Applications des foncteurs strictement polynomiaux

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Applications des foncteurs strictement polynomiaux

van Tuan Pham

To cite this version:

van Tuan Pham. Applications des foncteurs strictement polynomiaux. Géométrie algébrique

[math.AG]. Université Sorbonne Paris Cité, 2015. Français. �NNT : 2015USPCD016�. �tel-01351328v2�

Universit´ e Paris 13 Nord Institut Galil´ ee Laboratoire Analyse, G´ eom´ etrie et Applications UMR 7539

N

^◦

attribu´e par la biblioth`eque

TH` ESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E PARIS 13 Discipline : ▼❛"❤$♠❛"✐'✉❡*

pr´esent´ee et soutenue publiquement par

❱❛♥ ❚✉❛♥ .❍❆▼

le 11 juin 2015 Titre :

Applications des foncteurs strictement polynomiaux

Directeur de th`ese :

Lionel SCHWARTZ

Co-directeur de th`ese :

Antoine TOUZ´ E

JURY

Pr´ esident : Patrick POLO Professeur (Universit´e Paris 6)

Rapporteurs : Randy McCARTHY Professeur (Universit´e de l’Illinois ` a Urbana-Champaign) Christine VESPA Maˆıtre de conf´erence (HDR) (Universit´e de Strasbourg) Examinateurs : Christian AUSONI Professeur (Universit´e Paris 13)

Benoit FRESSE Professeur (Universit´e Lille 1) Patrick POLO Professeur (Universit´e Paris 6) Lionel SCHWARTZ Professeur (Universit´e Paris 13)

Antoine TOUZ´ E Maˆıtre de conf´erence (HDR) (Universit´e Paris 13)

Christine VESPA Maˆıtre de conf´erence (HDR) (Universit´e de Strasbourg)

3

Remerciements

Ce m´emoire est l’occasion de saluer toutes les personnes qui m’ont permis, m’ont accompagn´e par leurs conseils ou leur soutien, de r´ealiser ce travail pendant quatre ans de doctorat au laboratoire analyse, g´eom´etrie et applications (LAGA) de l’universit´e Paris 13.

Je tiens tout d’abord ` a adresser mes remerciements les plus sinc`eres ` a mes deux directeurs de th`ese, Messieurs Lionel Schwartz et Antoine Touz´e, de m’avoir accept´e comme ´etudiant. La grande disponibilit´e, les conseils pr´ecieux et les soutiens constants de Lionel m’ont apport´e les chances de poursuivre mes ´etudes en France et m’ont orient´e vers les travaux d’Antoine Touz´e. Je le remercie ´egalement pour m’avoir initi´e au domaine de la topologie alg´ebrique notamment ` a travers le cours de topologie alg´ebrique et le stage de M2. Antoine Touz´e m’a confi´e un sujet vraiment int´eressant et riche. Il m’a non seulement guid´e, encourag´e, conseill´e pendant quatre ans avec la patience, la disponibilit´e mais aussi laiss´e une grande libert´e apr`es ses id´ees, ses questions. Cela me fait penser ` a une parole de Georg Cantor : To ask the right question is harder than to answer.

Je remercie Christian Ausoni, Benoit Fresse, Patrick Polo et Christine Vespa qui m’ont fait l’honneur d’ˆetre membres de mon jury. Je tiens ` a remercier parti- culi`erement mes deux rapporteurs : Randy McCarthy et Christine Vespa. Ils ont minutieusement lu une premi`ere version du manuscrit et y ont relev´e des erreurs, des incoh´erences. Leurs nombreuses remarques et suggestions ont beaucoup am´elior´e la qualit´e du manuscrit.

Je suis tr`es reconnaissant au LAGA et plus particuli`erement aux membres de l’´equipe de Topologie Alg´ebrique. J’ai grandement appr´eci´e la qualit´e de l’environ- nement scientifique qu’ils m’ont fourni avec les activit´es scientifiques dynamiques.

J’aimerais profiter de cette occasion pour remercier le personnel administratif et technique pour sa disponibilit´e, son efficacit´e et sa gentillesse.

Le plaisir que j’ai pu avoir `a faire des math´ematiques n’aurait pas ´et´e le mˆeme sans nombreux ´echanges passionnants avec Nguyen Dang Ho Hai, Nguyen The Cuong et Le Minh Ha. J’ai discust´e des probl`emes de math´ematique tout au long de ma th`ese avec Cuong et Hai. En particulier, faisant r´ef´erence ` a [CHN10] apr`es une suggestion de Hai m’a aid´e d’´eviter beaucoup de calculs non n´ecessaires. C’est aussi Hai qui m’a aid´e d’´etablir le th´eor`eme 4.2.23.

Ces remerciements seraient incomplets sans mentionner la pr´esence, tout au long de mes ´etudes en France, de mes amis vietnamiens : Hung, Khue, Tuan, Cuong, Phong, Diep, Quyet, Chiˆen, Tien, chi Phuong, Nga,...

Un grand merci ` a Minh Hoang pour ton soutien constant et ta pr´esence tout au long de ce travail.

Enfin, j’adresse toute mon affection ` a mes parents, mes grand-parents, mon fr`ere et ma soeur, qui m’ont accompagn´e, encourag´e et support´e depuis le d´ebut.

Merci ` a ceux qui, de pr`es ou de loin, m’ont soutenu et encourag´e.

A Minh Ho` ` ang

5

R´ esum´ e

Les travaux pr´esent´es dans cette th`ese concernent l’´etude des repr´esentations et la cohomologie des foncteurs strictement polynomiaux d’une ou plusieurs variables sur un corps k de caract´eristique p positive. Ces foncteurs d’une variable ont ´et´e in- troduits par Friedlander-Suslin dans leur article fondamental [FS97]. Des variantes

`

a plusieurs variables sont d´efinies dans [SFB97, FFSS99, FF08, Tou10].

Dans une premi`ere partie de la th`ese (chapitre 2), nous ´etudions l’influence de la torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions dans les cat´egories P

^k

(n) des foncteurs strictement polynomiaux. Notre r´esultat principal dans cette partie est le calcul d’extensions Ext

^∗_Pk(n)

X

^prd

◦ ⊠

ⁿ

, G

^(r)

, o` u X d´esigne l’un des symboles S, Λ, Γ ; le foncteur G

^(r)

est la r-torsion de Frobenius d’un foncteur G quelconque et ⊠

ⁿ

∈ P

^k

(n) est le foncteur (V

1

, . . . , V

n

) 7→ V

1

⊗ · · · ⊗ V

n

.

Dans une deuxi`eme partie de la th`ese (chapitre 3), nous utilisons les calculs du chapitre 2 pour ´etablir explicitement, sous les conditions n ≥ p

^r

ℓ, p > 2, l’alg`ebre de cohomologie H

_rat^∗

G

n

, S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

o` u G

n

d´esigne le groupe orthogonal O

n,n

ou le groupe symplectique Sp

n

et G

n

agit naturellement sur k

²ⁿ

par multiplication matricielle.

Dans une derri`ere partie (chapitre 4), nous utilisons la th´eorie des blocs de

la cat´egorie P

^k

des foncteurs strictement polynomiaux pour obtenir des r´esultats

d’annulation dans la th´eorie des foncteurs d´eriv´es au sens de Dold-Puppe [DP61] ou

dans la th´eorie des approximations de Taylor d’un foncteur selon Johnson-McCarthy

[JM04] (Goodwillie alg´ebrique).

Table des mati` eres

Chapitre 0. Introduction 11

0.1. Foncteurs strictement polynomiaux 11

0.2. Calculs des groupes d’extensions de foncteurs

strictement polynomiaux 13

0.3. Cohomologie rationnel des groupes classiques 17

0.4. Des r´esultats d’annulation 20

Chapitre 1. Rappels sur les cat´egories des foncteurs strictement polynomiaux 27

1.1. Introduction 27

1.2. Rappels g´en´eraux sur les cat´egories 27

1.3. Cat´egories des foncteurs strictement polynomiaux 35 1.4. Sch´emas en groupes affines et cohomologie rationnelle 46 Chapitre 2. Calculs des groupes d’extensions de foncteurs strictement

polynomiaux 51

2.1. Introduction 51

2.2. Brefs rappels sur les cat´egories d´eriv´ees 53

2.3. Structure mono¨ıdale de P

(d1,...,d_n)

57

2.4. Groupes d’extensions de la forme Ext

^∗Pk(n)

F, G

^(r)

59 2.5. D´efinition de la classe Formel (r, n) et premi`eres propri´et´es 62

2.6. Formalit´e et k -invariants 65

2.7. Etude de la classe ´ Formel (r, n) 70

Chapitre 3. Cohomologie des groupes classiques 77

3.1. Introduction 77

3.2. Pr´eparation 78

3.3. Calcul des groupes d’extensions Ext

^∗_Pk

Γ

^prd

◦ X, S

^µ(r)

81 3.4. Cohomologie des groupes orthogonaux et symplectiques 88

Chapitre 4. Des r´esultats d’annulation 93

4.1. Introduction 93

4.2. Th´eorie des blocs dans P

k

96

4.3. Foncteurs d´eriv´es non-additifs et calcul de Goodwillie alg´ebrique 108 4.4. R´esultats (quasiment) explicites de L

q

S

^d

(−, n) et H

q

D

n

S

^d

117 4.5. Blocs de L

q

S

^d

(−, n) et H

q

(D

n

S

^d

), et r´esultats d’annulation 123

Bibliographie 133

7

TABLE DES MATI`ERES 9

Conventions

Nous utilisons les conventions de notation suivantes : – k est un corps de caract´eristique p > 0.

– F

_p

est un corps de p ´el´ements et F

_p

est une clˆ oture alg´ebrique de F

_p

. – Z est l’ensemble des entiers, N est le sous-ensemble de Z des entiers naturels,

Z

_>0

est le sous-ensemble de N des entiers strictement positifs.

– S

_d

est le groupe sym´etrique de d lettres.

– E

r

est le k -espace vectoriel gradu´e de dimension finie, tel que (E

r

)

ⁱ

est ´egal

`

a k si i = 0, 2, . . . , 2p

^r

− 2 et 0 sinon.

– ⌊−⌋ est la fonction partie enti`ere.

– Si d est un entier naturel, on note α

p

(d) la somme des chiffres dans la d´ecomposition p-adique de d.

– Si A est une cat´egorie ab´elienne, on note Ch(A) la cat´egorie des complexes

sur A.

CHAPITRE 0

Introduction

Contents

0.1. Foncteurs strictement polynomiaux 11 0.1.1. Repr´esentations rationnelles du groupe g´en´eral lin´eaire 11

0.1.2. L’alg`ebre de Schur 12

0.1.3. Foncteurs strictement polynomiaux 13

0.2. Calculs des groupes d’extensions de foncteurs

strictement polynomiaux 13

0.2.1. Probl`eme g´en´eral 13

0.2.2. L’adjoint ` a gauche de la pr´ecomposition par la torsion de

Frobenius et la classe formelle 14

0.2.3. Formalit´e et k-invariants 15

0.2.4. R´esultats principaux 16

0.3. Cohomologie rationnel des groupes classiques 17

0.3.1. Le probl`eme et r´esultat principal 17

0.3.2. Lien avec les groupes d’extensions dans P

k

18

0.3.3. Etape 1 ´ 19

0.3.4. Etape 2 ´ 19

0.4. Des r´ esultats d’annulation 20

0.4.1. Le probl`eme 20

0.4.2. La th´eorie des blocs de P

_d

et le crit`ere d’annulation 21

0.4.3. Les foncteurs L( − , n) et D

n

22

0.4.4. R´esultats (quasiment) explicites de L

q

S

^d

( − , n) et H

q

! D

n

S

^d

23

0.4.5. R´esultats principaux 24

0.1. Foncteurs strictement polynomiaux

Les travaux pr´esent´es dans cette th`ese concernent l’´etude des repr´esentations et la cohomologie des foncteurs strictement polynomiaux d’une ou plusieurs variables.

Ces foncteurs d’une variable ont ´et´e introduits par Friedlander-Suslin dans leur article fondamental [FS97]. Des variantes ` a plusieurs variables sont d´efinies dans [SFB97, FFSS99, FF08, Tou10]. Nous introduisons bri`evement dans la section 0.1.1 les foncteurs strictement polynomiaux. Une pr´esentation d´etaill´ee est donn´ee dans le chapitre 1. Dans les trois sections suivantes, nous pr´esenterons nos r´esultats principaux qui correspondent aux trois chapitres 2, 3 et 4.

0.1.1. Repr´ esentations rationnelles du groupe g´ en´ eral lin´ eaire. On fixe un corps k de caract´eristique p positive. On d´esigne par GL

n,k

le groupe alg´ebrique g´en´eral lin´eaire. On rappelle qu’une repr´esentation rationnelle d’un groupe

11

alg´ebrique G est un k -espace vectoriel V muni d’un morphisme de groupes alg´ebriques ρ : G → GL

V

. Un morphisme de repr´esentations de source V et de but W de G est une application k -lin´eaire f : V → W telle que le diagramme suivant est commu- tatif :

G //

GL

W

GL

V

.

::

La repr´esentation rationnelle (V, ρ) est dite polynomiale si le morphisme ρ peut s’´etendre en un morphisme de mono¨ıdes End

n,k

→ End

V

.

On d´esigne par Rat

GLn,k

(resp. Pol

GLn,k

) la cat´egorie ab´elienne des repr´esentations rationnelles (resp. polynomiales) de GL

n,k

. Par d´efinition, Pol

GLn,k

est une sous- cat´egorie pleine de la cat´egorie Rat

GLn,k

. D’apr`es Friedlander-Suslin [FS97], l’in- clusion P ol

GLn,k

֒ → Rat

GLn,k

induit des isomorphismes de groupes d’extensions.

Th´ eor` eme 0.1.1 . Soient M, N deux repr´esentations polynomiales de GL

n,k

. Le morphisme canonique suivant est un isomorphisme :

(0.1.1) Ext

^∗_PolGL

n,k

(M, N) → Ext

^∗_RatGL

n,k

(M, N ) .

Dans la suite, nous ne nous int´eressons qu’aux repr´esentations polynomiales de GL

n,k

.

Une des propri´et´es importantes du groupe GL

1,k

est la semisimplicit´e de ses repr´esentations polynomiales. Pr´ecis´ement, si V est une repr´esentation polynomiale de GL

1,k

, alors (V, ρ) se d´ecompose en une somme directe (V, ρ) = L

d∈N

(V

d

, ρ

d

) de sous-repr´esentations, o` u l’action de GL

1,k

sur V

d

est donn´ee par ρ

d

(λ)(v) = ρ(λ)

^d

(v) o` u λ ∈ GL

1,k

et v ∈ V

d

.

Soit (V, ρ) une repr´esentation polynomiale de GL

n,k

. On restreint l’action au sous-groupe GL

1,k

des homoth´eties, on obtient une d´ecomposition (V, ρ) = L

d∈N

(V

d

, ρ

d

).

Comme les homoth´eties appartiennent au centre de GL

n,k

, les V

d

sont stables par l’action de GL

n,k

. La repr´esentation (V, ρ) est dite homog`ene de degr´e d si V = V

d

. On note P ol

d,GLn,k

la sous cat´egorie pleine de Pol

GLn,k

dont les objets sont des repr´esentions homog`enes de degr´e d. On a donc une d´ecomposition

(0.1.2) Pol

GLn,k

= Y

d∈N

Pol

d,GLn,k

.

0.1.2. L’alg` ebre de Schur. La cat´egorie P ol

d,GLn,k

est ´equivalente ` a la cat´egorie des modules sur une alg`ebre de dimension finie, appel´ee alg`ebre de Schur. Ces alg`ebres apparaissent dans les travaux de Schur [Sch73a] sur les repr´esentations polynomiales de GL

n,C

. Le rˆ ole de cette alg`ebre est soulign´e par Green [Gre07].

Pr´ecis´ement, le groupe sym´etrique S

_d

agit sur ( k

ⁿ

)

^⊗d

par permutation des fac- teurs. L’alg`ebre de Schur S

^k

(n, d) est l’alg`ebre des endomorphismes S

_d

-´equivariants de ( k

ⁿ

)

^⊗d

, c’est-` a-dire qu’on a S

^k

(n, d) = End

^kS_d

( k

ⁿ

)

^⊗d

. On a donc une ´equivalence de cat´egories [Gre07] :

(0.1.3) Pol

d,GLn,k

≃ S

^k

(n, d) -Mod .

0.2. CALCULS DES GROUPES D’EXTENSIONS DE FONCTEURS STRICTEMENT POLYNOMIAUX13

0.1.3. Foncteurs strictement polynomiaux. Dans ce paragraphe, nous in- troduisons les foncteurs strictement polynomiaux en suivant Pirashvili [Pir03].

Le foncteur canonique S(n, d) -Mod → S(n + 1, d) -Mod qui envoie un S(n, d)- module M vers Hom

^kSd

( k

ⁿ

)

^⊗d

, k

ⁿ⁺¹

⊗d

⊗

S(n,d)

M est une ´equivalence de cat´egories si n ≥ d [Gre07]. On cherche une cat´egorie qui ne d´epend que de d et qui contient les informations stables des repr´esentations sur S(n, d).

De fa¸con analogue ` a la th´eorie des repr´esentations g´en´eriques de Kuhn [Kuh94], on consid`ere la cat´egorie de Schur Γ

^d

V

k

. Les objets de Γ

^d

V

k

sont ceux de V

k

, c’est-

`

a-dire les k -espaces vectoriels de dimension finie. Les morphismes dans Γ

^d

V

^k

sont donn´es par Hom

_Γ^dVk

(V, W ) = Hom

^kSd

V

^⊗d

, W

^⊗d

.

Par la d´efinition, on a End

Γ^dVk

( k

ⁿ

) = S

^k

(n, d). Un foncteur strictement poly- nomial homog`ene de degr´e d est un foncteur k -lin´eaire de Γ

^d

V

^k

vers V

^k

. On note P

d

la cat´egorie des foncteurs strictement polynomiaux homog`enes de degr´e d et P

^k

la somme directe des cat´egories P

d

avec d = 0, 1, . . .

(0.1.4) P

k

= M

d∈N

P

d

.

Soit d = (d

1

, . . . , d

n

) un n-uplet d’entiers naturels. On note Γ

^d

V

^k

la cat´egorie N

n

i=1

Γ

^di

V

k

. On note par P

d

la cat´egorie des foncteurs k -lin´eaires de Γ

^d

V

k

vers la cat´egorie V

^k

. Un objet de cette cat´egorie est appel´e un foncteur strictement polynomial homog`ene de degr´e d. On note P

^k

(n) la somme des cat´egories P

d

pour tous les n-uplets d’entiers naturels d.

Notation 0.1.2 (Section 1.3) . Soient F, G ∈ P

d

et V un n-uplet d’objets de V

k

.

(1) On d´esigne respectivement ⊗

^d

, S

^d

, Λ

^d

, Γ

^d

le foncteur d-i`eme puissance ten- sorielle, d-i`eme puissance sym´etrique, d-i`eme puissance ext´erieure, d-i`eme puissance divis´ee.

(2) Le dual F

^♯

du foncteur F est d´efini par F

^♯

(V ) = F V

^∨

∨

o` u (−)

^∨

est la dualit´e k -lin´eaire.

(3) Le foncteur ` a param`etre F

V

est d´efini par F

V

(W) = F (V

1

⊗ W

1

, . . . , V

n

⊗ W

n

), o` u W est un n-uplet d’objets de V

^k

. On d´esigne par F

^V

le foncteur F

V^∨

.

(4) Le foncteur Hom-interne Hom

Pd

(F, G) ∈ P

d

est d´efini par Hom

_Pd

(F, G) (V ) ≃ Hom

Pd

F, G

V

.

(5) On note Ch(P

d

) la cat´egorie des complexes sur P

d

et D

^b

P

d

la cat´egorie d´eriv´ee born´ee de la cat´egorie P

d

.

(6) On note RHom

P_d

(−, −) le foncteur d´eriv´e total ` a droite du foncteur Hom- interne.

0.2. Calculs des groupes d’extensions de foncteurs strictement polynomiaux

0.2.1. Probl` eme g´ en´ eral. Dans le chapitre 2, nous ´etudions l’influence de la

torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions dans les cat´egories des foncteurs

strictement polynomiaux. La pr´ecomposition par le foncteur de r-i`eme torsion de

Frobenius I

^(r)

∈ P

p^r

induit un foncteur (−)

^(r)

: P

d

→ P

p^rd

. Le probl`eme que nous consid´erons est le suivant.

Probl` eme 0.2.1 . Etudier des groupes d’extensions de la forme suivante, o` ´ u F ∈ P

p^rd

et G ∈ P

d

:

(0.2.1) Ext

^∗_{Ppr d}

F, G

^(r)

.

Pourquoi nous int´eressons-nous aux groupes d’extensions de la forme abstraite (0.2.1) ? La r´eponse est que pour calculer des cohomologies du groupe orthogonal O

n,n

et symplectique Sp

n

dans le chapitre suivant, nous avons besoin de calculer des groupes d’extensions de la forme

Ext

^∗Pk

Γ

^prd

◦ ⊗

ⁿ

, G

^(r)

. On donne des cas particuliers de (0.2.1).

– L’´etude des groupes d’extensions de la forme

(0.2.2) Ext

^∗_{Ppr d}

F

^(r)

, G

^(r)

a ´et´e effectu´ee dans [FS97, FFSS99, Cha05, Cha11, Tou12, Tou13a].

– L’´etude des groupes d’extensions de la forme Ext

^∗_{Ppr d}

Λ

^prd

, G

^(r)

, Ext

^∗_{Ppr d}

S

^prd

, G

^(r)

est une application de la th´eorie de dualit´e de Ringel d´evelopp´ee par Cha!lupnik [Cha08] sous le nom ”dualit´e de Koszul”, voir aussi [Tou13c].

– L’´etude des groupes d’extensions de la forme Ext

^∗P(pr d,pr d)

Γ

^prd

◦ ⊠

²

, G

^(r)

a ´et´e effectu´ee dans [Tou13a].

Pour obtenir des calculs d’extensions du type (0.2.1) (voir le th´eor`eme 0.2.13) on adaptera la m´ethode d´evelopp´ee dans [Cha11, Tou13a] et aussi les r´esultats ci- dessus dans les cas particuliers.

0.2.2. L’adjoint ` a gauche de la pr´ ecomposition par la torsion de Fro- benius et la classe formelle. Pour calculer les groupes d’extensions (0.2.2), l’id´ee de Cha!lupnik est d’utiliser l’adjoint de la pr´ecomposition par la torsion de Frobe- nius.

Pour chaque entier naturel r, on note ℓ

^r

: P

p^rd

→ P

d

l’adjoint ` a gauche du foncteur (−)

^(r)

: P

d

→ P

p^rd

. La formule explicite de ℓ

^r

est la suivante :

ℓ

^r

(F )

^♯

(V ) = Hom

Ppr d

F,

S

V^⊠d

♯

L’isomorphisme d’adjonction induit des isomorphismes naturels en F ∈ P

p^rd

et G ∈ P

d

, o` u Lℓ

^r

est le foncteur d´eriv´e total ` a gauche de ℓ

^r

:

R Hom

Ppr d

F, G

^(r)

≃ R Hom

Pd

(Lℓ

^r

(F ), G) , (0.2.3)

Lℓ

^r

(F )

^(r)

≃ RHom

Pk

F, S

^⊠d(r)

.

Comme une application de (0.2.3), on a le r´esultat suivant.

0.2. CALCULS DES GROUPES D’EXTENSIONS DE FONCTEURS STRICTEMENT POLYNOMIAUX15

Proposition 0.2.2 (Corollaire 2.4.7) . Soient F ∈ P

p^rd

et G ∈ P

d

. Si le complexe Lℓ

^r

(F ) est formel, c’est-` a-dire qu’il existe un isomorphisme Lℓ

^r

(F ) ≃ H

∗

Lℓ

^r

(F ) dans la cat´egorie d´eriv´ee D

^b

P

d

, alors pour tout k on a un isomor- phisme naturel en G :

(0.2.4) Ext

^k_{Ppr d}

F, G

^(r)

≃ M

i+j=k

Ext

ⁱ_Pd

(H

j

Lℓ

^r

(F ), G)

^(r)

. La proposition 0.2.2 conduit ` a introduire les notations suivantes.

D´ efinition 0.2.3 (D´ efinition 2.5.1) . Soient r, n deux entiers naturels, n >

0. On d´esigne par Formel (r, n) la classe des foncteurs strictement polynomiaux F de n variables tels que le complexe Lℓ

^r

(F ) est formel.

Nous donnons quelques exemples et quelques propri´et´es simples de la classe Formel (r, n).

Exemple 0.2.4 (Exemple 2.5.3) . (1) La classe Formel (0, n) contient tous les foncteurs strictement polynomiaux.

(2) Si F ∈ P

k

(n) est un foncteur homog`ene de degr´e d qui n’est pas un multiple de p, alors F ∈ Formel (r, n) pour tout r.

(3) Si le foncteur F est projectif, il appartient ` a Formel (r, n) pour tout r.

Proposition 0.2.5 (Propositions 2.5.5, 2.5.8) .

(1) La classe Formel (r, n) est stable par les op´erations suivantes : la somme directe, le produit tensoriel, le foncteur ` a param`etre.

(2) Si F ∈ Formel (r, n) alors F ◦ ∆

n

∈ Formel (r, 1), o` u ∆

n

: V

^k

→ V

k^×n

est le foncteur diagonal.

0.2.3. Formalit´ e et k -invariants. En utilisant la th´eorie des k -invariants alg´ebriques de Dold [Dol60], on peut d´emontrer le r´esultat g´en´eral suivant.

Th´ eor` eme 0.2.6 (Th´ eor` eme 2.6.5) . Soient A, B deux cat´egories ab´eliennes.

Soit φ : A → B un foncteur exact. Les deux conditions suivantes sur le foncteur φ sont ´equivalentes :

(1) Le complexe C ∈ D

^b

(A) est formel d`es que le complexe φ(C) est formel.

(2) Pour i ≥ 2, les applications Ext

ⁱA

(A, B) → Ext

ⁱB

(φA, φB) induites par φ sont des monomorphismes.

En utilisant ce th´eor`eme et l’injectivit´e de la torsion de Frobenius, on obtient le th´eor`eme suivant qui est une g´en´eralisation ` a plusieurs variables d’un r´esultat de van der Kallen [vdK13].

Th´ eor` eme 0.2.7 (Th´ eor` eme 2.6.12) . Soient C ∈ Ch P

d

un complexe fini et r un entier naturel. Le complexe C est formel si et seulement si le complexe C

^(r)

l’est aussi.

Une autre application directe du th´eor`eme 0.2.6 est le r´esultat suivant, qui donne un lien entre la formalit´e et la param´etrisation.

Proposition 0.2.8 (Proposition 2.6.14) . Soient C ∈ Ch P

d

un complexe fini et r un entier naturel. Les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

(1) Le complexe C est formel.

(2) Le complexe C

V

est formel pour tous les n-uplets V d’objets de V

k

. (3) Il existe un n-uplet V d’objets de V

k

tel que V

i

6= 0 pour tout i et que le

complexe C

V

est formel.

0.2.4. R´ esultats principaux. Nous continuons d’´etudier la classe Formel (r, n).

De plus, pour obtenir des calculs explicites, il faut ´egalement d´eterminer explicite- ment H

∗

Lℓ

^r

(F ) pour F ∈ Formel (r, n).

Pour chaque entier naturel r, on note E

r

le k -espace vectoriel gradu´e de dimen- sion totale finie d´efini par (E

r

)

ⁱ

´etant ´egal ` a k si i = 0, 2, . . . , 2p

^r

− 2 et 0 sinon.

Le r´esultat important suivant est la version ` a param`etre d’un cas particulier de [Tou12, Lemma 4.4 et Theorem 4.6] (voir aussi [Tou13a, Proposition 13]).

Th´ eor` eme 0.2.9 (Touz´e) . Soit F ∈ P

d

. Il existe un isomorphisme naturel en F :

RHom

Pk

F

^(r)

, S

^d(r)

≃ F

^Er

♯(r)

.

Dans le th´eor`eme suivant, nous g´en´eralisons le th´eor`eme 0.2.9 ` a plusieurs va- riables et nous en tirons les cons´equences pour la classe Formel (r, n).

Th´ eor` eme 0.2.10 (Th´ eor` eme 2.7.3) . Soient F, G deux foncteurs strictement polynomiaux de n variables.

(1) Le foncteur F

^(r)

appartient ` a Formel (r, n) et H

∗

Lℓ

^r

F

^(r)

≃ F

^∆n(Er)

. (2) Il existe un isomorphisme naturel en G

Ext

^∗Pk(n)

F

^(r)

, G

^(r)

≃ Ext

^∗Pk(n)

F

^∆n(Er)

, G

(r)

.

(3) Si F appartient ` a la classe Formel (r, n) alors F

⁽¹⁾

appartient ` a la classe Formel (r + 1, n). De plus, on a H

∗

Lℓ

^r+1

F

⁽¹⁾

≃ H

∗

Lℓ

^r

(F )

^∆n(E1)

. (4) R´eciproquement, si un foncteur F

⁽¹⁾

appartient ` a la classe Formel (r+1, n),

alors F appartient ` a la classe Formel (r, n).

Ensuite, nous rappelons un th´eor`eme de Cha!lupnik [Cha08]. Si X d´esigne l’un des symboles Γ, Λ, S , on note ǫ

X

l’entier 0, 1, 2 respectivement.

Th´ eor` eme 0.2.11 (Cha!lupnik) . Soit X l’un des symboles Γ, Λ, S. On a un isomorphisme

RHom

Pk

X

^prd

, S

^d(r)

≃ X

^d♯(r)

[ǫ

X

(p

^r

d − d)] .

Pour d´emontrer notre r´esultat final, nous avons besoin d’une formule qui g´en´eralise le r´esultat suivant de Franjou-Friedlander [FF08, Proposition 2.2], o` u F

1

, F

2

sont des objets de P

^k

et F

1

⊠ F

2

∈ P

^k

(2) est le foncteur (V

1

, V

1

) 7→ F

1

(V

1

) ⊗ F

2

(V

2

) :

Hom

Pk(2)

Γ

^d

◦ ⊠

²

, F

1

⊠ F

2

≃ Hom

Pk

F

₁^♯

, F

2

, R Hom

Pk(2)

Γ

^d

◦ ⊠

²

, F

1

⊠ F

2

≃ R Hom

Pk

F

₁^♯

, F

2

. On d´efinit F

1

⊗

Pk

F

2

le foncteur Hom

Pk

F

1

, F

₂^♯

♯

. On obtient un produit mono¨ıdal

sym´etrique de P

d

. On note ⊗

^L_Pk

le foncteur d´eriv´e total ` a gauche de ⊗

Pk

.

0.3. COHOMOLOGIE RATIONNEL DES GROUPES CLASSIQUES 17

Th´ eor` eme 0.2.12 (Th´ eor` eme 2.7.5) . Soient F

1

, . . . , F

n

et F des objets de P

d

. On a des isomorphismes naturels en F

1

, . . . , F

n

et F :

Hom

Pk(n)

F ◦ ⊠

ⁿ

,

n i=1

⊠ F

i

≃

F ⊗

Pk

F

₁^♯

⊗

Pk

· · · ⊗

Pk

F

n^♯

♯

◦ ⊠

ⁿ

, (0.2.5)

RHom

_Pk(n)

F ◦ ⊠

ⁿ

,

n i=1

⊠ F

i

≃

F ⊗

^L_Pk

F

₁^♯

⊗

^L_Pk

· · · ⊗

^L_Pk

F

_n^♯

♯

◦ ⊠

ⁿ

. (0.2.6)

En utilisant les th´eor`emes 0.2.11 et 0.2.12, on obtient le r´esultat suivant.

Th´ eor` eme 0.2.13 (Th´ eor` eme 2.7.10) . Soit X l’un des symboles Γ, Λ, S. Soient F ∈ P

^k

et G ∈ P

^k

(n).

(1) Le foncteur X

^d

◦ ⊠

ⁿ

appartient ` a Formel (r, n) pour tout r et Lℓ

^r

(X

^d

◦ ⊠

ⁿ

) est isomorphe ` a X

^e,Er⊗n−1

[ǫ

X

(d − e)] ◦ ⊠

ⁿ

si d est de la forme p

^r

e, e ∈ N et ` a 0 sinon.

(2) Le foncteur X

^d

◦ ⊗

ⁿ

appartient ` a Formel (r, 1) pour tout r et Lℓ

^r

(X

^d

◦ ⊗

ⁿ

) est isomorphe ` a X

^e,Er⊗n−1

[ǫ

X

(d − e)] ◦ ⊗

ⁿ

si d est de la forme p

^r

e, e ∈ N et ` a 0 sinon.

(3) Il existe des isomorphismes gradu´es naturels en F, G : Ext

^∗_Pk(n)

X

^prd

◦ ⊠

ⁿ

, G

^(r)

≃ Ext

^∗−ǫ_Pk(n)^X(prd−d)

X

^d,Er⊗n−1

◦ ⊠

ⁿ

, G

(r)

, Ext

^∗_Pk

X

^prd

◦ ⊗

ⁿ

, F

^(r)

≃ Ext

^∗−ǫ_Pk ^X(prd−d)

X

^d,Er⊗n−1

◦ ⊗

ⁿ

, F

(r)

. 0.3. Cohomologie rationnel des groupes classiques

0.3.1. Le probl` eme et r´ esultat principal. Dans ce chapitre, on suppose que la caract´eristique p du corps k est impaire. Le but de cette section est de calculer compl`etement un exemple d’alg`ebres de cohomologie pour les groupes alg´ebriques symplectiques Sp

n

ou orthogonaux O

n,n

. Plus pr´ecis´ement, si G

n

= Sp

n

ou O

n,n

, alors G

n

agit naturellement sur l’espace vectoriel k

²ⁿ

(par multiplication matri- cielle).

En appliquant le r-`eme foncteur de torsion de Frobenius (pour r ≥ 0), et en prenant ℓ copies de la repr´esentation obtenue, on obtient donc une action de G

n

sur k

^2n(r)⊕ℓ

, donc une action par automorphismes d’alg`ebres sur la k -alg`ebre S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

des polynˆ omes sur k

^2n(r)⊕ℓ

, o` u k

^2n∨

d´esigne la repr´esentation duale de k

²ⁿ

. Le probl`eme auquel nous nous int´eressons dans ce chapitre est le suivant.

Probl` eme 0.3.1 . Calculer explicitement l’alg`ebre de cohomologie :

(0.3.1) H

_rat^∗

G

n

, S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

.

Les sous-alg`ebres de cohomologie (0.3.1) de degr´e z´ero, ne d´ependent pas de r (car appliquer la torsion de Frobenius ne change pas les invariants). Si r = 0, la cohomologie est nulle en degr´e strictement positif, et les th´eor`emes fondamentaux de la th´eorie des invariants des groupes symplectiques et orthogonaux [dCP76]

donnent des g´en´erateurs et des relations explicites des k -alg`ebres (0.3.1). Nous rap- pelons maintenant ces ´enonc´es. Pour traiter les deux cas simultan´ement, on intro- duit quelques notations. On d´esigne par (e

^∨i

) la base duale de la base canonique de k

²ⁿ

. Pour chacun des groupes G

n

on d´efinit un foncteur X

G

, un ´el´ement particulier ω

Gn

∈ X

G

( k

²ⁿ

) et un ensemble de paires d’indices entiers I

_G

n

de la fa¸con suivante.

G

n

Sp

n

O

n,n

X

G

Λ

²

S

²

ω

Gn

P

n

i=1

e

^∨i

∧ e

^∨_n+i

P

n

i=1

e

^∨i

e

^∨_n+i

I

_G

n

{(i, j) : 1 ≤ i < j ≤ ℓ} {(i, j) : 1 ≤ i ≤ j ≤ ℓ}

On d´efinit des invariants (i|j)

Gn

∈ S

²

k

^2n∨⊕ℓ

avec (i, j ) ∈ I

_G

n

sous l’action de G

n

en posant

(i|j)

Gn

(x

1

, ..., x

ℓ

) = ω

Gn

(x

i

, x

j

).

Les th´eor`emes fondamentaux donnent l’alg`ebre d’invariants H

rat⁰

G

n

, S

^∗

k

^2n∨⊕ℓ

en fonction des ´el´ements (i|j)

Gn

.

Th´ eor` eme 0.3.2 ([dCP76]) . L’ensemble {(i|j)

G_n

: (i, j) ∈ I

_G

n

} est un syst`eme de g´en´erateurs de l’alg`ebre H

_rat⁰

G

n

, S

^∗

k

^2n∨⊕ℓ

. De plus, si n ≥ ℓ, il n’y a pas de relation entre les (i|j)

G_n

.

Notre r´esultat principal dans ce chapitre 3 est le th´eor`eme suivant.

Th´ eor` eme 0.3.3 (Th´ eor` eme 3.4.11) . Si n ≥ p

^r

ℓ, l’alg`ebre de cohomologie H

_rat^∗

G

n

, S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

est une alg`ebre sym´etrique sur un ensemble de g´en´erateurs

(0.3.2) (h|i|j)

Gn

∈ H

_rat^2h

G

n

, S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

o` u 0 ≤ h < p

^r

, 0 ≤ i ≤ j ≤ ℓ et i 6= j si G

n

est le groupe symplectique Sp

n

. De plus, il n’y a pas de relation entre les (h|i|j)

G_n

.

Le cas r = 0 du th´eor`eme 0.3.3 correspond ` a un cas particulier du th´eor`eme 0.3.2. Nous ne savons pas si les ´el´ements (h|i|j) forment un syst`eme de g´en´erateurs de l’alg`ebre (0.3.1) si n < p

^r

ℓ.

Nous remarquons enfin que pour n ≥ p

^r

min{k, ℓ} l’alg`ebre de cohomologie H

_rat^∗

GL

n,k

, S

^∗

k

^n∨(r)⊕k

⊕ k

^n(r)⊕ℓ

est calcul´ee dans [Tou12, Theorem 6.15] par Touz´e. En fait, le th´eor`eme 0.3.3 ci-dessus est la version pour les groupes symplec- tiques et orthogonaux d’un r´esultat de Touz´e.

0.3.2. Lien avec les groupes d’extensions dans P

^k

. Nous rappelons, d’apr`es [Tou10], le lien entre la cohomologie des groupes symplectiques et orthogonaux et les calculs d’extensions dans P

^k

. La forme standard ω

G

∈ X

G

( k

²ⁿ

) est inva- riante sous l’action de G

n

. On a donc une application G

n

-´equivariante ι

d

: k → Γ

^d

X

G

k

^2n∨

qui envoie λ sur λω

_G^⊗d_n

.

On d´efinit alors une application gradu´ee compatible aux cup produits, not´ee φ

Gn,F

, par ´evaluation sur k

^2n∨

et par restriction le long de ι

d

:

(0.3.3) φ

Gn,F

: Ext

^∗Pk

Γ

^prd

◦ X

G

, F

→ H

_rat^∗

G

n

, F k

^2n∨

.

Th´ eor` eme 0.3.4 ([Tou10]) . Soit F un foncteur strictement polynomial ho-

mog`ene de degr´e d. Si 2n ≥ d alors le morphisme φ

G_n,F

de (0.3.1) est un isomor-

phisme.

0.3. COHOMOLOGIE RATIONNEL DES GROUPES CLASSIQUES 19

L’alg`ebre de cohomologie (0.3.1) peut ˆetre d´ecompos´ee dans la forme suivante : H

_rat^∗

G

n

, S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

= M

d≥0

H

_rat^∗

G

n

, S

^d

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

= M

d≥0

H

_rat^∗

G

n

, S

^d(r)kℓ

k

^2n∨

.

En utilisant les morphismes (0.3.3) et la d´ecomposition ci-dessus, on obtient un morphisme de k -alg`ebres gradu´ees Φ

G_n

= L

d≥0

φ

_G

n,S_kℓ^2d(r)

:

(0.3.4) M

d≥0

Ext

^∗Pk

Γ

^prd

◦ X

G

, S

k^2d(r)ℓ

_Φ

−−−→

Gn

H

_rat^∗

G

n

, S

^∗

k

^{2n∨(r)⊕ℓ}

. La d´emonstration du th´eor`eme 0.3.3 est donc divis´ee en deux ´etapes : Etape 1 : ´ Nous calculons l’alg`ebre ` a la source du morphisme Φ

Gn

.

Etape 2 : ´ Nous montrons que le morphisme Φ

Gn

est un isomorphisme si n ≥ p

^r

ℓ. Pour cela, on utilise la notion des foncteurs n-cor´esolus introduite par Touz´e [Tou12] pour r´esoudre un probl`eme analogue.

0.3.3. ´ Etape 1. L’objectif de cette ´etape est de d´emontrer le lemme suivant, o` u E

r

est l’espace vectoriel gradu´e donn´e par (E

r

)

ⁱ

= k si i = 0, 2, . . . , 2p

^r

− 2 et 0 sinon.

Lemme 0.3.5 ( Lemme 3.4.4 ) . Il existe un isomorphisme d’alg`ebres M

d≥0

Ext

^∗Pk

Γ

^prd

◦ X

G

, S

k^d(r)ℓ

≃ S

^∗

E

r

⊗ X

G

( k

^ℓ

) .

Pour la d´emonstration, on remarque que X

G

est un facteur direct de ⊗

²

car p >

2. Il suffit alors de calculer les groupes d’extensions compatibles avec les produits et naturels en ⊗

²

:

(0.3.5) Ext

^∗_Pk

Γ

^prd

◦ ⊗

²

, S

k^2d(r)ℓ

.

D’apr`es le chapitre 2, ce groupe (0.3.5) est isomorphe ` a Hom

Pk

Γ

^d,E⊗r

◦ ⊗

²

, S

^2dk2ℓ

. Mais nous ne savons pas d´emontrer la compatibilit´e de cet isomorphisme avec les produits et l’action de S

₂

. Il faut donc ´etablir un isomorphisme similaire qui est compatible avec les produits et l’action du groupe sym´etrique S

₂

. La construction du nouvel isomorphisme utilise de fa¸con essentielle l’ancien isomorphisme.

0.3.4. ´ Etape 2. Pour calculer les alg`ebres de cohomologie (0.3.1), nous avons besoin de calculer des groupes de cohomologie de la forme H

_rat^∗

G

n

, F( k

^2n∨

)

pour 2n < deg F , c’est ` a dire en dehors des valeurs de n dans le th´eor`eme 0.3.4. Nous allons cependant montrer que pour ces mauvaises valeurs de n, le morphisme φ

Gn,F

reste un isomorphisme pour les foncteurs F consid´er´es. Nous utilisons pour cela la notion de foncteur n-cor´esolu introduite dans [Tou12]. Soient F ∈ P

d

et n un entier positif. On rappelle que le morphisme θ

F

= θ

F,kⁿ

: Γ

^d,kn

⊗ F ( k

ⁿ

) → F est d´efini pour tout V ∈ V

^k

par

Γ

^d

(Hom ( k

ⁿ

, V )) ⊗ F ( k

ⁿ

) → F (V ), f ⊗ x 7→ F (f)(x).

De fa¸con duale, on a un morphisme (θ

F^♯

)

^♯

: F → S

k^dn

⊗ F ( k

^n∨

).

D´ efinition 0.3.6 (D´ efinition 3.4.5) . Un foncteur F ∈ P

d

est dit n-coengendr´e si θ

F^♯

est un ´epimorphisme, ou de mani`ere ´equivalente, si (θ

F^♯

)

^♯

est un monomor- phisme.

Un foncteur F ∈ P

d

est dit n-cor´esolu s’il existe une cor´esolution injective J

_F^•

de F telle que les foncteurs injectifs J

Fⁱ

sont des foncteurs n-coengendr´es.

Les cor´esolutions de Troesch [Tro05] des foncteurs S

k^d(r)ℓ

sont des p

^r

-cor´esolutions.

Th´ eor` eme 0.3.7 (Th´ eor` eme 3.4.10) . Soit F ∈ P

d

un foncteur 2n-cor´esolu.

Le morphisme φ

G_n,F

est alors un isomorphisme.

Par cons´equence, si n ≥ p

^r

ℓ, le morphisme Φ

Gn

est un isomorphisme.

0.4. Des r´ esultats d’annulation

Dans ce chapitre 4, on utilise la th´eorie des blocs de la cat´egorie P

^k

des foncteurs strictement polynomiaux pour obtenir des r´esultats d’annulation dans la th´eorie des foncteurs d´eriv´es au sens de Dold-Puppe [DP61] ou dans la th´eorie des ap- proximations de Taylor d’un foncteur selon Johnson-McCarthy [JM04] (Goodwillie alg´ebrique).

0.4.1. Le probl` eme. Soit F : Vect

^k

→ Vect

^k

un foncteur. Pour ´etudier le foncteur F , on dispose de plusieurs th´eories de d´erivation de F :

(1) La th´eorie des foncteurs d´eriv´es au sens de Dold-Puppe [DP61]. Pour chaque paire (q, n) d’entiers naturels, on a un foncteur L

q

F (−, n) : Vect

^k

→ Vect

^k

par la formule

(0.4.1) L

q

F (V, n) = H

q

N F K(V [−n]), V ∈ Vect

^k

o` u les foncteurs N : s Vect

^k

⇄ Ch

≥0

(Vect

^k

) : K sont donn´es par l’´equivalence de Dold-Kan.

(2) La th´eorie des approximations de Taylor d’un foncteur selon Johnson- McCarthy [JM04] (Goodwillie alg´ebrique). Pour chaque paire (q, n) d’en- tiers naturels, on a un foncteur H

q

(D

n

F ) : Vect

^k

→ Vect

^k

.

(0.4.2) .. .

P

3

F

D

3

F

oo

P

2

F

D

2

F

oo

F // == FF

P

1

F oo D

1

F

Les deux th´eories sont reli´ees par les isomorphismes suivants : (0.4.3) H

q

(D

1

F ) ≃ L

q+n

F (−, n), n ≥ q.

Le probl`eme g´en´eral est le suivant.

Probl` eme 0.4.1 . Calculer explicitement les foncteurs d´eriv´es L

q

F (−, n) et

H

q

(D

n

F ).

0.4. DES R´ESULTATS D’ANNULATION 21

Le cas central est le cas F = S

^d

. Le calcul des foncteurs d´eriv´es au sens de Dold-Puppe L

q

S

^d

(−, n) est effectu´e par Cartan [Car55], Dold-Puppe [DP61], [Bou67b], Touz´e [Tou14]. Ils ont obtenu des formules explicites pour L

q

S

^d

(−, n).

Ces calculs sont compliqu´es. R´ecemment, dans [BM11], les auteurs ont donn´e une d´emonstration simple pour certains cas particuliers. Pour les approximations de Taylor H

q

D

n

S

^d

le r´esultat est incomplet.

– Dans le cas n = 1, on peut interpr´eter H

q

(D

1

S

^d

) comme des foncteurs d´eriv´es stables au sens de Dold-Puppe [JM98], et le r´esultat est donc connu d’apr`es Cartan [Car55], Bousfield [Bou67b], ou Betley [Bet01].

– Dans le cas n = d, on peut interpr´eter H

q

D

d

S

^d

comme l’homologie du groupe sym´etrique S

_d

` a coefficients dans ⊗

^d

. Cette homologie est calcul´ee r´ecemment par Cohen-Hemmer-Nakano [CHN10].

– Dans les cas o` u 1 < n < d, en utilisant les r´esultats de [JM04, JM08], nous proposons une suite spectrale pour calculer H

q

D

n

S

^d

. – Si n > d alors H

q

D

n

S

^d

= 0 pour des raisons de degr´e.

Les r´esultats pour les foncteurs d´eriv´es de S

^d

sont compliqu´es, et il est encore plus difficile de calculer les foncteurs L

q

F (−, n) et H

q

(D

n

F ) pour un foncteur F quelconque. Dans le chapitre 4, on consid`ere le probl`eme suivant.

Probl` eme 0.4.2 . Donner un crit`ere effectif sur le foncteur F et le k -espace vectoriel V pour que les espaces vectoriels L

q

F (V, n) et H

q

(D

n

F ) (V ) s’annulent.

Si F est un foncteur strictement polynomial, les foncteurs L

q

F (−, n) et H

q

(D

n

F ) le sont aussi (voir [Bou67a] pour les foncteurs d´eriv´es au sens de Dold-Puppe).

Dans la suite, on suppose que F ∈ P

d

et alors les foncteurs L

q

F (−, n), H

q

(D

n

F ) sont ´egalement des foncteurs strictement polynomiaux.

0.4.2. La th´ eorie des blocs de P

d

et le crit` ere d’annulation. Les blocs de la cat´egorie des repr´esentations des alg`ebres de Schur sont connus d’apr`es Don- kin [Don87]. Comme les cat´egories P

d

des foncteurs strictement polynomiaux ho- mog`enes de degr´e d sont ´equivalentes ` a des cat´egories de modules sur l’alg`ebre de Schur [FS97], on a la th´eorie des blocs dans la cat´egorie des foncteurs strictement polynomiaux.

On associe ` a chaque foncteur strictement polynomial F un ensemble de parti- tions Bl (F ), l’ensemble des blocs de F . Le r´esultat cl´e de la th´eorie des blocs dont on a besoin est le suivant.

Lemme 0.4.3 (Crit`ere d’annulation, Lemme 4.2.30) . Soient F et G deux objets de P

d

. Si Bl (F ) ∩ Bl (G) = ∅ alors Ext

^∗_Pk

(F, G) = 0.

L’id´ee d’utiliser cette th´eorie pour d’obtenir des r´esultats d’annulation provient de Touz´e [Tou13c]. Cependant, la m´ethode que l’on utilisera est diff´erente de celle de [Tou13c]. On remarque qu’il existe un autre r´esultat d’annulation, le r´esultat de Pirashvili [FS97, th´eor`eme 2.13] qui dit que si A est un foncteur additif et F, G sont des foncteurs r´eduits alors

Ext

^∗_Pd

(A, F ⊗ G) = 0 .

Ce r´esultat d’annulation est de nature diff´erente du r´esultat d’annulation du lemme 0.4.3.

La proposition suivante donne des id´ees par lesquelles on peut d´eterminer les blocs Bl (F ). Pour une partition λ, on note S

λ

(resp. L

λ

) le foncteur de Schur (resp.

foncteur simple) correspondant ` a λ.

Proposition 0.4.4 (Proposition 4.2.20) . Soient λ, µ deux partitions, F un objet de P

^k

et G un sous-objet de F . On a :

Bl (S

λ

) = Bl (L

λ

) , Bl (L

λ

) = Bl (L

λ+pµ

) ,

Bl (F ) = Bl (G) ∪ Bl (F/G) , Bl F

^♯

= Bl (F ) , Bl

F

⁽¹⁾

=

( ∅ si F = 0, {(0)} si F 6= 0.

En g´en´eral, nous ne savons pas comment d´eterminer Bl (F ⊗ G) ` a partir des blocs Bl (F ) et Bl (G). Heureusement, pour la suite, on n’a besoin que de savoir les blocs des foncteurs du type S

V^d

ou Bl F ⊗ G

⁽¹⁾

. En utilisant la r`egle de Pieri et le th´eor`eme du produit tensoriel de Steinberg, on a le r´esultat cl´e suivant.

Th´ eor` eme 0.4.5 (Th´ eor` eme 4.2.23, Proposition 4.2.21) . Soient F, G deux foncteurs strictement polynomiaux.

(1) Si G 6= 0 alors Bl F ⊗ G

⁽¹⁾

≃ Bl (F ).

(2) On peut d´eterminer explicitement Bl S

V^d

` a partir de d et dim V . De plus, on d´emontre que le foncteur de changement de base pr´eserve les blocs.

Proposition 0.4.6 (Proposition 4.2.28) . Soient k ⊂ K une extension de corps et F ∈ P

d,k

. Si on note

^K

F l’image de F par le foncteur de changement de base

^K

(−) : P

d,k

→ P

d,K

, on a Bl (F ) = Bl (

^K

F ).

0.4.3. Les foncteurs L(−, n) et D

n

. Pour chaque entier naturel n, on note L(−, n) le foncteur de P

^k

vers Ch

≥0

(P

^k

) qui envoie un foncteur F vers N F K(−[n]).

Par d´efinition, on a des isomorphismes des foncteurs strictement polynomiaux L

q

F (−, n) ≃ H

q

L(F, n).

Le r´esultat simple suivant sur les foncteurs L(−, n) et D

n

est essentiel pour pouvoir appliquer le crit`ere d’annulation.

Proposition 0.4.7 (Propositions 4.3.11, 4.3.22, D´ efinition 4.2.32) . Si on note Φ l’un des deux foncteurs L(−, n) et D

n

, on a alors :

(1) le complexe ΦS

^d

est un complexe d’injectifs ;

(2) il existe une ´equivalence d’homotopie ΦF → Hom

Pk

F

^♯

, ΦS

^d

naturelle en F .

Par cons´equence, il existe une suite spectrale de foncteurs strictement polynomiaux, naturelle en F

(0.4.4) E

₂^i,j

(F ) = Ext

ⁱP_d

F

^♯

, H

−j

ΦS

^d

⇒ H

−i−j

(ΦF ).

En utilisant cette proposition et le crit`ere d’annulation, on obtient le r´esultat suivant.

Th´ eor` eme 0.4.8 (Th´ eor` eme 4.2.35) . Soit F ∈ P

d

, V ∈ V

^k

. On note Φ l’un des deux foncteurs L(−, n) et D

n

. Alors (H

q

(ΦF )) (V ) = 0 d`es qu’on a

(0.4.5) Bl (F ) ∩ [

q≤j≤q+inj.dimF

Bl H

j

(ΦS

^d

)

V

= ∅.

0.4. DES R´ESULTATS D’ANNULATION 23

0.4.4. R´ esultats (quasiment) explicites de L

q

S

^d

(−, n) et H

q

D

n

S

^d

. On rappelle les d´efinitions des mots p-admissibles de Cartan [Car55, pages 9- 01 et 10-01]. Dans la suite, seuls les mots p-admissibles de premi`ere esp`ece nous seront utiles. Nous appellerons donc plus simplement mots p-admissibles les mots p-admissibles de premi`ere esp`ece.

D´ efinition 0.4.9 . (1) Cas p = 2. Un mot 2-admissible w est une suite finie de lettres σ, γ

2

telle que : w n’est pas vide, la premi`ere lettre de w est σ et les deux derni`eres lettres de w sont σ, σ.

(2) Cas p > 2. Un mot p-admissible w est une suite finie de lettres σ, γ

p

, φ

p

telle que : w n’est pas vide, la premi`ere lettre de w est σ ou φ

p

et la derni`ere lettre de w est σ, pour chaque lettre γ

p

ou φ

p

du mot, le nombre de lettres σ situ´ees ` a droite est pair.

On note W

p

l’ensemble des mots p-admissibles. La hauteur h(w) d’un mot w sera, par d´efinition, le nombre de lettres du mot w ´egales ` a σ ou ` a φ

p

; la torsion t

w

de w sera, par d´efinition, le nombre de lettres du mot w ´egales ` a γ

p

ou ` a φ

p

. Le degr´e d’un mot w se d´efinit par r´ecurrence :

deg ∅ = 0, deg(σw) = 1 + deg w,

deg (γ

p

w) = p deg w, deg (φ

p

w) = 2 + p deg w.

Notation 0.4.10 . Soit V un espace vectoriel gradu´e de dimension finie en chaque degr´e, on d´efinit les espaces vectoriels gradu´es U(V ) et U

^♯

(V ) respectivement par les formules :

U(V ) =

( Γ(V ) si p = 2, Γ (V

pair

) ⊗ Λ (V

impair

) si p > 2, U

^♯

(V ) =

( S(V ) si p = 2, S (V

pair

) ⊗ Λ (V

impair

) si p > 2.

Th´ eor` eme 0.4.11 ([Tou14, Theorem 10.14]) . On a un isomorphisme de fonc- teurs strictement polynomiaux :

M

q,d∈N

L

q

S

^d

(−, n + 2) ≃ U



 M

w∈Wp(n+2)

I (

^tw

) [deg w]



 .

Ensuite, nous pr´esentons le r´esultat de H

q

D

n

S

^d

. Dans le cas n = 1, on a besoin juste du r´esultat suivant.

Proposition 0.4.12 (Proposition 4.4.9) . (1) Si d n’est pas une puis- sance de p ou si q < 2(p

^r

− 1), on a H

q

D

1

S

^d

= 0.

(2) Si q = 2(p

^r

− 1), on a un isomorphisme H

q

D

1

S

^pr

≃ I

^(r)

.

Dans le cas n = d, en utilisant les travaux [JM04, CHN10], on a le th´eor`eme suivant. On rappelle que P est l’ensemble de toutes les partitions. On d´esigne par P

^0,1

l’ensemble des paires (ǫ; λ) telles que λ ∈ P et ǫ = ǫ

1

, . . . , ǫ

ℓ(λ)

∈ {0, 1}

^ℓ(λ)

, ǫ

1

= 0. Le degr´e d’une partition λ ou d’une paire (ǫ; λ) est respectivement par d´efinition :

deg(λ) :=

ℓ(λ)

X

i=1

2

^ℓ(λ)−i

λ

i

, deg(ǫ; λ) :=

ℓ(λ)

X

i=1

p

^ℓ(λ)−i

(−ǫ

i

+ λ

i

(p − 1)) .

De plus, on d´efinit la longueur de (ǫ; λ) ∈ P

^0,1

par ℓ(ǫ; λ) = ℓ(λ). On d´esigne par P e l’ensemble P si p = 2 et l’ensemble P

^0,1

si p > 2.

Th´ eor` eme 0.4.13 ([CHN10, Theorem 8.1.4]) . Il existe un isomorphisme bi- gradu´e dans la cat´egorie F

F_p

, o` u la partie H

q

( S

_d

, ⊗

^d

) est de degr´e (d, q) et I

^(ℓ(α))

[deg(α)]

est de degr´e p

^ℓ(α)

, deg(α) : M

q,d∈N

H

q

S

_d

, ⊗

^d

≃ U

^♯



 M

α∈eP

I

^(ℓ(α))

[deg(α)]



 .

Dans le cas 1 < n < d, on propose une suite spectrale calculant l’homologie du complexe D

k

S

^d

.

Notation 0.4.14 . On note J e (d, n) l’ensemble des suites µ = (µ

i

)

n∈N

d’entiers naturels telles que d = P

∞

i=0

µ

i

p

ⁱ

et n = P

∞ i=0

µ

i

.

Proposition 0.4.15 ( Proposition 4.4.21 ) . Il existe une suite spectrale E

k,ℓ²

D

n

S

^d

⇒ H

k+ℓ

D

n

S

^d

o` u la deuxi`eme page est donn´ee par :

E

k,ℓ²

D

n

S

^d

= M

µ∈J(d,n)e

H

k

! S

µ

, H

ℓ

!

_∞

O

i=0

D

1

S

^pi

⊗µ_i

##

, o` u S

_µ

est le produit Q

∞

i=0

S

_µi

un sous-groupe de S

_n

.

0.4.5. R´ esultats principaux. Dans cette ´etape, nous utilisons les descrip- tions de L

q

S

^d

(−, n) et H

q

D

n

S

^d

de l’´etape pr´ec´edente et les r´esultats de l’´etape 1 pour d´eterminer Bl

H

∗

ΦS

^d

V

pour les deux th´eories qui nous int´eressent : les foncteurs d´eriv´es au sens de Dold-Puppe et les ´etages de la tour de Taylor. En combinant ces calculs avec le th´eor`eme 0.4.8, on obtient les r´esultats suivants.

Notation 0.4.16 . Soient d, n deux entiers naturels.

(1) Pour k = 0, 1, . . . , ⌊

^d_p

⌋, on d´esigne par j

k

le nombre 2d+n (kp + α

p

(d − kp)).

On obtient une suite croissante

0 < j

0

< j

1

< · · · < j

_⌊^d

p⌋

.

(2) On note m

d,n

le plus grand entier naturel µ

0

tel qu’il existe des entiers naturels µ

1

, µ

2

, . . . satisfaisant d = P

∞

i=0

µ

i

p

ⁱ

et n = P

∞ i=0

µ

i

Th´ eor` eme 0.4.17 (Th´ eor` eme 4.5.18) . Soient F un objet de P

d

et V un objet de V

k

. On a L

q

F (V, n) = 0 si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

(1) q + inj. dim F < j

0

,

(2) j

k

≤ q + inj. dim F < j

k+1

et il n’existe pas d’´el´ement λ ∈ Bl (F ) tel que

|λ| ≤ d

0

+ kp, et

( ℓ(λ) ≤ dim V si p = 2 ou n est pair λ

1

≤ dim V sinon.

(3) q + inj. dim F ≥ j

_⌊^d

p⌋

et il n’existe pas d’´el´ement λ ∈ Bl (F ) tel que ( ℓ(λ) ≤ dim V si p = 2 ou n est pair

λ

1

≤ dim V sinon.

Th´ eor` eme 0.4.18 (Th´ eor` eme 4.5.20) . Soient F ∈ P

d

et V un objet de V

^k

.

On a trois cas.

0.4. DES R´ESULTATS D’ANNULATION 25

(1) Le cas n = 1. On a H

q

(D

1

F ) = 0 si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

(a) q + inj. dim F < 2d − 2, (b) d n’est pas une puissance de p,

(c) (0) ∈ / Bl (F ).

(2) Le cas n = d. On a H

q

(D

d

F ) (V ) = 0 s’il n’existe pas d’´el´ement λ ∈ Bl (F ) tel que ℓ(λ) ≤ dim V .

(3) Le cas 1 < n < d. On a H

q

(D

n

F ) (V ) = 0 si l’une des conditions sui- vantes est satisfaite

(a) q + inj. dim F < 2(d − n)

(b) il n’existe pas d’´el´ement λ ∈ Bl (F ) tel que |λ| ≤ m

d,n

et ℓ(λ) ≤

dim V .

CHAPITRE 1

Rappels sur les cat´ egories des foncteurs strictement polynomiaux

Contents

1.1. Introduction 27

1.2. Rappels g´ en´ eraux sur les cat´ egories 27

1.2.1. Notations et exemples 28

1.2.2. Cat´egories k -lin´eaires 28

1.2.3. Adjonctions 29

1.2.4. Cat´egories k -lin´eaires mono¨ıdales 30

1.2.5. Alg`ebres, cog`ebres, alg`ebres de Hopf 31

1.2.6. La cat´egorie F 32

1.2.7. Alg`ebres sym´etriques, ext´erieures et ` a puissances divis´ees 33 1.3. Cat´ egories des foncteurs strictement polynomiaux 35

1.3.1. Cat´egories Γ

^(d1,...,dn)

V

k

35

1.3.2. Cat´egories P

_(d1,...,dn)

37

1.3.3. Projectifs et injectifs dans P

_(d

1,...,d_n)

39

1.3.4. Adjonction ` a la source 41

1.3.5. Torsion de Frobenius 43

1.3.6. Lien avec les alg`ebres de Schur 45

1.3.7. Le foncteur d’oubli de P

_d

vers F 45

1.4. Sch´ emas en groupes affines et cohomologie rationnelle 46 1.4.1. Sch´emas en groupes affines alg´ebriques 46

1.4.2. Exemples, groupes classiques 46

1.4.3. Repr´esentations des sch´emas en groupes affines alg´ebrique 48 1.4.4. Repr´esentations du groupe g´en´eral lin´eaire et alg`ebres de Schur 48

1.4.5. Cohomologies de sch´emas en groupes 49

1.1. Introduction

Ce chapitre donne nos notations et rappelle des r´esultats bien connus sur les objets g´en´eraux, en particulier sur les foncteurs strictement polynomiaux, que nous utiliserons le plus couramment.

1.2. Rappels g´ en´ eraux sur les cat´ egories

Notre r´ef´erence principale sera MacLane [ML98] pour ce qui concerne les cat´egories quelconques ; pour les cat´egories ab´eliennes, nous suivons Weibel [Wei94, Appendix A]. Pour l’alg`ebre homologique, nous renvoyons plutˆ ot ` a Weibel [Wei94]

et MacLane [ML95].

27