1. Foncteurs d´ eriv´ es des foncteurs additifs

Foncteurs d´ eriv´ es ` a la Dold-Puppe

Serge Bouc

1. Foncteurs d´ eriv´ es des foncteurs additifs

1.1. Soient A et B des cat´ egories ab´ eliennes. La construction des foncteurs d´ eriv´ es (gauches) d’un foncteur additif F : A → B est classique, dans le cas o` u A a suffisamment d’objets projectifs, i.e. si tout objet de A est quotient d’un objet projectif.

1.2. Pour un objet M est de A , on choisit

une r´ esolution projective de M , c’est-` a-dire un complexe exact

(1.3) . . .

// P

^// P

^// . . .

// P

^// P

^// M ^// 0 o` u les P

, pour i ∈ N , sont des objets projectifs de A . Une telle r´ esolution existe car A a suffisamment d’objets projectifs.

Si ` a pr´ esent f : M → N est un morphisme dans A , et si . . .

// Q

^// Q

∂n−1

// . . .

// Q

^// Q

^// N ^// 0 est la r´ esolution projective choisie de N dans A , le morphisme f se rel` eve en un morphisme de complexes

(1.4)

. . .

// P

fn

dn

// P

fn−1

dn−1

// . . .

// P

f1

d1

// P

f0

d0

// M

f

// 0

. . .

// Q

^// Q

^// . . .

// Q

^// Q

^// N ^// 0 ,

et un tel rel` evement est unique ` a homotopie pr` es.

1.5. Si F : A → B est un foncteur additif, on applique alors le foncteur F au complexe (1.3) priv´ e de M , pour obtenir le complexe suivant dans B :

. . .

// F (P

)

^// F (P

)

^// . . .

// F (P

)

^// F (P

) . Le i-` eme objet d’homologie de ce complexe est not´ e F

(M ), ou L

(F )(M).

C’est un objet de B .

1. J’ignorerai dans tout cet expos´ e les questions axiomatiques li´ ees ` a un tel choix,

lorsque A n’est pas suppos´ ee (essentiellement) petite. . .

Si f : M → N est un morphisme dans A , on a un morphisme de complexes . . .

//

F (P

)

F(fn)

F(dn)

// F (P

)

F(f_n−1)

F(dn−1)

// . . .

// F (P

)

F(f₁₎

F(d1)

// F (P

)

F(f0)

. . .

// F (Q

)

^// F (Q

)

^// . . .

// F (Q

)

^// F (Q

) ,

qui induit, pour tout i ∈ N , un morphisme correspondant F

(f) : F

(M ) → F

(N )

entre les objets d’homologie. Ce morphisme ne d´ epend pas du rel` evement de f choisi en 1.2, puisque deux tels rel` evements sont homotopes, et puisque deux morphismes de complexes homotopes sont envoy´ es par F sur deux mor- phismes de complexes homotopes, lorsque le foncteur F est additif.

1.6. Pour tout i ∈ N , la correspondance qui ` a l’objet M de A associe F

(M ) et au morphisme f : M → N associe F

(f) : F

(M ) → F

(N ) est alors un foncteur (additif) de A dans B , appel´ e le i-` eme foncteur d´ eriv´ e gauche du foncteur F . Pour i < 0, on posera F

= 0.

1.7. Remarque : L’unicit´ e ` a homotopie pr` es du rel` evement de f en 1.4 per- met de montrer ´ egalement qu’un choix de r´ esolutions projectives diff´ erentes en 1.3 pour les objets de A conduit ` a des foncteurs d´ eriv´ es F

isomorphes ` a F

, pour tout i ∈ N .

1.8. Remarque : Pour construire les foncteurs d´ eriv´ es gauches d’un foncteur additif F : A → B , il suffit de connaˆıtre la restriction de F ` a une sous- cat´ egorie pleine P de A ayant les deux propri´ et´ es suivantes :

1. Les objets de P sont projectifs dans A .

2. Tout objet de A est quotient d’un objet de P .

1.9. Remarque : Il r´ esulte de la construction des foncteurs d´ eriv´ es gauches du foncteur additif F : A → B que pour tout objet M de A, on a un morphisme

F

(M) = F (P

)/ImF (d

) → F (M ) .

Il est facile de voir qu’il s’agit en fait d’une transformation naturelle F

→ F , qui est un isomorphisme si et seulement si le foncteur F est exact ` a droite, i.e. si pour toute suite exacte M

^// M

^// M ^// 0 , la suite

F (M

)

^// F (M

)

^// F (M ) ^// 0

est exacte (un argument classique d’alg` ebre homologique montre en effet que pour v´ erifier la condition pr´ ec´ edente, on peut se contenter du cas o` u M

et M

sont projectifs dans A ).

On peut noter ´ egalement que la propri´ et´ e d’ˆ etre exact ` a droite, telle que d´ efinie ci-dessus pour un foncteur F , a un sens pour un foncteur non- n´ ecessairement additif. On peut montrer qu’elle entraˆıne en fait l’additivit´ e du foncteur F (cf. [1] Lemma 2.1).

1.10. Foncteurs d´ eriv´ es droits : le passage aux cat´ egories oppos´ ees per- met de d´ efinir de mani` ere analogue les foncteurs d´ eriv´ es droits d’un foncteur additif F : A → B entre cat´ egories ab´ eliennes, lorsque A a suffisamment d’objets injectifs (cf. [3]). On obtient dans ce cadre la notion de foncteur additif exact ` a gauche.

2. La correspondance de Dold-Kan

2.1. Soit A une cat´ egorie ab´ elienne. La correspondance de Dold-Kan ´ etablit une ´ equivalence de cat´ egories entre la cat´ egorie Ch

( A ) des complexes de chaˆınes (nuls en degr´ e n´ egatif) dans A et la cat´ egorie S( A ) des objets simpli- ciaux dans A , qui envoie les classes l’homologie de degr´ e n des complexes sur les classes d’homotopie de n-simplexes des ensembles simpliciaux correspon- dants, et morphismes homotopes sur morphismes simpliciaux homotopes.

2.2. Soit X un objet simplicial dans A . On lui associe classiquement un complexe de chaˆınes C(X) dans A : pour n ∈ N , on pose C

(X) = X

, et on d´ efinit la diff´ erentielle d

: C

(X) → C

(X) par

d

= X

i=0

( − 1)

∂

,

o` u ∂

: X

→ X

est le i-` eme op´ erateur de face de X. Il est facile de v´ erifier que l’on obtient ainsi un foncteur C : S( A ) → Ch

( A ).

On d´ efinit ´ egalement le complexe de chaˆınes normalis´ e (ou de Moore) N(X) de X en posant, pour n ∈ N

(2.3) N

(X) =

n−1

\

i=0

Ker(∂

: X

→ X

) .

La diff´ erentielle d : N

(X) → N

(X) est d´ efinie comme la restriction de ( − 1)

∂

` a N

(X).

On a de mˆ eme obtenu ainsi un foncteur N : S( A ) → Ch

( A ).

2.4. Remarque : la d´ efinition 2.3 est celle adopt´ ee par Weibel, par exemple

(cf. [5] Definition 8.3.6). Ce n’est pas la d´ efinition originelle de Dold-Puppe

(cf. [2] 3.1), qui posent plutˆ ot N

(X) =

\

Ker(∂

: X

→ X

) ,

en d´ efinissant la diff´ erentielle d : N

(X) → N

(X) comme la restriction de ∂

. Ces deux d´ efinitions conduisent ` a des foncteurs naturellement isomor- phes de S( A ) dans Ch

( A ) (cf. [2] Satz 3.29, ou [5] Exercise 8.3.4).

2.5. Soit

(2.6) C : . . .

// C

^// C

^// . . .

// C

^// C

^// 0 un complexe de chaˆınes dans A . Pour n ∈ N , on pose

K(C)

= ⊕

p≤n

⊕

η:[n][p]

C

[η] ,

o` u la somme int´ erieure porte sur les surjections monotones η : [n] [p], le symbole [n] d´ esignant l’ensemble totalement ordonn´ e { 0, 1, . . . , n } , et C

[η]

une copie de C

.

Si m, n ∈ N , et si α : [m] → [n] est une application croissante, alors on d´ efinit un morphisme K(α) : K(C)

→ K(C)

de la fa¸con suivante : si η : [n] → [p] est une application croissante, alors la restriction de K(α) ` a la composante C

[η] de K(C)

est d´ etermin´ ee par η

= ηα. Elle est ´ egale

– ` a l’isomorphisme canonique C

[η] → C

[η

], si η

est surjective,

– ` a la diff´ erentielle d : C

→ C

= C

[η

] si l’image de η

est ´ egale ` a [p − 1] ⊂ [p],

– au morphisme nul sinon.

On montre qu’on obtient ainsi un foncteur K : Ch

( A ) → S( A ), et de plus : 2.7. Th´ eor` eme [Dold-Kan] : Soit A une cat´ egorie ab´ elienne. Alors :

1. les foncteurs K et N

S( A )

^// Ch

( A )

oo

sont des ´ equivalences de cat´ egories quasi-inverses l’une de l’autre.

2. pour tout objet X de S( A ), l’homotopie π

(X) est naturellement iso- morphe ` a H

C(X)

et ` a H

N(X) .

3. deux morphismes f, g : X → Y dans S( A ) sont (simplicialement) ho- motopes si et seulement si les morphismes (de complexes) N(f ) et N(g) sont homotopes.

D´ emonstration : cf. [2] Section 3, ou [5] Section 8.3.

3. Foncteurs d´ eriv´ es des foncteurs non-additifs

3.1. Soit F : A → B un foncteur (non n´ ecessairement additif) entre cat´ egories ab´ eliennes. On suppose que A a suffisamment d’objets projec- tifs. Dans ces conditions, pour chaque couple d’entiers naturels (n, q), Dold et Puppe ont d´ efini un foncteur L

F ( − , n) de la fa¸con suivante :

• Pour un objet M de A , on choisit une r´ esolution projective de M (3.2) . . .

// P

^// P

^// . . .

// P

^// P

^// M ^// 0 ,

que l’on prolonge en posant P

= P

= . . . = P

= 0. Le complexe P form´ e des P

, pour i ∈ N , s’appelle une r´ esolution projective de (M, n). Son homologie est non-nulle seulement en degr´ e n, o` u elle est isomorphe ` a M .

• On applique ` a P le foncteur K d´ efini en 2.5, pour obtenir un objet simplicial K(P ) de A . En composant K(P ) avec le foncteur F : A → B , on a un objet simplicial F K(P ) dans la cat´ egorie ab´ elienne B , dont on peut prendre le com- plexe de chaˆınes CF K(P ), ou le complexe de chaˆınes normalis´ e NF K(P ). On d´ efinit alors L

F (M, n) comme l’homologie de degr´ e q du complexe NF K(P ) (ou du complexe CF K(P ), qui lui est isomorphe) :

L

F (M, n) = H

NF K(P ) .

• Si N est un objet de A , on choisit ´ egalement une r´ esolution projective Q de (N, n). Lorsque f : M → N est un morphisme dans A , on peut relever f en un morphisme de complexes f e : P → Q, unique ` a homotopie pr` es. On en d´ eduit un morphisme NF K( f e ) : NF K(P ) → NF K(Q), unique ` a homotopie pr` es, donc, pour tout q ∈ N , un morphisme bien d´ efini

L

F (f, n) : L

F (M, n) → L

F (N, n) .

• On v´ erifie facilement qu’on a ainsi obtenu un foncteur L

F ( − , n) : A → B , appel´ e le q-i` eme foncteur d´ eriv´ e (gauche) de niveau n de F .

3.3. Remarque : Comme en 1.7, un choix de r´ esolutions projectives diff´ e- rentes pour les (M, n) conduit ` a des foncteurs L

F ( − , n) naturellement iso- morphes ` a L

F ( − , n), pour tout couple (n, q) ∈ N × N .

3.4. Remarque : Comme dans le cas des foncteurs additifs, un passage aux cat´ egories oppos´ ees permet de d´ efinir les foncteurs d´ eriv´ es droits d’un foncteur F : A → B entre cat´ egories ab´ eliennes, lorsque A a suffisamment d’objets injectifs.

3.5. La proposition suivante permet de comparer, pour un foncteur additif,

les foncteurs d´ eriv´ es F

obtenus au paragraphe 1 avec les foncteurs L

F ( − , n) obtenus ci-dessus :

3.6. Proposition : Si F : A → B est additif, alors

∀ (q, n) ∈ N × N , L

F ( − , n) ∼ = F

.

D´ emonstration : Si F est additif, alors pour tout complexe de chaˆınes C dans Ch

( A ), on a

F K(C)

= F ⊕

p≤n

⊕

η:[n][p]

C

[η]

= ⊕

p≤n

⊕

η:[n][p]

F (C

)[η]

∼ = KF (C)

n

, qui donne un isomorphisme de foncteurs F K ∼ = KF .

Il en r´ esulte, pour tout objet M de A et toute r´ esolution projective P de (M, n) dans A , des isomorphismes de complexes dans B

NF K(P ) ∼ = NKF (P ) ∼ = F (P ) ,

le dernier isomorphisme provenant du fait que le foncteur NK est isomorphe au foncteur identit´ e de Ch

( B ). La proposition en r´ esulte, puisque P est une r´ esolution projective de M , o` u le degr´ e est d´ ecal´ e de n.

4. Explicitement. . .

4.1. Soit C un complexe de Ch

( A ). Pour calculer K(C), on doit connaˆıtre pour deux entiers naturels n et p, les applications croissantes surjectives η : [n] → [p]. ` A une telle application, on associe la partie s(η) de { 1, 2, . . . , n } d´ efinie par

s(η) = { i | 1 ≤ i ≤ n, η(i) > η(i − 1) } .

On constate facilement que s(η) est de cardinal p, si η est croissante et surjective.

Inversement, si l’on se donne une partie A de { 1, 2, . . . , n } de cardinal p, on peut d´ efinir une application t(A) : [n] → [p] en posant

∀ i ∈ [n], t(A)(i) = | [1, i] ∩ A | ,

o` u [1, i] = { j ∈ N | 1 ≤ j ≤ i } . Alors t(A) est clairement une application

croissante surjective de [n] dans [p].

Il est facile de v´ erifier que s et t sont des bijections inverses l’une de l’autre entre l’ensemble des surjections croissantes de [n] dans [p] et l’ensemble des parties de { 1, 2, . . . , n } de cardinal p. Il en r´ esulte que K(C)

peut s’´ ecrire

K(C)

= ⊕

A⊆{1,...,n}

C

, o` u C

est une copie de C

. Par exemple :

K(C)

= C

, K(C)

= C

⊕ C

K(C)

= C

⊕ C

⊕ C

⊕ C

,

K(C)

= C

⊕ C

⊕ C

⊕ C

⊕ C

⊕ C

⊕ C

⊕ C

.

4.2. Soit F : A → B un foncteur, et M un objet de A . Pour calculer les L

F (M, 0), on choisit une r´ esolution projective P de M ,

. . .

// P

^// P

^// . . .

// P

^// P

^// M ^// 0 , et on construit le complexe U = CF K(P ). Les remarques pr´ ec´ edentes mon- trent que le terme de degr´ e n de ce complexe peut s’´ ecrire

U

= F ⊕

A⊆{1,...,n}

P

.

La diff´ erentielle δ

: U

→ U

de ce complexe est ´ egale ` a la P

( − 1)

F (∂

), o` u ∂

: K(P )

→ K(P )

est le morphisme simplicial associ´ e ` a l’unique injection croissante ε

: [n − 1] → [n] dont l’image ne contient pas i.

Pour A ⊆ { 1, . . . , n } , la restriction ∂

de ∂

` a la composante P

de K(P )

d´ epend de la compos´ ee η

= s(A)ε

: [n − 1] → [ | A | ], comme suit :

• ou bien η

est surjective. Autrement dit s(A)(i) = s(A)(i − 1) ou s(A)(i) = s(A)(i + 1).

Autrement dit, au moins un des entiers i, i + 1 n’est pas dans A (si i = n, alors n / ∈ A, et si i = 0, alors 1 ∈ / A). Dans ce cas ∂

identifie P

avec la composante P

de K(P )

, o` u

B = { j ∈ A | 1 ≤ j ≤ i } t { j | i ≤ j ≤ n − 1, j + 1 ∈ A }

= A ∩ [1, i]

t

A ∩ [i + 1, n]

− 1

.

• ou bien l’image de η

est ´ egale ` a [ | A | − 1]. Alors | A | n’est pas dans l’image de η

, donc n n’est pas dans l’image de ε

.

Autrement dit i = n.

De plus η(n) 6 = η(n − 1), sinon | A | = η(n − 1) = η

(n − 1).

Donc n ∈ A, et ∂

est ´ egale au morphisme d

: P

→ P

⊆ K(P )

.

• dans les autres cas ∂

(P

) = 0.

4.3. Le complexe U se termine donc par

(4.4) F (P

⊕ P

⊕ P

⊕ P

)

^// F (P

⊕ P

)

^// F (P

) ^// 0 , o` u

δ

= F (1, 0) − F (1, d

) δ

= F

1 0 d

0 0 1 0 d

− F

1 0 0 0

0 1 1 0

+ F

1 0 0 0

0 0 1 0

.

4.5. Exemple : Soit B un objet de B , et Γ

le foncteur constant sur B, qui envoie tout objet de A sur B , et tout morphisme de A sur l’identit´ e de B. Alors L

Γ

( − , 0) = 0 pour q > 0, et L

Γ

( − , 0) ∼ = Γ

: en effet, dans le complexe Q, les diff´ erentielles δ

sont nulles si i est impair, et ´ egales ` a l’identit´ e de B si i est pair.

5. Foncteurs exacts non-additifs

5.1. Il r´ esulte en particulier de 4.4 que L

F (M, 0) est ´ egal au conoyau du morphisme F (1, 0) − F (1, d

) : F (P

⊕ P

) → F (P

). On a donc toujours un morphisme L

F (M, 0) → F (M ), qui induit une transformation naturelle L

F ( − , 0) → F . Au vu de la remarque 1.9, cela justifie la notation

et la d´ efinition suivantes :

5.2. Notation : Soit F : A → B un foncteur entre cat´ egories ab´ eliennes.

Pour un morphisme ϕ : M → N dans A , on pose :

∆F (ϕ) = F (1, 0) − F (1, ϕ) : F (N ⊕ M ) → F (N ) .

2. Le morphisme ∆F (ϕ) d´ efini dans [1] est l’oppos´ e de celui introduit ici. Naturellement,

cela ne change rien ` a son conoyau. . .

5.3. D´ efinition : Soit F : A → B un foncteur entre cat´ egories ab´ eliennes. On dit que F est exact ` a droite si pour toute suite exacte

M

^// M

^// M ^// 0 dans A , la suite

F (M

⊕ M

)

^// F (M

)

^// F (M) ^// 0 est exacte dans B .

5.4. Remarque : Il r´ esulte de la proposition 3.6 qu’un foncteur additif est exact ` a droite au sens de 1.9 si et seulement si il est additif au sens de la d´ efinition 5.3.

5.5. Exemple : Pour un objet B de B , le foncteur constant Γ

d´ ecrit en 4.5 est exact ` a droite. Il n’est additif que si B est l’objet nul de B .

5.6. Remarque : En passant aux cat´ egories oppos´ ees, on d´ efinit de mˆ eme la notion de foncteur non-additif exact ` a gauche.

5.7. Les propri´ et´ es suivantes sont des cons´ equences faciles des d´ efinitions : 5.8. Proposition :

1. Soient F : A → B et G : B → C des foncteurs exacts ` a droite entre cat´ egories ab´ eliennes. Alors G ◦ F : A → C est exact ` a droite.

2. Soient F : A → B et F

: A

→ B

des foncteurs exacts ` a droite entre cat´ egories ab´ eliennes. Alors F × F

: A × A

→ B × B

est exact ` a droite.

3. Soient F

, F

: A → B des foncteurs exacts ` a droite entre cat´ egories ab´ eliennes. Alors F

⊕ F

: A → B est exact ` a droite.

4. Soient A , A

et B des cat´ egories ab´ eliennes, et soit F : A × A

→ B un foncteur biadditif. Alors F est exact ` a droite si et seulement si pour tout objet M de A et tout objet M

de A

, les foncteurs (additifs) F (M, − ) et F ( − , M

) sont exacts ` a droite.

5. En particulier, si (M, N ) 7→ M ⊗ N est un foncteur biadditif et exact

`

a droite en chaque variable de B × B dans une cat´ egorie ab´ elienne C , alors pour tous foncteurs exacts ` a droite F, F

: A → B , le foncteur F ⊗ F

: A → C est exact ` a droite.

6. Dans les mˆ emes conditions, si de plus A = B = C , l’endofoncteur

M 7→ M

de A est exact ` a droite, pour tout n ∈ N .

6. Applications

La plupart des applications de la notion de foncteur exact non-additif re- posent sur le th´ eor` eme suivant, s’inspirant de la remarque 1.8 :

6.1. Th´ eor` eme : Soit P une sous-cat´ egorie pleine d’une cat´ egorie ab´ elienne A ayant les propri´ et´ es suivantes :

1. les objets de P sont projectifs dans A . 2. tout objet de A est quotient d’un objet de P . 3. la somme directe de deux objets de P est dans P .

Alors pour tout foncteur F de P dans une cat´ egorie ab´ elienne B , il existe un foncteur exact ` a droite F e : A → B dont la restriction ` a P est isomorphe

`

a F , et un tel prolongement F e est unique ` a isomorphisme pr` es.

D´ emonstration : (cf. [1] Section 2.4.) M´ ethode 1 : Sans rien connaˆıtre

de la correspondance de Dold-Kan, on peut choisir, pour tout objet M de A , un d´ ebut de r´ esolution

Q

^// P

^// M ^// 0 ,

de M par des objets de P , et d´ efinir F e (M ) comme le conoyau de ∆F (ϕ), pour s’assurer la suite

F (P ⊕ Q)

^// F (P ) ^// F e (M ) ^// 0

soit exacte. Il reste ` a rendre F e (M ) fonctoriel en M , ` a montrer que le foncteur F e ne d´ epend pas des r´ esolutions choisies, ` a isomorphisme pr` es, et qu’il est exact ` a droite. Il est alors clair que F e est l’unique prolongement exact ` a droite de F ` a A .

M´ ethode 2 : En utilisant les sections pr´ ec´ edentes, on a F e = L

F ( − , 0). Il reste juste ` a v´ erifier que ce foncteur est exact ` a droite.

6.2. La partie

existence

du th´ eor` eme 6.1 permet de d´ efinir certains foncteurs non-additifs, notamment diverses esp` eces d’inductions tensorielles g´ en´ eralis´ ees

. La partie

unicit´ e

permet quant ` a elle de prouver assez facilement certaines propri´ et´ es des foncteurs ainsi d´ efinis.

3. C’est la m´ ethode utilis´ ee dans [1].

4. On notera cependant que cette d´ efinition est fort peu constructive en g´ en´ eral, de

sorte que les ´ evaluations des foncteurs en question sont souvent tr` es difficiles ` a calculer

explicitement.

6.3. Inductions tensorielles de modules. Pour un groupe fini G et un anneau commutatif R, soit A = RG-Mod la cat´ egorie des RG-modules, et P = RG-ModL la sous-cat´ egorie pleine form´ ee des RG-modules libres.

La cat´ egorie P est ´ equivalente ` a la cat´ egorie P

dont les objets sont les G-ensembles libres, dans laquelle un morphisme d’un G-ensemble libre Y vers un G-ensemble libre X est une matrice m(x, y) index´ ee par X × Y ` a coefficients dans R, invariante par G (i.e. telle que m(gx, gy) = m(x, y) pour tout g ∈ G et tout (x, y) ∈ X × Y ), et telle que pour tout y ∈ Y , il n’y ait qu’un nombre fini de x ∈ X tels que m(x, y) 6 = 0. La composition des morphismes dans P

est donn´ ee par le produit de matrices.

Soient G et H des groupes finis, et U un (H, G)-bi-ensemble fini libre ` a droite. Soit U

le (G, H )-bi-ensemble

oppos´ e

, qui est le mˆ eme ensemble U dot´ e des actions ` a gauche de g ∈ G et ` a droite de h ∈ H d´ efinies par g · u · h = h

ug

. Pour un G-ensemble libre X, on pose

t

(X) = RHom

(U

, X ) ,

o` u Hom

(U

, X ) est l’ensemble des applications G-´ equivariantes de U

dans X. Cet ensemble est dot´ e d’une action de H ` a gauche d´ efinie par

∀ h ∈ H, ∀ ϕ ∈ Hom

(U

, X), ∀ u ∈ U, (hϕ)(u) = ϕ(h

u) . Il s’ensuit que le module t

(X) est un RH -module.

Pour un morphisme m : Y → X dans P

, et pour ϕ ∈ Hom

(U

, X ) et ψ ∈ Hom

(U

, Y ), on pose

e

m(ϕ, ψ) = Y

u∈U/G

m ϕ(u), ψ(u) .

On v´ erifie facilement que cette matrice m e est bien d´ efinie (elle ne d´ epend pas des choix des rep´ esentants des G-orbites sur U ), qu’elle est H-invariante, et que pour tout ψ, il n’y a qu’un nombre fini de ϕ tels que m(ϕ, ψ) e 6 = 0. La matrice m e d´ efinit donc un morphisme de RH -modules de t

(Y ) dans t

(X).

6.4. Lemme : Soit R un anneau commutatif, et soient G et H des groupes finis. Soit U un (H, G)-bi-ensemble fini libre ` a droite. Alors la correspondance

X 7→ t

(X) = RHom

(U

, X), m 7→ m e est un foncteur de P

dans la cat´ egorie B des RH -modules.

D´ emonstration : Il est clair que si Y = X et si m est la matrice identit´ e

index´ ee par X, alors m e est la matrice identit´ e index´ ee par Hom

(U

, X ). Il

reste ` a v´ erifier que si p : Z → Y et m : Y → X sont des morphismes dans P

, alors m ] · p = m e · p. C’est ici que l’on utilise l’hypoth` e ese que U est libre ` a droite. Pour le d´ etail de cette v´ erification, voir [1] Lemma 10.1.

On est donc dans la situation du th´ eor` eme 6.1 : la cat´ egorie P

est (´ equi- valente ` a) une sous-cat´ egorie pleine de la cat´ egorie ab´ elienne A = RG-Mod, form´ ee d’objets projectifs, stable par somme directe, et telle que tout objet de A est quotient d’un objet de P

. On peut donc prolonger ` a A le foncteur t

: P

→ B pr´ ec´ edent :

6.5. D´ efinition : Soit R un anneau commutatif, et soient G et H des groupes finis. Soit U un (H, G)-bi-ensemble fini libre ` a droite. On appelle induction tensorielle g´ en´ eralis´ ee associ´ ee ` a U (et l’on note ´ egalement t

) l’unique foncteur exact ` a droite de RG-Mod dans RH-Mod qui prolonge le foncteur t

d´ efini dans le lemme 6.4.

6.6. On peut dans ce cas donner une description de t

(M ) pour un RG- module M, ind´ ependante d’une r´ esolution projective de M : pour cela, on note { M } le G-ensemble sous-jacent ` a M , et l’on consid` ere le H-ensemble Hom

(U

, M ) comme un ensemble de fonctions de U vers M . De plus :

• si x ∈ R et f ∈ Hom

(U

, { M } ), soit xf l’´ el´ ement de Hom

(U

, M) d´ efini par

∀ u ∈ U, (xf )(u) = xf(u) .

• Si λ ∈ Hom

(U

, { R } ), soit π(λ) ∈ R d´ efini par π(λ) = Y

u∈U/G

λ(u) .

• Si λ ∈ Hom

(U

, { R } ), soit λ ∗ f ∈ Hom

(U

, { M } ) d´ efini par

∀ u ∈ U, (λ ∗ f)(u) = λ(u)f (u) .

• Si f, f

∈ Hom

(U

, { M } ), soit < f + f

> ∈ Hom

(U

, { M } ) d´ efini par

∀ u ∈ U, < f + f

> (u) = f (u) + f

(u) .

• Si V ⊆ U est une partie G-invariante de U , et si f, f

∈ Hom

(U

, { M } ), soit [f, f

]

∈ Hom

(U

, { M } ) d´ efini par

∀ u ∈ U, [f, f

]

(u) =

f(u) si u ∈ V

f

(u) si u ∈ U − V

6.7. Proposition : Soit R un anneau commutatif, et soient G et H des groupes finis. Soit U un (H, G)-bi-ensemble fini libre ` a droite.

Si M est un RG-module, alors t

(M ) s’identifie au quotient du module RHom

(U

, { M } ) par le R-sous-module I engendr´ e par les ´ el´ ements de la forme

(λ ∗ f ) − π(λ)f, pour λ ∈ Hom

(U

, { R } ) et f ∈ Hom

(U

, { M } )

< f + f

> − X

V⊆U V·G=V

[f, f

]

D´ emonstration : On voit facilement que le R-module quotient t

(M ) = RHom

(U

, { M } )/ I est isomorphe ` a ⊗

u∈U/G

M , et qu’il est fonctoriel en M . Il r´ esulte de la proposition 5.8 que le foncteur t

est exact ` a droite. D’autre part si X est un G-ensemble, alors Q

u∈U/G

X s’identifie ` a Hom

(U

, X ), donc t

(RX ) ∼ = R Q

u∈U/G

X ∼ = RHom

(U

, X ). Il s’ensuit que t

et t

sont deux foncteurs exacts ` a droite qui co¨ıncident sur P

. Il sont donc isomorphes.

6.8. Remarque : En particulier, si X est un G-ensemble (quelconque), alors t

(RX ) ∼ = RHom

(U

, X ).

6.9. Remarque : La d´ efinition classique de l’induction tensorielle corre- spond au cas o` u G est un sous-groupe de H, et U est l’ensemble H, vu comme (H, G)-bi-ensemble par multiplication ` a gauche et ` a droite.

6.10. Th´ eor` eme : Soit R un anneau commutatif.

1. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini libre ` a droite, et si V est un (K, H)-bi-ensemble fini libre ` a droite, alors

t

◦ t

∼ = t

.

2. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (K, G × H)-bi-ensemble fini libre ` a droite, si M est un RG-module et N un RH -module, alors

t

(M

N ) ∼ = t

(M ) ⊗

t

(N ) .

3. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini

libre ` a droite, et si M et N sont des RG-modules, alors t

(M ⊗

N ) ∼ = t

(M ) ⊗

t

(N ) .

4. Si G et H sont des groupes finis, si U et U

sont des (H, G)-bi-ensembles finis libres ` a droite, et si M est un RG-module, alors

t

(M) ∼ = t

(M ) ⊗

t

(M ) .

5. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini libre ` a droite, et si M et M

sont des RG-modules, alors

t

(M ⊕ M

) ∼ = ⊕

V⊆U V·G=V V mod.H

Ind

V

t

(M ) ⊗

t

(M

) ,

o` u H

est le stabilisateur de V dans H.

De plus, tous ces isomorphismes sont naturels.

D´ emonstration : Toutes les assertions concernent des isomorphismes de foncteurs exacts ` a droite. Pour les d´ emontrer, il suffit donc de restreindre ces foncteurs aux cat´ egories de modules de permutation correspondantes, et l’isomorphisme de ces restrictions d´ ecoule alors facilement de l’isomorphisme des ensembles avec action de groupe sous-jacents. Par exemple, l’assertion 3 r´ esulte du fait que si X et Y sont des G-ensembles (libres), alors

Hom

(U

, X × Y ) ∼ = Hom

(U

, X ) × Hom

(U

, Y ) comme H-ensemble.

6.11. Remarque : Si l’on envisage t

(M) comme M

, alors l’assertion 5 du th´ eor` eme 6.10 est une g´ en´ eralisation de la formule du binˆ ome.

6.12. Inductions tensorielles de foncteurs de Mackey. Une autre application de la notion de foncteur exact non-additif et du th´ eor` eme de prolongement 6.1 est la d´ efinition d’inductions tensorielles g´ en´ eralis´ ees pour les foncteurs de Mackey sur les groupes finis (` a coefficients dans Z ). Rappelons rapidement de quoi il s’agit (le lecteur int´ eress´ e trouvera tous les d´ etails dans [1]).

6.13. Si G est un groupe fini, soit S (G) la cat´ egorie suivante : – les objets de S (G) sont les G-ensembles finis.

– si X et Y sont des G-ensembles finis, alors Hom

(X, Y ) est le groupe

de Grothendieck B(Y × X) de la cat´ egorie des G-ensembles finis au-

dessus de Y × X (appel´ e aussi groupe de Burnside de Y × X).

– si X, Y , et Z sont des G-ensembles finis, la composition des morphismes B(Z × Y ) × B(Y × X) → B (Z × X) est induite par bilin´ earit´ e ` a partir du produit fibr´ e :

D

a

11

11 11 C

c

11

11 11 D ×

C

e

11

11 11

× 7→ ,

Z Y Y X Z X

o` u D ×

C = { (x, y ) ∈ D × C | b(x) = c(y) } , et e(x, y) = a(x), et f (x, y) = d(y).

– le morphisme identit´ e du G-ensemble X est (la classe) du G-ensemble X

// //

/ //

// //

/ //

X X

au dessus de X × X.

6.14. La cat´ egorie S (G) est pr´ eadditive, et la cat´ egorie Mack

(G) des foncteurs de Mackey pour le groupe G (sur Z ) est la cat´ egorie des fonc- teurs additifs de S (G) vers la cat´ egorie des groupes ab´ eliens. La cat´ egorie A = Mack

(G) est une cat´ egorie ab´ elienne.

6.15. Si D est un G-ensemble fini, et M un foncteur de Mackey pour G, on note M

le foncteur de Mackey pour G obtenu par pr´ ecomposition avec l’endofoncteur X 7→ X × D de S (G). Le foncteur M 7→ M

est la construction de Dress relative ` a D. Il est autoadjoint. Plus g´ en´ eralement, si D est un G- ensemble quelconque, on d´ efinit M

comme la somme directe des M

, o` u ω parcourt les G-orbites (finies) de X.

6.16. Le foncteur de Burnside B est le foncteur de Yoneda Hom

( • , − ), o` u • est un G-ensemble de cardinal 1. Si D est un G-ensemble, alors le foncteur B

obtenu par la construction de Dress relative ` a D est projectif dans Mack

(G). Un tel foncteur de Mackey s’appelle un foncteur de permutation.

Soit P = PMack

(G) la sous-cat´ egorie pleine de A form´ ee des foncteurs de permutation.

6.17. Si H est un autre groupe fini, et si U et un (H, G)-bi-ensemble fini, alors on peut d´ efinir un foncteur

T

: P → B = Mack

(H)

qui envoie le foncteur de permutation B

sur le foncteur de permutation

B

. C’est la partie la plus d´ elicate de la construction : un moyen d’y

parvenir consiste ` a d´ ecrire explicitement les morphismes de B

dans B

, pour des G-ensembles D et E quelconques, au moyen de classes d’´ equivalence de G- ensembles ordonn´ es au dessus de D × E, ` a fibres finies sur D, et montrer qu’on peut associer ` a un tel ensemble ordonn´ e un H-ensemble ordonn´ e du mˆ eme type au-dessus de Hom

(U

, D) × Hom

(U

, E), bien d´ efini ` a ´ equivalence pr` es.

6.18. Le foncteur d’induction tensorielle A = Mack

(G) → B = Mack

(H) est alors d´ efini comme l’unique prolongement exact ` a droite du foncteur T

pr´ ec´ edent. Il est ´ egalement not´ e T

.

6.19. La cat´ egorie Mack

(G) est une cat´ egorie mono¨ıdale sym´ etrique com- pl` ete : pour deux foncteurs de Mackey M et N , le foncteur H (M, N) des hom-internes de M dans N est le foncteur de Mackey dont la valeur en un G-ensemble fini X est Hom

(M, N

). Le produit tensoriel de M et de N est le foncteur de Mackey M ⊗ N caract´ eris´ e par la propri´ et´ e d’adjonction

Hom

(M ⊗ N, L) ∼ = Hom

N, H (M, L) .

Lorsque G et H sont des groupes finis, on a ´ egalement une bonne notion de produit tensoriel externe (cf [1] Section 6), qui ` a un foncteur de Mackey M pour G et un foncteur de Mackey N pour H associe un foncteur de Mackey M N pour G × H.

6.20. On peut ´ egalement d´ efinir un foncteur d’induction Ind

: Mack

(K) → Mack

(H) ,

pour tout sous-groupe K d’un groupe fini H, par pr´ ecomposition avec le foncteur de restriction des H-ensembles finis vers les K-ensembles finis. On obtient finalement le th´ eor` eme suivant :

6.21. Th´ eor` eme :

1. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini, et si V est un (K, H)-bi-ensemble fini, alors

T

◦ T

∼ = T

.

2. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (K, G × H)-bi-ensemble fini, si M est un foncteur de Mackey pour G et N un foncteur de Mackey pour H, alors

T

(M N ) ∼ = T

(M ) ⊗ T

(N ) .

3. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini, et si M et N sont des foncteurs de Mackey pour G, alors

T

(M ⊗ N ) ∼ = T

(M ) ⊗ T

(N ) .

4. Si G et H sont des groupes finis, si U et U

sont des (H, G)-bi-ensembles finis, et si M est un foncteur de Mackey pour G, alors

T

(M ) ∼ = T

(M ) ⊗ T

(M ) .

5. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini, et si M et M

sont des foncteurs de Mackey pour G, alors

T

(M ⊕ M

) ∼ = ⊕

V⊆U V·G=V V mod.H

Ind

V

T

(M ) ⊗ T

(M

) ,

o` u H

est le stabilisateur de V dans H.

De plus, tous ces isomorphismes sont naturels.

6.22. Le lecteur int´ eress´ e trouvera dans [1] deux autres constructions d’in- duction tensorielles : l’une pour les foncteurs de Mackey cohomologiques, l’autre pour les kG-modules de p-permutation (o` u G est un groupe fini et k un corps de caract´ eristique p).

Cette derni` ere construction a permis une interpr´ etation fonctorielle de la construction P 7→ D

(P ) associant ` a un p-groupe fini P le groupe de Dade D

(P ) des kP -modules d’endo-permutation. Cette interpr´ etation sera un des outils importants pour la classification de ces derniers, achev´ ee en 2006 (cf. [4] pour une description g´ en´ erale des nombreux r´ esultats n´ ecessaires ` a cette classification).

R´ ef´ erences

[1] S. Bouc. Non-additive exact functors and tensor induction for Mackey functors, volume 144 of Memoirs. A.M.S., 2000. n

683.

[2] A. Dold and D. Puppe. Homologie nicht-additiver Funktoren. Ann. Inst.

Fourier Grenoble, 11 :201–312, 1961.

[3] A. Grothendieck. Sur certains points d’alg` ebre homologique. Tˆ ohoku Math. J., 9 :119–121, 1957.

[4] J. Th´ evenaz. Endo-permutation modules, a guided tour. In Group rep- resentation theory. EPFL Press Lausanne, 2007. Edited by M. Geck, D.

Testerman, J. Th´ evenaz.

[5] C. A. Weibel. An introduction to homological algebra, volume 38 of Cam- bridge studies in advanced mathematics. Cambridge University Press, 1994.

Serge Bouc, CNRS-LAMFA, Universit´ e de Picardie - Jules Verne, 33, rue St Leu, F-80039 Amiens Cedex 1, France.

serge.bouc@u-picardie.fr