∑ ∑ ∑ ∑ Comparaison séries-intégrales

Comparaison séries-intégrales

__________

1. Fonctions décroissantes.

2. Fonctions oscillantes.

3. Ralentissement de phase.

4. Intégrales de Jackson.

5. Intégrales et séries doubles.

Pierre-Jean Hormière __________

Nous récapitulons ici un certain nombre de résultats reliant séries et intégrales, déjà cités dans ces deux chapitres. Les uns ramènent l’étude d’une série à celle d’une intégrale, les autres l’étude d’une intégrale à celle d’une série. Seuls certains sont au programme, mais il est vain de vouloir enfermer la réalité dans des théorèmes. Plutôt que de charger la mémoire des élèves de résultats plus ou moins utiles, mieux vaut illustrer sur des exemples divers la fécondité de la méthode de comparaison séries–intégrales. ¹

Rappelons qu’une fonction monotone sur un segment est réglée, donc intégrable au sens de l’intégrale des fonctions réglées, et a fortiori au sens de Riemann.

Commençons par noter que si a ∈ N, et si f : [a, +∞[ → R₊ est réglée sur tout segment, il n’y a pas de lien simple entre intégrabilité de f et convergence de la série

∑

^+∞

=a n

n f )( .

• La fonction f(x) = | sin(πx) | n’est pas intégrable sur R+, mais pourtant

∑

^+∞

=0

) (

n

n

f converge.

• La fonction indicatrice de N est intégrable sur R₊, mais

∑

^+∞

=0

) (

n

n

f diverge.

• Pour n ≥ 2, soit a_n = n −

² 1

n ^{, bn = n +} 1²

n . Soit f la fonction continue définie sur R₊ par : f(x) = n² x − n³ + 1 si a_n≤ x ≤ n , f(x) = − n² x + n³ + 1 si n ≤ x ≤ b_n , f(x) = 0 ailleurs.

Cette fonction est intégrable sur R₊ (cf. § 2), mais f(n) = 1 et

∑

^+∞

=1

) (

n

n

f diverge.

1 Un de mes brillants étudiants, fils de paysans du Jarez, et garçon très sympathique qui aidait ses camarades à faire leurs devoirs, eut une mauvaise note à l’oral des Mines, en 1999, dans les circonstances suivantes : comme il avait terminé l’exercice, l’examinateur lui demanda de démontrer que la suite 1 + ½ + … + 1/n – ln n étant convergente. Chacun sait qu’il y a maintes façons de démontrer ce résultat : on peut démontrer que la suite est décroissante minorée, ou la transformer en suite des sommes partielles d’une série, etc. C’est cette dernière approche que choisit mon étudiant, avant de se voir couper par l’examinateur : « Vous ne connaissez pas le programme ! IL Y A UN THEOREME ! ». Il est vrai qu’on venait d’ajouter au programme un théorème tout fait qu’il suffisait d’appliquer à la situation: Mais ce théorème nouveau ne rendait pas caduques les autres méthodes, et j’ai pour ma part toujours préféré les méthodes aux théorèmes, et le savoir vivant au savoir en sachets. Ce « Il y a un théorème ! » nous apprend qu’il y a beaucoup d’adjudants et de bureaucrates parmi les professeurs de mathématiques, et que les mathématiques ne vaccinent pas contre la connerie.

1. Fonctions décroissantes.

Théorème 1 (Maclaurin, 1742) : Soient a ∈ N, f une fonction décroissante : [a, +∞[ → R₊. La série de terme général w_n =

∫

_nⁿ₋₁

^{f ( t ). dt}

− f(n) est convergente.

Pour que la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( converge, il faut et il suffit que f soit intégrable.

Autrement dit, la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( et l’intégrale impropre

∫

_a^+∞

^{f ). ( t dt}

sont de même nature.

Preuve : La décroissance de f implique, pour n > a l’encadrement 0 ≤ w_n≤ f(n − 1) − f(n).

Or la série de terme général f(n − 1) − f(n) est convergente, car ses sommes partielles f(a) – f(n), sont croissantes majorées par f(a), et même par f(a) – L, où L est la limite de f en +∞.

Donc la série de terme général w_n est convergente.

La seconde assertion se déduit de la première, car

∑

+

= n

a k

wk 1

=

∫

_aⁿ

^{f ). ( t dt}

⁻

^∑

+

= n

a k

k f

1

) ( . Si la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( converge, la suite n →

∫

_aⁿ

^{f ). ( t dt}

converge, et la fonction F(x) =

∫

_a^x

^{f ). ( t dt}

^est

croissante majorée : f est intégrable. Si f est intégrable, F(x) a une limite en +∞, donc la suite n →

∫

_aⁿ

^{f ). ( t dt}

converge, et, par soustraction, la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( converge.

Application 1 : Critères de Riemann et de Bertrand. voir chap. séries numériques.

Application 2 : Constante d’Euler.

Soit f(t) =

1 1

+

t

^{. Alors wn = ln(1 +}

n 1

_{) −}

1 1

+

n

est le terme général d’une série convergente.

∑

⁻

= 1

1 n

k

wk= ln n − (

2 1

₊

3

1

_{+ … +}

n

1

_{) ↑ 1 −γ} par définition de la constante d’Euler γ.

Exercice 1 : Interpréter de diverses façons 1 − γ et γ comme une aire. Montrer que 0 < γ < 1.

Application 3 : Fonction ζ et son prolongement.

Soit f(t) = _a t 1) (

+1 ( a > 0 ). Alors w_n =

−

a 1

1

₍ ) 1

1 (

1 −

+ ^a

n ^{− 1}

1a−

n ) − _a n 1) (

+1 est le terme général d’une série convergente.

∑

⁻

= 1

1 n

k

wk=

−

a 1

1

_.(

1

1a−

n ^{−1) − (}2^a 1 ₊

3a

1 _{+ … +} na

1 _).

• Si a > 1, cette suite tend vers

−

1 a

a

_{− ζ(a) .} • Si 0 < a < 1, on obtient 1 + _a

2 1 ₊

3a

1 _{+ … +} na

1 ₌ a n ^a

−

−

1

1

+ C + εn .

Prenant appui sur ces résultats, on peut prolonger la fonction ζ(a) =

∑

^+∞n¹a , définie sur ]1, +∞[, à

D = ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[ , en posant ζ(a) = limn→∞ 1 + _a 2

1 ₊ 3a

1 _{+ … +} na

1 ₋ a n ^a

−

−

1

1

. Exercice 1 : Constantes de Stieltjes.

Montrer que pour tout entier p ∈ N, la suite U_n =

∑

= n

k p

k k

1

ln −

1 ln ¹

+

+

p

p n

converge. Cas où p = 0 ? Exercice 2 : Sous les hypothèses du théorème précédent, établir que :

1) Si série et intégrale convergent, on a les encadrements de la somme et des restes :

∫

_a^+∞₊₁

^{f ( t ). dt}

^≤

^∑

^+∞

+

=a 1 n

u n ^≤

∫

_a^+∞

^{f ). ( t dt}

et ( ∀p ≥ a )

∫

_p^+∞₊₁^{f(t).dt ≤}

∑

^+∞

+

=p 1 n

u n ^≤

∫

_p^{+∞f ).(t dt.}

2) Si série et intégrale divergent, les sommes partielles de la série vérifient :

∑

= n

a k

uk =

∫

_aⁿ

^{f ). ( t dt}

^{+ C + εn} , et a fortiori :

∑

= n

a k

uk ∼

∫

_aⁿ

^{f ). ( t dt}

^.

3) La série de terme général v_n = f(n − 1) −

∫

_nⁿ₋₁

^{f ( t ). dt}

est convergente.

Exercice 3 : Soit (a_n) une suite de réels > 0 tendant vers 0. Pour tout x > 0, soit N(x) = card { n ∈ N ; a_n ≥ x}. Montrer que la fonction N est bien définie, que la série

∑

^+∞

=0 n

anconverge si et seulement si la fonction N est intégrable sur ]0, +∞[, et que, dans ce cas,

∑

^+∞

=0 n

an =

∫

₀^+∞

^{N ( x ). dx}

^.

Proposition 2 : Soit f : R⁺ → R une fonction telle que f(0) = 0, croissante sur [0, A], décroissante sur [A, +∞[. Pour que f soit intégrable sur R⁺ , il faut et il suffit que la série

∑

^+∞

=0

) (

n

n

f converge.

Et alors :

| ∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

⁻⁻⁻⁻

^∑

^+∞

=0

) (

n

n

f

|

≤ M = f(A).

Preuve : La première assertion découle du théorème 1, par troncature.

Notons I =

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^{, S =}

^∑

^+∞

=0

) (

n

n

f et p = [A]. On a :

• d’une part

∫

_p^+∞₊₁^{f(t).dt ≤}

∑

^+∞

+

= 1

) (

p k

k

f _≤ f(p + 1) +

∫

_p^+∞₊₁^f(t).dt

• d’autre part

∫

₀^p

^{f ( t ). dt}

^≤

^∑

= p

k

k f

0

)

( _≤ f(p) +

∫

₀^p

^{f ( t ). dt}

^.

Additionnons ! Il vient I −

∫

_p^{p+1f(t).dt ≤ S ≤} I + f(p) + f(p + 1) −

∫

_p^{p+1f(t).dt .}

Tout revient à montrer que

∫

_p^{p+1f(t).dt≤} f(A) , ce qui est évident, et que f(p) + f(p+1) −

∫

_p^p+1f(t).dt ≤ f(A), ce qui l’est un peu moins.

Notons m = min(f(p), f(p+1)), m’ = max(f(p), f(p + 1)) ≤ f(A), on a m −

∫

_p^{p+1f(t).dt ≤ 0, donc}

f(p) + f(p + 1) −

∫

_p^{p+1f(t).dt = m’ + m −}

∫

_p^{p+1f(t).dt ≤} f(A). CQFD

Exercice 4 : 1) Pour tout k ∈ N, montrer que la série

∑

^+∞

=

− 0

.

n

k nn

e converge. Soit A_k sa somme. Obtenir un équivalent de la suite (A_k).

2) Montrer que la fonction F(x) =

∑

^+∞

=

− 0

)

².

cos(

.

n

n n x

e est définie, C^∞ sur R, mais que sa série de Taylor en 0 a un rayon de convergence nul.

Exercice 5 : Domaine de définition de F(x) =

∑

^+∞

=1 ² ) (ln

n

x

n

n . Continuité ?

Montrer que quand x → +∞ , F(x) ∼

∫

₁^+∞(ln_t²^{t)x.dt = Γ(x + 1) .}

¶¶¶ Problème 6 : Equivalent des nombres de Bell. Démontrer que : ϖ(n) =

e 1 ∑

^+∞

=0 !

k n

k k ∼

e 1 ∑

^+∞

=

−

− 0

2 / 1 .

k

k k

n e

k ∼

e

1 x

^{n x}

. e

^x

. dx

0

2 /

∫

^{+∞ − −}1 ^∼

n

n W n n n W n

ln

)) ( / 1 ) ( .

exp( − − +

, où W est la fonction de Lambert. ( Je sais faire, je sais faire !… ).

Le théorème suivant fournit des équivalents de fonctions définies comme séries (séries entières, séries de Lambert, etc.) au bord de leur intervalle de définition. L’hypothèse de décroissance de f ou de la fonction de comparaison est essentielle.

Théorème 3 (lemmes de pincement) : 1) Soit f : ]0, +∞[ → R+ décroissante et intégrable.

Pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et lim_h→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^.

2) Soit f : [0, +∞[ → R une fonction réglée, décroissante sur [A, +∞[, et intégrable. Pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et lim _h→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^.

3) Soit

f

: ]0, +∞[ → F (Banach) une fonction réglée. On suppose qu’existe g : ]0, +∞[ → R décroissante et intégrable, telle que (∀x > 0) ||

f (x )

|| ≤ g(x). Alors

f

est intégrable, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge absolument, et lim _h→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^.

Preuve partielle :

1) On a l’encadrement intégral :

∫

_h^(N+1)h

^{f ( x ). dx}

^{≤ h.}

^∑

= N

nh

f( ) _≤

∫

₀^Nh

^{f ( x ). dx}

^≤

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^.

La suite N →

∑

= N

n

nh f

1

)

( est croissante majorée, donc elle converge, et la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge.

Fixons h > 0 et faisons tendre N vers l’infini. Il vient :

∫

_h^+∞

^{f ). ( x dx}

^{≤ h.}

^∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f _≤

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^.

En vertu du lemme des gendarmes, h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f tend vers

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^{quand h} tend vers 0+.

2) Soit f : [0, +∞[ → R une fonction réglée, décroissante sur [A, +∞[, et intégrable.

Pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, pour la même raison qu’en 1).

Ecrivons h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f = h.

∑

= N

n

nh f

1

)

( + h

∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

nh

f , où N =

[

h A

]

^.

D’une part, h.

∑

= N

n

nh f

1

)

( _→

∫

₀^A

^{f ( x ). dx}

par un argument de sommes de Riemann.

D’autre part, h

∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

nh

f _→

∫

_A^+∞

^{f ). ( x dx}

par encadrement comme ci-dessus.

Applications : 1) Trouver un équivalent de

∑

^+∞

=1 n

n

n

x au V(1−) [ Poser x = e^−h] ;

2) Équivalents de

∑

^+∞

=0

² n

xn et de

∑

^+∞

=0 n

xn^α au V(1−) ; 3) Équivalents de

∑

^+∞

=1 n

n n

x x +

1 ^,

∑

^+∞

=1 n

n n

x x n

− 1

. et

∑

^+∞

=1

n 1

) ln(

−

n n

x

x au V(1−) ;

4) Montrer que

∑

^+∞

=1 n

n n

x x

−

1 ⁼ x

−−x

− 1

) 1

ln( +

−x 1

γ _{+ o(}

−

x 1

1

) au V(1−) ;

[ Indication : On rappelle que γ =

∫

₀^+∞

^e

^−t(_1−exp(¹ _−t)⁻¹_t ^{).dt .]}

Exercice 8 : 1) Soit f : R⁺ → R une fonction de classe C¹. Montrer que

∑

+

= N

n n

n f

0 1

)

( =

∫

_n^{Nf t dt}

0

).

( +

∫

_n^{N t−Et f t dt}

0

).

'(

)).

(

( .

2) Domaine de définition de la fonction θ(t) = 1 + 2

∑

^+∞

=

− 1

² k

t

e ^πk . Equivalent en 0+ ? 2. Fonctions oscillantes.

Le théorème suivant permet d’étudier l’intégrabilité de fonctions oscillantes à valeurs positives, fonctions aisées à reconnaître au vu de leur graphe. Ces fonctions n’ont pas d’équivalent simple, et les encadrements élémentaires échouent. La technique consiste alors à introduire à étudier l’intégrale sur chaque arche, et à transformer le problème de l’intégrabilité en un problème de série, au moyen du critère suivant :

Théorème 4 : Soit f : [a, b[ → R₊ une fonction réglée sur tout segment, a = a

0 < a

1 < a

2 < ... une suite croissante tendant vers b. Notons I_n =

∫

_a^a_nⁿ⁺¹

^{f ( t ). dt}

. Pour que f soit intégrable sur [a, b[, il faut et il suffit que la série

∑

^+∞

=0 n

In converge, et, si tel est le cas, on a :

∫

[a,b[ f(t).dt =

∑

^+∞

=0 n

In .

Preuve : f étant positive, F(x) =

∫

_a^x

^{f ). ( t dt}

est croissante.

L’intégrabilité de f équivaut au fait que F(x) est majorée, ou encore au fait que la suite (F(a_n)) le soit. Or c’est la suite des sommes partielles de la série

∑

^+∞

=0 n

In . Application : dt

t t. sin

∫

0^{+∞ diverge.}

Il suffit de noter que I_n = dt t

t. sin

∫

0^{+∞ =}

∫

₀^π

_θ

^sin_+n

^θ _π

^.d

^θ

^≥

∫

₀^π

_{( n} ^sin

₊

₁ ^θ _{) π} ^{. d θ}

⁼ _(n+²_1)π ^.

Exercice 1 : Convergence et calcul de

∫

₀¹

^{( 1} _t

⁻

^{[ 1} _t ^]

^).dt.

Exercice 2 : Soient a et b > 0. Montrer que l’intégrale

∫

₀^+∞_1+x^xba_.^._sin^dx_²x converge ssi b > 2a + 2.

Exercice 3 : Soient a, b > 0. Montrer que l’intégrale

∫

₀^+∞

^x

^a

^{. exp(}

⁻

^x

^b

^{. sin ² x ). dx}

converge ssi b > 2a+2.

Exercice 4 : Natures de

∫

₀^+∞ _{− +} 3 2

sin . .

x e e

dx e

x x

x

,

∫

₀^+∞

^{sin x}

^x

^{. dx}

^,

∫

_π^+∞sin_x.ln^²_x^{x.dx ,}

∫

₀^+∞

^{t . e}

^−at

^{. E ( e}

^t

^{). dt}

^.

Exercice 5 : Natures des intégrales :

∫

₀^{+∞ −}

cos .

t dt e

^t

,

∫

₀^+∞(1₊x²).sin2/3x

dx _,

∫

_π^+∞ _a ^b

x x

dx sin

. , (a, b) ∈ R² Le théorème suivant ramène l’étude d’intégrales généralisées à celle de séries alternées. Il généralise l’étude de

∫

₀^{+∞sin dt}_t^{t. .}

Théorème 5 : Soit f : R⁺ → R*⁺ une fonction décroissante (donc réglée), ω : R⁺ → R une fonction réglée T-antipériodique (donc 2T-périodique) : ω(t + T) = −ω(t) (∀t ≥ 0) , et telle que

ω(t) ≥ 0 ∀t ∈ [0, T] et J =

∫

₀^T

^{ω ( t ). dt}

^{> 0.}

Enfin, soit u_n =

∫

_nT^(n+1)T

^{f ( t ). ω ( t ). dt}

. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) lim_x→+∞ f(x) = 0 ii) L’intégrale

∫

₀^+∞

^{f ( t ). ω ( t ). dt}

converge iii) La série alternée

∑

^+∞

=0 n

unconverge.

Et alors, on a :

∑

^+∞

=0 n

un=

∫

₀^+∞

^{f ( t ). ω ( t ). dt}

. Enfin, f est intégrable ssi f.ω l’est.

Application : Retrouver la semi-convergence de l’intégrale

∫

₀^{+∞sin dt}_t ^{t. .}

3. Ralentissement de phase.

Théorème 6 (Hardy ²) : Soit f : [0, +∞[ → C une fonction de classe C¹, telle que f' soit intégrable sur [0, +∞[. Alors la série de terme général wn=

∫

_nⁿ₋₁

^{f ( t ). dt}

− f(n) est absolument convergente.

2 Godfrey Harold Hardy (1877-1947), grand mathématicien anglais, dont la collaboration avec John

Preuve : Une intégration par parties donne : w_n = −

∫

_nⁿ₋₁

^{( t}

⁻

ⁿ

⁺

^{1 ). f '( t ). dt}

^.

On en déduit que : |w_n| ≤

∫

_nⁿ₋₁

^{( t}

⁻

ⁿ

⁺

^{1 )}

| f'(t) |.dt ≤ ⁿ

f t dt

n

'( ) .

∫

₋1 ^.

L’intégrabilité de f' implique la convergence de la série de terme général ⁿ

f t dt

n

'( ) .

∫

₋1 , qui implique à son tour l’absolue convergence de la série.

Application : Étudier les séries

∑

^+∞

=1

) cos(ln

n n

n ,

∑

^+∞

=1

) sin(ln

n n

n ,

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

n .

[ Indication : On peut utiliser le critère précédent, mais on peut aussi montrer que les tranches de Cauchy correspondant aux valeurs de n pour lesquelles cos(ln n) ≥ 1/2 ne tendent pas vers 0.]

Exercice 1 : Soit a ∈ R. Etudier la suite (n^ia) et la série

∑

^+∞

= −

1 1

1

n

n ia ^.

Exercice 2 : Prolongement de la fonction ζ. Pour s complexe tel que Re s > 1, on note ζ(s) =

∑

^+∞

=1

1

n

ns ^.

En appliquant la proposition précédente à f(x) = _s x

1 , montrer que la fonction ϕ(s) = ζ(s) −

1 1

−

s

^se prolonge en une fonction continue sur le demi-plan Re s > 0. Calculer ϕ(1).

Exercice 3 : Hardy itéré.

1) Soit f : [0, +∞[ → C une fonction de classe C², telle que :

a) lim_x→∞ f(x) = 0 ; b) f’’ est intégrable sur [0, +∞[ .

Alors la série de terme général w_n=

∫

_nⁿ₋₁

^{f ( t ). dt}

⁻ f(n) est absolument convergente.

[ Indication : observer que :

w_n= −

∫

_nⁿ₋₁⁽ⁿ⁻¹₂^{−t).f'(t).dt −}

₂ ¹

^{(f(n) − f(n−1)) = −}

₂ ¹ ∫

_nⁿ₋₁

^{( t}

⁻

ⁿ

⁺

^{1 ).( n}

⁻

^{t ). f ''( t ). dt}

⁻

₂ ¹

^{(f(n) − f(n−1))}

2) Application : Discuter selon les valeurs de a > 0 la nature de la série

∑

^+∞

=1

sin

n

na

n _.

4. Intégrales de Jackson.

L’anglais Frank Hilton Jackson (1870-1960) a développé vers 1904 un q-calcul, une q- exponentielle, des fonctions q-trigonométriques, une q-fonction Gamma, une q-intégration, etc., bref, une q-mathématique. Lorsque q tend vers 1, on retrouve les fonctions usuelles.

Exercice 1 : Soient b > 0, E un espace de Banach, f : [0, b] → E une fonction continue.

1) Montrer, pour tout 0 < q < 1, la convergence de la série ( 1 − q ).b

∑

^+∞

=0

) ( .

n

n nf q b

q .

Sa somme est appelée intégrale de Jackson de f et notée

∫

₀^b

^{f ( x ). d}

^q

^x

^.

2) Montrer que f →

∫

₀^b

^{f ( x ). d}

^q

^x

est linéaire continue (pour la norme uniforme) ; quelle est sa norme triple ?

Littlewood et Hardy-Littlewood. Un jour qu’il se baignait nu dans une rivière, Hardy fut surpris par un groupe de jeunes femmes ; il cacha seulement son visage avec un mouchoir, pour ne pas être reconnu… Hélas, si j’en crois David Leavitt (Le comptable indien, Denoël, 2009), cette anecdote circulait sous différentes versions à Cambridge, et était attribuée à d’autres Apôtres, notamment à Oscar Browning. Décidément, D. Leavitt en sait plus que moi sur les mœurs sexuelles de Cambridge il y a un siècle, ce qui est une prouesse…

3) Montrer que lim_q→1−0

∫

₀^b

^{f ( x ). d}

^q

^x

⁼

∫

₀^b

^{f ( x ). dx}

^.

4) Application (Fermat) : Calculer par ce moyen

∫

₀^b

^x

^α

^{. dx}

^{pour α≥ 0 .}

Exercice 2 : Soit f une fonction continue positive et intégrable sur ]0, +∞[.

1) Montrer, pour tout 0 < q < 1, la convergence de la série ( 1 − q )

∑

^+∞

−∞

= n

n n

f q q . ( )

. 2) Montrer que lim_q→1−0 ( 1 − q )

∑

^+∞

−∞

= n

n n

f q

q . ( )

=

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

^.

5. Intégrales doubles et séries doubles.

L’énoncé suivant établit un lien entre intégrales doubles impropres et séries doubles. Il s’étend sans peine aux intégrales multiples impropres et aux familles sommables.

Théorème 7 : Soit f : R⁺²→ R⁺ une fonction continue, u_mn =

∫∫

_{[m,m+1]×[n,n+1]}^{f(x,y).dx.dy.}

1) La convergence de l’intégrale double impropre

∫∫

_R²

^{f ( x , y ). dx . dy}

équivaut à la sommabilité de la famille (u_mn).

2) Si de plus les applications x → f(x, y) et y → f(x, y) sont décroissantes, la convergence de l’intégrale double impropre

∫∫

_R²

^{f ( x , y ). dx . dy}

équivaut à la sommabilité de la famille (f(m, n))_m,n≥1. Application : étudier, avec ou sans cet énoncé, la convergence des séries doubles :

∑

∈ *² ) , (mn N

n a

m )

(

+1 ^,

∑

∈ ² ) , (mn N

n a

m 1) (

1+

+ ^,

∑

∈ *² ) , (mn N

n a

m² ²) (

+1 ^.