu´es deδ surQ. Montrer qu’ils appartiennent `a Q(δ). Montrer queδα, δβ etδγ sont des carr´es dansQ(δ).

7.g. Montrer que l’extensionQ(√

δ)|Qest galoisienne.

7.h. Montrer que le groupe de Galois Gde l’extension Q(√

δ)|Q est d’ordre 8, poss`ede trois sous-groupes cycliques d’ordre 4. En d´eduire qu’il poss`ede 6 ´el´ements d’ordre 4, et un ´el´ement central d’ordre 2. Montrer qu’il est isomorphe au groupe des quaternions. Dessiner le treillis des sous-corps deQ(√

δ) et la correspon- dance avec les sous-groupes deG.

8. SoitFq un corps fini `aq´el´ements et de caract´eristiquep.

8.a. Soit P ∈ Fq[X] un polynˆome irr´eductible de degr´e d. Soit L un corps de d´ecomposition de P sur Fq. Quel est le degr´e de l’extensionL|Fq ? Quel est le groupe de Galois de l’extensionL|Fq ? Donner un g´en´erateur explicite de ce groupe de Galois.

8.b. Supposons que ni 2 ni 3 ne soient des carr´es dans Fq. Soient α et β des racines carr´ees de 2 et 3 respectivement dans une clˆoture alg´ebrique deFq. Posonsδ= 6 + 3α+ 2β+ 2αβ. Montrer que l’extension Fq(δ)|Fq est quadratique.

9. SoitP ∈Q[X] irr´eductible de degr´e 6. SoitL⊂C un corps de d´ecomposition deP surQ.

9.a. Montrer que l’extensionL|Qest galoisienne.

9.b. Montrer que le groupe Gal(L/Q) op`ere sur les racines de P dans L. En d´eduire qu’il s’identifie `a un sous-groupe du groupe sym´etrique S6.

9.c. D´emontrer que la conjugaison complexeτ d´efinit un ´el´ement d’ordre 1 ou 2 de Gal(L/Q). D´emontrer que c’est un produit dentranspositions, o`u 2nest le nombre de racines non r´eelles deP.

9.d. Si Gal(L/Q) =A6, montrer queP poss`ede 2 ou 6 racines r´eelles.

9.e. Si Gal(L/Q) =A₆, y a-t-il un ´el´ement d’ordre 6 dans Gal(L/Q) ?

10. Soitpun nombre premier. Soit K un corps de caract´eristiquep. Soit ¯K une clˆoture alg´ebrique de K.

Soita∈K. Soitαune racine deP(X) =X^p−X+adans ¯K.

10.a. D´emontrer que les autres racines deP dans ¯K sont de la formeα+i aveci∈F_p.

10.b. Supposons queP n’ait pas de racine dansK. SoitQ∈K[X] un facteur irrr´eductible unitaire de degr´e ddeP. Montrer qu’il existed´el´ementsi₁, ..., i_d∈F_ptels que les racines deQdans ¯Ksoientα+i₁,...,α+i_d. 10.c. Montrer queQs’´ecritX^d+ (dα+j)X^d−1+..., avecj∈F_p. En d´eduire qued= 0 oud=pet queP est irr´eductible surK.

10.d. D´emontrer que l’extensionK(α)|K est galoisienne. En d´eduire que Gal(K(α)|K) est cyclique d’ordre plorsque P n’a pas de racine dans K.

11. Soitp un nombre premier. Soit K un corps de caract´eristique p. SoitL|K une extension cyclique de degr´ep(c’est-`a-dire galoisienne de groupe de Galois cyclique d’ordrep). PosonsG= Gal(L/K). Soitσun g´en´erateur de G.

11.a. Montrer que l’applicationL→Lqui `aγassocieγ+σ(γ) +...+σ^p−1(γ) n’est pas identiquement nulle.

(On pourra utiliser l’ind´ependance lin´eaire des caract`eres deL.)

11.b. Soitγ∈Ltel quet=γ+σ(γ) +...+σ^p−1(γ)6= 0. Posonsβ=γ/t etα=σ(β) + 2σ²(β) +...+ (p− 1)σ^p−1(β). Montrer queσ(α)−α=−1.

11.c. En d´eduire queσ(α^p−α) =α^p−α. Quel est le polynˆome minimal deα?

11.d. Montrer qu’il existea∈K tel queLsoit le corps de d´ecomposition deX^p−X+adans ¯K.

12. Soit ¯Kun corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0 etKun sous-corps de ¯Ktel que ¯K|K est finie.

12.a. Montrer que l’extension ¯K|Kest normale. NotonsGle groupe de Galois de l’extension ¯K|K.

12.b. Supposons ¯K|K de degr´e premier p. Montrer que K contient une racine primitivep-`eme de l’unit´e, not´eeζ.

12.c. Supposons encore l’extension ¯K|K de degr´e premier p. Montrer que ¯K =K(γ) avec γ^p ∈ K. Soit β∈K¯ tel que β^p=γ.

12.d. Supposons l’extension ¯K|K de degr´e premier p. Soit σ∈ Gmontrer qu’il existe ω ∈K, une racine¯ primitivep²-`eme de l’unit´e, telle queσ(β) =ωβ. Montrer qu’il existek∈Ztel que qu’on aitσ(ω) =ω^1+pk. En d´eduire queσ^p(β) =ωⁿβ, avecn≡p+p(p−1)k/2 (modp²). Conclure quep= 2.

12.e. Supposons [ ¯K:K] = 2. Montrer que ω /∈K. En d´¯ eduire que 4 ne divise pas [ ¯K:K].

12.f. Conclure que ¯K=K(i) aveci racine primitive quatri`eme de l’unit´e. (Th´eor`eme d’Artin-Schreier) 12.g. Supposons que ¯K 6=K. Soita∈ K. Montrer que soit a soit −a est un carr´e dans K, et que toute somme finie non vide de carr´es non nuls dansKest un carr´e non nul dansK. (Le corpsKest pythagoricien.) 13. Soit ¯K un corps alg´ebriquement clos. SoitK un sous-corps de ¯K tel que l’extension ¯K|K est finie. On supposeK de caract´eristiquep >0.

13.a. Montrer que l’extension ¯K|Kest galoisienne.

13.a. Supposons que l’extension ¯K|K est de degr´ep. Montrer qu’il existea∈K tel que ¯K =K(α), avec α^p+α+a= 0. Soitbune racine du polynˆomeX^p−X−aα^p−1. ´Ecrireb=b0+b1α+...+bp−1α^p−1, avec b0,b1...bp−1∈K. Montrer quebn−1 est une racine deX^p+X+a. En d´eduire une contradiction.

13.b. Supposons que l’extension ¯K|K est de degr´e premier l avec l 6= p. Comme dans le cas o`u la car- act´eristique deKest nulle, montrer quel= 2 et que ¯K=K(i) aveciracine primitive quatri`eme de l’unit´e.

En d´eduire queK est pythagoricien. Contraster cela avec le fait que−1 est somme de carr´es dans K.

13.c. En d´eduire que ¯K=K.

14. Soit L|K une extension de corps. Elle est dite ab´elienne si et seulement si L|K est galoisienne et le groupe Gal(L/K) est ab´elien.

14.a. SoitM|K une extension ab´elienne contenantL. Montrer queM|Let L|K sont ab´eliennes.

14.b. Donner un exemple d’extensions ab´eliennesL|Ket M|Ltelles queM|Kne soit pas ab´elienne.

14.c. SoitL1|K etL2|K deux extensions contenues dans un corpsE. Montrer queL1L2|Kest ab´elienne.

14.d. Soit ¯Kune clˆoture alg´ebrique deK. Montrer que le sous-corps de ¯Kengendr´e par toutes les extensions ab´eliennes deK contenues dans ¯K est une extension ab´elienne deK.

14.e. Montrer que toute extension finie d’un corps fini est ab´elienne.

14.f. Montrer que toute extension quadratique est ab´elienne.

14.g. Montrer que toute extension contenue dans une extension cyclotomique est ab´elienne.

14.h. Indiquer une extension ab´elienne finie deQ(i) non contenue dans une extension cyclotomique.

15. Soientn et m des entiers ≥1. Soient ζn et ζm des racines primitives n-`eme etm-`eme de l’unit´e dans Crespectivement. Consid´erons les extensions cyclotomiques Q(ζn) etQ(ζm).

15.a. Montrer queQ(ζn)Q(ζm) est engendr´ee par une racine primitiveµ-`eme de l’unit´e, o`uµ= ppcm(n, m).

15.b. Montrer queQ(ζ_n)∩Q(ζ_m) estengendr´ee par une racine primitiveδ-`eme de l’unit´e, o`uδ= pgcd(n, m).

15.c. Montrer que l’ensemble des racines de l’unit´e dansQ(ζn) est le groupe d’ordren(resp. 2n) engendr´e parζn (resp. −ζn) sinest pair (resp. impair).

15.d. Soientaetbdes racines primitives 5-`eme et 7-`eme de l’unit´e respectivement dans une clˆoture alg´ebrique deF3. Montrer queF3(a)∩F3(b) contient strictementF3.

15.e. Rappeler comment le groupe de GaloisGn de l’extension Q(ζn)|Qs’identifie `a (Z/nZ)^∗.

15.f. Notons H le sous-groupe deG_n correspondant `a {−1,1}. Montrer queQ(ζ_n)⁺=Q(ζ_n+ζ_n⁻¹) est le sous-corps deQ(ζ_n) invariant parH.

15.g. Supposons n, m > 2 et Q(ζ_n) 6= Q(ζ_m). Montrer que Q(ζ_n)⁺Q(ζ_m)⁺ est un sous-corps strict de Q(ζ_µ)⁺. Montrer queQ(ζ_n)⁺∩Q(ζ_m)⁺=Q(ζ_δ)⁺.

16. Soit K le corps de d´ecomposition dansC deX⁸−2∈Q[X]. Soientζ∈C une racine primitive 8-`eme de l’unit´e etα∈Rune racine 8-`eme de 2.

16.a. Montrer que l’extensionK|Qest galoisienne et queKcontient le corpsQ(ζ). Montrer que√

2∈Q(ζ).

16.b. Que vaut [Q(ζ) :Q] ? L’extensionQ(ζ)|Qest-elle cyclique ? Donner ses sous-corps.

16.c. Montrer que l’extensionQ(α)|Qest de degr´e 8. Montrer qu’elle contient√ 2.

16.d. Montrer queK=Q(α, ζ). Montrer que [K:Q] = 16.

16.d. Montrer que le groupe de Galois deK|Qest di´edral d’ordre 16.

16.e. ´Etablir la liste des sous-groupes deD8et des sous-corps correspondants.

17. Trouver des ´el´ements primitifs pour les extensions suivantesQ(i,√

2)|Q, Q(j,√

2)|Q,Q(i, j,√

2)|Q(o`u iet j∈Csont des racines primitives 4-`eme et 3-`eme de l’unit´e respectivement).

18. SoitL|K une extension de corps. Soientα,β∈Ltels queK(α)|K etK(β)|K sont finies et galoisiennes etK(α)∩K(β) =K.

18.a. Montrer que l’extensionK(α, β)|K est galoisienne. PosonsH = Gal(K(α, β)/K(α+β)).

18.b. Soitσ∈H. Montrer qu’il existet∈Ktel queσ(α) =α+tetσ(β) =β−t. SiKest de caract´eristique 0, montrer queσest l’identit´e, puis queK(α, β) =K(α+β).

18.c. Soit ³√

2 la racine cubique de 2 dans R. Notons j une racine primitive 3-`eme de l’unit´e. Posons α=j³√

2 etβ=j^{2 3}√

2. Montrer queQ(α)∩Q(β) =Qet Q(α, β)6=Q(α+β).

18.d. Montrer queK(α, β) n’est pas en g´en´eralK(α+β) siKest de caract´eristiquep >0. Consid´erer pour cela le corpsK=Fp(A, B) avecαet β racines deX^p−X+Aet X^p−X+B respectivement.

19.a. SoitL|Kune extension de corps. Montrer qu’elle est biquadratique si et seulement si elle est galoisienne de groupe de Galois isomorphe `a un produit de deux groupes cycliques d’ordre 2.

19.b. G´en´eraliser aux extensions multiquadratiques.

20. SoitE,L,M,Kdes corps tels queL⊂E,M ⊂EetK⊂L∩M. SupposonsL|KetM|Kgaloisiennes.

20.a. Montrer que les extensionsLM|K et L∩M|Ksont galoisiennes.

20.b. Montrer queρ: Gal(LM/K)→Gal(L/K)×Gal(M/K) donn´e parσ7→(σ_|L, σ_|M) est injectif.

20.c. Montrer que H ={(f, h) ∈ Gal(L/K)×Gal(M/K)/f_|L∩M = g_|L∩M} est l’image de ρ (et donc un sous-groupe de Gal(L/K)×Gal(M/K)).

20.d. Montrer Gal(L/L∩M)×Gal(M/L∩M) est un sous-groupe deH qui s’identifie `a Gal(LM/L∩M).

21. SoitKun corps. SoitEune clˆoture alg´ebrique deK. On dit queKestpythagoriciensi toute somme de carr´es dansKest un carr´e dansK. Laclˆoture pythagoricienneK^ΠdeKdansEest l’intersection de tous les sous-corps pythagoriciens deEcontenantK. PosonsK₀=Ket, pour tout entiern≥1,K_nest le sous-corps de E engendr´e par K_n−1 et les racines carr´ees de α²+ 1 avec α parcourant K_n−1. La suite (Kn)_n≥0 de sous-corps deE est croissante. On aK^Π=∪^∞_n=1Kn. Lecorps de Hilbertest la clˆoture pythagoricienne deQ dans le corps ¯Qdes nombres complexes alg´ebriques. Supposons qu’il existe une extension finie et s´eparable L|K, avecLsous-corps pythagoricien deE.

21.a. Supposons queL|Kne contient aucun corps interm´ediaire strict. Soitα∈Ktel queα²+ 1 ne soit pas un carr´e dansK. Soitγ dans une extension alg´ebrique deLtel queγ²=α+√

α. Montrer que l’extension K(γ)|K est cyclique de degr´e 4. Montrer queM(γ) =L. En d´eduire queK est pythagoricien.

21.b. Sans supposer queL|Kne contient aucun corps interm´ediaire strict, montrer queKest pythagoricien.

21.c. Montrer que la clˆoture pythagoricienne d’un corps non pythagoricien est une extension infinie.

21.d. Montrer queQ^Π|Qest infinie, et queQ^Π n’est pas une extension finie d’un sous-corps strict.

21.e. Supposons que−1 ne soit pas un carr´e dansK, et queK admette une extensionE cyclique de degr´e 4. Montrer qu’il existe a, b, c ∈K tels que E =K(d=p

b+c√

a), avec a non carr´e dans K. Soit σun g´en´erateur de Gal(E/K). Montrer que σ(d)d∈ K(√

a). Montrer que l’ensemble des carr´es de L qui sont dansK n’est autre que C∪aC o`uC est l’ensemble des carr´es deK. Montrer que (σ(d)d)² n’est pas dans C∪aC. En d´eduire que le corpsK n’est pas pythagoricien.

21.f. SupposonsK non pythagoricien et que −1 n’est pas un carr´e dansK. Montrer qu’il existea∈K tel queb= 1 +a²n’est pas un carr´e dansK. Montrer que l’extensionK(p

b+√

b)|K est cyclique de degr´e 4.

21.g. Montrer queKest pythagoricien si et seulement siKn’admet pas d’extension cyclique de degr´e 4, ou encore si et seulement siK n’admet pas d’extension de degr´e 2ⁿ avecnentier≥2.

22. Soit L|Q une extension galoisienne. Notons OL l’anneau des entiers alg´ebrique de L. Notons O^∗_L le groupe des unit´es de l’anneauOL.

22.a. Soitx∈ OL. Montrer que pour toutσ∈Gal(L/Q) on aσ(x)∈ OL. 22.b. Montrer que six∈ O^∗_L, on aσ(x)∈ O^∗_L, puis qu’on aQ

σ∈Gal(L/Q)σ(x) = 1 ou−1.

22.c. Soitx∈ OL tel queQ

σ∈Gal(L/Q)σ(x) = 1 ou−1. Montrer que x∈ O_L^∗.

22.d. SoitI un id´eal deOL. Soitσ∈Gal(L/Q). Montrer queσ(I) est un id´eal deOL.

22.e. Soitpun nombre premier>2. Soitζ une racine primitivep-`eme de l’unit´e dansC. Posons L=Q(ζ).

Montrer que pour tout entieri,αi= (1−ζⁱ)/(1−ζ) est une unit´e deOL. Montrer que le sous -groupe de O^∗_L engendr´e par ces unit´es est de rang≤(p−1)/2−1.