1)Montrer que An’est pas un corps

UNIVERSITÉ de BORDEAUX ANNÉE UNIVERSITAIRE 2014/2015

Session 1 d’Automne

Master Sciences et Technologies, Mention Mathématiques ou Informatique Spécialité Cryptologie et Sécurité Informatique

UE M1MA7W01 : Arithmétique Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 15/12/2014. Durée : 3h.

Exercice 1 – SoitAl’anneau F11[X]/(X³+ 2X²+ 2X+ 2).

1)Montrer que An’est pas un corps.

2)Dans F11[X]combien y a-t-il de polynômes de degré 61 premiers avec X−2? 3)À l’aide du théorème chinois, déterminer le cardinal deA^×.

Exercice 2 –

1)Figure ci-dessous le schéma des sous-corps deF2²⁴. Dans ce schéma A−→B signifie que AetB sont des sous-corps deF2²⁴ vérifiantA(B et qu’il n’y a pas de sous-corpsC deF2²⁴

vérifiant A(C(B.

F2²⁴

K

L

M

F2

P

Q

R

Préciser quels sont les corpsK, L, M, P, Q, R.

2)Que valent les degrés [Q:P],[K:P],[F₂²⁴ :P]?

3) Soit α un élément primitif de F2²⁴. Déterminer des entiers a, b, c tels que P = F2(α^a), L=F2(α^b),K =F2(α^c).

Exercice 3 – Soit α un élément primitif de F4. On a alors F4 ={0,1, α,1 +α}. Soit M la matrice de M3×9(F4) définie par

M =





α 0 0 1 +α 0 0 1 0 0

0 α 0 0 1 +α 0 0 1 0

0 0 α 0 0 1 +α 0 0 1





1)Montrer que les lignes de cette matrice sont linéairement indépendantes surF4. 2)On considère le code linéaireC ⊆F⁹4 de matrice génératrice M.

Montrer que (1,0,0, α,0,0,1 +α,0,0)∈ C et en déduire que C est cyclique.

3)Quelle est la dimensionk deC^⊥ le code dual deC?

4)Trouverkéléments deC^⊥ linéairement indépendants surF4 et en déduire une matrice de contrôle de C.

5)Quels sont les paramètres de C etC^⊥? Exercice 4 –

1)Combien y a-t-il de polynômes irréductibles de degré 10dans F2[X]?

2)Combien y a-t-il de polynômes irréductibles primitifs de degré10 dansF2[X]? Soit n>2 un entier.

3)Montrer que si 2ⁿ−1est premier alorsn est premier.

4) On suppose désormais que 2ⁿ−1 est premier. Soit α ∈F2ⁿ différent de 0 et1. Montrer queα est un élément primitif deF2ⁿ.

5)Combien y a-t-il de polynômes irréductibles de degré ndansF2[X]? 6)Montrer que tous ces polynômes sont primitifs.

7)On considère la suite (s_i)_i>0 définie par (s₀, s₁, s₂, s₃, s₄) = (1,0,0,0,0)et par la relation de récurrence linéaire si+5=si+2+si pour tout i>0. Expliquer, sans calculer les premiers termes de cette suite, pourquoi il s’agit d’une MLS. Quelle est sa période ?

8) On considère le polynôme P(X) = X⁵ +X³+X² +X+ 1 ∈ F2[X]. Montrer qu’il est irréductible primitif.

9) Soit α ∈ F32 une racine de P(X). Exprimer les racines de P(X) comme combinaisons linéaires de la forme a0+a1α+a2α²+a3α³+a4α⁴ où les ai sont des éléments deF2. 10)SoitHle code de Hamming de longueur 31 engendré parP(X). Quels sont les paramètres de H? Le code Hest-il un code MDS ?

11)On désire améliorer l’ordre de la condition de décodage deH. On considère le code BCH défini par H⁰ = {Q(X) ∈ F2[X]/(X³¹+ 1); Q(α) = Q(α³) = 0}. Pourquoi le polynôme minimal deα³, notéR(X)est-il de degré 5 et distinct deP(X)?

12)Déterminer R(X).

13)On rappelle que H⁰ est un code cyclique. Quel est son polynôme générateur ? 14)Quels sont les paramètres de H⁰? Ce nouveau code est-il MDS ?

Exercice 5 –

1)Montrer que P(X) =X⁶+X⁵+ 1est un polynôme irréductible de F2[X].

2)Expliquer pourquoiP(X) divise le polynômeX⁶³+ 1dansF2[X].

3)Le polynômeP(X) est-il primitif ?

4) Soit α une racine de P(X) dans F64. On considère la suite (s_i)_i>0 à éléments dans F2

définie par s_i = Tr(αⁱ). Rappeler pourquoi (s_i) est définie par une relation de récurrence linéaire que l’on explicitera.

5)Montrer que(si) est périodique et qu’il s’agit d’une MLS (maximum length sequence) de période π à préciser.

6)On considère l’ensembleC dont les éléments sont :

• leπ-uplet(s0, s1, . . . , sπ−2, sπ−1),

• sesπ−1 décalés(sπ−1, s₀, . . . , sπ−3, sπ−2), . . . ,(s₁, s₂, . . . , sπ−1, s₀),

• leπ- uplet nul(0,0, . . . , 0,0).

Montrer que C est un code linéaire. Quelle est sa dimension ? 7)Montrer que C est un code cyclique.

8)Montrer que C est le code dual du code cyclique de longueurπ engendré par P(X).

9)En déduire le polynôme générateur de C. On pourra admettre que dansF2[X], X⁶³+ 1

X⁶+X⁵+ 1 = 1 +X⁵+X⁶+X¹⁰+X¹²+X¹⁵+X¹⁶+X¹⁷+X¹⁸+X²⁰+X²⁴+X²⁵+ X²⁶+X²⁹+X³²+X³⁴+X³⁵+X³⁷+X³⁸+X³⁹+X⁴¹+X⁴²+X⁴⁵+ X⁴⁶+X⁴⁸+X⁵⁰+X⁵²+X⁵³+X⁵⁴+X⁵⁵+X⁵⁶+X⁵⁷.

10)Quels sont les paramètres du code dual de C?