Fonctions transcendantes

Fonctions transcendantes

(T. G. 6)

Solution proposée.

1. (a) On commence par tout mettre sous forme exponentielle : 2 2i = 2 (1 i) = 2p

2e ⁱ⁴, 5p

3 5i = 10 p3

2 i 2

!

= 10e ⁶ⁱ, e⁵⁴ⁱ = e ⁱe ³⁴ⁱ =e⁴ⁱ,

d’où les logarithmes principaux

Ln (2 2i) = ln 2p

2 i

4 = 3 2ln 2 i

4, Ln 5p

3 5i = ln 10 i 6, Ln e⁵⁴ⁱ =

4i

(les arguments principaux se lisent comme les parties imaginaires).

(b) Soit 2C. On a les équivalences

e^{2 lnp2}= 2 2i () e ^{2ln 2} =e^{32ln 2 i4} () ln 2

2 = 3

2ln 2 i 4 [2 i]

() = 4 ln 2 i

2 [4 i], on a les équivalences

5p

3 5i=e^{3 +ln 5} () p

3 i=e³ () e^{ln 2 i6} =e³ () ln 2 i

6 = 3 [2 i]

() = ln 2

3 i

18 2

3 i , on a les équivalences

e^{54 i}= 18e () e ³⁴ⁱ=e^{ln 18+}

() 3

4 i= ln 18 + [2 i]

() = ln 18 3

4 i [2 i]. (a) Les racines carrées de 2 = 2eⁱ sont p

2e¹²ⁱ = ip 2.

Les racines carrées de169i= 169eⁱ² sont p

169e¹²ⁱ² = 13eⁱ⁴. Les racines carrées de 1 ip

3 = 2e ²³ⁱ sont p

2e¹²( ²3i) = p 2e ³ⁱ. (b) Une racine cubique de 2 2i= 2p

2e ³⁴ⁱestp³ 2p

2e¹³( ³4i) =p

2e ⁴ⁱ, les deux autres racines cubiques d’obtiennent en multipliant cette dernière parj etj²,i. e.pare ²³ⁱ. Les racines cubiques

de 2 2isont donc p

2e ⁴ⁱ, p

2e⁵¹²ⁱ etp

2e ¹¹¹²ⁱ.

Une racine cubique de8est p³

8 = 2, les deux autres racines cubiques d’obtiennent en multipliant cette dernière pare ²³ⁱ, d’où les trois racines cubiques de8 :

2,2e²³ⁱ et 2e ²³ⁱ. Une racine cubique de 2 2i= 2p

2e ⁴ⁱ est p³ 2p

2e¹³( 4i) =p

2e ¹²ⁱ, les deux autres racines cubiques d’obtiennent en ajoutant ²₃ à l’argument de cette dernière, d’où les racines cubiques de

2 2i: p

2e ¹²ⁱ,p

2e⁷¹²ⁱ etp 2e ³⁴ⁱ.

On véri…era dans les trois cas que les racines cubiques trouvées forment un triangle équilatéral centré en0.

(c) Une racine quatrième de 16 = 2⁴eⁱ est p⁴

2⁴e¹⁴ⁱ = 2¹⁺ⁱp 2 =p

2 (1 +i), les autres s’obtiennent à partir de celle-ci en multipliant pare²ⁱ⁴ =i, ce qui donne successivementp

2 (i 1), p

2 ( 1 i) etp

2 (1 i).

Une racine quatrième de i p

3 = 2 ₂^{i p}₂³ = 2e⁵⁶ⁱ est p⁴

2e¹⁴⁵⁶ⁱ = p⁴

2e⁵²⁴ⁱ, les autres s’obtennant en ajoutant à son argument des multiples entiers de²₄ =¹²₂₄, ce qui donne les arguments

17

24, ²⁹₂₄ = ¹⁹₂₄ , ⁴¹₂₄ = ⁷₂₄.

Une racine quatrième de64i= 2⁶eⁱ² estp⁴

2⁶e¹⁴ⁱ² = 2p

2eⁱ⁸, les autres s’obtennant en ajoutant à son argument des multiples entiers de ²₄ = ⁴₈, ce qui donne les arguments ⁵₈, ⁹₈ = ⁷₈,

13

8 = ³₈ .

On véri…era dans les trois cas que les racines quatrièmes trouvées forment un carré centré en 0.

(d) 16i 16p

3, 25,4 + 4i.

Une racine cinquième de 16i 16p

3 = 32 ₂^{i p}₂³ = 2⁵e⁵⁶ⁱ est p⁵

2⁵e¹⁵⁵⁶ⁱ = 2eⁱ⁶, les autres s’obtenant en ajoutant à son argument des multiples entiers de ²₅, ce qui donne les arguments

17

30; ²⁹₃₀, ⁴¹₃₀ = ¹⁹₃₀ et ⁵³₃₀ = ⁷₃₀.

Une racine cinquième de 25 = 5²eⁱ est p⁵

5²e¹⁵ⁱ = 5⁵²eⁱ⁵, les autres s’obtenant en ajoutant à son argument des multiples entiers de ²₅, ce qui donne les arguments ³₅; , ⁷₅ = ³₅ et ⁹₅ = ₅.

Une racine cinquième de4 + 4i= 4p

2eⁱ⁴ est ⁵ qp

2⁴p

2e^{15 4} =p

2e²⁰, les autres s’obtenant en ajoutant à son argument des multiples entiers de ²₅ = ⁸₂₀, ce qui donne les arguments ⁹₂₀; ¹⁷₂₀,

25

20 = ³₄ et ³³₂₀ = ⁷₂₀.

On véri…era dans les trois cas que les racines cinquièmes trouvées forment un pentagone régulier centré en0.

2. Soitg un réel.

(a) L’égalité ln g² 4 + ln 9 = ln (4g+ 1)fait sens ssi les deux arguments de ln appartient à son ensembleR₊ de dé…nition,i. e.ssi g²>4

4g+ 1>0 ,i. e.ssi g < 2oug >2

g > ¹₄ ,i. e.ssig < 2ou g > ¹₄. Pour un telg, on a alors les équivalences

gest solution () ln g² 4 + ln 9 = ln (4g+ 1) () ln g² 4 9 = ln (4g+ 1)

ln est

bijective() g² 4 9 = 4g+ 1 () 9g² 4g 35 = 0 () 3g 2

3

2

= 35 +4 9 () 3g 2

3 =

r315 + 4 9 () g=2 p

319

9 .

Vu les valeurs approchées ^2+p₉³¹⁹ ' 2;2 et ^{2 p}₉³¹⁹ ' 1;8, il faut exclure la valeur négative qui tombe dans 2; ¹₄ . En d’autres termes, l’ensemble des solutions est

(2 p 319

9 ;2 p

319 9

)

2; 1 4 =

(2 +p 319 9

) .

(b) L’égalité lnjg 1j+ lnjg+ 2j= ln 4g²+ 3g 7 fait sens si les trois arguments deln ne s’an- nulent pas,i. e.si

8<

:

g 16= 0 g+ 26= 0 4g²+ 3g 76= 0

,i. e.ssi g6= 1etg6= 2

(4g+ 7) (g 1)6= 0 ,i. e.ssi g6= 1et g6= 2 g6= ⁷₄ etg6= 1 , i. e.ssig =2 ⁷₄;1;2 . Pour un telg, on a alors les équivalences

g est solution () lnjg 1j+ lnjg+ 2j= ln 4g²+ 3g 7 () ln (jg 1j jg+ 2j) = lnj(4g+ 7) (g 1)j

ln est

bijective() jg 1j jg+ 2j=j4g+ 7j jg 1j () jg+ 2j=j4g+ 7j

() ^ou 4g+ 7 =g+ 2 4g+ 7 = g 2 () ^ou g= ⁵₃

g= ⁹₅ () g2 9

5; 5 3 . On en déduit l’ensemble des solutions :

9 5; 5

3

7

4;1;2 = 9 5; 5

3 .

(c) L’égalité18^g18 = 42^g42 fait sens ssig¹⁸ etg⁴² font sens,i. e.ssig 0. Pour un telg, on a alors les équivalences

gest solution () 18^g18= 42^{g42 ln}()^est

bijectiveg¹⁸ln 18 =g⁴²ln 42 () ln 18

ln 42 =g²⁴()^{g 0} g= ²⁴ rln 18

ln 42 = ²⁴

r ln 2 + 2 ln 3 ln 2 + ln 3 + ln 7.

(d) L’égalitég^p3g=p³g^g fait sens si les basesget p³g font sens et sont positives (et si les exposant p3get gfont sens),i. e.ssig 0. Observer que l’égalité est véri…ée pourg= 0. Pour ung >0, on a alors les équivalences

g est solution () g^p3g=p³g^{g ln}()^est

bijective

p3glng=glnp³g()^g6=0 lng=g²³lng 3 () 3 lng=g²³lng et ou g= 1

g6= 1

distributivité deet()surou

3 lng=g²³lng

g6= 1 ou 3 lng=g²³lng g= 1 () 3 =g²³

g6= 1 ou 0 = 0 g= 1 () 3³² =g

g6= 1 oug= 1 () g= 3p

3 oug= 1.

On en déduit l’ensemble des solutions :

n0;1;3p 3o

.

(e) On a les équivalences

gest solution () 3^g+1+ 9^g= 7 4 () 3 3^g+ (3^g)²=7

4

() 3^g est racine deX²+ 3X 7

4 = X+3 2

2

4 = X 1

2 X+7 2 () 3^g= 1

2 ou|{z}3^g

>0

= 7

|{z}2

<0

| {z }

im p ossible ln est

bijective() gln 3 = ln 2 () g= ln 2

ln 3. (f) On a les équivalences

gest solution () 4^g 3^{g 12} = 3^g+12 2^{2g 1} () 2^2g+ 2^{2g 1}= 3^g+12 + 3^{g 12} () 2^{2g 1}(2 + 1) = 3^{g 12}(3 + 1) () 3 2^{2g 1}= 4 3^{g 12}

() 2^{2g 3}= 3^{g 32}

ln est

bijective() (2g 3) ln 2 = g 3 2 ln 3 () g=3 ln 2 ³₂ln 3

2 ln 2 + ln 3 .

(g) L’égalitélg₄₂g = lg_g42fait sens ssi la baseg est dans R₊nf1g et si l’argumentg appartient à l’ensemble de dé…nition deln,i. e.ssi g >0

g6= 1 . Pour un telg, on a les équivalences g est solution () lg₄₂g= lg_g42() lng

ln 42= ln 42

lng ()(lng)²= (ln 42)⁴²()lng= ln 42 () lng= ln 42ou lng= ln 1

42

ln est

bijective() g= 42oug= 1 42.

L’ensemble des solutions est donc ₄₂¹;42 \R₊nf1g = ₄₂¹;42 . (h) La fonction ¹⁸p

+ ⁴²p

croît strictement comme somme d’applications strictement croissantes, donc est injective, ce qui montre qu’il n’y a au plus qu’une solution à l’équation demandée. Puisque 1est manifestement solution (on a bien ¹⁸p

1 + ⁴²p

1 = 1 + 1 = 2), c’est la seule.

3. Soient'etkdeux réels.

(a) On a les équivalences 8^'= 10k

2^'= 5k () 2^{3 '}= 2 5k

2^'= 5k () 2^3'= 2 2^'

2^'= 5k () 2^3'= 2^'+1 k= ²₅^'

lg₂ est bijective()

3'='+ 1

k= ²₅^' () '= ¹₂

k=²₅^' () '= ¹₂ k=^p₅² .

(b) On a les équivalences '+k= 9 lg₁₈'+ lg₁₈k= 1

18^Idest bijective()

'+k= 9

18^lg18'+lg18k = 18¹ () '+k= 9 18^lg18' 18^lg18k= 18 () '+k= 9

' k= 18 ()'et ksont les racines deX² 9X+ 18 = (X 3) (X 2) () f'; kg=f2;3g () '

k 2 2

3 ; 3

2 .

(c) On a les équivalences '²+k²= 13 2 lg₄₂'+ 2 lg₄₂k= 1

45^Idest bijective()

'²+k²= 13

42^{2 lg42'+2 lg42k} = 42¹ () '²+k²= 13 42^{2 lg42'} 42^{2 lg42k} = 42 () '²+k²= 13

'² k²= 42 ()'²et k² sont les racines deX² 13X+ 42 = (X 6) (X 7) () '²; k² =f6;7g

() '

k 2

( p p6

7 ; p6 p7 ;

p6 p7 ;

p6 p7 ;

p7 p6 ;

p7 p6 ;

p7 p6 ;

p7 p6

) . (a) Soita 0.

On observera au passage la simpli…cation 1 a

1 +a =2 (1 +a) 1 +a = 2

1 +a 1.

Le réelarctanpafait sens ssi l’argumentpafait sens et appartient à l’ensembleRde dé…nition dearctan,i. e.ssia 0, ce qui est vrai. De même, le réel _da^d arctanpafait sens ssia >0.

Le réel arccos¹_1+a^a fait sens ssi l’argument ¹_1+a^a fait sens et appartient à l’ensemble [ 1;1] de dé…nition de arccos, i. e. ssi a 6= 1 et si ¹_1+a^{a 2} 1, i. e. ssi (1 a)² (1 +a)², i. e. ssi 1 2a+a² 1 + 2a+a², i. e. 0 4a, ce qui est vrai. De même, le réel _da^d arccos¹_1+a^a fait sens ssi ¹_1+a^a appartient à l’ensemble] 1;1[de dérivation dearccos,i. e. (en suivant le même calcul que ci-dessus) ssia >0.

Ces véri…cations étant e¤ectuées, on peut se lancer dans le calcul des dérivées en supposant de plusa6= 0:

d

dt arccos1 a

1 +a = arccos⁰ 1 a 1 +a

d da

2 1 +a 1

= 1

r

1 ¹_1+a^{a 2} 2 (1 +a)²

= 2

q

(1 +a)² (1 a)² 1 j1 +aj

= 1

pa 1 1 +a et

d

da arctanp

a = arctan⁰ p

a d

da pa

= 1

1 +p a²

1 2p a

= 1

1 +a 1 2p

a.

Ceci tenant pour touta >0, on en déduit que la fonction arccos^{1 Id}_1+Id 2 arctanp

Idest de dérivée nulle sur l’intervalleR₊, donc y est constante. Elle y vaut par conséquent sa valeur en1, à savoir

arccos1 1

1 + 1 2 arctanp

1 = arccos 0 2 arctan 1 = 2 2

4 = 0,

ce qui permet de conclure après véri…cation de l’identité voulue en0 : arccos1 0

1 + 0

= arctan? p

0()arccos 1= arctan 0^? ()0= 0, ce qui est vrai.^? Soit t 0. Pour montrer d’une autre façon l’égalité arccos¹_1+t^t = 2 arctanp

t, posons :=

arctanp

t(qui appartient à 0; ₂ ) (d’où l’on tire t= tan² ) et calculons arccos1 t

1 +t = arccos1 tan² 1 + tan²

= arccos1 _cos^sin22

1 +_cos^sin22

= arccoscos² sin² cos² + sin²

= arccos cos 2

= 2 car2 2[0; ]

= 2 arctanp

t,c. q. f. d..

(b) Soita2R.

Le réelargch

qcha+1

2 fait sens ssi l’argument

qcha+1

2 fait sens et appartient à l’ensemble[1;1[ de dé…nition deargch,i. e.ssi ^cha+1₂ 0et si

qcha+1

2 1, ce qui est vrai puisque ^cha+1₂ ¹⁺¹₂ = 1.

De même, le réel _da^d argch

qcha+1

2 fait sens ssi

qcha+1

2 > 1, i. e. (d’après ce qui précède) ssi a6= 0.

En supposant a6= 0, on a alors d

da argch

rcha+ 1 2

!

= argch⁰

rcha+ 1 2

! d da

rcha+ 1 2

= 1

rqcha+1 2

2

1

1 2q

cha+1 2

d da

cha+ 1 2

= 1

qcha+1

2 1

1 2q

cha+1 2

sha 2

= 1

qcha 1 2

q 1

cha+1 2

sha 4

= 1

pch²a 1 sha

2

= 1

jshaj sha

2

= 1

2signe (sha)

= 1

2signe (a) car sh est impaire

= 1 2

d dajaj. Il en résulte que la fonctionargchq

ch +1

2 ?jIdjest de dérivée nulle sur chacun des intervallesR₊ et R , donc est constante sur chacun de ces intervalles ; puisqu’elle est par ailleurs continue, elle vaut surR₊ sa limite en 0⁺ et elle vaut surR sa limite en 0 , donc vaut sur toutRsa valeur en 0, à savoir

argch

rch 0 + 1

2 ?j0j= argch 1 = 0,c. q. f. d..

On pouvait utiliser directement la formule de duplication duch: argch

rcha+ 1

2 = argchp

ch²2a

= argchjch 2aj

= argch ch 2a car ch 1

= argch chj2aj car ch est paire

= j2aj car2a 0.

(c) Soitt2R.

Le réelarcsinp^t

1+t² fait sens ssi l’argument p^t

1+t² fait sens et appartient à l’ensemble[ 1;1]de dé…nition dearcsin,i. e.ssi

( 1 +t²>0

p t 1+t²

2

1 ,i. e.ssit² 1 +t²,i. e.ssi0 1, ce qui est vrai. De même, le réel _dt^d arcsinp^t

1+t² fait sens ssi p^t

1+t² appartient à l’ensemble ] 1;1[de dérivabilité de arcsin,i. e.(d’après le calcul ci-dessus) ssi0<1, ce qui est vrai.

On peut par conséquent calculer d

dt arcsin t

p1 +t² = arcsin⁰ t p1 +t²

d dt

p t 1 +t²

= 1

r

1 p^t

1+t² 2

1 p

1 +t² t ^2t

2p 1+t²

p1 +t²²

= s

1 +t² (1 +t²) t²

1 +t² t² (1 +t²)p

1 +t²

= 1

1 +t²

= d

dtarctant.

La fonctionarcsinp^Id

1+Id² arctanest par conséquent de dérivée nulle sur l’intervalleR, donc y vaut constamment sa valeur en0, à savoir

arcsin 0

p1 + 0² arctan 0 = 0 0 = 0,c. q. f. d..

On aurait pu également poser := arctant(qui tombe dans ₂;₂ ) (d’où l’on tiret= tan ) et calculer

arcsin t

p1 +t² = arcsin tan p1 + tan²

= arcsin

sin

qcos 1 cos²

= arcsin sin jcos j cos

= arcsin (sin ) car j j 2

= car j j 2

= arctant.

(d) Soitc2] 1;1].

On observera au passage que 1 c

1 +c =2 (1 +c) 1 +c = 2

1 +c 1.

Le réel arctanq

1 c

1+c fait sens ssi l’argument q

1 c

1+c fait sens et appartient à l’ensemble R de dé…nition dearctan,i. e. ssi 1 +c6= 0

1 c

1+c 0 ,i. e.(puisque c+ 1>0) ssi1 c 0,i. e. ssic 1, ce qui est vrai.

De même, le réel _dt^d arctanq

1 c

1+c fait sens ssi l’argument q

1 c

1+c fait sens et appartient à l’ensembleRde dérivabilité de arctanet si l’argument ¹_1+c^c fait sens et appartient à l’ensembleR₊ de dérivabilité dep

, ce qui équivaut àc2] 1;1[.

En supposant de plusc6= 1, on peut alors calculer d

dc arctan

r1 c 1 +c

!

= arctan⁰

r1 c 1 +c

! d dt

r1 c 1 +c

= 1

1 +q

1 c 1+c 2

1 2q

1 c 1+c

d dt

2 1 +c 1

= 1 +c

(1 +c) + (1 c) 1 2

r1 +c 1 c

2 (1 +c)²

= 1 2

r1 +c 1 c

1 1 +c

= 1

2 p 1

(1 c) (1 +c)

= 1

2 p 1

1 c²

= d

dt 1

2arccost . Il en résulte que la fonction arctanq

1 Id 1+Id

1

2arccos est de dérivée nulle sur ] 1;1[, donc y vaut constamment sa valeur en0, à savoir

arctan

r1 0 1 + 0

1

2arccos 0 = arctan 1| {z }

=₄

1

2 2 = 0,c. q. f. d..

On aurait également pu poser := arccosc (qui tombe dans[0; ]) (d’où l’on tire c= cos ) et calculer

arctan r1 c

1 +c = arctan

r1 cos 1 + cos

= arctan

s2 sin²₂ 2 cos²₂

= arctan r

tan² 2

= arctan tan

2 car 2 2h

0;2 h

= 2 car

2 2i 2;

2 h

= arccosc 2 . (e) Soitm >0.

Le réelargch^m+₂^m1 fait sens ssi l’argument ^m+₂^m1 appartient à l’ensemble[1;1[de dé…nition de argch, ce qui est vrai en vertu de la comparaison m+ _m¹ 2. De même, le réel _dm^d argch^m+₂^m1 fait sens ssi l’argument ^m+₂^m1 appartient à l’ensemble]1;1[ de dérivabilité deargch,i. e.(vu le cas d’égalité de la comparaison précédente) ssim6= 1.

En supposonsm6= 1, on peut alors écrire d

dm argchm+_m¹

2 = argch⁰ m+_m¹ 2

d dm

m+_m¹ 2 Il est raisonnable d’évaluer à part

1

2argch⁰ m+_m¹

2 = 1

2 r 1

m+_m¹ 2

2

1

= 1

2 q 1

m²+2+_m¹₂ 4 4

= 1

q

m² 2 +_m¹2

= 1

q

m _m^{1 2}

= 1

m _m¹

= m

jm² 1j carm >0.

On a ainsi

d

dm argchm+_m¹

2 = 1

2argch⁰ m+_m¹ 2

d

dm m+ 1 m

= m

jm² 1j 1 1 m²

= m

jm² 1j m² 1

m²

= signe m² 1 1 m

= signe (lnm) d dm(lnm)

= d

dmjlnmj.

Par conséquent, la fonctionargch^{Id +}₂^Id1 lnj jest de dérivée nulle sur chacun des intervalles]0;1[et ]1;1[, donc est constante sur chacun de ces intervalles ; comme cette fonction est par ailleurs continue surR₊, elle vaut sur]0;1[sa limite en1 et elle vaut sur]1;1[ sa limite en1⁺. Finalement, cette fonction vaut constammant sa valeur en1, à savoir

argch1 +¹₁

2 lnj1j= argch 1 ln 1 = 0 0 = 0,c. q. f. d..

On aurait également pu poser l:= lnm (d’où l’on tirem=e^l) et calculer argchm+_m¹

2 = argche^l+e ^l 2

= argch chl

= argch chjlj car ch est paire

= jlj car jlj 0

= jlnmj.

(f) Soit t 2 ] 1;1[. Le réel argth_1+3t^3t+t32 fait sens ssi l’argument _1+3t^3t+t32 fait sens et appartient à l’ensemble ] 1;1[ de dé…nition de argth, i. e. ssi le dénominateur 1 + 3t² est non nul et si 1 <

3t+t³

1+3t² <1, ce qui équivaut à 1 3t²<3t+t³<1 + 3t², ou encore à t³ 3t²+ 3t 1<0 t³+ 3t²+ 3t+ 1>0 ,i. e.

à (t 1)³<0

(t+ 1)³>0 , ou encore (par stricte croissance deId³) à t 1<0

t+ 1>0 , ce qui est vrai.

Regardons alors la dérivée :

@

@t argth3t+t³

1 + 3t² = argth⁰ 3t+t³ 1 + 3t²

@

@t 3t+t³ 1 + 3t²

= 1

1 _1+3t^3t+t32

2

3 + 3t² 1 + 3t² 3t+t³ 6t (1 + 3t²)²

= 3 1 +t² 1 + 3t² 2t² t²+ 3 (1 + 3t²)² t²(3 +t²)²

= 3 1 + 4t²+ 3t⁴ 2t⁴ 6t² 1 + 6t²+ 9t⁴ 9t² 6t² t⁶

= 3 1 2t²+t⁴ 1 3t²+ 3t⁴ t⁶

= 3 1 t^{2 2} (1 t²)³

= 3

1 t²

= @

@t(3 argtht).

La fonction argth^{3 Id + Id}_{1+3 Id}2³ 3 argth est par conséquent de dérivée nulle sur ] 1;1[, donc y vaut constamment sa valeur en0, à savoir

argth3 0 + 0³

1 + 3 0² 3 argth 0 = argth 0 3 argth 0 = 0,c. q. f. d..

On aurait pu également poser a:= argtht(d’où l’on tiret= tha) et calculer argth3t t³

1 + 3t² = argth3 tha+ th³a 1 + 3 th²a

= argth th (3a)

= 3a

= 3 argtha.

(g) Soits2 ¹2;¹₂ .

Le réel arcsin 3s 4s³ fait sens ssi l’argument 3s 4s³ fait sens et appartient à l’ensemble [ 1;1] de dé…nition de arcsin, i. e. ssi 1 f(s) 1 où l’on a posé f := 3 Id 4 Id³. Puisque f⁰ = 3 12 Id² est du signe de ¹₄ Id² = ¹₂ Id ¹₂+ Id , la fonction f croît sur ¹₂;¹₂ . Au vu des valeursf ¹₂ = 1et f ¹₂ = 1, on peut conclure que fj[ ¹2;¹₂] prend ses valeurs dans [ 1;1], ce qui montre quearcsin 3s 4s³ fait sens.

De même, le réel _@s^@ arcsin 3s 4s³ fait sens ssi l’argument 3s 4s³ appartient à l’ensemble ] 1;1[de dérivabilité dearcsin,i. e.ssis2 ¹2;¹₂ .

Ainsi, en supposant de plusjsj< ¹₂, on peut calculer la dérivée

@

@sarcsin 3s 4s³ = arcsin⁰ 3s 4s³ @

@s 3s 4s³

= 1

q

1 (3s 4s³)²

3 1 4s²

= 3 1 4s²

p1 (9s² 24s⁴+ 16s⁶).

Puisque la somme des coe¢ cient des² au dénominateur fait1 9 + 24 16 = 0, on peut factoriser pars² 1, ce qui donne

1 9s²+ 24s⁴ 16s⁶= 1 s² 16s⁴ 8s²+ 1 = 1 s² 4s² 1 ². On peut alors poursuivre le calcul de dérivée :

@

@sarcsin 3s 4s³ = 3 1 4s² q

(1 s²) (4s² 1)²

= 3

p1 s²

1 4s² j4s² 1j

= 3

p1 s² car jsj< 1 2

= @

@s(3 arcsins).

Il en résulte que la fonctionarcsin 3 Id 4 Id³ 3 arcsin est de dérivée nulle sur ¹₂;¹₂ , elle y est donc constante et y vaut sa valeur en0, à savoirarcsin 3 0 4 0³ 3 arcsin 0 = 0, ce qui permet de conclure après véri…cation de l’identité voulue en ¹₂ :

arcsin 3¹₂ 4 ¹₂ ³ = 3 arcsin^{? 1}₂ ()arcsin 1= 3^? ₆ () 2

=? ₂, ce qui est vrai ; arcsin 3 ¹₂ 4 ¹₂ ³ = 3 arcsin^{? 1}₂ ()arcsin ( 1)= 3^? ₆ () 2

=? ₂, ce qui est vrai.

On pourrait également poser a := arcsins (qui appartient à arcsin¹₂;arcsin¹₂ = ₆;₆ ) (d’où l’on tires= sina) et calculer

arcsin 3s 4s³ = arcsin 3 sina 4 sin³a

= arcsin (sin 3a)

= 3a car3a2h 2;

2 i

= 3 arcsins.

(h) Soitx2R.

Le réelarctan shxfait sens ssi l’argumentshxfait sens et appartient à l’ensembleRde dé…nition dearctan, ce qui est vrai. De même, le réel _@x^@ (arctan shx)fait sens cararctanet shsont dérivable surR.

Le réel arcsin thx fait sens ssi l’argument thx fait sens et appartient à l’ensemble [ 1;1] de dé…nition dearcsin, ce qui est vrai. De même, le réel _@x^@ (arcsin thx)fait sens carthest dérivable sur Ret prend ses valeurs dans] 1;1[oùarcsinest dérivable.

On a alors

@

@x(arctan shx) = arctan⁰(shx) @

@xshx

= 1

1 + sh²x chx

= 1

ch²x chx

= 1

chx et

@

@xarcsin thx = arcsin⁰(thx) @

@xthx

= 1

p1 th²x 1 ch²x

= 1

q 1 ch²x

1 ch²x

= 1

chx car chx >0,

donc la fonctionarctan sh arcsin thest de dérivée nulle sur toutR; elle y est donc constante égale à sa valeur en0, à savoir

arctan sh (0) arcsin th (0) = 0 0,c. q. f. d..

On aurait également pu poser := arctan shx(qui appartient à ₂;₂ ) (d’où l’on tiretan = shxpuisx= argsh tan ) et calculer

arcsin thx = arcsin th argsh tan

= arcsin tan p1 + tan²

= arcsin

sin

qcos 1 cos²

= arcsin sin car cos >0

= car j j<

2

= arctan shx.

(i) Soit 2]0;1].

Le réel 2 arctan

q1 + arcsin (2 1) fait sens ssi l’argument ¹ fait sens et appartient à l’ensembleR+ de dé…nition dep

et si l’argument2 1appartient à celui[ 1;1]dearcsin, ce qui est vrai. De même, le réel _@^@ 2 arctan

q1 + arcsin (2 1) fait sens si l’argument ¹ fait sens et appartient à l’ensembleR₊ de dérivabilité dep

et si l’argument2 1appartient à celui] 1;1[

dearcsin,i. e.ssi 2]0;1[.

En supposant de plus <1, on peut ainsi dériver

@

@ 2 arctan r1

+ arcsin (2 1)

!

= 2 arctan⁰

r1 !

@

@ r1

+ arcsin⁰(2 1) @

@ (2 1)

= 2

1 +q

1 2

1

2

2q

1 + 1

q

1 (2 1)² 2

= 1

1 p1

p1 + 2 p4 4 ²

= 1

p (1 )+ 1 p ₂

= 0.

La fonction2 arctan q1 Id

Id + arcsin (2 Id 1)est donc constante sur]0;1[et y vaut sa valeur en ¹₂, à savoir

2 arctan

s1 ¹₂

1 2

+ arcsin 21

2 1 = 2 arctan 1 + arcsin 0 = 2

4 + 0 = 4, ce qui permet de conclure à condition de véri…er l’égalité voulue en1:

2 arctan

r1 1

1 + arcsin (2 1 1) = 2 arctan 0 + arcsin 1 = 0 + 2 =

2. On aurait également pu poser := arccosp

(qui appartient à 0;₂ ) (d’où l’on tire := cos² )

et calculer 2 arctan

r1

+ arcsin (2 1) = 2 arctan

r1 cos²

cos² + arcsin 2 cos² 1

= 2 arctan s

sin²

cos² + arcsin (cos 2 )

= 2 arctan tan + arcsin sin

2 2 car tan 0

= 2 +

2 2 car et

2 2 sont dans i 2;

2 h

= 2. (j) Soit 2] 1;0[.

Le réel arctan ¹ arctan ₊₁ + arctan₂¹2 fait sens ssi les trois arguments de arctan font sens, i. e. ssi les dénominateurs , + 1 et 2 ² sont non nuls, ce qui est vrai. De même, le réel

@

@ arctan ¹ arctan ₊₁ + arctan₂¹2 fait sens dès que les trois arguments font sens et appar- tient à l’ensembleRde dérivabilité dearctan, ce qui est vrai. Ce réel dérivé vaut alors

arctan⁰ 1 @

@

1 arctan⁰

+ 1

@

@ + 1+ arctan⁰ 1 2 ²

@

@ 1 2 ²

= 1

1 + ^{1 2} 1

2

1 1 + ₊₁ ²

+ 1

( + 1)² + 1 1 + ₂¹2

2

2 2 ³

= 1

2 ² 2 + 1

1 2 ²+ 2 + 1

4 4 ⁴+ 1

= 2 ²+ 2 + 1 2 ² 2 + 1 ((2 ²+ 1) 2 ) ((2 ²+ 1) + 2 )

4 4 ⁴+ 1

= 4

(2 ²+ 1)² 4 ² 4 4 ⁴+ 1

= 4

4 ⁴+ 1 4 4 ⁴+ 1

= 0.

La fonctionarctan^Id_Id¹ arctan_{Id +1}^Id + arctan_{2 Id}¹2 est ainsi de dérivée nulle sur] 1;0[, donc y est constante ; en prenant sa limite en0 , on trouve que cette constante vaut

arctanId 1

| {z }Id

| {z !1}

!2

arctan Id Id +1

| {z }

!0

| {z }

!0

+ arctan 1 2 Id²

| {z }

| {z !1}

!2

! 2 + 0 + 2 = .

On aurait également pu passer par les complexes en se souvenant que Arg (a+ib) = arctan_a^b pour tous réelsa >0 etb :

arctan 1

arctan

+ 1+ arctan 1 2 ²

= arctan1

+ arctan

+ 1+ arctan 1 2 ²

= Arg ( +i(1 )) + Arg ( + 1 i ) + Arg 2 ²+i

= Arg ( +i(1 )) ( + 1 i ) 2 ²+i [2 ]

= Arg 4 ⁴ 1

= ;

la réponse ne tenant quemodulo 2 , il manque quelque information, par exemple le fait que la somme cherchée, en tant que somme de trois arctangentes positivesarctan¹ + arctan ₊₁+ arctan₂¹2, est une somme de trois réels de 0;₂ , donc doit rester dans 0;³₂ . Puisque est le seul réel de cette intervalle valant modulo 2 , c’est la somme cherchée.